艾薛爾幾何鑲嵌藝術之數學多媒體動畫設計

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(1)國立臺灣師範大學數學系碩士班碩士論文指導教授：許志農博士. 艾薛爾幾何鑲嵌藝術之數學多媒體動畫設計. 研究生：游雅婷. 中華民國一百零三年六月.

(2) 摘要鑒於平面幾何在數學上屬於重要單元，也為提昇國人平面幾何素養，本研究以生活中常見的鑲嵌磁磚為主軸，利用荷蘭版畫家艾薛爾（M. C. Escher, 1898-1972）的137 幅鑲嵌版畫當作題材，將幾何知識與鑲嵌藝術結合，讓學生與社會大眾在欣賞鑲嵌藝術的同時也能欣賞幾何數學的美。本研究利用設計軟體Flash CS6，將數學結合藝術，開發出數個鑲嵌圖案動畫之影片，以及與之搭配的著色畫、拼圖與工作單，以期能夠讓教師或使用者能在歡愉的氛圍裡，透過數位教材的多媒體效果來欣賞鑲嵌藝術及幾何數學。關鍵詞：艾薛爾（M. C. Escher）版畫、鑲嵌、FlashCS6. III.

(3) 目錄論文通過簽名單……………………………………………………………………Ⅰ 電子授權書…………………………………………………………………………Ⅱ 摘要…………………………………………………………………………………Ⅲ 目錄…………………………………………………………………………………Ⅳ 第一章緒論………………………………………………………………………1~2 第一節研究背景與動機…………………………………………………………1 第二節研究目的…………………………………………………………………1 第三節研究範圍與後續………………………………………………………1~2 第二章文獻探討…………………………………………………………………2~8 第一節鑲嵌圖案………………………………………………………………2~3 第二節艾薛爾創作背景…………………………………………………………4 第三節艾薛爾的平面鑲嵌版畫………………………………………………4~8 第三章從數學觀點看艾薛爾平面鑲嵌版畫……………………………………8~17 第一節尋找數學骨架…………………………………………………………8~13 第二節如何密鋪整個平面…………………………………………………14~17 第四章教材內容說明…………………………………………………………17~21 第一節數位教材說明………………………………………………………17~21 第二節工作單內容說明……………………………………………………21~151 參考文獻……………………………………………………………………………152. IV.

(4) 第一章緒論第一節研究背景與動機我們知道平面幾何領域對於中學數學的學習來說，是非常重要的課題。我國學生在國小透過操作，將簡單圖形切割重組成另一已知簡單圖形，進而描述物體的相對位置、理解旋轉角的意義及平面圖形線對稱的關係等；在國中用切割重組計算面積，學習線對稱圖形的幾何性質並應用於解題與推理；在高中使用矩陣將幾何中的平移、旋轉及鏡射用代數的方式表示。然而大多數的中學生多以升學考試為由來學習平面幾何，中學畢業後的學生或是一般社會大眾再學習幾何的機會根本是微乎其微。在現今這網路發達的時代，利用網路平台分享資料不但可以即時發佈且取得方便，對於學習者來說是一件非常便利的資源；因此如果能夠開發出此領域的相關數位教材，運用網路平台的上傳與分享，就能讓更多的使用者受惠。. 第二節研究目的為了提升國人平面幾何素養，擬將幾何知識與藝術結合，讓學生、社會大眾甚至是學齡前孩童以及銀髮族能夠欣賞幾何數學之美，同時體會到幾何數學在日常生活中的廣泛應用。而要將幾何知識與跨領域的藝術相連結，荷蘭的版畫家艾薛爾（M. C. Escher, 1898-1972）是把平面幾何與鑲嵌藝術結合地維妙維肖的靈魂人物，本研究將透過艾薛爾的平面鑲嵌版畫開發數位教材來達到提升國人平面幾何素養的目的。. 第三節研究範圍與後續本研究著重於開發艾薛爾 137 幅鑲嵌版畫的數位教材及工作單，目前部分數位教材及工作單已放置《非想非非想數學網》http://ppt.cc/jBBC 網路平台上，提供各年齡 1.

(5) 層學子及社會大眾進行數位學習之用。屆時可由使用者在工作單之回饋，迅速瞭解其學習狀況，以及對數位教材或工作單所提出的建議。本研究僅完成數個數位教材及工作單，其他的鑲嵌版畫將由艾薛爾鑲嵌版畫數位教材製作團隊陸續完成，並上傳至《非想非非想數學網》網路平台。除了藉由網路平台立即了解使用者的使用狀況外，位於教學現場的教師們亦可運用本研究所開發的數位教材，在課堂上搭配工作單引導學生學習；課堂後可透過網路留言板或電子郵件，分享自己的教學方式、心得與建議等。. 第二章文獻探討第一節鑲嵌圖案鑲嵌或密鋪（Tessellation）是指「將具有獨立封閉外形的圖形以連續､反覆且不重疊，也不留空隙的形式在平面上展開」的意思。荷蘭版畫家艾薛爾（Maurits Cornelius Escher）1958年在他的論文“ The Regular Division of the Plane ”中，將鑲嵌圖案或密鋪平面稱為「平面規則分割」，並解釋為「一塊平面或龐加萊圓盤，它應是被想成有無限的邊際，可將之填滿或被分割成無數類似的幾何圖案，不留任何虛的空間。」鑲嵌圖案可以是多邊形也可以是非多邊形，所以鑲嵌圖案可以簡單分類成這兩大類，在多邊形這一類我們又可以分成兩類：單一種多邊形及兩種以上多邊形。下面四張圖是取自日常生活中由單一種多邊形所組成的牆壁及地板，這些磁磚的形狀分別為矩形、正三角形及正六邊形：. 2.

(6) 圖 2.1.1. 學校大樓牆壁. 圖 2.1.2. 圖 2.1.3. 大英博物館天花板. 學校廁所地板. 下面一張圖是由兩種以上多邊形所組成的磁磚，圖 2.1.4 的牆壁包含了等腰直角三角形、正方形、矩形、梯形及六邊形：. 圖 2.1.4. 紅毛城英領事住宅客廳. 圖 2.1.5 的地板是由非多邊形的形狀所組成的，因為非多邊形鑲嵌圖案是由多邊形為數學骨架（lattice）發展而來，故不加以細分，如下圖：. 圖 2.1.5. 市府前廣場地磚 3.

(7) 第二節艾薛爾創作背景艾薛爾 1922 年在西班牙旅行時，對格拉納達的阿爾罕布拉宮（Alhambra Palace and Garden）印象深刻，尤其是摩爾式的棋盤形嵌石飾（tessellation），這宮殿是十四世紀的穆斯林建築，宮殿裡的地板、牆壁、天花板都用許多的複雜幾何圖案以及反覆性圖案來裝飾，其圖案之豐富，令人嘆為觀止。. 圖 2.2.1 阿爾罕布拉宮的磁磚資料來源：http://kindredsubjects. blogspot.tw/2012/09/the-encounter -m-c-escher-dutch-18981972.html. 圖2.2.2 艾薛爾模擬的素描資料來源：http://www.math.nus. sg/aslaksen/gem-projects/maa/0 203-2-03-Escher/main.html. 1936 年艾薛爾第二次造訪阿爾罕布拉，研究的過程中發現他們與數學、結晶學的關連，於是開始研讀雜誌上此類主題的文章。此後艾薛爾運用了以數學為基礎的方法創作了多幅鑲嵌藝術作品，其中最有名的平面鑲嵌版畫在他一生中共創作了 137 幅。. 第三節艾薛爾的平面鑲嵌版畫艾薛爾在平面規則分割裡有提到主題元素（motif）、平移單位（sliding cell）及數學骨架（lattice）等概念。一、主題元素（motif）在鑲嵌版畫上所看到的圖案，如：獅子、蝴蝶、鳥等，皆為主題元素，而數學家則稱之為磁磚（tile）。 4.

(8) 二、平移單位（sliding cell）一個圖案能夠以重複排列的方式密鋪整個平面，稱為平移單位。我們以艾薛爾編號《E027 蝴蝶與魚》（圖2.3.1）為例，其平移單位是一隻蝴蝶搭配一隻魚，但平移單位可能不只一種，因為蝴蝶與魚的相對位置可以有魚上蝴蝶下、魚下蝴蝶上、魚右蝴蝶左或魚左蝴蝶右。. 圖2.3.1. E027蝴蝶與魚. 三、數學骨架（lattice）一個多邊形如果恰好包含一個平移單位且能夠以重複的排列方式密鋪整個平面，稱為數學骨架，此以艾薛爾編號《E128 鳥》（圖2.3.2）、編號《E032 魚》（圖2.3.3）、編號《E119 魚》（圖2.3.4）及編號《E099 飛魚》（圖2.3.5）為例。. 圖2.3.2. E128 鳥. 圖2.3.3. 5. E032 魚.

(9) 圖2.3.4. E119 魚. 圖2.3.5. E099 飛魚. 圖2.3.2的綠框正方形為鳥的數學骨架，仔細觀察可以看出正方形裡的區塊能拼成鳥，也就是此正方形內恰包含一個平移單位─鳥，由圖2.3.6可以看出此正方形能以重複的排列方式密鋪整個平面；圖2.3.3的黃框平行四邊形為魚的數學骨架，可以觀察出平行四邊形裡的區塊能拼成魚，由圖2.3.7可以看出此平行四邊形能以重複的排列方式密鋪整個平面；圖2.3.4魚的數學骨架為紅框等腰直角三角形，此等腰直角三角形裡的區塊能拼成魚，由圖2.3.8可以看出此等腰直角三角形能以重複的排列方式密鋪整個平面；而圖2.3.5飛魚的數學骨架為綠框正三角形，此正三角形裡的區塊可以拼成飛魚，由圖2.3.9可以看出此正三角形能以重複的排列方式密鋪整個平面。由上述可知，數學骨架的面積等於一個平移單位的面積。. 圖2.3.6. 圖2.3.7. 6.

