建國中學物理講義第一冊
力學篇（一）
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直線運動 §1-1 位移 §1-2 速度 §1-3 加速度 §1-4 等加速度直線運動 §1-5 自由落體 §1-6 光滑斜面上的運動 §1-7 相對運動 §1-1 位移 1. 前言： • 運動學：描述物體在空間的位置隨時間的變化。 • 動力學：探討引起物體各種運動的原因。 • 質點：當一物體其體積遠小於其移動的空間，或物體 只有移動而無轉動時，可將物體視為質點，如此可簡 化對物體運動的描述。 2. 位置： • 位置：物體相對於參考點（坐標原點）的空間關係，為 一向量，稱為位置向量。 • 位置的座標表示法：利用數學的坐標來描述，所選取的坐 標，在物理學上稱參考坐標系。例如在下圖中，取 O 點 為 x 坐標軸的原點，質點在 A 點的位置坐標記為 x = 3cm，在 B 點則記為 x = - 2cm。 • 位置函數：質點在一直線運動，其位置座標 x 與時間 t 之 關係可以函數 x = x(t) 表示。例如： 0 0 2 0 0 (1) x x v t x v 1 (2) x x vt at x v a 2 = + = + + 等速度運動： （ ， 為定值） 加速運動： （ ， ， 為定值） • x – t 圖：取橫軸代表時間坐標 t，縱軸代表位置坐標 x，將 質點運動的函數 x(t) 畫成 x 對 t 的關係圖線，稱為 x - t 圖。 例如：(1) 等速度運動： x t x0 x t x0 (2)加速度運動： 0 x=x +vt 2 0 1 x x vt at 2 = + + 3. 時間坐標：用來指明事件所發生的時間。 時刻：事件發生的時候（某一時間點），如第三秒，三秒末或 四秒初。 時距：事件經歷的長短（一段時間），如三秒內、第三秒內。 第三秒或第三秒末 二秒末或三秒初 第三秒內 0s 1s 2s 3s 4s 三秒內 4. 路徑長與位移： • 路徑：質點移動所經過的路線或軌跡，路徑的總長度稱 為路徑長，為純量。 • 位移：位置坐標的變化量，以Δx 表示，為一向量。 量值：起點至終點的直線距離。 方向：由起點指向終點。 位移表示法： Δx = x2– x1。 0 X1 X2 t1 t2 x 註： • 位移僅與起點、終點有關，與所經路徑、所經時間與所選 取的座標無關。 • 作直線運動的物體，其運動如無折返的情形，則路徑長等 於位移的量值。 Δx
例題：作直線運動的質點，其位置座標與時間的關係為 x = - 3t2+ 6t + 2（x：公尺，t：秒），求此質點 (1) 最初之 位置；(2) 3 秒內之位移；(3) 第 2 秒內之位移；(4) 3 秒內 運動之路徑長；(5) 畫出 x - t 圖。 解：(1) x = 2 公尺 (2) x∆ = −9 公尺 (3) x∆ = −3 公尺 t x 5 2 0 1 2 3 (5) (4) 15公尺
§1-2 速度
1. 平均速度： • 定義：在某一時距內，物體單位時間內所經的位移。 • 公式： 2 1 2 1 x x x v t t t − ∆ = = ∆ − • 單位：公尺∕秒（m / s） • 方向：平均速度為一向量， 其方向同位移方向 • 圖形意義：x – t 圖中割線的 斜率為平均速度 x x2 x1 0 t1 t2 t Δx Δt 2. 瞬時速度： • 意義：某一時刻的速度或極短時間的平均速度。 • 定義公式： 2 1 t 0 t 0 2 1 t 0 t 0 x x x v(t) lim lim t t t x(t t) x(t) lim t x(t) x(t t) lim t dx x t dt ∆ → ∆ → ∆ → ∆ → − ∆ = = − ∆ + ∆ − = ∆ − − ∆ = ∆ = （ 對 的微分） t t + Δt x(t) x(t+Δt) x 0 • 瞬時速度的方向：在軌跡的 切線方向。 • 圖形意義：x – t 圖中該點的 切線斜率為順時速度。 x x2 x1 0 t1 t2 t 例題：作直線運動的質點，其位置對時間的關係式為 x = 5 t2（SI制），求 t = 2s 時質點的瞬時速度。 Δt 1 0.5 0.1 0.01 0.001 Δx 25 11.25 2.05 0.2005 0.020005 Δx∕Δt 25 22.5 20.5 20.05 20.005 解： t = 2s ，v = 20 m/s t 0 2 2 t 0 2 2 2 t 0 2 t 0 t 0 dx x(t t) x(t) v lim dt t 5(t t) 5t lim t 5(t 2t t t ) 5t lim t 10t t 5 t lim lim(10t 5 t) t 10t ∆ → ∆ → ∆ → ∆ → ∆ → + ∆ − = = ∆ + ∆ − = ∆ + ∆ + ∆ − = ∆ ∆ + ∆ = = + ∆ ∆ = 另解： t t + Δt x(t) x(t+Δt) x 0 t=2sv= × =10 2 20m / s n n 1 x(t) at nat dx x(t) sin at a cos at dt x(t) cos at a sin at − = = = = − 若 • 微分的公式： n n 1 2 n n 1 2 1 0 n 1 n 2 n n 1 2 1 x(t) a t a t a t a t a v(t) na t (n 1)a t a t a − − − − − = + + + + + = + − + + ⋯ ⋯3. 平均速率： • 意義：表示某一時段，物體運動快慢的程度 • 定義：物體單位時間所經的路徑長。 • 公式： s v t ∆ = ∆ ℓ（所經路徑長） （所經時間） 4. 瞬時速率： 意義：極短時間的平均速率或瞬時速度的量值。 公式： s t 0 t 0 x v lim lim t t ∆ → ∆ → ∆ ∆ = = ∆ ∆ ℓ 註：直線運動如無折返現象，則平均速率等於平均速度量值。 例題：作直線運動的質點，其位置座標與時間的關係為 x = - 3t2+ 6t + 2（SI 制），求此質點 (1) 三秒內的平均速度；(2) 三秒內的平均速率； (3) 2 秒時的瞬時速度。 答案：(1)－3 m∕s (2) 5 m∕s (3) －6 m∕s 5. 位移為 v - t 圖內所圍面積： 若知物體的速度隨時間變化的關係 v(t)，如何求 t 秒內位移？ 畫出 v - t 圖，如右圖所示，將時間 t 細分成許多小段 Δt，每一小時段 v 取最小值來計算位移，再把每一 小時段的位移加總即為總位移。如 此所得的位移與實際位移的誤差將 隨著 Δt 的減小而變小。因此 v 0 t1t2 .... tn t t n n i i t 0 t 0 i 1 i 1 0 x lim x lim v(t ) t v(t)dt v t t ∆ → = ∆ → = ∆ = ∆ = ∆ = = −
圖內 秒內所圍面積 微積分基本定理：微分是積分的反函數 例題：作直線運動的質點，其速度對時間的關係式為 v = 4 - 3 t（SI制），求 2 秒內質點的位移。 4 3 2 4 - 2 v t 答案：2 公尺 例題：一直線運動質點的 v - t 圖如右 圖所示，已知質點的初位置為 x = -10 公尺，則質點在第 8 秒的位置為 (A) +8 (B) +10 (C) +2 (D) -2 (E) -10 公尺。 答案：A 例題：右圖為某週期運動的 速度 - 時間的關係：T為週 期。時間等於那兩個值時， 質點通過相同位置 [69.夜大] 速度 時間 T 2 0 T 1 3 1 5 (A) T T (B) T T 8 8 8 8 3 5 1 1 3 (C) T T (D) 0 T (E) T T 8 8 2 4 4 和 和 和 和 和 答案：CE§1-3 加速度 1. 