正方形（提高）巩固练习
【巩固练习】 一.选择题
1. 如图，将一边长为 12 的正方形纸片 ABCD 的顶点 A 折叠至 DC 边上的点 E，使 DE＝5，折痕为 PQ，则 PQ 的长为( ) A.12 B.13 C.14 D.15 2.（2015•南湖区一模）将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形 ABCD，转动这个四边形，使 它形状改变．当∠B=90°时（如图甲），测得对角线 BD 的长为 ．当∠B=60°时（如图乙），则对角线 BD 的长为（ ） A. B. C. 2 D. 3. 如图，点O(0,0)，B(0,1)是正方形OBB C 的两个顶点，以它的对角线1 OB 为一边作正方形1 OB B C ，以1 2 1 正方形OB B C 的对角线1 2 1 OB 为一边作正方形2 OB B C ，再以正方形2 3 2 OB B C 的对角线2 3 2 OB 为一边作正3 方形OB B C3 4 3，…，依次进行下去，则点
B
6的坐标是（ ） A．( 8,0) B．(0, 8) C．( 4 2,0) D．( 8 2,0) 4. （2016 春•嘉祥县期中）如图，正方形 ABCD 的边长为 8，在各边上顺次截取 AE=BF=CG=DH=5，则四边形A．30 B．34 C．36 D．40
5. 如图，四边形 ABCD 中，AD＝DC，∠ADC＝∠ABC＝90°，DE⊥AB，若四边形 ABCD 面积为 16，则 DE 的长 为（ ） A．3 B．2 C．4 D．8 6. 正方形 ABCD，正方形 BEFG 和正方形 RKPF 的位置如图所示，点 G 在线段 DK 上，且 G 为 BC 的三等分点， R 为 EF 中点，正方形 BEFG 的边长为 4，则△DEK 的面积为（ ） A．10 B．12 C．14 D．16 二.填空题
7．延长正方形 ABCD 的 BC 边至点 E，使 CE＝AC，连结 AE，交 CD 于 F，那么∠AFC 的度数为______，若 BC ＝4
cm
，则△ACE 的面积等于______．8． 在正方形 ABCD 中，E 为 BC 上一点，EF⊥AC，EG⊥BD，垂足分别为 F、G，如果
AB
5
2
cm
，那么 EF ＋EG 的长为______．9．已知：如图，△ABC 中，∠ACB＝90°，点 O 为△ABC 的三条角平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB， 点 D，E，F 分别是垂足，且 BC＝8
cm
，CA＝6cm
，则点 O 到三边 AB，AC 和 BC 的距离分别等于______cm
．10.如图所示，直线
a
经过正方形 ABCD 的顶点 A，分别过顶点 B、D 作 DE⊥a
于点 E、BF⊥a
于点 F，若 DE ＝4，BF＝3，则 EF 的长为_____.11.点 P 是正方形 ABCD 边 AB 上一点（不与 A、B 重合），连接 PD 并将线段 PD 绕点 P 顺时针旋转 90°，得 线段 PE，连接 BE，则∠CBE＝_____° 12.（2015•潮南区一模）如图所示，如果以正方形 ABCD 的对角线 AC 为边作第二个正方形 ACEF，再以 AE 为 边作第三个正方形 AEGM，…已知正方形 ABCD 的面积 S1=1，按上述方法所作的正方形的面积依次为 S2， S3，…Sn（n 为正整数），那么第 8 个正方形面积 S8= ． 三.解答题
13．（2015•西城区二模）如图，将正方形 OABC 放在平面直角坐标系 xOy 中，O 是原点，若点 A 的坐标为（1， ），则点 C 的坐标？
14.（2016•崂山区一模）已知：如图，E 是正方形 ABCD 的对角线 BD 上的点，连接 AE、CE． （1）求证：AE=CE；
（2）若将△ABE 沿 AB 对折后得到△ABF；当点 E 在 BD 的何处时，四边形 AFBE 是正方形？请证明你的结论．
15．如图，在边长为 4 的正方形 ABCD 中，点 P 在 AB 上从 A 向 B 运动，连结 DP 交 AC 于点 Q． (1)试证明：无论点 P 运动到 AB 上何处时，都有△ADQ≌△ABQ； (2)当点 P 在 AB 上运动到什么位置时，△ADQ 的面积是正方形 ABCD 面积的
6
1
； (3)若点 P 从点 A 运动到点 B，再继续在 BC 上运动到点 C，在整个运动过程中，当点 P 运动到什么位置 时，△ADQ 恰为等腰三角形．【答案与解析】 一.选择题 1.【答案】B； 【解析】过 P 作 PF⊥BC 于 F，可证△PFQ≌△ADE，则 PQ＝
12 5
2
2
13
. 2.【答案】B； 【解析】解：如图甲， ∵AB=BC=CD=DA，∠B=90°， ∴四边形 ABCD 是正方形， 连接 BD，则 AB2 +AD2 =BD2 ， ∴AB=AD=1， 如图乙，∠B=60°，连接 BD， ∴△ABD 为等腰三角形，∠ABD=30°， ∴AB=AD=1， ∴BD= 故选 B． 3.【答案】A； 【解析】B
2(2,0)
，B
4(0, 4)
，B
6( 8,0)