(10) 圖2.3.8. 圖2.3.9. 艾薛爾將數學骨架主要分成兩大類：三角形及四邊形，其中三角形包含正三角形、銳角三角形及由六個正三角形組成的正六邊形，四邊形包含正方形、矩形、菱形、平行四邊形及鳶形（箏形）。對於如何密鋪平面的問題，艾薛爾整理出三種規則：平移（translation）、軸向（axes）及滑行鏡射（glide reflection），軸向為以一個點為軸心發展圖案，滑行鏡射為平移與鏡射的合成，本研究用旋轉表示軸向，並用以下三種規則平移、旋轉及鏡射來說明如何密鋪平面。我們以艾薛爾的五幅版畫為例，分別說明其數學骨架為哪一個多邊形以及此數學骨架鋪滿整個平面的方式。《E128 鳥》（圖2.3.6）的數學骨架為正方形，其密鋪方式為：將一個正方形與另一正方形的邊平移密合後，重複此排列方法密鋪於平面。《E032 魚》（圖2.3.7）的數學骨架為平行四邊形，其密鋪方式為：將魚以鉛直線為鏡射軸鏡往下貼齊後視為一組，再以一組為一個單位以平移鋪滿方式密鋪於整個平面。《E119 魚》（圖2.3.8）的數學骨架為等腰直角三角形，其密鋪方式為：將一隻白色魚與橘色魚視為一組，再以一組為一個單位順時針旋轉90度，重複此排列方法密鋪於平面。《E099 飛魚》（圖2.3.9）的數學骨架為正三角形，其密鋪方式為：以飛魚的右翅為旋轉點一次旋轉60度，共六次，圍繞旋轉點的六個正三角形視為一組，形成正六邊形的數學骨架，再將正六邊形以平移鋪滿方式密鋪於平面。《E013 蜻蜓》（圖2.3.10）的數學骨架為正方形，其密鋪方式為：將兩隻面對面的白蜻蜓及兩隻背對背的藍蜻蜓視為一組，再以一組為一個單位以平移鋪滿方式密鋪於 7.

(11) 平面。《E002 獅子》（圖2.3.11）的數學骨架為矩形，其密鋪方式為：先將一個矩形以水平線為鏡射軸鏡射並朝水平方向密鋪，之後將一矩形以鉛直線為鏡射軸鏡射並朝鉛直方向密鋪，重複此排列方法密鋪於平面。. 圖2.3.10. 圖2.3.11. 第三章從數學觀點看艾薛爾平面鑲嵌版畫第一節尋找數學骨架數學骨架可以是三角形、四邊形、五邊形或六邊形，但要如何判斷一個鑲嵌圖案的數學骨架是什麼形狀的多邊形，我們可以由密鋪平面的三種方式平移、旋轉及鏡射來尋找線索。下面依平移、旋轉及鏡射分別說明如何由密鋪方式尋找其數學骨架。一、平移以《E128 鳥》為例：先觀察圖3.1.1的平移單位是什麼？一隻鳥，我們以綠框的鳥（圖3.1.2）作為此鑲嵌版畫的平移單位並說明如何尋找鳥的數學骨架。此鑲嵌版畫是如何以此平移單位密鋪整個平面？觀察此平移單位與其相鄰平移單位的關係，紅框為綠框左右的平移，而藍框為綠框的上下平移，可以用此密鋪方式來密鋪平面的多邊形為四邊形中的正方形、矩形或平行四邊形。 8.

(12) 圖3.1.1. E128 鳥. 圖3.1.2. 這數學骨架除須滿足兩對邊互相平行，還須滿足一個數學骨架只能有一個平移單位。如圖3.1.3當畫了下面那一條藍色的邊時，對邊必須是黃色的線之一，另一對邊則將藍線與黃線端點相連。此正方形即為鳥的數學骨架（圖3.1.4），檢查是否只包含一個平移單位並仔細觀察此正方形的四個頂點有什麼特點，可以發現此正方形不僅只包含一個平移單位且四個頂點“皆為”鳥嘴（或尾巴前端點）。. 圖3.1.3. 圖3.1.4. 除了尋找共同點，還需探索有無其他可能性，將黃色正方形的底邊往垂直方向平移一些距離，如圖3.1.5的粉紅色平行四邊形，再檢查是否滿足數學骨架的定義。. 9.

(13) 圖3.1.5 由上述可以得到下面結論：尋找密鋪方式為平移的數學骨架時，依平移單位可以選四個共同點相連，如《E074鳥》（圖3.1.7）的平移單位是鳥，選其鳥的頭頂為共同點，則此紅色平行四邊形即為鳥的數學骨架。將紅色平行四邊形的某條邊向平行自己的方向平移仍是鳥的數學骨架（圖3.1.8）。因此每個人所選的頂點不同，就會有不同的數學骨架，由此可知數學骨架不唯一。. 圖3.1.7. 圖3.1.8. 二、旋轉旋轉─以《E021小丑》為例：先觀察圖3.1.9的平移單位是什麼？一個小丑，我們以頭上腳下的小丑作為此鑲嵌版畫的平移單位並說明如何尋找小丑的數學骨架。此鑲嵌版畫是如何以此平移單位密鋪整個平面? 觀察圖3.1.10綠框的平移單位與其相鄰的平移單位的關係，藍框為綠框以右腳後跟為旋轉點，一次旋轉 120度，紫框是綠框的額頭為旋轉點，而紅框是綠框的左膝蓋為旋轉點。可進一步觀察到如果將綠框及藍框視為一個鑲嵌圖案，即可密鋪平面。另外兩種顏色框同理。由此可以推測這三個旋轉點為數學骨架的其中三個頂點，滿足這種特性的數學骨架會是哪個多邊形呢？ 10.

(14) 圖3.1.9. E021 小丑. 圖3.1.10. 可以知道每個旋轉點的角度皆為120度，因此數學骨架可能為正六邊形，因為正六邊形的每個角度為120度，如圖3.1.11的正六邊形，檢查其是否滿足數學骨架定義？小丑的數學骨架還有可能是哪個多邊形呢？圖3.1.12 的同心圓為平移單位鄰近的旋轉點，任選一個同心圓作為數學骨架的其中一個頂點，則此數學骨架為菱形，且內角為60 -120 - 60 -120 ，檢查此菱形否滿足數學骨架定義？由原圖的鉛筆痕跡可知看出當年艾薛爾就是用菱形的數學骨架來拼出小丑的。. 圖3.1.11. 圖3.1.12. 由上述可以得到下面結論：尋找密鋪方式為旋轉的數學骨架時，在平移單位上挑出旋轉點，如《E015蜥蜴》（圖3.1.13）的平移單位是一隻蜥蜴，圖中的點為平移單位的旋轉點，選擇其中三個旋轉點為數學骨架的三個頂點，再依密鋪方式選擇正確的數學骨架。圖3.1.14的同心圓為平移單位鄰近的旋轉點之其中一點，圖中的等腰直角三角形是蜥蜴另一種數學骨架。因此每個人選的旋轉點不同，就會有不同的數學骨架，由此可知數學骨架不唯一。 11.

(15) 圖3.1.13. 圖3.1.14. 三、鏡射以《E067 騎兵》為例：先觀察圖3.1.15的平移單位是什麼？一個騎兵，我們以綠框的騎兵（圖3.1.16）作為此鑲嵌版畫的平移單位並說明如何尋找騎兵的數學骨架。此鑲嵌版畫是如何以此平移單位密鋪整個平面呢？觀察綠框的平移單位與其相鄰的平移單位的關係，藍框為綠框左右平移，紫框為綠框先以鉛直線為鏡射軸鏡射，再上下貼齊，黃框為紫框左右平移。. 圖3.1.15. E067 騎兵. 圖3.1.16. 可以用此密鋪方式來密鋪平面的多邊形為四邊形中的正方形、矩形、平行四邊形或鳶形，因為左右為平移，試著依平移密鋪的結論，先選共同點如選馬嘴（圖 3.1.17），檢查所選的數學骨架是否滿足其定義，檢查後可以知道此平行四邊形即為騎兵的數學骨架。在鏡射情況使用平移密鋪的結論時，必須留意上下騎兵有對鉛直線鏡射的關係，如圖3.1.18，經檢查後發現藍色平行四邊形不是騎兵的數學骨架，因為藍色平行四邊形對鉛直線鏡射後，無法與原藍色平行四邊形上下密合。 12.

(16) 圖3.1.17 平行四邊形數學骨架. 圖3.1.18. 錯誤的數學骨架. 如果選的共頭點同樣為馬的臀部，如圖3.1.19，數學骨架變為矩形，檢查後可以發現其滿足數學骨架的定義，也能依騎兵密鋪方式密鋪平面。. 圖3.1.19 由上述可以得到下面的結論：尋找密鋪方式為鏡射的數學骨架時，在平移單位上挑出四個共同點相連，如《E034 鳥與魚》（圖 3.1.19）的平移單位是一隻鳥搭配一隻魚，取其平移單位為左魚右鳥，並挑魚嘴為共同點，所以圖3.1.19的數學骨架為平行四邊形；圖3.1.20的共同點一樣取的是魚嘴，卻有不同形狀的數學骨架。因此每個人選的共同點不同，就會有不同的數學骨架，由此可知數學骨架不唯一。. 圖3.1.19. 平行四邊形數學骨架 13. 圖3.1.20. 鳶形數學骨架.