平均加速度： • 定義：一段時間內物體在單位時間的速度變化量。 • 公式： 2 1 2 1 v v v a t t t − ∆ = = ∆ − • 單位：公尺∕秒2。 • 方向：平均加速度的方向為 速度變化量的方向。 • 圖形意義：v – t 圖內割線的 斜率為平均加速度。 v v1 v2 0 t1 t2 t Δv Δt 2. 瞬時加速度： • 意義：極短時間內的平均加速度 • 定義公式： 2 1 2 2 1 2 t t 2 1 v v dv d x a lim t t dt d t → − = = = − 即加速度為速度對時間的一次微分， 或位置坐標對時間的二次微分。 • 圖形意義：v – t 圖內切線的的斜率 為該時刻的瞬時加速度。 v v2 v1 0 t1 t2 t 註：加速度與速度同向，則速率增快； 加速度與速度反向，則速率減慢。 例題：作直線運動的質點，其位置座標對時間的關係為 x = - 3t2 + 6t + 2（x：公尺，t：秒），試求 (1) 第 2 秒內的平均加速度 (2) 2 秒時的瞬時加速度 答案：(1) －6 m∕s2 (2) －6 m∕s2 3. 速度變化量為 a - t 圖內所圍面積為： 與前面所述，位移為 v – t 圖內所圍面積的道理相同，物體 在一段時間內的速度變化量為 a(t) 對時間做積分，或 a – t 圖內所圍面積。即 t 0 v a(t)dt a t t ∆ = = − 圖內 秒內所圍面積 0 0 v v v v(t) v v v a t ∆ = − = = + ∆ （ − 圖內內所圍面積） 0 0 x x x x(t) x x x v t ∆ = − = = + ∆ （ − 圖內內所圍面積） x(t)→求切線斜率微分 v(t)→求切線斜率微分 a(t) a(t)→求面積積分 v(t)→求面積積分 x(t) 總結： 運動狀態 函數 等速度運動 等加速度運動 x (t) v (t) a (t) a = 0 a（定值） 0 0 x=x +v t 2 0 0 1 x x v t at 2 = + + 0 v=v (定值) v=v0+at 例如： x (t) t A B C D E 例題：作直線運動的質點，其位 置坐標 x 與時間 t 的關係圖如右 圖所示，試問 (1) 哪一時段速度為正？ (2) 哪一時刻速度為零？ (3) 哪一時段速率增快？ (4) 哪一時段加速度為正？ 答案：(1) A～B 與 D～E (2) B 與 D (3) B～C 與 D～E (4) C～E
§1-4 等加速度直線運動 若物體以一定的加速度 a 在一直線上運動，當時間 t = 0 時，位置座標在 x0處，速度為 v0。經時間 t 後，位置 座標在 x 處，速度變為 v ，則 0 2 0 0 2 2 0 (1) v v at 1 (2) x x x v t at 2 (3) v v 2a x = + ∆ = − = + = + ∆ t = 0 x0 v0 0 t x v x 0 0 (1) a t v v - v a - t at v v at (1) − ∆ = = = = + ⋯⋯ 證明： 圖如右上圖所示， 圖內所圍面積 0 2 0 (2) v t x v t 1 (v v)t v t (2) 2 1 v t at 2 − ∆ = − = + = = + ⋯⋯ 圖如右下圖所示， 圖內所圍面積 a t a t 0 at v0 at v 2 1 at 2 0 v t v v0 t t 0 2 2 0 0 0 2 2 0 v - v (3) (1) t (2) a v - v v v 1 x (v v)( ) 2 a 2a v v 2a x = − ∆ = + = = + ∆ 由 式得 代入 式可得 0 2 0 0 0 dx v v at 1 x x v t at dt 2 t 0 x x = = + = + + = = 微積分的證明： 時 0 0 dv a v v at dt t 0 v v = = = + = = 定值 時 例題：某人駕車在高速公路上以 90 km∕hr 的速率，突然見 到前方有交通事故，立即踩煞車。