國中數學4 3 4三角形的邊角關係

3−4 三角形的邊角關係

本節課程學習重點： ◎知道三角形任意兩邊的和大於第三邊，任意兩邊的差小於第三邊。 ◎知道三角形中若有兩邊不相等，則大邊對大角；若有兩角不相等，則大角對大邊。 ◎能理解樞紐定理與逆樞紐定理。 ◎能理解三內角是 30°、60°、90°或是 45°、45°、90°的特殊直角三角形之邊長比關係。 ◎能推導正三角形的高與面積公式。 一、三角形的三邊關係： ◎三角形的三邊關係：三角形中任意兩邊的和大於第三邊，任意兩邊差的絕對值小於第三邊。 【說明】如右圖，因為兩點之間以直線距離為最短， 若 a、b、c 是△ABC 的三邊長，可以得到： a＋b＞c…(1) a＋c＞b…(2) b＋c＞a…(3)

由(1)式兩邊同減 b，可得 a＞c－b，即 a＞－(b－c)， 由(2)式兩邊同減 c，可得 a＞b－c， 所以 a＞︳b－c︱。 同理︰由(1)、(3)式可得 b＞︳a－c︱，由(2)、(3)式可得 c＞︳a－b︱。 ◎三線段構成三角形的條件： 任意三條線段，若「最長的線段小於其他兩線段長的和」，則此三條線段就可以構成一個三角形。 【說明】已知長度分別為 a、b、c 的三線段，滿足：a＋b＞c…(1) a＋c＞b…(2) b＋c＞a…(3)

假設這三條線段中，最長線段的長度是 c (即 c≧a，c≧b)，可知第(2)和(3)式一定成立。 再根據下面表格來討論，以三角形SSS作圖方式，觀察如下： 條件 已知三線段 利用 SSS 尺規作圖 是否形成三角形 當 a＋b＜c 時 c a b c 否 當 a＋b＝c 時 c a b c 否 當 a＋b＞c 時 c a b c 是 結論：當 a＋b＞c 時(最長線段的長小於其他兩線段長的和)，則此三線段可以構成三角形。 【觀念釐清】(1)已知一個三角形的三邊長為 3、x、5，則 x 的範圍為 5－3＜x＜5＋3。 (2)已知三線段長 3、4、6，因為 6＜3＋4，所以此三線段可以構成一個三角形。 a b c B A C

練習 1：下列各組的 3 個數分別代表三線段的長度，試問哪幾組數可以構成三角形？ (1) 8，8，12 (2) 7，8，15 (3) 6，6，9 (4) 5，16，9 (5) 7，7，7 練習 2：如果 2、11 是一個三角形的兩邊長，且第三邊的邊長是整數，則第三邊的長度可能是多少？ 練習 3：有一個三角形的頂點分別為甲、乙、丙，三點間的距離記錄如下表，表中部分被水漬所弄髒， 使得丙到甲的距離無法辨識。已知弄髒的部分為一整數，則此數可能是哪些整數？ 甲到乙 乙到丙 丙到甲 距離(公尺) 2.5 6.8 練習 4：如右圖，已知 AB ＝BC＝15， AD ＝14，CD＝19，則AC的範圍為何？ (Hint：作圖判斷，取交集。) 練習 5：如右圖，四邊形 ABCD 中， AB ＝12，BC＝6，CD＝10， AD ＝7， 若AC的長度為一正整數，則其可能的最大值與最小值分別為多少？ 練習 6：已知三線段長分別為 (x－2)、(x＋1)、(x＋6)，若此三線段可以構成一個三角形， 則x 的範圍為何？ 練習 7：已知三線段的長為 a、(7－a)、(8－a)，若此三線段可以構成一個三角形，則 a 的範圍為何？ 二、三角形的邊角關係： (1)在一個三角形中，等邊對等角，等角對等邊。 (2)在一個三角形中，若兩邊不相等，則大邊對大角。 (3)在一個三角形中，若兩角不相等，則大角對大邊。

