《一元二次方程》全章复习与巩固—知识讲解（提高）
【学习目标】 1.了解一元二次方程及有关概念； 2.掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程； 3.掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法． 【知识网络】 【要点梳理】 要点一、一元二次方程的有关概念 1. 一元二次方程的概念： 通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是 2(二次)的整式方程，叫做一元 二次方程． 2. 一元二次方程的一般式： 3.一元二次方程的解： 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根. 要点诠释： 判断一个方程是否为一元二次方程时，首先观察其是否是整式方程，否则一定不是一元二次方程 ； 其次再将整式方程整理化简使方程的右边为 0，看是否具备另两个条件：①一个未知数；②未知数的最 高次数为 2. 对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为 0． 要点二、一元二次方程的解法1．基本思想 一元二次方程
降次 一元一次方程 2．基本解法 直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法． 要点诠释： 解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解 法，再考虑用公式法． 要点三、一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 1.一元二次方程根的判别式 一元二次方程ax
2
bx
c
0
(
a
0
)
中，ac
b
2
4
叫做一元二次方程ax
2
bx
c
0
(
a
0
)
的 根的判别式，通常用“
”来表示，即
b
2
4
ac
. （1）当△>0 时，一元二次方程有 2 个不相等的实数根； （2）当△=0 时，一元二次方程有 2 个相等的实数根； （3）当△<0 时，一元二次方程没有实数根. 2.一元二次方程的根与系数的关系 如果一元二次方程ax
2
bx
c
0
(
a
0
)
的两个实数根是 2 1x
x
，
， 那么a
b
x
x
1
2
，a
c
x
x
1 2
. 注意它的使用条件为 a≠0， Δ≥0. 要点诠释： 1.一元二次方程 的根的判别式正反都成立．利用其可以解决以下问题： (1)不解方程判定方程根的情况； (2)根据参系数的性质确定根的范围； (3)解与根有关的证明题． 2. 一元二次方程根与系数的应用很多： (1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数； (2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数； (3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程． 要点四、列一元二次方程解应用题 1.列方程解实际问题的三个重要环节： 一是整体地、系统地审题； 二是把握问题中的等量关系； 三是正确求解方程并检验解的合理性. 2.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.3.解决应用题的一般步骤： 审 (审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)； 设 (设未知数，有时会用未知数表示相关的量)； 列 (根据题目中的等量关系，列出方程)； 解 (解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)； 验 (检验方程的解能否保证实际问题有意义）； 答 (写出答案，切忌答非所问). 4.常见应用题型 数字问题、平均变化率问题、利息问题、利润(销售)问题、形积问题等. 要点诠释： 列方程解应用题就是先把实际问题抽象为数学问题（列方程），然后由数学问题的解决而获得对 实际问题的解决. 【典型例题】
类型一、一元二次方程的有关概念
1．已知（m－1）x|m|+1+3x－2＝0 是关于 x 的一元二次方程，求 m 的值. 【答案与解析】 依题意得|m|+1＝2，即|m|＝1， 解得 m＝±1， 又∵m－1≠0，∴m≠1， 故 m＝－1. 【总结升华】依题意可知 m－1≠0 与|m|+1＝2 必须同时成立，因此求出满足上述两个条件的 m 的值 即可. 特别是二次项系数应为非零数这一隐含条件要注意. 举一反三： 【变式】若方程 2(
m
2)
x
m
3
mx
1 0
是关于x