(17) 第二節如何密鋪整個平面由數學骨架的定義可以知道數學骨架的面積與平移單位的面積相同，也就是一個多邊形的數學骨架可以經由裁切與拼貼，變成一個看似更有趣的平移單位，但要如何裁切與拼貼才能密鋪又能不失生動活潑呢？接下來延續上一節的例子繼續往下探究。. 一、平移以《E128 鳥》為例：圖3.2.1的藍色正方形為鳥的數學骨架，也就是此正方形可以經由裁貼變成鳥的鑲嵌圖案。圖3.2.2為正方形裡的裁切線及拼貼後的輪廓線，裁切部分需剪掉三小塊，再拼貼至正確的位置，以大寫英文字母表示需裁切的部分，小寫英文字母表示拼貼的正確位置。在拼貼的過程中可以發現規律：裁左邊拼貼至右邊、裁右邊拼貼至左邊、裁上面拼貼至下面、裁下面拼貼至上面。這與密鋪的方式有這很大的關係，這也是為什麼如此裁貼出的鳥可以密鋪平面。. 圖3.2.1. 藍色正方形數學骨架. 圖3.2.2. 切割、拼貼後的輪廓線. 先將正方形密鋪於平面，並留下裁切線，如圖3.2.3。將裁切線及輪廓線畫至與其相鄰的正方形，仔細觀察可以發現搬動裁切區塊相當於搬動整塊正方形，而搬動的方式就是平移單位密鋪平面的方式，如此便能裁貼出可以密鋪平面的鑲嵌圖案。將一個正方形的裁貼經由想像擴大到無窮多的正方形一起裁貼，便更能意會鑲嵌圖形的藝術。. 14.

(18) 圖3.2.3. 密鋪於平面的正方形及其輪廓. 二、旋轉旋轉─以《E021小丑》為例：圖3.2.4的黑色正六邊形為小丑的數學骨架，也就是此正六邊形可以經由裁貼變成小丑的鑲嵌圖案。圖3.2.5為正六邊形裡的裁切線及拼貼後的輪廓線，裁切部分需剪掉七小塊，再拼貼至正確的位置，以大寫英文字母表示需裁切的部分，小寫英文字母表示拼貼的正確位置。在拼貼的過程中可以發現：A、D、G以O點為旋轉點拼貼至a、d、g，B、E 以P點為旋轉點拼貼至 b、e，C、F 以Q點為旋轉點拼貼至c、f。這與平移單位的密鋪方式有這很大的關係，這也是為什麼如此裁貼出的小丑可以密鋪平面。. 圖3.2.4. 黑色正六邊形數學骨架. 圖3.2.5. 切割、拼貼後的輪廓線. 先將正六邊形密鋪於平面，並且留下裁切線，如圖3.2.6。將裁切線及輪廓線畫至與其相鄰的正六邊形，仔細觀察可以發現搬動裁切區塊相當於搬動整塊正六邊形，而搬動的方式就是平移單位密鋪平面的方式，如此便能裁貼出可以密鋪於平面的鑲嵌圖案。將一個正六邊形的裁貼經由想像擴大到無窮多的正六邊形一 15.

(19) 起裁貼，便更能意會鑲嵌圖形的藝術。. 圖3.2.6. 密鋪於平面的正六邊形與其輪廓. 三、鏡射以《E067 騎兵》為例：圖3.2.7的綠色矩形為騎兵的數學骨架，也就是此矩形可以經由裁貼變成騎兵的鑲嵌圖案。圖3.2.8為矩形裡的裁切線及拼貼後的輪廓線，裁切部分需剪掉五小塊，再拼貼至正確位置，以大寫英文字母表示需裁切的部分，小寫英文字母表示拼貼的正確位置。在拼貼的過程中可以發現：A、B為左右平移拼貼至a、b，D為上下平移拼貼至d，而C、E兩塊都是以鉛直線為鏡射軸鏡射拼貼至c、e。這與平移單位的密鋪方式有這很大的關係，這也是為什麼如此裁貼出的騎兵可以密鋪平面。. 圖3.2.7. 綠色矩形數學骨架. 圖3.2.8. 切割、拼貼後的輪廓線. 先將矩形密鋪於平面，並且留下裁切線，如圖3.2.9。將裁切線及輪廓線畫至與其相鄰的矩形，仔細觀察可以發現搬動裁切區塊相當於搬動整塊矩形，而搬動的方式就是平移單位密鋪平面的方式，如此便能裁貼出可以密鋪於平面的鑲嵌 16.

(20) 圖案。將一個矩形的裁貼經由想像擴大到無窮多的矩形一起裁貼，便更能意會鑲嵌圖形的藝術。. 圖3.2.9. 密鋪於平面的矩形及其輪廓. 第四章教材內容說明第一節數位教材內容說明數位教材不僅讓內容更加活潑，還能讓更多人欣賞到鑲嵌藝術進而欣賞經由數學的平移、旋轉、鏡射所形成的美麗世界。本研究將艾薛爾鑲嵌版畫開發成數位教材，開發出的數位教材包含：鑲嵌教學影片、鑲嵌圖型著色，以及鑲嵌圖型拼圖，在此以編號《E002 獅子》一一介紹所開發出的三種數位教材：. 一、鑲嵌教學影片為讓使用者欣賞鑲嵌圖案的形成過程及鋪滿方式，研究並開發教學影片並分為四段，第一段將數個數學骨架依重複的平鋪方式密鋪於整個平面（圖4.1.1）即為數學舞台，由數學舞台中的黃色矩形為密鋪平面的起始，以水平線為鏡射軸鏡射，反覆鏡射三次，鏡射後的綠色矩形變為紅色，再以鉛直線為鏡射軸鏡射，反覆鏡射三次，之後依上述的密鋪方式構成數學舞台，觀察《E002 獅子》的密 17.

(21) 鋪方式（圖4.1.2）可以發現第一段數學骨架的密鋪方式就是獅子鑲嵌圖案的密鋪方式。. 圖4.1.1. 密鋪平面的矩形. 圖4.1.2. 密鋪平面的獅子. 第二段由第一段數學舞台的一個矩形變大拉開序幕，此變大的矩形即為獅子的一個數學骨架，這裡依圖4.1.2黃色獅子的數學骨架為例，將黃色獅子數學骨架內非黃色獅子身體一部份的五個區塊編號A , B , C , D , E ，並將這五小塊依數學原理的鏡射貼到正確的位置（圖4.1.3），即裁貼出黃色獅子。. 圖4.1.3. 切割、拼貼流程圖. 第三段先將第二段所裁貼出的獅子著上顏色，並將著色好的獅子進行藝術表演，表演內容分為兩部分，第一部份獅子展示出其主要的密合方式，由其中兩隻獅子表演主要的三種密合方式，如圖4.1.4；第二部分為獅子的即興演出。 18.

(22) (1)頭與肚子的密合. (2)前腳底互相密合. 圖4.1.4. (3)前腿與後腿的密合. 各種密合方式. 第四段銜接第一段的數學舞台，並留下數學舞台的虛線邊，將獅子依第一段數學骨架的密鋪方式一隻隻放到數學骨架上（圖4.1.5），放的時候除了需注意獅子在數學骨架上的正確位置外，仍須依照第三段第一部分的表演，也就是主要的三種密合方式，這樣才能與相鄰的獅子互相貼合，如圖4.1.6。. 圖4.1.5. 在數學骨架上的位置. 圖4.1.6. 三種方式密鋪平面. 教學影片還搭配了背景音樂，除了讓使用者帶著舒適的心情欣賞鑲嵌藝術外，部分教學影片還會配合主題撥放適合的音樂。在播放影片時的左邊有一個小標題：艾薛爾鑲嵌藝術─獅子，此標題除了讓大家知道這一幅鑲嵌版畫的名字是獅子外，其實此標題還是一個暫停按鈕，是為了方便讓使用者停下來欣賞或思考。在未開始播放影片的封面除了一開始看到的封面圖外，還隱藏了兩個畫面，第一張封面圖也是艾薛爾的鑲嵌版畫，且部分影片封面圖是與該鑲嵌版畫相關的，例如編號《E002 獅子》影片的封面圖是艾薛爾的一幅版畫《獅子》（圖 4.1.7），詳細封面圖的介紹會在本研究的第四章第二節的《E002 獅子》工作單上說明；按一下影片右上角的隱藏按鈕會進入第二張圖片，此圖片為當年艾薛爾 19.

(23) 畫《E002 獅子》鑲嵌版畫的原圖，再按一次右上角的隱藏按鈕會在第二張的原圖上畫上數學骨架（圖 4.1.8）。. 圖4.1.7. 獅子封面圖. 圖4.1.8. 畫上數學骨架的原圖. 二、鑲嵌圖形著色為讓學齡前的兒童能親身感受鑲嵌藝術的趣味性，本研究依鑲嵌圖案的特性選擇了部分鑲嵌版畫開發了著色遊戲，以編號《E002 獅子》為例（圖 4.1.9），每一隻空白獅子是一個按鈕，點擊第一次呈現白色獅子，第二次是黃色獅子，第三次為黑色獅子，再點一次回白色獅子以此類推，遊戲規則為：相鄰兩隻獅子顏色不相同即完成著色，圖 4.1.10為部分已著色的獅子。. 圖4.1.9. 空白獅子. 圖4.1.10. 部分已著色的獅子. 著色畫面上也有兩個隱藏按鈕，左上角按鈕為重新著色，而右上方按鈕是將著色範圍改變（畫框變寬或變窄），初學者可以先從著色範圍較窄的關卡進行遊戲。三、鑲嵌圖形拼圖對於廣大的使用者我們亦開發了拼圖，以《E002 獅子》拼圖為例（圖 20.

