2−1 直角坐標平面
一、直角坐標平面與坐標表示法： ◎數對：通常用(a , b)來描述點在平面上的位置，像(a , b)這種含有一對(兩個)數的表示方式稱為數對。 ◎直角坐標平面：由兩條互相垂直且有共同交點(原點 O)的數線所構成的平面稱為直角坐標平面。 【說明】如下圖，在平面上畫出兩條互相垂直且有共同原點 O 的數線，這兩條數線所在的平面稱為 直角坐標平面，簡稱為坐標平面。水平的數線稱為 x 軸或橫軸，x 軸上向右為正向，向左 為負向；鉛垂的數線稱為 y 軸或縱軸，y 軸上向上為正向，向下為負向。其中 x 軸和 y 軸 也稱為坐標軸，兩軸的交點稱為這個直角坐標平面的原點，通常以 O 表示。 ◎坐標平面上點的坐標表示法： 若數對(m , n)表示 P 點的位置，(m , n)就稱為 P 點的坐標，記作 P(m , n)。其中 m 稱為 P 點的 x 坐標 或橫坐標，n 稱為 P 點的 y 坐標或縱坐標，│m│為 P 點到 y 軸的距離，│n│為 P 點到 x 軸的距離。 例如：以 A(－3 , 2)表示 A 點坐標，則－3 為 A 點的 x 坐標，2 為 A 點的 y 坐標；A 點到 x 軸的距離 是 2，到 y 軸的距離是 3。 【說明】在坐標平面上，從 O 出發，先沿著 x 軸的正向向右走 4 單位，到達 P 點；再從 P 點開始， 朝著 y 軸的正向向上走 3 單位，到達 A 點，可以用數對(4 , 3)來表示 A 點的位置，如下圖。 此時 A 點的坐標為(4 , 3)，記作 A(4 , 3)，其中 4 稱為 A 點的 x 坐標或橫坐標，3 稱為 A 點 的 y 坐標或縱坐標。同理，如果從 O 出發，先沿著 x 軸的負向向左走 3 單位，到達 Q 點； 再從 Q 點開始，朝著 y 軸的負向向下走 4 單位，到達 B 點，則 B 點的坐標為(－3 , －4)， 記作 B(－3 , －4)。而原點 O 的坐標記作 O(0 , 0)，且由前面的討論可知： A 點與 x 軸相距 3 單位、與 y 軸相距 4 單位。B 點與 x 軸相距 4 單位、與 y 軸相距 3 單位。 O 1 2 3 2 4 1 －4 －4 －3 －2 －2 －1 －1 y x A(4 , 3) 4 O B(－3 , －4) Q (0 , 0) P 3 －3 練習1：如果數對(2 , －1)表示 P 點的位置，則 (1)P 點的 x 坐標是 ，P 點的 y 坐標是 。 (2)P 點到 x 軸的距離是 ，P 點到 y 軸的距離是 。 y 軸 原點 x 軸 O 1 2 3 －2 －3 －1 2 3 1 y x －3 －1 －2【觀念釐清】在坐標平面上，任何一組數對(坐標)都可以找到一個點與它對應。 練習2：在坐標平面上標出下列各點：A(－3 , 4)；B(4 ,－2)；C(－1 23 , －3)。 O 1 1 y x 【觀念釐清】從原點出發，先沿著 x 軸向左走 3 單位，再朝著 y 軸向上走 4 單位，即可找到 A 點。 若從原點出發，先向上走 4 個單位，再向左走 3 個單位，所找到的點也是 A 點。 練習3：(1)在坐標平面上標出下列各點：D(3 ,－2)；E(－2 , 3)；F(－2 ,－4)；G(－3 ,－1 12 )。 (2)承(1)，(3 , －2)與(－2 , 3)所表示的點是否相同？ O 1 1 y x 【觀念釐清】(1)當 m≠n 時，坐標(m , n)和(n , m)所表示的點不相同。 (2)在同一條水平線上的點，其 y 坐標均相同；在同一條鉛垂線上的點，其 x 坐標均相同。 練習4：在坐標平面上標出下列各點：A(3 , 0)；B(－4 , 0)；C(0 , 2)；D(0 ,－3)。 O 1 1 y x