假設車子作等加速度直線 運動，其加速度大小為10 m∕s2，則車子在完全停止前，共 經歷多少時間？將滑行多遠？ 答案：2.5 秒；31.25 公尺 例題：甲車以10米∕秒，乙車以 4米∕秒之速率在同一車 道中同向前進，若甲車之駕駛員在離乙車後方距離 d 處發 現乙車，立即踩煞車而使其車獲得負 2米∕秒2之定值加速 度，為使兩車不至相撞，則 d 之值至少應大於： (A)3米 (B)9米 (C)16米 (D)20米 (E)25米。 [70日大] 答案：B 2 2 u v 2 + 答案： 例題：火車以等加速度行駛。其前端通過車站某一點時速率 為 u，後端通過時速率為 v。火車中點通過該點時速率為何？ [66.日大]
例題：作等加速直線運動之物體，在 t 時距內其速度自 v 變至 −2v，則在此時距內，其平均速度值與平均速率之比為何？ 答案：3：5 例題：物體作直線運動，先以 4 公尺∕秒2的等加速度從 靜止開始運動，接著以 -2 公尺∕秒2的等加速度運動直到 停止。若運動的總距離為 150公尺，則此物體運動所需時 間為若干？ [83.日大] 答案：15 秒 §1-5 自由落體 1. 自由落體運動： 當物體只受到地球引力的作用，不受其它任何阻力的影響 而從空中落下的運動。 2. 重力加速度： • 自由落體的運動為等加速度運動，其加速度的量值約為 9.8 m/s2，稱為重力加速度或重力場強度，簡記為 g。 • 因物體所受的重力與高度有關，故重力加速度與高度有 關，越高處其值越小。 • 在地表附近的重力加速度，因地球在兩極處略扁平及地球 自轉的影響而稍有差異。 • 國際上取北緯 45o 海平面的重力加速度量值為 9.80665m/s2 為標準值。 3. 實驗： • 伽立略曾將兩個不同重量的鐵球，同時從比薩斜塔自由釋 放，結果兩鐵球幾乎同時著地。 • 1971年 8月 2日太空人大衛史考特在月球上同時釋放一把 鐵鎚和一根羽毛，結果發現兩者幾乎同時落到月球表面。 4. 自由落體公式： 取鉛直方向的座標為 y 座標，向上為正。 自由落體為等加速度直線運動，加速度 a = - g，因此適用等加速度直線運動的 公式 0 2 0 2 2 0 (1) v v gt 1 (2) y v t gt 2 (3) v v 2g y = − ∆ = − = − ∆ y v0 v y0 y t = 0 t 0 • v0= 0：由靜止釋放 • v0> 0：鉛直上拋 • v0< 0：鉛直下拋 5. 自由落體的性質： • 由靜止釋放的物體，下降 h 的高度後，末速 v 為 v= 2gh • 以 v0 鉛直上拋的物體，上升的最大高度 h 與所需時間 t 分別為 2 0 0 v v h t 2g g = ； = • 上拋體經過某一段高度差的時間，與下降過程經過同一 段高度差的時間相等。 • 上拋體經過某一高度的速度與下降過程經同一高度時的 速度大小相等，方向相反。
例題：一熱汽球正以 20m/s 等速上升，距地面 25m之瞬間， 從熱汽球底部掉落一小螺絲釘，則此釘（g＝10m/s2） (1) 經幾秒著地？ (2) 著地時速度為何？ (3) 所走過的路徑長為何？ 答案：(1) 5 秒 (2) －30 m∕s t = 2s t = 5s (3) 65 公尺 例題：一滴管管口高出地板 81cm，且每滴水滴下之時距均 相同，第 1 滴滴下抵地板時，第 4 滴恰好要滴下，則此時第 3 滴距地板高若干 cm？ 答案：72 cm 例題：在樓頂將一石子以某一初速鉛直上拋，經 t1 秒後落 地，改將石子自樓頂同處以相同初速率鉛直拋下，經 t2 秒後 落地。若使石子由樓頂同處自靜止落下，則經若干秒落地？ 