(24) 4.1.11），除了增加趣味性外，也可以讓使用者更了解獅子鑲嵌，遊戲規則為：相鄰兩隻獅子顏色不相同且所有獅子必須在紅色框內（不可重疊），即完成拼圖；在拼圖畫面的左邊隱藏了兩個按鈕，按下「艾薛爾鑲嵌拼圖」按鈕回到主畫面，按下「獅子」按鈕會在紅框內增加數學骨架，讓初學者可以按獅子在數學骨架上的正確位置協助完成拼圖；此外，按下主畫面右上方的隱藏按鈕會出現解答畫面（圖 4.1.12）。. 圖4.1.11. 獅子拼圖. 圖4.1.12. 拼圖解答. 第二節工作單內容說明為讓使用者更有效率的使用這三種數位教材，本研究亦開發出工作單，希望藉由工作單能讓數位教材的使用者更清楚了解鑲嵌藝術中的幾何數學。工作單內容包含：引言之鑲嵌版畫創作背景與封面圖說明、影片總回顧之數學與藝術、細說影片第二段之如何由數學骨架裁貼出鑲嵌圖案、表演欣賞之主要密合方式、密鋪平面之形成鑲嵌圖，以及回饋單。本研究為下述23幅版畫《E001狗》、《E002獅子》、《E012蝴蝶》、《E013蜻蜓》、《E018 白天與晚上》、《E023鳥》、《E027蝴蝶與魚》、《E028三隻鳥》、《E029鳥與魚》、《E030魚與船》、《E032魚》、《E054天生一對》、《E059兩隻魚》、《E067騎兵》、《E073飛魚》、《E074 鳥》、《E076馬與鳥》、《E080飛魚與鳥》、《E083三十六計》、《E086蜘蛛》、《E094魚》、《E119 魚》以及《E128鳥》製作工作單並依鑲嵌版畫編號由小到大一一排序。. 21.

(25) E001 狗工作單撰稿：游雅婷引言：《E001 狗》是荷蘭版畫家艾薛爾在1926~1927畫的一幅版畫，每隻狗的身體為單一顏色─紅色、綠色及白色，主要繪圖工具為鉛筆、墨水與水彩，而我們影片裡的封面圖《狗》是艾薛爾利用手工印製在絲綢上的設計：. 我們從他的比例來看，可以發現他的頭明顯的較大，前後腿也都位在同一個水平上，從外表我們也較難看出是隻狗，所以摩拉維亞學院數學退休榮譽教授Doris Schattschneider在其書《Visions of Symmetry》上就將他命名為「像獅子的狗」，為了美觀，這是他第一次使用這樣的對稱方式，也就是使圖案上下顛倒。那我們就趕快來看看《E001 狗》到底如何形成的吧！請在電腦上點選《E001 狗.exe》進入影片的首頁，並按左上角的Q版圖開始撥放。. 一、狗的數學與藝術我們可以把狗的影片分成如下的四幕：第一幕：影片由平行四邊形鋪滿構成數學舞台拉開序幕，而這矩形正是狗的數學骨架。第二幕：將數學舞台的一個平行四邊形放大，從這平行四邊形剪下六個小區塊後，依數學原理的平移及旋轉貼到正確的位置，即裁貼出狗兒。第三幕：將狗兒外框的內部著上顏色成為藝術品並進行藝術表演，表演過程依各種適當角度將表演的狗兒們互相密合。第四幕：銜接第一幕的數學舞台並留下數學骨架的虛線邊，將狗兒一隻一隻放到數學骨架上的正確位置進而鋪滿數學舞台，而這種不互相重疊、無空隙、反覆且連續的鋪滿稱作鑲嵌或密鋪。 1. 第一幕的數學骨架是哪一個多邊形呢？ □ 正方形 □ 平行四邊形 □ 鳶形 2. 第二幕裁貼的過程中，用到了哪些數學方法？ □ 平移 □ 旋轉 □ 翻面 3. 影片中有幾種顏色的狗兒？ □ 兩種 □ 三種 □ 四種 4. 鋪滿數學舞台的狗兒們有哪些特色？ □ 不重疊 □ 無空隙 □ 外形都一樣. 二、如何從數學骨架裁貼出狗綜合下面兩個方式即可裁貼出狗，方式如下： 22.

(26) 甲、將平行四邊形剪下六個小區塊 A , B , C, D, E, F，並將這六個小區塊貼到正確的位置上，即 A → a；B → b；C → c；D → d；E → e；F → f. 乙、如何貼到正確的位置呢？我們根據數學原理的平移與旋轉： (1) A (2) B (3) C (4) D (5) E (6) F. → → → → → →. a ：先將 A 區塊往右平移到 a b ：將 B 區塊往左平移到 b c ：將 C+a 區塊以平行四邊形邊的中點為旋轉點旋轉到 c d ：先將 D 區塊以平行四邊形邊的中點為旋轉點旋轉到 d e ：將 E 區塊以平行四邊形邊的中點為旋轉點旋轉到 e f ：將 F 區塊以平行四邊形的中點為旋轉點旋轉到 f. 裁貼出狗兒後可以發現：平行四邊形的其中兩個頂點分別為嘴巴中點以及臀部的中間，進一步觀察，前腳後跟剛好落在平行四邊形的邊上，而臀部也剛好貼齊平行四邊形的邊，這就是狗在數學骨架上的正確位置。三、真的是狗磁磚嗎經由數學原理裁貼後的狗兒有什麼令人驚艷的地方呢？我們可以由第三幕的藝術表演觀察到經數學原理形成的狗兒可以彼此互相密合，而且有以下兩種密合方式： (1) 前腳底與臀部的密合 (2) 下巴與下巴的密合 (3) 背與背的密合. 23.

(27) 這種可以互相密合、無交疊且無空隙的狗圖案，我們稱之為狗磁磚。有了這三種密合方式後，就可以用這三種方式將很多個狗磁磚密鋪在平面上了。四、狗的鑲嵌圖甲、狗鑲嵌圖透過了解狗兒在數學骨架上的正確位置及三種密合方式後，即可在數學骨架上密鋪出狗兒鑲嵌圖，左下圖是先將狗兒放在數學骨架上的正確位置，其他的狗兒除了要放在數學骨架上的正確位置外，還須一一按照三種密合方式密鋪(如圖一)。. 圖一關於艾薛爾的狗版畫原圖，如下圖所示：. 艾薛爾在畫的左下方寫了一句話“see no. 5,6,7,8,11”，這是我們艾薛爾137 幅鑲嵌版畫的編號，意思為狗與編號5,6,7,8,11的版畫有著相同的密鋪方式。乙、狗著色遊戲把狗當磁磚，讓相鄰兩隻狗顏色不相同，不但好分辨又具美觀效果，就讓我們動手著色看看吧！ 24.

(28) 請在電腦上點選《E001 狗著色.exe》進入著色的畫面開始遊戲。. 丙、狗拼圖遊戲看到這裡是否對狗鑲嵌有了更進一步的了解，下面是為大家精心準備好玩且有趣的狗拼圖遊戲，請再仔細觀察圖一狗的排列方式，遊戲開始囉！請在電腦上點選《E001 狗拼圖.exe》進入拼圖的首頁，並按左上角的Q版圖開始遊戲。. E001 狗回饋單 1. 請你回想一下，每一隻狗周遭圍繞著幾隻狗呢？ □ 5隻 □ 6隻 □ 7隻 □ 8隻 2. 狗的表面積與其數學骨架矩形的面積是否一樣？ □ 是 □ 否 3. 如下圖，右邊狗是左邊狗旋轉幾度後的結果呢？. 4. 右下圖為艾薛爾在原圖中提及的一幅版畫《E006 駱駝》，與狗有著相同的密鋪方式，請參考左下圖所畫的數學骨架，在右下圖畫出平行四邊形的數學骨架，並用找到的數學骨架說明如何剪貼出駱駝。. 5. 《E001 狗》的數學骨架除了是平行四邊形外，三角形也是《E001 狗》的數學骨架，請參考左下圖所畫的數學骨架，在右下圖畫出《E001 狗》的三角形數學骨架，並用找到的數學骨架說明如何剪貼出狗。（提示：觀察兩個相連的平行四邊形數學骨架的頂點。）. 25.

(29) 6. 關於影片(含拼圖與著色遊戲)與本工作單的教材，你給予幾分(最多10分，最少0分) 10 9 又有何建議：. 8. 7. 6. 5. 4. 3. 2. 1. 0. ……………………………………………………………………………….................. 填單人姓名：_____________. 填單日期：____年____月____日. e-mail：電話： □ 學校班級. 老師. _____________. □. 學生. _____________ _____________. 26. □. 社會人士.

(30) E001 狗工作單 1. 第一幕的數學骨架是哪一個多邊形呢？ □ 正方形 ■平行四邊形 □ 鳶形 2. 第二幕裁貼的過程中，用到了哪些數學方法？ ■ 平移 ■ 旋轉 □ 翻面 3. 影片中有幾種顏色的狗？ □ 兩種 ■ 三種 □ 四種 4. 鋪滿數學舞台的狗兒們有哪些特色？ ■ 不重疊 ■ 無空隙 ■ 外形都一樣 E001 狗回饋單 1. 請你回想一下，每一隻狗周遭圍繞著幾隻狗呢？ □ 5隻 ■ 6隻 □ 7隻 □ 8隻 2. 狗的表面積與其數學骨架平行四邊形的面積是否一樣？ ■ 是 □ 否 3. 如下圖，右邊狗是左邊狗旋轉幾度後的結果呢？ 180度 4.右下圖為艾薛爾在原圖中提及的一幅版畫《E006 駱駝》，與狗有著相同的密鋪方式，請參考左下圖所畫的數學骨架，在右下圖畫出平行四邊形的數學骨架，並用找到的數學骨架說明如何剪貼出駱駝。. 5. 《E001 狗》的數學骨架除了是平行四邊形外，三角形也是《E001 狗》的數學骨架，請參考左下圖所畫的數學骨架，在右下圖畫出《E001 狗》的三角形數學骨架，並用找到的數學骨架說明如何剪貼出狗。（提示：觀察兩個相連的平行四邊形數學骨架的頂點。）. 27.