【觀念釐清】(1)坐標為(m , 0)的點都會在 x 軸上，x 軸上任意一點的坐標可以用(m , 0)的形式來表示。 例如：(0.3 , 0)、(－5 , 0)、( 43 , 0)都是 x 軸上的點。 (2)坐標為(0 , n)的點都會在 y 軸上，y 軸上任意一點的坐標可以用(0 , n)的形式來表示。 例如：(0 , 7)、(0 , －2.4)、(0 ,－ 95 )都是 y 軸上的點。 (3)原點的坐標為(0 , 0)，既在 x 軸上，也在 y 軸上。 練習5：在坐標平面上標出下列各點：O(0 , 0)；P(－5 , 0)；Q(0 ,－5)；R(1 , 0)。 O 1 1 y x 練習6：坐標平面上有 P、Q、R、S 四點，試寫出它們的坐標。 S P R Q O y x 1 1 練習7：如右圖，坐標平面上有 A、B、C、D 四點，則 A 點的坐標是 。 B 點的坐標是 。 C 點的坐標是 。 D 點的坐標是 。 C A B O 1 1 y x
練習8：坐標平面上有一點 A(1 , 2)。 (1)若從 A 點出發，向左移 4 單位，到達一點 B，則 B 點的坐標為何？ (2)若從 A 點出發，向上移 2 單位，到達一點 C，則 C 點的坐標為何？ (3)若從 A 點出發，先向右移 3 單位，再向下移 4 單位，到達一點 D，則 D 點的坐標為何？ 練習9：若從點 P(－3 , 5)出發，先下移 6 單位，再左移 3 單位，到達一點 Q，則 Q 點的坐標為何？ 練習10：若從 E 點出發，先右移 6 單位，再下移 3 單位，到達一點 F(4 , －1)，則 E 點的坐標為何？ 練習11：若從 R 點出發，先上移 5 單位，再左移 6 單位，到達一點 S(－3 , 4)，則 R 點的坐標為何？ 練習12：右圖是象棋的棋盤圖，如果將它看成是一個坐標平面， 設 傌 的坐標為(2 , 3)， 兵 的坐標為(1 , 2)，則 (1) 帥 的坐標為何？ 車 的坐標為何？ (2)哪一顆棋子在 x 軸上？其坐標為何？ 練習13：右圖是美國加州迪士尼樂園的部分平面圖， 如果將它看成是一個坐標平面，設小飛象的 坐標為(1 , 1)，小小世界的坐標為(6 , －3)，則 (1)旋轉木馬的坐標為何？ 馬特洪雪橇的坐標為何？ (2)哪一個遊樂設施在 y 軸上？ 傌 兵 相 仕 帥 俥 車 包 旋轉木馬 (1 , 1)小飛象 小小世界 彼得潘飛船 夢幻世界城堡 旋轉咖啡杯 馬特洪雪橇 (6 , －3) y x
二、坐標平面上的象限： 在坐標平面上，x 軸與 y 軸將坐標平面分成四個區域，每個區域都稱為象限，從右上角開始，依 逆時針方向順序，分別稱為第一象限、第二象限、第三象限、第四象限，如下圖。而兩坐標軸是 它們的界線，坐標軸上的點不屬於任何一個象限。 y x 1 1 2 2 3 3 4 4 －4 －3 －2 －1 －4－3 －2 －1 O 第二象限 第三象限 第一象限 第四象限 由上圖可發現： (1)第一象限內任意一點的 x 坐標與 y 坐標都是正數； (2)第二象限內任意一點的 x 坐標都是負數、y 坐標都是正數； (3)第三象限內任意一點的 x 坐標與 y 坐標都是負數； (4)第四象限內任意一點的 x 坐標都是正數、y 坐標都是負數； (5) x 軸上任意一點的 y 坐標都是 0； (6) y 軸上任意一點的 x 坐標都是 0。 ◎各象限點坐標的性質符號：四個象限內的點坐標，各具有如圖所示的性質符號特徵。 y x 第二象限 (－,＋) 第一象限 (＋,＋) 第三象限 (－,－) 第四象限 (＋,－) 練習14：下列各點分別在哪一象限內或在哪一坐標軸上？ A(－5 , 8)、B(7 ,－4)、C( 35 , 3)、D(－2 23 , － 34 )、E(6 , 0)、F(0 , －8) 練習15：下列各點分別在哪一象限內或在哪一坐標軸上？ M(3 , －2)、N(－1 23 , －3)、P(2 12 , 6)、Q(－4 , 5)、S(－2 35 , 0)、T(0 , 13 )
練習16：已知 A(s , t)在第二象限內，則
(1) s 是正數或負數？ t 是正數或負數？ (2) B(t , │s│)、C(－s , st )分別在哪一象限內？