例如：在△ABC中，(1)若 a＞b，則∠A＞∠B。(2)若∠A＞∠B，則 a＞b。

B C D 15 14 19 15 A B C D 12 7 10 6 A B A C b a

【說明】等邊對等角、等角對等邊： 由等腰三角形的性質，如下圖，在△ABC 中， (1)若 ¯AB ＝ ¯AC，則∠C＝∠B，即若三角形兩邊相等，則它們所對的角必相等。 (2)若∠C＝∠B，則 ¯AB＝ ¯AC，即若三角形兩角相等，則它們所對的邊必相等。 B C A 大邊對大角：

如下圖，在△ABC 中，當 ¯AB＞ ¯AC時，用摺紙的方式來觀察 ¯AB 的對角∠C 和 ¯AC的對角∠B。 把 ¯AC摺疊到 ¯AB上， AD 是摺痕，因為 ¯AB＞ ¯AC，假設C點落在 ¯AB上的E點。

C D E B A C D E A C B A B 1

因為△ACD ≅ △AED (圖形完全疊合)，得∠C＝ 1∠ ，又∠ ＞∠B ( 11 ∠ 為△BDE的外角)， 所以∠C＞∠B。

大角對大邊：

如下圖，在△ABC中，當∠C＞∠B時，用摺紙的方式來觀察∠C的對邊 ¯AB和∠B的對邊 ¯AC。 把 B 點摺疊到 C 點上， DE 是摺痕。 A B C A E B C D A E B C D 因為△CDE ≅ △BDE (圖形完全疊合)，得DC＝ DB ， 且在△ADC中， AD ＋DC＞AC(三角形兩邊長的和大於第三邊)， 所以 AD ＋ DB ＞AC，即 AB ＞AC。

練習 8：在△ABC中，¯AB＜¯AC，¯AH⊥¯BC且H在¯BC上，則

(1)∠B與∠C的大小關係為何？ (2)∠BAH與∠CAH的大小關係為何？

練習 9：△ABC中，已知 AB ＝BC，且¯AC最短，試比較∠A、∠B、∠C的大小。 (1)∠C ∠A。(2)∠B ∠C。(在空格中填入＞、＝或＜)

練習 10：△ABC中，已知 1∠ 、∠2、∠3分別為∠A、∠B、∠C的外角，若BC＞CA＞ AB ， 則∠ 、∠2、∠3的大小關係為何？ 1 練習 11：如右圖，甲、乙兩人在同一水平面上溜冰，且乙在甲 的正東方200公尺處。已知甲、乙分別以東偏北70°、 西偏北60°的方向直線滑行，而後兩人剛好相遇，然後 停止滑行。則甲、乙的滑行距離是否都超過200公尺？ 哪一人滑行的距離比較遠？ 練習 12：如右圖，在四邊形ABCD中，∠DAB＝70°，∠DBA＝65°， ∠DBC＝60°，∠DCB＝55°，則 DA 、 DB 、DC的大小關係為何？ ◎樞紐定理與逆樞紐定理：已知兩個三角形的兩組對應邊分別對應相等。 (1)樞紐定理：若這兩邊的夾角不相等，則較大的夾角所對的邊也較大。 (2)逆樞紐定理：若第三邊不相等，則較大的第三邊所對的夾角也較大。 例如：下圖中，(1)若∠ ＞1 ∠ ，則 c＞d。(2)若 c＞d，則 12 ∠ ＞∠ 。 2 a c _d b a b 1 2 【說明】先觀察下圖，可以發現：當∠A 張開的越大時， ¯BC的距離會隨著增加；反過來看，當 ¯BC的 距離增加時，∠A 張開的度數也會增加。 B A C B A C B A C 例如：在△ABC與△DEF中，已知AB ＝ DE 、AC＝ DF ， (1)若∠ ＜1 ∠ ，則 c＜d。(2)若 c＜d，則 12 ∠ ＜∠ 。 2 B C a b c d E _F a b 1 2 D A C D B A 55° 65° 70° 60° N 乙 甲 70° 60°