(31) E002 獅子工作單撰稿：游雅婷引言：《E002 獅子》是荷蘭版畫家艾薛爾在1926~1927畫的一幅版畫，每隻獅子的身體為單一顏色─綠色、紅色及白色，主要繪圖工具為鉛筆、墨水與水彩，而我們影片裡的封面圖《獅子》(圖一)是艾薛爾利用手工印製在絲綢上的設計：. 圖一圖二圖三圖一與圖二同為《E002 獅子》的封面圖，只有顏色使用上的差異。而圖三是《E002 獅子》的原圖，是艾薛爾十年後畫的，我們可以看到不同於前兩幅之處，在於獅子的嘴巴是緊閉的且只使用了三種顏色完成。那我們就來看看有著〝萬獸之王〞之稱獅子的誕生吧！請在電腦上點選《E002 獅子.exe》進入影片的首頁，並按左上角的Q版圖開始撥放。. 一、獅子的數學與藝術我們可以把獅子的影片分成如下的四幕：第一幕：影片由矩形鋪滿構成數學舞台拉開序幕，而這矩形正是獅子的數學骨架。第二幕：將數學舞台的一個矩形放大，從這矩形剪下五個小區塊後，依數學原理的平移及翻面貼到正確的位置，即裁貼出獅子。第三幕：將獅子外框的內部著上顏色成為藝術品並進行藝術表演，表演過程依各種適當角度將表演的獅子們互相密合。第四幕：銜接第一幕的數學舞台並留下數學骨架的虛線邊，將獅子一個一個放到數學骨架上的正確位置進而鋪滿數學舞台，而這種不互相重疊、無空隙、反覆且連續的鋪滿稱作鑲嵌或密鋪。 1. 第一幕的數學骨架是哪一個多邊形呢？ □ 正方形 □ 鳶形 □ 矩形 2. 第二幕裁貼的過程中，用到了哪些數學方法？ □ 平移 □ 旋轉 □ 翻面 3. 影片中有幾種顏色的獅子？ □ 兩種 □ 三種 □ 四種 4. 鋪滿數學舞台的獅子們有哪些特色？ □ 不重疊 □ 無空隙 □ 外形都一樣. 二、如何從數學骨架裁貼出獅子綜合下面兩個方式即可裁貼出獅子，方式如下：甲、將矩形剪下五個小區塊 A , B , C , D , E，並將這五個小區塊貼到正確的位置上，即 A → a；B → b；C → c；D → d；E → e 28.

(32) 乙、如何貼到正確的位置呢？我們根據數學原理的平移與翻面： (1) A (2) B (3) C (4) D (5) E. → → → → →. a b c d e. ：先將 A 區塊對矩形的其中一邊作翻面再平移到 a ：先將 B 區塊對矩形的其中一邊作翻面再平移到 b ：先將 C 區塊對矩形底邊的中垂線作翻面再平移到 c ：將 D 區塊向下平移到 d ：將 E 區塊對矩形底邊的中垂線作翻面再平移到 e. 裁貼出獅子後可以發現：獅子的前腳底與後腳底都恰巧與矩形的底邊貼齊；進一步可以看到，獅子前腳背與小腿交接處以及臀部與後大腿交接處也剛好落在矩形的邊上，這就是獅子在數學骨架上的正確位置。三、真的是獅子磁磚嗎經由數學原理裁貼後的獅子有什麼令人驚艷的地方呢？我們可以由第三幕的藝術表演觀察到經數學原理形成的獅子可以彼此互相密合，而且有以下三種密合方式： (1)頭與肚子的密合 (2)前腳底互相密合 (3)前腿與後腿的密合. 29.

(33) 這種可以互相密合、無交疊且無空隙的蝴蝶圖案，我們稱之為獅子磁磚。有了這三種密合方式後，就可以用這三種方式將很多個獅子磁磚密鋪在平面上了。四、獅子的鑲嵌圖甲、獅子鑲嵌圖透過了解獅子在數學骨架上的正確位置及三種密合方式後，即可在數學骨架上密鋪出獅子鑲嵌圖，左下圖是先將獅子放在數學骨架上的正確位置，其他的獅子除了要放在數學骨架上的正確位置外，還須一一按照三種密合方式密鋪(如圖一)。. 圖一關於艾薛爾的獅子版畫原圖，如下圖所示：. 艾薛爾在畫的左下方寫了一句話“see no. 16”，這一句話說明了獅子與編號 16的版畫有著相同的密鋪方式。乙、獅子著色遊戲把獅子當磁磚，讓相鄰兩隻獅子顏色不相同，不但好分辨又具美觀效果，就讓我們動手著色看看吧！請在電腦上點選《E002 獅子著色.exe》進入著色的畫面開始遊戲。 30.

(34) 丙、獅子拼圖遊戲看到這裡是否對獅子鑲嵌有了更進一步的了解，下面是為大家精心準備好玩且有趣的獅子拼圖遊戲，請再仔細觀察圖一獅子的排列方式，遊戲開始囉！請在電腦上點選《E002 獅子拼圖.exe》進入拼圖的首頁，並按左上角的Q版圖開始遊戲。. E002 獅子回饋單 1. 仔細想想，你在那個地方見過矩形磁磚鋪設的牆壁呢？. 2. 請你回想一下，每一隻獅子周遭圍繞著幾隻獅子呢？ □ 5隻 □ 6隻 □ 7隻 □ 8隻 3. 獅子的表面積與其數學骨架矩形的面積是否一樣？ □ 是 □ 否 4. 如下圖，上下兩隻獅子有著什麼樣的關係呢？ □平移 □ 旋轉 □ 翻面. 5. 右下圖為艾薛爾在原圖中提及的一幅版畫《E016 狗》，這幅版畫與獅子有著相同的密鋪方式，請參考左下圖所畫的數學骨架，在右下圖畫出矩形的數學骨架，並用找到的數學骨架說明如何剪貼出狗。. 31.


(36) E002 獅子工作單 1. 第一幕的數學骨架是哪一個多邊形呢？ □ 正方形 □ 鳶形 ■ 矩形 2. 第二幕裁貼的過程中，用到了哪些數學方法？ ■ 平移 □ 旋轉 ■ 翻面 3. 影片中有幾種顏色的獅子？ □ 兩種 ■ 三種 □ 四種 4. 鋪滿數學舞台的獅子們有哪些特色？ ■ 不重疊 ■ 無空隙 ■ 外形都一樣 E002 獅子回饋單 1. 仔細想想，你在那個地方見過矩形磁磚鋪設的牆壁呢？ 2. 請你回想一下，每一隻獅子周遭圍繞著幾隻獅子呢？ □ 5隻 ■ 6隻 □ 7隻 □ 8隻 3. 獅子的表面積與其數學骨架矩形的面積是否一樣？ ■ 是 □ 否 4.如下圖，上下兩隻獅子有著什麼樣的關係呢？ □平移 □ 旋轉 ■ 翻面. 5.右下圖為艾薛爾在原圖中提及的一幅版畫《E016 狗》，這幅版畫與獅子有著相同的密鋪方式，請參考左下圖所畫的數學骨架，在右下圖畫出矩形的數學骨架，並用找到的數學骨架說明如何剪貼出狗。. 33.

(37) E012 蝴蝶工作單撰稿：游雅婷引言：《E012 蝴蝶》是荷蘭版畫家艾薛爾在1937至1938年冬季畫的一幅版畫，每隻蝴蝶的顏色看起來頗有創意─白色及藍色，主要繪圖工具為鉛筆、墨水與水彩，而我們影片裡的封面圖《蝴蝶》如圖一，是艾薛爾在1951年7月為了設計鈔票的背景所創作的一幅版畫：. 圖一圖二由圖一我們很容易就可以看出是個蝴蝶的輪廓，這裡最被關注的是蝴蝶的原圖(圖二)我們可以看到每隻蝴蝶身上都有些許的斑點，而這斑點的顏色正好是相鄰蝴蝶的顏色，這是艾薛爾第一次嘗試這樣具有創意的著色。就讓我們趕快來看看這美麗的蝴蝶(butterfly)是怎麼形成的吧！請在電腦上點選《E012 蝴蝶.exe》進入影片的首頁，並按左上角的Q版圖開始撥放。. 一、蝴蝶的數學與藝術我們可以把蝴蝶的影片分成如下的四幕：第一幕：影片由正方形鋪滿構成數學舞台拉開序幕，而這正方形正是蝴蝶的數學骨架。第二幕：將數學舞台的一個正方形放大，從這正方形剪下兩個小區塊後，依數學原理的旋轉貼到正確的位置，即裁貼出蝴蝶。第三幕：將蝴蝶外框的內部著上顏色成為藝術品並進行藝術表演，表演過程依各種適當角度將表演的蝴蝶們互相密合。第四幕：銜接第一幕的數學舞台並留下數學骨架的虛線邊，將蝴蝶一隻一隻放到數學骨架上的正確位置進而鋪滿數學舞台，而這種不互相重疊、無空隙、反覆且連續的鋪滿稱作鑲嵌或密鋪。 1. 第一幕的數學骨架是哪一個多邊形呢？ □ 正方形 □ 鳶形 □ 矩形 2. 第二幕裁貼的過程中，用到了哪些數學方法？ □ 平移 □ 旋轉 □ 翻面 3. 影片中有幾種顏色的蝴蝶？ □ 兩種 □ 三種 □ 四種 4. 鋪滿數學舞台的蝴蝶們有哪些特色？ □ 不重疊 □ 無空隙 □ 外形都一樣. 34.