練習17：已知 P(a , b)在第三象限內，則 Q(－a , │b│)、R(－b2 , a)分別在哪一象限內？
自我評量 1. 下圖為一個迷宮，圖中每一小格的邊長皆為 1，代表 1 個單位長，回答下列問題。 (1)試寫出入口及出口的坐標。 (2)迷宮裡有四個地點埋有炸藥 ，試寫出這四個地點的坐標。 (3)迷宮裡有六個地點藏有寶物，分別是 A(3 , 1)、B(－5 , 2)、C(1 , 7)、D(－3 , －6)、E(－1 , 8)、 F(6 , 0)，試在迷宮上標示出這六點。 入口 出口
y
x
O D B A F C E 2. (1)若從 P(－1 , 3)出發，先上移 2 單位，再左移 2 單位，最後到達一點 Q，則 Q 點的坐標為何？ (2)承(1)，若從 R 點出發，先下移 4 單位，再左移 5 單位，最後也到達點 Q，則 R 點的坐標為何？3. 下列各點分別在哪一象限內或在哪一坐標軸上？ 坐標 (－9 , 0) ( 17 , －8) (－4 , －6) (1 , 2) 象限或坐標軸 坐標 (0 , －3) (8, －12) (－14 , 1213) (0 , 100) 象限或坐標軸 4. 如果 s＞0、t＜0，則 A( s t , － t s)、B(－t 2 , st)分別在哪一象限內？ 習作 1. 下圖是小妍家一樓的平面圖。 小妍規畫了客廳的擺設如下， 請幫她在下圖中標示出各點： 花瓶(4 , 1)；時鐘(2 , 5)； 油畫(4.5 , －2)；穿衣鏡(12 , －4)； 懶骨頭(2.5 , 1)；狗屋(2.5 , －4.5)。 2. 試寫出上圖中下列各物體的坐標。 大門： ；電視機： ；冰箱： ；洗衣機： ；餐桌： ； 茶几： 。 3. 右圖是以坐標(1 , 0)為圓心，半徑為 3 所畫出的圓， 此圓與 x 軸交於 C、D 兩點， AB 為直徑且垂直 x 軸， 試求 A、B、C、D 四點的坐標。 C D A B y x 1 1 O
x
y
1 1 茶几 O 餐桌 洗衣機 電視機 大門 冰箱 懶骨頭 ●時鐘 ●花瓶 ●油畫 ●狗屋 ● ●穿衣鏡4. 坐標平面上，P 點的坐標是(4 , －3)，試依下列各條件分別求出各點的坐標。 (1)P 點向右移動 3 單位後，到達 M 點，M 點的坐標為何？ (2)P 點向下移動 5 單位後，到達 N 點，N 點的坐標為何？ (3)P 點向左移動 7 單位，再向上移動 3 單位後，到達 Q 點，Q 點的坐標為何？ 5. 下列各點分別在哪一象限內或在哪一坐標軸上？將答案填入下列空格中。 坐標 (－423 , 9) (6 , 35 ) (0 , －8) 象限或坐標軸 坐標 (－435 , 0) (13 , －15) (－2 , －7) 象限或坐標軸 6. 已知 P(ab , a－b)在坐標平面上的第二象限內，則 a、b 分別是正數或負數？ 7. 已知 A(m , n)在坐標平面上的第四象限內，則下列各點分別在哪一象限內？將答案填入下列空格中。 坐標 (3m , －2n) (n－m , ︱m︱) (m－n , －mn) 象限 坐標 (mn , mn) (m2 , n3) (m1 , 1n ) 象限
8. 坐標平面上有兩個點 A(2a＋1 , b＋5)、B(b＋5 , 3a＋1)，若 A 點左移 4 單位，再上移 3 單位後，A、B 兩點會重合，則 a－b＝？ 9. 如右圖，將火車站看成一坐標平面的原點，並以百貨公司到火車站的方向為 x 軸的正向，以咖啡廳到 火車站的方向為 y 軸的正向，則書局在此坐標平面上的第幾象限？ 百貨公司 火車站 書局 咖啡廳 y x O 二 一 四 三
類題補充
1. 已知一圓以坐標(0 , －1)為圓心，與 y 軸交於 Q(0 , 4)、R(a , b)兩點，則 a－b＝ 。
2. 有一個圓形操場，周長為 200 公尺，將操場中心看成一坐標平面的原點，並以東方為 x 軸的正向， 小明從正東方的操場外圍沿著圓周逆時鐘跑步，跑了 110 公尺後，小明位在第 象限。