練習 13：如下圖，已知直角△ABC 中， AB ＝8、BC＝6、AC＝10，若△DEF 中，∠E 為鈍角， 且DE ＝8、 EF ＝6，則 DF 的範圍可能為何？ B C 8 10 6 A E F 8 6 D 三、直角三角形的邊角關係： ◎直角三角形45°－45°－90°的三邊關係：45°－45°－90°三個內角的對應邊長比為 1：1： 2 。

45°

1

1

2

45°

【說明】如右圖，直角△ABC中，已知∠A＝45°，∠B＝45°， 因為∠A＝∠B，所以AC＝BC，設AC＝a， 由畢氏定理可知，AB ＝ AC 2＋ BC 2 ＝ a2＋a2 ＝ 2a， 所以AC：BC： AB ＝a：a： 2a＝1：1： 2。 練習 14：如右圖，△ABC、△ACD 與△ADE 均為等腰直角三角形， 若 AB ＝1，則 AE ＝？ ◎直角三角形 30°－60°－90°的三邊關係：30°－60°－90°三個內角的對應邊長比為 1： 3 ：2。 3 60° 2 1 30° 【說明】把兩個全等且三個內角為 30°、60°、90°的三角板拼合在一起時，正好會變成一個正三角形。 如右圖，△ABC是由兩個全等的直角三角形所拼成的， 已知∠BAD＝30°，∠B＝60°，設 AB ＝a， 因為BD ＝CD＝1 2BC＝ 1 2AB ＝ 1 2a， 所以 AD ＝ AB 2

－

BD 2 ＝ a2

－

(1 2a) 2 ＝ 3 4a 2 ＝ 3 2 a。 得 BD ： AD ： AB ＝1 2a： 3 2 a：a＝1： 3：2。 B A C 45° 45° C B D E A 1 C B D A a 60° 30°

B A a C D 練習 15：如右圖，已知△ABC 中，∠A＝30°，∠B＝60°，若 AC ＝6， 則(1)BC＝？ (2) AB ＝？ ◎正三角形的高與面積公式：若正三角形的邊長為 a，則正三角形的高為 3 2 a，面積為 3 4 a 2_。 【說明】如右圖，已知△ABC 為正三角形，邊長為 a。 可知正△ABC的高 AD ＝ a2

－

(1 2a) 2 ＝ 3 4a 2 ＝ 3 2 a， 所以正△ABC的面積＝1 2× BC × AD ＝ 1 2×a× 3 2 a＝ 3 4 a 2_。 練習 16：已知一正△ABC 的邊長為 6 公分，則此正△ABC 的高為多少？面積為何？ 自我評量 1. 下列各組的 3 個數分別代表三線段的長度，試問哪幾組數可以構成三角形？ (1) 2，3，4 (2) 4，6，10 (3) 1 2， 3 5，1 (4) 1， 3 ，3 2. △ABC 中，若∠A＝50°，∠B＝60°，則 ¯AB 、 ¯BC 、 ¯CA 三邊中， 最長的邊為 ，最短的邊為 。 3. △ABC 中，若 ¯AB ＝5， ¯BC ＝6， ¯ CA ＝7，則∠A、∠B、∠C 三內角中， 最大的角為 ，最小的角為 。 4. (1)某等腰三角形的三邊長分別為 3、x、7，則 x 的值為多少？ (2)某等腰三角形的三邊長分別為 4、y、7，則 y 的值可能為多少？ C B A 60° 30° 6

F E A B C D 30° 30° 30°30° 1 5. 如下圖，△ABC中， AD 垂直BC於D點，已知CD＝10 3 ，∠B＝45°，∠C＝30°，則 AB ＝？ B D C A 30° 45° 6. 如右圖，△ABC、△ACD、△ADE與△AEF都是三內角 為30°、60°、90°的直角三角形，若BC＝1，則 AF ＝？ 習作 1. 下列四組數中，哪幾組數不可能是△ABC 的三邊長？ (1)AB ＝2、BC＝5、CA＝2 (2)AB ＝1、BC＝1、CA＝ 2 (3) AB ＝1、BC＝1、CA＝2 (4)AB ＝0.4、BC＝0.6、CA＝0.4 2. 若△ABC 中， AB ＝12，BC＝9，若AC的長度為整數，則△ABC 的周長可能是多少？ 3. 如右圖，△ABD 中，C 為 BD 的中點，連接AC並延長至 E 點， 使得AC＝CE，連 BE 。若 AB ＝14，AC＝10，則 AD 長度的 範圍為何？ 4. 如右圖，四邊形ABCD 中，若∠DAB＝68°，∠ADB＝60°，∠BDC＝60°， ∠DBC＝63°。則 AB 、BC、CD、 AD 四邊的大小關係為何？ A E B D C A B C D 60° 60° 63° 68°