(38) 二、如何從數學骨架裁貼出蝴蝶綜合下面兩個方式即可裁貼出蝴蝶，方式如下：甲、將正方形剪下兩個小區塊 A , B ，並將這兩個小區塊貼到正確的位置上，即A →a；B → b. 乙、如何貼到正確的位置呢？我們根據數學原理的平移與旋轉： (1) A → a ：將 A 區塊以頂點為旋轉點旋轉到 a (2) B → b ：將 B 區塊以頂點為旋轉點旋轉到 b. 裁貼出蝴蝶後可以發現：正方形的四個頂點分別為蝴蝶的左右邊翅膀前端點及左右邊翅膀後端點，這就是蝴蝶在數學骨架上的正確位置。三、真的是蝴蝶磁磚嗎經由數學原理裁貼後的蝴蝶有什麼令人驚艷的地方呢？我們可以由第三幕的藝術表演觀察到經數學原理形成的蝴蝶可以彼此互相密合，而且有以下兩種密合方式： (1) 頭顱與右翅膀密合 (2) 尾巴與左翅膀密合. 這種可以互相密合、無交疊且無空隙的蝴蝶圖案，我們稱之為蝴蝶磁磚。有了這兩種密合方式後，就可以用這兩種方式將很多個蝴蝶磁磚密鋪在平面上了。 35.

(39) 四、蝴蝶的鑲嵌圖甲、蝴蝶鑲嵌圖透過了解蝴蝶在數學骨架上的正確位置及兩種密合方式後，即可在數學骨架上密鋪出蝴蝶鑲嵌圖，左下圖是先將蝴蝶放在數學骨架上的正確位置，其他的蝴蝶除了要放在數學骨架上的正確位置外，還須一一按照兩種密合方式密鋪(如圖一)。. 圖一關於艾薛爾的蝴蝶版畫原圖，如下圖所示：. (圖二) 從艾薛爾的蝴蝶版畫原圖中，可以很清楚的看到蝴蝶的輪廓是上下對稱，左右也是對稱，這是最簡單的一種鑲嵌方式。而艾薛爾在一篇文章中看到一個五邊形的網格(如圖二)，是這幅版畫的靈感來源。. E012 蝴蝶回饋單 1. 仔細想想，有哪些地方是使用正方形磁磚鋪設而成的呢?. 2. 請你回想一下，每一隻蝴蝶周遭圍繞著幾隻蝴蝶呢？(相鄰才算，只接觸一點不算) □ 4隻 □ 5隻 □ 6隻 □ 7隻 3. 蝴蝶的表面積與其數學骨架正方形的面積是否一樣？ 36.

(40) □ 是 □ 否 4. 如下圖，右邊蝴蝶是左邊蝴蝶旋轉幾度後的結果呢？. 5. 右下圖為艾薛爾在原圖中提及的一幅版畫《E086 蜘蛛》，這版畫也利用了正方形當作數學骨架，請參考左下圖所畫的數學骨架，在右下圖畫出正方形的數學骨架，並用找到的數學骨架說明如何剪貼出蜘蛛。. 6. 關於影片(含拼圖與著色遊戲)與本工作單的教材，你給予幾分(最多10分，最少0分) 10 9 又有何建議：. 8. 7. 6. 5. 4. 3. 2. 1. 0. ……………………………………………………………………………….................. 填單人姓名：_____________. 填單日期：____年____月____日. e-mail：電話： □ 學校班級. 老師. _____________. □. 學生. _____________ _____________. 37. □. 社會人士.

(41) E012 蝴蝶工作單 1. 第一幕的數學骨架是哪一個多邊形呢？ ■ 正方形 □ 鳶形 □ 矩形 2. 第二幕裁貼的過程中，用到了哪些數學方法？ □ 平移 ■ 旋轉 □ 翻面 3. 影片中有幾種顏色的蝴蝶？ ■ 兩種 □ 三種 □ 四種 4. 鋪滿數學舞台的蝴蝶們有哪些特色？ ■ 不重疊 ■ 無空隙 ■ 外形都一樣 E012 蝴蝶回饋單 1. 仔細想想，有哪些地方是使用正方形磁磚鋪設而成的呢?. 2. 請你回想一下，每一隻蝴蝶周遭圍繞著幾隻蝴蝶呢？(相鄰才算，只接觸一點不算) ■ 4隻 □ 5隻 □ 6隻 □ 7隻 3. 蝴蝶的表面積與其數學骨架正方形的面積是否一樣？ ■ 是 □ 否 4.如下圖，右邊蝴蝶是左邊蝴蝶旋轉幾度後的結果呢？ 90度 5.右下圖為艾薛爾在原圖中提及的一幅版畫《E086 蜘蛛》，這版畫也利用了正方形當作數學骨架，請參考左下圖所畫的數學骨架，在右下圖畫出正方形的數學骨架，並用找到的數學骨架說明如何剪貼出蜘蛛。. 38.

(42) E013 蜻蜓工作單撰稿：游雅婷引言：《E013 蜻蜓》是荷蘭版畫家艾薛爾在1937至1938年冬季畫的一幅版畫，每隻蜻蜓的顏色為單一顏色─非白色即藍色，主要繪圖工具為鉛筆、墨水與水彩，圖二也是艾薛爾對於《E013 蜻蜓》所做的封面圖，而我們影片裡的封面圖《蜻蜓》(如圖一)是艾薛爾在1957年6月所創作的一幅版畫：. 圖一圖二由圖一可以看到腹部的地方是凹進去的，與現實生活中相比略有不同，但是從他的眼睛、翅膀，我們不難看出他是一隻蜻蜓，大家一定很好奇我們的《E013 蜻蜓》又長著什麼樣子吧？就讓我們來一探究竟吧！請在電腦上點選《E013 蜻蜓.exe》進入影片的首頁，並按左上角的Q版圖開始撥放。. 一、蜻蜓的數學與藝術我們可以把蜻蜓的影片分成如下的四幕：第一幕：影片由正方形鋪滿構成數學舞台拉開序幕，而這正方形正是蜻蜓的數學骨架。第二幕：將數學舞台的一個正方形放大，從這正方形剪下六個小區塊後，依數學原理的旋轉貼到正確的位置，即裁貼出蜻蜓。第三幕：將蜻蜓外框的內部著上顏色成為藝術品並進行藝術表演，表演過程依各種適當角度將表演的蜻蜓們互相密合。第四幕：銜接第一幕的數學舞台並留下數學骨架的虛線邊，將蜻蜓一個一個放到數學骨架上的正確位置進而鋪滿數學舞台，而這種不互相重疊、無空隙、反覆且連續的鋪滿稱作鑲嵌或密鋪。 1. 第一幕的數學骨架是哪一個多邊形呢？ □ 正方形 □ 鳶形 □ 矩形 2. 第二幕裁貼的過程中，用到了哪些數學方法？ □ 平移 □ 旋轉 □ 翻面 3. 影片中有幾種顏色的蜻蜓？ □ 兩種 □ 三種 □ 四種 4. 鋪滿數學舞台的蝴蝶們有哪些特色？ □ 不重疊 □ 無空隙 □ 外形都一樣. 39.

(43) 二、如何從數學骨架裁貼出蜻蜓綜合下面兩個方式即可裁貼出蜻蜓，方式如下：甲、將正方形剪下六個小區塊 A , B , C , D , E , F，並將這六個小區塊貼到正確的位置上，即 A → a；B → b；C → c；D → d；E → e；F → f. 乙、如何貼到正確的位置呢？我們根據數學原理的旋轉： (1) A (2) B (3) C (4) D (5) E (6) F. → → → → → →. a ：將 A 區塊以正方形頂點為旋轉點旋轉到 a b ：將 B 區塊以正方形頂點為旋轉點旋轉到 b c ：將 C 區塊以正方形頂點為旋轉點向上旋轉到 c d ：將 D 區塊以正方形頂點為旋轉點向上旋轉到 d e ：將 E 區塊以正方形頂點為旋轉點向下旋轉到 e f ：將 F 區塊以正方形頂點為旋轉點向下旋轉到 f. 裁貼出蜻蜓後可以發現：正方形的四個頂點以順時針方向分別落在蜻蜓的頭頂、右翅膀後端點、尾巴以及左翅膀後端點，這就是蜻蜓在數學骨架上的正確位置。. 三、真的是蜻蜓磁磚嗎經由數學原理裁貼後的蜻蜓有什麼令人驚艷的地方呢？我們可以由第三幕的藝術表演觀察到經數學原理形成的蜻蜓可以彼此互相密合，而且有以下兩種密合方式： 40.

(44) (1) 左邊翅膀互相密合. (2) 右邊翅膀互相密合. 這種可以互相密合、無交疊且無空隙的蜻蜓圖案，我們稱之為蜻蜓磁磚。有了這兩種密合方式後，就可以用這兩種方式將很多個蜻蜓磁磚密鋪在平面上了。四、蜻蜓的鑲嵌圖甲、蜻蜓鑲嵌圖透過了解蜻蜓在數學骨架上的正確位置及兩種密合方式後，即可在數學骨架上密鋪出蜻蜓鑲嵌圖，左下圖是先將蜻蜓放在數學骨架上的正確位置，其他的蜻蜓除了要放在數學骨架上的正確位置外，還須一一按照兩種密合方式密鋪(如圖一)。. 圖一關於艾薛爾的蜻蜓版畫原圖，如下圖所示：. 41.