3. 設點(a＋2b , 8－a)與點(4 , b＋2)在坐標平面上為同一點，則 a、b 的值分別為何？
4. 若｜a｜＋｜b｜＝｜a＋b｜，則(a , b)不可能落在哪個位置？ (A) x 軸 (B) y 軸 (C)第三象限 (D)第二象限
5. 若 ab＞0，a＋b＜0，則下列哪一點在第四象限？
(A) (a , b) (B) (－a , b) (C) (a , －b) (D) (－a , －b)。
6. 右圖為直角坐標平面的一部分，向左為 x 軸正向、向下為 y 軸正向， 且每一方格均為邊長 1 單位的小正方形，若 A 點坐標為(－2 , 1)，則 這四個點中哪些點在第二象限？
(A) A、B (B) A、B、C、D (C) A、B、D (D) A。
7. 如右圖，已知在直角坐標平面上 P(a , b)、Q(c , d)、R 三點， 若 ¯ PR 垂直 x 軸， ¯ RQ 垂直 y 軸，則 R 點的坐標可表示為 。 A B D C O y x P(a , b) R Q(c , d)
8. 若 A(3 , 0)、B(－3 , 0)、C(k , －3)為坐標平面上三點，其中 k 可為任意數，則△ABC 的面積＝？ 9. 如右圖，坐標平面上有 A(a＋2 , b－3)、B(1－b , 2a＋1)、C 三點。 若 A 先左移 5 單位，再下移 2 單位到達 C；B 先上移 4 單位， 再右移 3 單位也會到達 C。則 C 點坐標為何？ 10. 如右圖，坐標平面上有 A(0 , 3)、B(－2 , 1)、C(2 , －2)、D(4 , 1)四點， 則四邊形 ABCD 的面積為多少？ 11. 若 P 點位於第二象限，且 P 到 x 軸之距離為 2008，到 y 軸之距離為 97，則 P 點坐標為何？ (A) (2008 , －97) (B) (－97 , 2008) (C) (－2008 , 97) (D) (97 , －2008)。 12. 在坐標平面上有一點 A(2k－3 , 3k＋2)，若點 A 不屬於任何象限，則 k＝？ 13. 若 0＜x＜1，則點 P( x－1 x , x＋ 1 x )在第 象限。 14. 已知 A、B 為直角坐標平面上的兩點，其坐標分別為(0 , 7)、(0 , －3)，若另有一點 C 在 x 軸上，且 △ABC 的面積為 25，則 C 點坐標為 。 C B(1－b , 2a＋1) A(a＋2 , b－3) O y x A(0 , 3) D(4 , 1) B(－2 , 1) C(2 , －2)
15. 如右圖，ABCD 是周長為 22 的長方形，且 ¯ AD 平行 x 軸， ¯ CD 平行 y 軸， 則 B 點坐標為 。 16. 坐標平面上有 A(1998 , 1999)、B(1994 , 1995)、C(2002 , 1993)三點，連接這三點形成三角形，則這個 三角形的面積是 。(Hint：平移) 17. 坐標平面上有一點 A(－5 , 6)，若從 A 點開始依下圖的移動方式到達 B 點，則 B 點的坐標為何？ (Hint：x 軸與 y 軸分別考慮) A(－5 , 6) B x y O 1 2 3 4 5 6 7 18. 坐標平面上有兩點 A(5 , －4)，B(－3 , 2)，今把 A 點當作新原點，x 軸、y 軸的正向及單位長皆不變， 則 B 點的新坐標為 。 19. 如下圖，四邊形 ABCD 為一平行四邊形，A 點坐標為(－2 , 5)，B 點坐標為(－5 ,－3)，C 點坐標為 (3 ,－3)，則(1)D 點坐標為何？ (2)此平行四邊形的面積為何？ x y O A(－2 , 5) D B(－5 , －3) C(3 , －3)
x
y