5. 如右圖，△ABC 中， AD ⊥BC，已知∠B＝45°，∠C＝60°， 且AC＝4，則(1) AD ＝？ (2) AB ＝？ 6. 已知一正三角形的邊長為 8 公分，則此正三角形的高為多少公分？面積為多少平方公分？ 7. 如右圖，△ABC 為直角三角形，∠C＝90°，∠B＝30°， AD 平分∠BAC， BD ＝8， 則(1) AB ＝？ (2)△ABD 的面積：△ACD 的面積＝？ 8. 有一條繩子長 12 公分，想要將此繩圍成一個邊長都是整數的三角形，且其中有兩邊長相差 3 公分， 則所圍成三角形的三邊長分別為多少？ 類題補充

1. △ABC 中，若 ¯AB ＝9， ¯BC ＝14， ¯CA ＝12，則△ABC 為 三角形。(Hint：考慮邊長平方和)

2. 如右圖，已知正六邊形ABCDEF 由六塊邊長為 2 的正三角形拼成， 且 ¯DF ⊥ ¯OE ，則 ¯DF ＝ ，正六邊形 ABCDEF 的面積為 。 A B D C A B D C A F C D B E O

3. 如右圖， ¯AC ＝ ¯BC ＝4，且∠C＝120°， 則 ¯AB ＝ ，△ABC 的面積為 。 4. 如下圖，∠PAC＝30°，∠PBC＝60°，∠PDC＝45°，且PC⊥ AD 於 C 點， 則△PAB、△PBC、△PCD 的面積比為 。 A B C D P 5. 設三角形的三邊長為 4、9、x，則 (x－15)2.＋ (x－3)2. ＝ 。

6. 如右圖，△ABC 中，∠A＝30°，且AB ＝AC＝6，則△ABC 的面積為何？

7. 如圖，∠ABD＝30°，∠ACD＝45°，∠ADC＝90°，若BC＝10，則 AD ＝？ 8. 如下圖，若∠BAD＞∠EAC， ¯AB ＝ ¯AD ， ¯AC ＝ ¯AE ，則 ¯BC ¯DE 。(填入＞、＝或＜) A B D C E 9. 已知坐標平面上兩點A(2 , 3)、B(8 , 5)，在x軸上找一點P，使得 ¯PA ＋¯PB 最小，則 ¯PA ＋¯PB 最小值 為 。 A B C A B C 30° A B C D

加強練習 1. 若△ABC 的三邊長為 7、13、x，那麼 x 可能的整數值有多少個？ 2. 如右圖，在三角錐OABC 中，∠OAB＝75°，∠AOB＝65°， ∠BOC＝61°，∠OCB＝59°，試問 ¯OA 、 ¯OC 、 ¯AB 、 ¯BC 四邊中， 哪一個邊最短？ (A) ¯OA (B) ¯OC (C) ¯AB (D) ¯BC 。 3. 在△ABC 中，已知¯AB ＝7、 ¯BC ＝9，試問∠C是銳角、直角或鈍角？ 4. 在△ABC 中，若 ∠A 4 ＝ ∠B 5 ＝ ∠C 6 ，則哪一條線段最長？ (A) ¯AB (B) ¯BC (C) ¯CA (D)無法確定 5. 在△ABC 中，設三邊 ¯AB 、 ¯BC 、 ¯AC 上的高分別為 ¯CF 、 ¯AD 、 ¯BE ，若∠A＞∠B＞∠C， 則下列何者正確？ (A) ¯CF 最長 (B) ¯AD 最長 (C) ¯BE 最長 (D)無法決定。 6. △ABC 中，∠A 的外角為 150°，2∠B＝3∠C，則下列何者正確？ (A) ¯AC ＞ ¯BC ＞ ¯AB (B) ¯AC ＞ ¯AB ＞ ¯BC (C) ¯AB ＞ ¯BC ＞ ¯AC (D) ¯BC ＞ ¯AC ＞ ¯AB 。 7. 下列敘述何者正確？