. 4.【答案】B； 【解析】解：∵四边形 ABCD 是正方形， ∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=DA， ∵AE=BF=CG=DH， ∴AH=BE=CF=DG． 在△AEH、△BFE、△CGF 和△DHG 中， ， ∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG（SAS）， ∴EH=FE=GF=GH，∠AEH=∠BFE， ∴四边形 EFGH 是菱形，∴∠HEF=90°， ∴四边形 EFGH 是正方形， ∵AB=BC=CD=DA=8，AE=BF=CG=DH=5， ∴EH=FE=GF=GH= = ， ∴四边形 EFGH 的面积是： × =34， 故选 B． 5.【答案】C； 【解析】如图，过点 D 作 BC 的垂线，交 BC 的延长线于 F，利用互余关系可得∠A＝∠FCD，又∠AED＝∠F ＝90°，AD＝DC，利用 AAS 可以判断△ADE≌△CDF，∴DE＝DF，
S
四边形ABCD＝S
正方形DEBF＝16，DE ＝4．6.【答案】D；
【解析】连 DB，GE，FK，则 DB∥GE∥FK，再根据 G 为 BC 的三等分点，R 为 EF 中点，正方形 BEFG 的边长 为 4 可求出
S
△DGE
S
△GEB ，S
△GKE
S
△GFE，再由S
阴影
S
正方形GBEF即可求出答案．二.填空题 7．【答案】112.5°，8
2
cm
2； 【 解 析 】 ∠ AEC ＝ ∠ CEA ＝180 135 22.5
2
° ， ∠ AFC ＝ 90 ° ＋ 22.5 ° ＝ 112.5 ° ， 面 积 等 于 21 4 2 4 8 2
2
cm
. 8．【答案】5cm
； 【解析】AC＝BD＝5 2
2 10
，EF＋EG＝1
2
BD＝5. 9．【答案】2；【解析】OD＝OE＝OF，可知四边形 ODCE 是正方形，设 CD＝CE＝
x
，BD＝BF＝y
，AE＝AF＝z
，所以x y
8
，10
y z
，x z
6
，解得x
2
，即 O 点到三边的距离. 10.【答案】7；【解析】因为 ABCD 是正方形，所以 AB＝AD，∠ABC＝∠BAD＝90°，则有∠ABF＝∠DAE，又因为 DE⊥
a
、 BF⊥a
，根据 AAS 易证△AFB≌△AED，所以 AF＝DE＝4，BF＝AE＝3，所以 EF＝7．11.【答案】45； 【解析】过 E 点作 EF⊥AB 的延长线于 F，易证△ADP≌△FPE；BF＝EF，所以∠CBE＝∠EBF＝45°. 12.【答案】128； 【解析】根据题意可得：第 n 个正方形的边长是第（n﹣1）个的 倍；故面积是第（n﹣1）个的 2 倍， 已知第一个面积为 1；则那么第 8 个正方形面积 S8=2 7 =128． 故答案为 128． 三.解答题 13.【解析】
解：作 AD⊥轴于 D，作 CE⊥x 轴于 E，如图所示： 则∠ADO=∠OEC=90°， ∴∠1+∠2=90°， ∵点 A 的坐标为（1， ）， ∴OD=1，AD= ， ∵四边形 OABC 是正方形， ∴∠AOC=90°，OC=AO， ∴∠1+∠3=90°， ∴∠3=∠2， 在△OCE 和△AOD 中， ， ∴△OCE≌△AOD（AAS）， ∴OE=AD= ，CE=OD=1， ∴点 C 的坐标为（﹣ ，1）. 14.【解析】 （1）证明：∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AB=CB，∠BAD=∠ABC=90°，∠ABE=∠CBE=45°，
， ∴△ABE≌△CBE（SAS）， ∴AE=CE． （2）解：点 E 在 BD 的中点时，四边形 AFBE 是正方形；理由如下： 由折叠的性质得：∠F=∠AEB，AF=AE，BF=BE， ∵∠BAD=90°，E 是 BD 的中点， ∴AE= BD=BE=DE， ∵AE=CE， ∴AE=BE=CE=DE=AF=BF，
∴四边形 AFBE 是菱形，E 是正方形 ABCD 对角线的交点， ∴AE⊥BD， ∴∠AEB=90°， ∴四边形 AFBE 是正方形． 15．【解析】 (1)证明：∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AD＝AB，∠DAC＝∠BAC＝45°，AQ＝AQ ∴△ADQ≌△ABQ（SAS）； (2)以 A 为原点建立如图所示的直角坐标系，过点 Q 作 QE⊥
y
轴于点 E，QF⊥x
轴于点 F．2
1
AD×QE＝6
1
ABCDS
正方形 ＝3
8
∴QE＝3
4
∵点 Q 在正方形对角线 AC 上 ∴Q 点的坐标为)
3
4
,
3
4
(
∴过点 D(0，4)，)
3
4
,
3
4
(
Q
两点的函数关系式为：y
2
x
4
，当y
＝0 时，x
＝2，即 P 运动到 AB 中点时，△ADQ 的面积是正方形 ABCD 面积的6
1
；(3)若△ADQ 是等腰三角形，则有 QD＝QA 或 DA＝DQ 或 AQ＝AD
①当点 P 运动到与点 B 重合时，由四边形 ABCD 是正方形知 QD＝QA 此时△ADQ 是等腰三角形； ②当点 P 与点 C 重合时，点 Q 与点 C 也重合，此时 DA＝DQ，△ADQ 是等腰三角形； ③如图，设点 P 在 BC 边上运动到 CP＝