(45) 我們從版畫中可以很清楚的看到兩種顏色的蜻蜓分別對稱於正方形的兩條對角線唷！乙、蜻蜓拼圖遊戲看到這裡是否對蜻蜓鑲嵌有了更進一步的了解，下面是為大家精心準備好玩且有趣的蜻蜓拼圖遊戲，請再仔細觀察圖一蜻蜓的排列方式，遊戲開始囉！請在電腦上點選《E013 蜻蜓拼圖.exe》進入拼圖的首頁，並按左上角的Q版圖開始遊戲。. E013 蜻蜓回饋單 1. 仔細想想，你在那個地方見過正方形磁磚鋪設的地板？. 2. 請你回想一下，每一隻蜻蜓周遭圍繞著幾隻蜻蜓呢？(相鄰才算，只接觸一點不算) □ 2隻 □ 3隻 □ 4隻 □ 5隻 3. 蜻蜓的表面積與其數學骨架正方形的面積是否一樣？ □ 是 □ 否 4. 如下圖，右邊蜻蜓是左邊蜻蜓旋轉幾度後的結果呢？. 5. 請分別畫出下方兩隻蜻蜓的對稱軸。. 6. 右下圖為艾薛爾在原圖中提及的一幅版畫《E0127 鳥》，這版畫也利用了正方形當作數學骨架，請參考左下圖所畫的數學骨架，在右下圖畫出正方形的數學骨架，並用找到的數學骨架說明如何剪貼出鳥。. 42.


(47) E013 蜻蜓工作單 1. 第一幕的數學骨架是哪一個多邊形呢？ ■正方形 □ 鳶形 □ 矩形 2. 第二幕裁貼的過程中，用到了哪些數學方法？ □ 平移 ■ 旋轉 □ 翻面 3. 影片中有幾種顏色的蜻蜓？ ■ 兩種 □ 三種 □ 四種 4. 鋪滿數學舞台的蜻蜓們有哪些特色？ ■ 不重疊 ■ 無空隙 ■ 外形都一樣 E013 蜻蜓回饋單 1. 仔細想想，你在那個地方見過正方形磁磚鋪設的地板？ 2. 請你回想一下，每一隻蜻蜓周遭圍繞著幾隻蜻蜓呢？(相鄰才算，只接觸一點不算) □ 2隻 □ 3隻 ■ 4隻 □ 5隻 3. 蜻蜓的表面積與其數學骨架正方形的面積是否一樣？ ■ 是 □ 否 3. 如下圖，右邊蜻蜓是左邊蜻蜓旋轉幾度後的結果呢？ 90度 4. 請分別畫出下方兩隻蜻蜓的對稱軸。. 5.右下圖為艾薛爾在原圖中提及的一幅版畫《E0127 鳥》，這版畫也利用了正方形當作數學骨架，請參考左下圖所畫的數學骨架，在右下圖畫出正方形的數學骨架，並用找到的數學骨架說明如何剪貼出鳥。. 44.

(48) E018 白天與晚上工作單撰稿：游雅婷引言：《E018 白天與晚上》是荷蘭版畫家艾薛爾在1938年2月畫的一幅版畫，每隻鳥的身體為單一顏色─非白色即藍色，主要繪圖工具為鉛筆、墨水與水彩，而我們影片裡的封面圖《day and night》(如圖一)也是艾薛爾1938年2月所創作的一幅版畫：. 圖一圖二此幅版畫(圖一)是艾雪至今最受歡迎的作品之一，自 1938 年推出至 1960 年為止，總共銷售出 262 幅。1937 年艾雪的畫風轉變，創作題材不再侷限於風景及人物，他開始嘗試變形。在此畫作中，他巧妙利用黑與白的方形田地，將造型漸變為翱翔空中的飛鳥：右邊的田地變為飛翔於夜空的白鳥；左邊的田地則變為飛翔於白晝的黑鳥，由左到右為白晝到黑夜的逐步過渡。圖二是 Scientific American 這本書的封面圖，發行於 1961 年 4 月，由此可知《day and night》這幅版畫的重要性。就讓我們來看看這奧妙的世界吧！請在電腦上點選《E018 白天與晚上.exe》進入影片的首頁，並按左上角的Q版圖開始撥放。. 一、白天與晚上的數學與藝術我們可以把白天與晚上的影片分成如下的四幕：第一幕：影片由平行四邊形鋪滿構成數學舞台拉開序幕，而這平行四邊形正是白天與晚上的數學骨架。第二幕：將數學舞台的一個平行四邊形放大，從這平行四邊形剪下四個小區塊後，依數學原理的平移貼到正確的位置，即裁貼出白天與晚上。第三幕：將白天與晚上外框的內部著上顏色成為藝術品並進行藝術表演，表演過程依各種適當角度將表演的白天與晚上們互相密合。第四幕：銜接第一幕的數學舞台並留下數學骨架的虛線邊，將白天與晚上一個一個放到數學骨架上的正確位置進而鋪滿數學舞台，而這種不互相重疊、無空隙、反覆且連續的鋪滿稱作鑲嵌或密鋪。 1. 第一幕的數學骨架是哪一個多邊形呢？ □ 矩形 □ 鳶形 □ 平行四邊形 2. 第二幕裁貼的過程中，用到了哪些數學方法？ □ 平移 □ 旋轉 □ 翻面 3. 影片中有幾種顏色的鳥？ □ 兩種 □ 三種 □ 四種 45.

(49) 4. 鋪滿數學舞台的白天與晚上們有哪些特色？ □ 不重疊 □ 無空隙 □ 外形都一樣. 二、如何從數學骨架裁貼出白天與晚上綜合下面兩個方式即可裁貼出白天與晚上，方式如下：甲、將平行四邊形剪下四個小區塊 A , B , C , D，並將這四個小區塊貼到正確的位置上，即 A → a；B → b；C → c；D → d. 乙、如何貼到正確的位置呢？我們根據數學原理的旋轉： (1) A (2) B (3) C (4) D. → → → →. a b c d. ：將：將：將：將. A 區塊向右平移到 a B+a 區塊向上平移到 b C 區塊向右平移到 c D 區塊向右平移到 d. 裁貼出白天與晚上後可以發現：平行四邊形的其中三個頂點以順時針方向分別落在下方鳥的右翅膀後端點、下方鳥的左翅膀後端點(上方鳥的鳥嘴)以及上方鳥右翅膀與尾巴交接處，進一步我們發現到上方鳥的尾巴與左翅膀交接處恰好落在平行四邊形的邊上，這就是白天與晚上在數學骨架上的正確位置。. 46.

(50) 三、真的是白天與晚上磁磚嗎經由數學原理裁貼後的白天與晚上有什麼令人驚艷的地方呢？我們可以由第三幕的藝術表演觀察到經數學原理形成的白天與晚上可以彼此互相密合，而且有以下兩種密合方式： (1)左翅膀與右翅膀的密合 (2)尾巴互相密合. 這種可以互相密合、無交疊且無空隙的蝴蝶圖案，我們稱之為白天與晚上磁磚。有了這兩種密合方式後，就可以用這兩種方式將很多個白天與晚上磁磚密鋪在平面上了。四、白天與晚上的鑲嵌圖甲、白天與晚上鑲嵌圖透過了解白天與晚上在數學骨架上的正確位置及兩種密合方式後，即可在數學骨架上密鋪出白天與晚上鑲嵌圖，左下圖是先將白天與晚上放在數學骨架上的正確位置，其他的白天與晚上除了要放在數學骨架上的正確位置外，還須一一按照兩種密合方式密鋪(如圖一)。. 圖一關於艾薛爾的白天與晚上版畫原圖，如下圖所示：. 47.

(51) 艾薛爾在畫的左下方寫了一句話“see no.22, 29,30”，這一句話說明了白天與晚上與編號22, 29,30的版畫有著相同的密鋪方式。. E018 白天與晚上回饋單 1. 請你回想一下，每一隻白天與晚上周遭圍繞著幾隻白天與晚上呢？(相鄰才算，只接觸一點不算) □ 3隻 □ 4隻 □ 5隻 □ 6隻 2. 白天與晚上的表面積與其數學骨架平行四邊形形的面積是否一樣？ □ 是 □ 否 3. 下圖的白天與晚上們代表著有幾個平行四邊形數學骨架？ □ 2個 □ 4個 □ 6個 □ 8個. 4. 右下圖為艾薛爾在原圖中提及的一幅版畫《E022 鳥與魚》，與白天與晚上有著相同的密鋪方式，請參考左下圖所畫的數學骨架，在右下圖畫出平行四邊形的數學骨架，並用找到的數學骨架說明如何剪貼出鳥與魚。. 5. 白天與晚上的數學骨架除了是左下圖這種平行四邊形外，還有另一種平行四邊形也. 是白天與晚上的數學骨架，請參考左下圖所畫的數學骨架，在右下圖畫出另一種平行四邊形數學骨架，並用找到的數學骨架說明如何剪貼出白天與晚上。. 48.


(53) E018 白天與晚上工作單 1. 第一幕的數學骨架是哪一個多邊形呢？ □ 正方形 ■ 平行四邊形 □ 矩形 2. 第二幕裁貼的過程中，用到了哪些數學方法？ ■ 平移 □ 旋轉 □ 翻面 3. 影片中有幾種顏色的鳥？ ■ 兩種 □ 三種 □ 四種 4. 鋪滿數學舞台的白天與晚上們有哪些特色？ ■ 不重疊 ■ 無空隙 ■ 外形都一樣 E018 白天與晚上回饋單 1. 請你回想一下，每一隻白天與晚上周遭圍繞著幾隻白天與晚上呢？(相鄰才算，只接觸一點不算) □ 3隻 ■ 4隻 □ 5隻 □ 6隻 2. 白天與晚上的表面積與其數學骨架平行四邊形形的面積是否一樣？ ■ 是 □ 否 3. 下圖的白天與晚上們代表著有幾個平行四邊形數學骨架？ □ 2個 ■ 4個 □ 6個 □ 8個 4.右下圖為艾薛爾在原圖中提及的一幅版畫《E022 鳥與魚》，與白天與晚上有著相同的密鋪方式，請參考左下圖所畫的數學骨架，在右下圖畫出平行四邊形的數學骨架，並用找到的數學骨架說明如何剪貼出鳥與魚。. 5. 白天與晚上的數學骨架除了是左下圖這種平行四邊形外，還有另一種平行四邊形也. 是白天與晚上的數學骨架，請參考左下圖所畫的數學骨架，在右下圖畫出另一種平行四邊形數學骨架，並用找到的數學骨架說明如何剪貼出白天與晚上。. 50.