(A) △ABC 中，∠A＋∠B 必定大於∠C (B) △ABC 中，∠B＞∠C，則 ¯AB ＞ ¯AC (C) △ABC 中， ¯AC ＞ ¯AB ，則∠A＞∠B (D) △ABC 中， ¯AB ＋ ¯BC ＞ ¯AC

8. 頂角 120° 的等腰三角形面積為 16 3cm2，則此三角形的周長為 cm。 9. 已知一正三角形的高為 2 3 公分，則此正三角形的邊長為 公分，面積為 平方公分。 10. △ABC 中，∠B 的外角＞∠A 的外角＞∠C 的外角，則 ¯AB 、 ¯BC 、 ¯AC 何者最短？ 11. 有四線段的長度分別為 24 公分、28 公分、32 公分、36 公分，用這四線段可以做成幾種不全等的 三角形？ 12. 若a、a、8 3 為三角形的三邊長，a 為正整數，則 a 的最小值是多少？ 13. △ABC 中，若∠A＜45°、∠B＜45°，則下列何者正確？ (A) ¯BC ＞ ¯AC (B) ¯BC ＞ ¯AB (C) ¯AC 最長 (D)△ABC 為鈍角三角形。 14. 若 5、16、x 是等腰三角形的三邊長，則 x＝？ (A) 5 (B) 16 (C) 5 或 16 (D)無法確定。 15. △ABC 中，已知∠A、∠B、∠C 的平分線相交於 O 點，若 ¯AB ＞ ¯BC ＞ ¯CA ，則 ¯OA 、 ¯OB 、 ¯OC 的大小順序為何？ (A) ¯OA ＞ ¯OB ＞ ¯OC (B) ¯OC ＞ ¯OB ＞ ¯OA (C) ¯OB ＞ ¯OA ＞ ¯OC (D) ¯OA ＞ ¯OC ＞ ¯OB 。 16. 在△ABC 中，若∠C＞∠B＞∠A， ¯BC ＝12、 ¯AB ＝20， ¯AC 為整數，則 ¯AC ＝？ (A) 11 (B) 19 (C) 21 (D) 23。 17. 有四條線段分別為 9 公分、18 公分、27 公分和 36 公分，移去哪一線段之後，剩下的三段可以圍成 一個三角形？ (A) 9 公分 (B) 18 公分 (C) 27 公分 (D) 36 公分。 18. 在△ABC 中，若 2∠A：3∠B＝8：9，2∠B：∠C＝8：5，則 ¯AB 、 ¯BC 、 ¯AC 大小關係為何？ 19. 如下圖，△ABC 中， ¯CD ＝ ¯BD ，∠A＝40°，∠BCD＝59°，則 ¯AB ¯AC ， ¯CD ¯BC 。 (填入＞、＝或＜) B A C D 40° 59° 20. 若 4x－1、x＋2、8－x 是一等腰三角形的三邊長，則 x＝ 。

21. 有一三角形的三邊長分別為a、b、c，則 (a－b－c)2＋(a－b＋c)－｜a－b－c｜＝ 。 22. △ABC 中， ¯AB ＝9， ¯AC ＝7，若∠A 為鈍角，且 ¯BC 為整數，則 ¯BC 的長度可能有幾個？ A B C O 75° 65° 61° _59°

Ans：1. 13 個；2.(A)；3.銳角；4.(A)；5.(A)；6.(B)；7.(D)；8.16 8 3+ ；9. 4， 4 3 ；10. ¯AC ； 11. 4 種；12. 7；13.(D)；14.(B)；15.(C)；16.(B)；17.(A)；18. ¯BC ＞ ¯AB ＞ ¯AC ；19.＞，＜； 20.9

5；21. a－b＋c；22. 4 個。 心得筆記