1 2 t t 答案： 例題：自高處自由落下的物體，其前半程與後半程落下所 需時間之比為何？ [63.日大] 1: 2 1− 答案： 例題：物體以速度 v 被垂直上拋；設重力加速度為 g，則自拋 出上升到其最大高度的一半處，所需時間為何？ [87.日大] v 2 (1 ) g − 2 答案： 例題：有一石頭由高 h 公尺處自由落下，同時有一石頭在 同一鉛直線上以初速 v 公尺∕秒 由地面向上拋。 (1) 如要兩石在空中相撞，則 v 需大於多少？ (2) 如要在上拋石頭上升過程相撞，則 v 需滿足何種條件？ (3) 如要在上拋石頭下降過程相撞，則 v 需滿足何種條件？ gh gh (1) v (2) v gh (3) gh v 2 2 > > > > 答案：
光滑斜面上的運動 物體在光滑鞋面上的運動為等加速度直線運動，斜面的 傾斜角如為θ，則加速度的大小為 g sinθ。如以斜面方 向為 x 座標，斜上為正，斜下為負，則公式變成 0 2 0 2 2 0 v v (g sin )t 1 x v t (g sin )t 2 v v 2(g sin ) x = − θ ∆ = − θ = − θ ∆ θ 例題：如右圖，某物體自靜止沿著光滑 路徑 A 或 B 滑至底部，試求 (1) 滑至底部所需的時間比 (2) 滑至底部的速率比 60o 30o A B h A B (1) t : t = 3 :1 解： (2) 1：1 ＝ 斜面長度比 §1-6 相對運動 ∆x 車地 ∆x物車 x ∆ 物地 0 x 1. 相對運動：不同的觀察者 ( 坐標系)，如果他們的運 動狀態 (速度) 不同，對同 一個物體運動的描述會有 所不同。 2. 相對位移：如上圖所示，物相對於地的位移等於物相對 車的位移加上車相對於地的位移。因此如 ΔxCA代表 A 所 看到的 C 的位移，或者稱為 C 相對於 A 的位移。則有 CA CB BA x x x ∆ = ∆ + ∆ 下標 A 不寫出來，則上式可改寫成 CB C B x x x ∆ = ∆ − ∆ 3. 相對速度：將相對位移的關係式兩邊同除以所經時間 Δt，令 Δt 趨近於零，即得到相對速度的關係式 CA CB BA v =v +v 4. 相對加速度：將上面相對速度的關係式兩邊對時間作 微分，即得到相對加速度的關係式 CA CB BA a =a +a A 如為地面觀察者且下標不寫出來，則上式可改寫成 CB C B v =v −v 或 CB C B a =a −a 例題：甲以 4 公尺∕秒向東運動，甲看乙正以 10 公尺∕秒 向西運動，則乙的速度為何？ 答案：6 公尺 / 秒，向西 例題：自一等速上升，速度為 5公尺∕秒 的氣球，在距地面 100公尺處自底部放下一石子，則一秒後石子與氣球底部之 距離為多少米？ 答案：－4.9
例題：電梯正以 3g 之加速度垂直上升（設重力加速度 g為常 數）。其天花板上懸吊一物，該物離電梯地板之高度為 h。 若該物突然掉落，則歷時 ________ 秒會碰到地板。 [84.日大] h 2g 答案：
THE END
練習題 位移、速度、加速度 一、單選題： 1. 如圖為一物沿直線運動之位置（x）對時間（t）的關係， 在關係曲線中，哪一段表示速度為負而加速度為正？ (Ａ) AB (Ｂ) CD (Ｃ) EF (Ｄ) BC (Ｅ) DE。 2. 下列敘述，何者錯誤？ (Ａ)瞬時加速度之方向不一定與瞬時速度之方向相同 (Ｂ)等 速度運動必為直線運動 (Ｃ)在直線運動中，（初速＋末速）÷2＝平均速度 (Ｄ)在等速 度運動中，任一瞬間之瞬時速度等於全程之平均速度 (Ｅ)在等速度運動中，瞬時速率 等於平均速率。 3. 直線上一運動方向不變的物體，若其速度的量值愈來愈大，則下列哪個選項較有可能？ (Ａ)加速度與速度方向垂直 (Ｂ)加速度與運動方向垂直 (Ｃ)加速度的大小愈來愈小 (Ｄ)加速度為零 (Ｅ)單位時間內路徑的變化量愈小。 4. 