O A(－2 , 3) C B D(4 , 3)加強練習 1. 坐標平面上有四個點 A(－4 , 0)、B(3 , －5)、C(－1 , －6)、D(0 , －5)，下列敘述何者正確？ (A) A 點到 x 軸的距離為 4 (B) B 點在第二象限 (C) C 點在第三象限 (D) D 點在 x 軸上。 2. 在坐標平面上，P 點的坐標是(3 , －4)，則下列敘述何者正確？ (A) P 點向右移動 3 個單位後到達 M 點，則 M 點的坐標為(0 , －4) (B) P 點向下移動 5 個單位後到達 N 點，則 N 點的坐標為(3 , 1) (C) P 點向左移動 7 個單位，再向下移動 3 個單位後到達 Q 點，則 Q 點的坐標為(－4 ,－7) (D) P 點到 x 軸的距離是 3 個單位，P 點到 y 軸的距離是 4 個單位 3. 在坐標平面上，位於兩軸且與(5 , 0)相距 2 單位的點有幾個？ (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D)無限多個點 4. 坐標平面上，下列哪一個數對所表示的點與 y 軸最近？ (A) (－8 , －4) (B) (－9 , 5) (C) (－2 , －7) (D) (－14 , －1)。 5. 點坐標(a , a)不可能在何處？ (A) x 軸 (B) y 軸 (C)第一象限 (D)第二象限。
6. 若(a－b , a×b)在直角坐標平面上的第三象限，則 a、b 所代表的數畫在數線上的位置為何者？ (A) a b 0 (B) b a 0 (C) a 0 b (D) 0 b a 。 7. 在直角坐標平面上，由原點出發，向左走 a 個單位，再向上走 b 個單位，然後向右走 c 個單位，最後 向下走 d 個單位，如果 d＞c＞b＞a＞0，那麼最後是停在第幾象限？ (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限。 8. 如右圖，四邊形 OPQR 的面積為 15，P(7 , 0)、Q(5 , k)、R(2 , 2)，則 k＝？ 9. 在直角坐標平面上，若(3b ,－12b＋2)在 x 軸上，則此點坐標為何？ (A) (12 , 0) (B) (－12 , 0) (C) (0 , 12) (D) (0 ,－12)。 10. 坐標平面上有三點 A(0 , 8)、B(0 , －1)、C(k , －4)，則 k 為下列何值時，三角形 ABC 的面積會最大？ (A) －7 (B) －6 (C) 4 (D) 5。 11. 右圖是以坐標(3 , －5)為圓心，半徑為 8 所畫出的圓，¯ AB 為直徑且平行 x 軸， ¯ CD 為直徑且垂直 x 軸，則下列何者正確？ (A) A(7 , －5) (B) B(－5 , －5) (C) C(3 , －3) (D) D(3 , －14)。 12. 坐標平面上，以 A(－1 , 2)、B(7 , 2)、C 三點為頂點作一個三角形。 若三角形 ABC 的面積為 16，則下列何者可能是 C 點的坐標？ (A) (8 , 4) (B) (5 , －6) (C) (0 , 3) (D) (1 , －2)。 13. 已知 a 為整數，且 a≠0，則坐標平面上，點(a , a2)在第 象限。 14. 坐標平面上與 A(0 , －3)相距 4 單位，且在 y 軸上的點，其坐標為 。 15. 有四個點 P(3 ,－2)、Q(－5 ,－8)、R(0 , 3)、S(6 , 0)，則離 x 軸最遠的點是 點，離 y 軸最遠的點 是 點。 16. 坐標平面上有甲、乙、丙、丁、戊五個正方形依序排列，如下圖。 若這五個正方形的邊長依序為 1、2、3、4、5，則 A 點的坐標為何？ y x O A 甲乙 丙 丁 戊 R Q P O y x y x O B A C D
Ans：1.(C)；2.(C)；3.(A)；4.(C)；5.(D)；6.(C)；7.(D)；8. 4；9.(A)；10.(A)；11.(B)；12.(D)； 13.一或二；14.(0,1) 或 (0, 7)− ；15.Q，S；16.(15 , 5)。