(54) E023 鳥工作單撰稿：游雅婷引言：《E023 鳥》是荷蘭版畫家艾薛爾在1938年6月畫的一幅版畫，每隻鳥的身體為單一顏色 ─紅色及白色，主要繪圖工具為鉛筆、墨水與水彩，而我們影片裡的封面圖《鳥》是艾薛爾在 1940年所創作的一幅版畫：. 圖一圖二圖二是艾薛爾將《E023 鳥》版畫中鳥的圖案設計在時鐘上，從圖中我們可以看到這群鳥大規模飛進又飛出的環繞著時鐘，他們將他稱之為「time flies」，表示時間過得很快！所以就趕快來欣賞一下《E023 鳥》的樣子是怎麼來的吧！請在電腦上點選《E013 蜻蜓.exe》進入影片的首頁，並按左上角的Q版圖開始撥放。. 一、鳥的數學與藝術我們可以把鳥的影片分成如下的四幕：第一幕：影片由正方形鋪滿構成數學舞台拉開序幕，而這正方形正是鳥的數學骨架。第二幕：將數學舞台的一個正方形放大，從這正方形剪下四個小區塊後，依數學原理的旋轉貼到正確的位置，即裁貼出鳥。第三幕：將鳥外框的內部著上顏色成為藝術品並進行藝術表演，表演過程依各種適當角度將表演的鳥兒們互相密合。第四幕：銜接第一幕的數學舞台並留下數學骨架的虛線邊，將鳥一個一個放到數學骨架上的正確位置進而鋪滿數學舞台，而這種不互相重疊、無空隙、反覆且連續的鋪滿稱作鑲嵌或密鋪。 1. 第一幕的數學骨架是哪一個多邊形呢？ □ 正方形 □ 鳶形 □ 矩形 2. 第二幕裁貼的過程中，用到了哪些數學方法？ □ 平移 □ 旋轉 □ 翻面 3. 影片中有幾種顏色的鳥？ □ 兩種 □ 三種 □ 四種 4. 鋪滿數學舞台的鳥兒們有哪些特色？ □ 不重疊 □ 無空隙 □ 外形都一樣. 二、如何從數學骨架裁貼出鳥綜合下面兩個方式即可裁貼出鳥，方式如下： 51.

(55) 甲、將正方形剪下四個小區塊 A , B , C , D，並將這四個小區塊貼到正確的位置上，即 A → a；B → b；C → c；D → d. 乙、如何貼到正確的位置呢？我們根據數學原理的旋轉： (1) A (2) B (3) C (4) D. → → → →. a b c d. ：將：將：將：將. A B C D. 區塊以正方形頂點為旋轉點旋轉到 a 區塊以正方形頂點為旋轉點向上旋轉到 b 區塊以正方形頂點為旋轉點旋轉到 c 區塊以正方形頂點為旋轉點向下旋轉到 d. 裁貼出鳥後可以發現：正方形的四個頂點以順時針方向分別落在鳥的左翅膀後端點、頭頂、鳥的右翅膀前端點以及尾巴下方，這就是鳥在數學骨架上的正確位置。三、真的是鳥磁磚嗎經由數學原理裁貼後的蝴蝶有什麼令人驚艷的地方呢？我們可以由第三幕的藝術表演觀察到經數學原理形成的蝴蝶可以彼此互相密合，而且有以下兩種密合方式： (1)頭頂互相密合 (2)左翅膀與右翅膀的密合. 52.

(56) 這種可以互相密合、無交疊且無空隙的蝴蝶圖案，我們稱之為鳥磁磚。有了這兩種密合方式後，就可以用這兩種方式將很多個鳥磁磚密鋪在平面上了。四、鳥的鑲嵌圖甲、鳥鑲嵌圖透過了解鳥在數學骨架上的正確位置及兩種密合方式後，即可在數學骨架上密鋪出鳥鑲嵌圖，左下圖是先將鳥放在數學骨架上的正確位置，其他的鳥除了要放在數學骨架上的正確位置外，還須一一按照兩種密合方式密鋪(如圖一)。. 圖一關於艾薛爾的鳥版畫原圖，如下圖所示：. 艾薛爾在畫的左下方寫了一句話“see no. 15”，這一句話說明了鳥與編號15 的版畫有著相同的密鋪方式。. 53.

(57) 乙、鳥拼圖遊戲看到這裡是否對鳥鑲嵌有了更進一步的了解，下面是為大家精心準備好玩且有趣的鳥拼圖遊戲，請再仔細觀察圖一鳥的排列方式，遊戲開始囉！請在電腦上點選《E023 鳥拼圖.exe》進入拼圖的首頁，並按左上角的Q版圖開始遊戲。. E023 鳥回饋單 1. 請你回想一下，每一隻鳥周遭圍繞著幾隻鳥呢？(相鄰才算，只接觸一點不算) □ 3隻 □ 4隻 □ 5隻 □ 6隻 2. 鳥的表面積與其數學骨架正方形的面積是否一樣？ □ 是 □ 否 3. 請問下面兩個圖形是否都是正方形呢? □ 是 □ 否. 4. 承上題，這兩個圖形的面積一樣嗎? 提示：. 5. 請參考右下圖並判斷左下圖的下方鳥是上方鳥旋轉幾度後的結果呢？. 6. 右下圖為艾薛爾在原圖中提及的一幅版畫《E015 蜥蜴》，與鳥有著相同的密鋪方式，請參考左下圖所畫的數學骨架，在右下圖畫出正方形的數學骨架，並用找到的數學骨架說明如何剪貼出蜥蜴。. 54.


(59) E023 鳥工作單 1. 第一幕的數學骨架是哪一個多邊形呢？ ■ 正方形 □ 鳶形 □ 矩形 2. 第二幕裁貼的過程中，用到了哪些數學方法？ □ 平移 ■ 旋轉 □ 翻面 3. 影片中有幾種顏色的鳥？ ■ 兩種 □ 三種 □ 四種 4. 鋪滿數學舞台的鳥兒們有哪些特色？ ■ 不重疊 ■ 無空隙 ■ 外形都一樣 E023 鳥回饋單 1. 請你回想一下，每一隻鳥周遭圍繞著幾隻鳥呢？(相鄰才算，只接觸一點不算) □ 3隻 ■ 4隻 □ 5隻 □ 6隻 2. 鳥的表面積與其數學骨架正方形的面積是否一樣？ ■ 是 □ 否 3. 請問下面兩個圖形是否都是正方形呢? ■ 是 □ 否 3. 承上題，這兩個圖形的面積一樣嗎? 一樣 4. 請參考右下圖並判斷左下圖的下方鳥是上方鳥旋轉幾度後的結果呢？ 180度 5. 右下圖為艾薛爾在原圖中提及的一幅版畫《E015 蜥蜴》，與鳥有著相同的密鋪方式，請參考左下圖所畫的數學骨架，在右下圖畫出正方形的數學骨架，並用找到的數學骨架說明如何剪貼出蜥蜴。. 56.

(60) E027 蝴蝶與魚工作單撰稿：游雅婷引言：《E027 蝴蝶與魚》是荷蘭版畫家艾薛爾在1939年3月畫的一幅版畫，每隻蝴蝶與魚的身體為單一顏色─深紅色及白色，主要繪圖工具為鉛筆與水彩，而我們影片裡的封面圖《變形Ⅱ》的一部分是艾薛爾在1939~1940年所創作的一幅版畫：. 圖中左半邊是蝴蝶與魚組成，而右半邊是鳥與魚組成，也就是艾薛爾的《E029 鳥與魚》版畫，這只是版畫中的一小部分，整個版畫總長有六英呎，是由五個小段所組成，而每個小段又代表著艾薛爾的其他版畫，會有這樣的設計，全是源自於”metamorphosis（變形）”這個字。現在就讓我們觀賞《E027 蝴蝶與魚》版畫吧！請在電腦上點選《E013 蜻蜓.exe》進入影片的首頁，並按左上角的Q版圖開始撥放。. 一、蝴蝶與魚的數學與藝術我們可以把蝴蝶與魚的影片分成如下的四幕：第一幕：影片由正方形鋪滿構成數學舞台拉開序幕，而這正方形正是蝴蝶與魚的數學骨架。第二幕：將數學舞台的一個正方形放大，從這正方形剪下七個小區塊後，依數學原理的平移貼到正確的位置，即裁貼出蝴蝶與魚。第三幕：將蝴蝶與魚外框的內部著上顏色成為藝術品並進行藝術表演，表演過程依各種適當角度將表演的蝴蝶與魚們互相密合。第四幕：銜接第一幕的數學舞台並留下數學骨架的虛線邊，將蝴蝶與魚一個一個放到數學骨架上的正確位置進而鋪滿數學舞台，而這種不互相重疊、無空隙、反覆且連續的鋪滿稱作鑲嵌或密鋪。 1. 第一幕的數學骨架是哪一個多邊形呢？ □ 正方形 □ 鳶形 □ 矩形 2. 第二幕裁貼的過程中，用到了哪些數學方法？ □ 平移 □ 旋轉 □ 翻面 3. 影片中有幾種顏色的蝴蝶(魚)？ □ 一種 □ 兩種 □ 三種 4. 鋪滿數學舞台的蝴蝶與魚們有哪些特色？ □ 不重疊 □ 無空隙 □ 外形都一樣. 二、如何從數學骨架裁貼出蝴蝶與魚綜合下面兩個方式即可裁貼出蝴蝶與魚，方式如下：甲、將正方形剪下七個小區塊 A , B , C , D , E , F , G，並將這七個小區塊貼到正確的位置上，即 A → a；B → b；C → c；D → d；E → e；F → f； G → g 57.