的一元二次方程，求 m 的值． 【答案】 根据题意得 22,
2 0,
m
m
解得 所以当方程 2(
m
2)
x
m
3
mx
1 0
是关于x
的一元二次方程时，2
m
．类型二、一元二次方程的解法
2．解下列一元二次方程． (1)4(
x
3)
2
25(
x
2)
2
0
； (2)5(
x
3)
2
x
2
9
； (3)(2
x
1)
2
4(2
x
1) 4 0
． 【答案与解析】(1)原方程可化为：
[2(
x
3)]
2
[5(
x
2)]
2
0
， 即(2x-6)2-(5x-10)2＝0， ∴ (2x-6+5x-10)(2x-6-5x+10)＝0， 即(7x-16)(-3x+4)＝0， ∴ 7x-16＝0 或-3x+4＝0，∴ 116
7
x
， 24
3
x
． (2)5(
x
3)
2
(
x
3)(
x
3)
，5(
x
3)
2
(
x
3)(
x
3) 0
， ∴ (x-3)[5(x-3)-(x+3)]＝0， 即(x-3)(4x-18)＝0，∴ x-3＝0 或 4x-18＝0， ∴x
1
3
， 29
2
x
． (3)(2
x
1)
2
4(2
x
1) 4 0
， ∴(2
x
1 2)
2
0
．即(2
x
3)
2
0
， ∴ 1 23
2
x
x
． 【总结升华】 (1)方程左边可变形为 2 2[2(
x
3)]
[5(
x
2)]
，因此可用平方差公式分解因式； (2)中方程右边分解后为(x-3)(x+3)，与左边中的(x-3)2有公共的因式， 可移项后提取公因式(x-3)后解题； (3)的左边具有完全平方公式的特点，可用公式变为(2x+1+2)2＝0 再求解． 举一反三： 【变式】解方程： (1)3x+15＝-2x2-10x； (2)x2-3x＝(2-x)(x-3)． 【答案】 (1)移项，得 3x+15+(2x2+10x)＝0，∴ 3(x+5)+2x(x+5)＝0， 即(x+5)(3+2x)＝0，∴ x+5＝0 或 3+2x＝0， ∴x
1
5
， 23
2
x
． (2)原方程可化为 x(x-3)＝(2-x)(x-3)，移项，x(x-3)-(2-x)(x-3)＝0， ∴ (x-3)(2x-2)＝0，∴ x-3＝0 或 2x-2＝0， ∴x
1
3
，x
2
1
．类型三、一元二次方程根的判别式的应用
3．关于 x 的方程(
a
5)
x
2
4
x
1 0
有实数根．则 a 满足（ ） A．a≥1 B．a＞1 且 a≠5 C．a≥1 且 a≠5 D．a≠5【答案】A； 【解析】①当
a
5 0
，即a
5
时，有
4
x
1 0
，1
4
x
，有实数根； ②当a
5 0
时，由△≥0 得( 4)
2
4 (
a
5) ( 1) 0
，解得a
1
且a
5
． 综上所述，使关于 x 的方程(
a
5)
x
2
4
x
1 0
有实数根的 a 的取值范围是a
1
． 答案：A 【总结升华】注意“关于 x 的方程”与“关于 x 的一元二次方程”的区别，前者既可以是一元一次方程，也 可以是一元二次方程，所以必须分类讨论，而后者隐含着二次项系数不能为 0． 4．k
为何值时，关于 x 的二次方程 26
9 0
kx
x
（1）k
满足 时,方程有两个不等的实数根； （2）k
满足 时,方程有两个相等的实数根； （3）k
满足 时,方程无实数根. 【答案】（1）k
＜，且
1
k
0
；（2）k
1
；（3）k
＞
1
. 【解析】求判别式，注意二次项系数的取值范围. 【总结升华】根据判别式
b
2
4
ac
及 k≠0 求解.类型四、一元二次方程的根与系数的关系
5．（2016•凉山州）已知 x1、x2是一元二次方程 3x2=6 2x﹣ 的两根，则 x1﹣x1x2+x2的值是（ ） A． B． C． D． 【思路点拨】由 x1、x2是一元二次方程 3x2=6 2x﹣ 的两根，结合根与系数的关系可得出 x1+x2=﹣ ，x1•x2= 2﹣ ，将其代入 x1﹣x1x2+x2中即可算出结果． 【答案】D． 【解析】 解：∵x1、x2是一元二次方程 3x2=6 2x﹣ 的两根， ∴x1+x2=﹣ =﹣ ，x1•x2= = 2﹣ ， ∴x1﹣x1x2+x2=﹣ ﹣（﹣2）= ． 故选 D． 【总结升华】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是得出 x1+x2=﹣ ，x1•x2= 2﹣ ．本题属于基础 题，难度不大，解决该题型题目时，根据根与系数的关系得出两根之和与两根之积是关键． 举一反三： 【变式】已知关于 x 的方程(
k
1)
x
2
(2
k
3)
x k
1 0
有两个不相等的实数根 1x
、x
2．(1)求 k 的取值范围； (2)是否存在实数 k，使方程的两实数根互为相反数?如果存在，求出 k 的值；如果不存在， 请说明理由． 【答案】(1)根据题意，得△＝(2k-3)2-4(k-1)(k+1)＝