如圖為甲、乙、丙三車直線運動的 v－t 圖，下列敘述何者正確？ (Ａ) t 時刻三車相遇 (Ｂ) t 時刻丙車在最前面 (Ｃ) t 時刻三車加 速度大小順序 a甲＜a乙＜a丙 (Ｄ)出發後 t 時間內，三車平均速度 相等 (Ｅ)出發後 t 時間內，三車之平均加速度相等。 5. 加速度方向必與下列哪些物理量方向相同？ (Ａ)運動之方向 (Ｂ) 位移之方向 (Ｃ)速度之方向 (Ｄ)速度變化之方向 (Ｅ)物體軌跡之切線方向。 6. 甲、乙、丙三臺車以相同的速度 v 經過 A 點，甲車一直維持等速直線運動，乙車先減 速後再加速前進，而丙車則先加速後再減速前進。當它們經過 B 點時三臺車的速度又 同為 v，則三臺車行經 A、B 兩點間平均速度最小的為 (Ａ)甲 (Ｂ)乙 (Ｃ)丙 (Ｄ) 三者相同 (Ｅ)無法判斷。 7. 有一物體在一直線上運動，其加速度之變化情形如圖所示，則該物體 速度(v)與時間(t)的關係圖可能為何？ (A) (B) (C) (D) (E) 8. 一物體作直線運動，其位置與經歷時間之關係為：x＝2t－5t2，經幾秒後物體會回至原 位？ (Ａ) 0.2 (Ｂ) 0.4 (Ｃ) 0.5 (Ｄ) 1 (Ｅ)不能求。 9. 某物體作直線運動，其位置對時間的關係圖（即 x－t 圖）如圖所 示，則此物體的路徑長與位移量值之比為若干？ (Ａ) 3：2 (Ｂ) 2：3 (Ｃ) 4：1 (Ｄ) 3：1 (Ｅ) 1：1。 10. 某質點其加速度 a 與時間 t 之關係為 a＝4t－8（t 單位：秒，a 單 位：m/s2），設 t＝0 時，初速度為 v0＝40 m/s，則出發後 10 秒速度
為何？ (Ａ) 140 (Ｂ) 145 (Ｃ) 150 (Ｄ) 155 (Ｅ) 160 m/s。 11. 一人身高為 1.7 公尺，以每小時 2 公里的速率，由高為 3.4 公尺的路燈正下方沿一直線 走出，則此人的頭頂在水平地面上的影子速率為 (Ａ) 2 公里／小時 (Ｂ) 4 公里／小 時 (Ｃ) 1 公里／小時 (Ｄ) 2 1 公里／小時 (Ｅ) 3 公里／小時。 12. 某質點的速度對時間關係圖如圖所示，下列說法中正確的是 (Ａ)質點在 t＝1 秒，運動方向發生變化 (Ｂ)質點在第 2 秒內 和第 3 秒內加速度大小相等而方向相反 (Ｃ)質點在第 3 秒內 速率不變 (Ｄ)在 t＝0 到 7 秒內，質點的位移為負值 (Ｅ)質 點在 2 秒末間與 4 秒末在同一位置。 13. 一質點的運動方程式為 x＝36－12t＋t2（單位用 MKS 制），則此質點從 0 到 12 秒運動 過程的平均速率為若干？ (Ａ) 3 (Ｂ) 0 (Ｃ) 6 (Ｄ) 12 (E) 18 m/s。 14. 有一質點的 v－t 圖如圖（v：單位 m/s），若該質點出發點位於＋ 60 m，則該質點於幾秒後回到坐標原點？ (Ａ) 4 (Ｂ) 2 (Ｃ) 8 (Ｄ) 6 秒。 15. 在一直線上運動的小滑車，在 10 秒內由 4 m/s 向東的速度，變 成 2 m/s 向西的速度，則其平均加速度為何？ (Ａ)向東 0.6 m/s2 (Ｂ)向西 0.6 m/s2 (Ｃ)向東 0.2 m/s2 (Ｄ)向西 0.2 m/s2 (Ｅ)向東 0.8 m/s2。 16. 一物作等加速度直線運動，每經∆t 照一次像，在照片中發現某相鄰兩像之距離為 d1， 次相鄰兩像之距離為 d2，則此物之加速度為 (Ａ) 1 22 t 2 d d ） （ ＋ ∆ (Ｂ) 2 1 2 t d d ） （ － ∆ (Ｃ) 2 2 2 2 1 t 2 d d ） （ ＋ ∆ (Ｄ) t d d2 1 ∆ － (Ｅ) 2 12 t 2 d d ） （ － ∆ 。 二、多重選題： 1. 作直線運動的物體 A、B、C，其 x－t 圖如圖所示，則 (Ａ) A 的 初速率最大 (Ｂ) B 作等速度運動 (Ｃ) C 是沿正向運動但速率 逐漸減慢 (Ｄ) A 的加速度與速度同方向 (Ｅ) C 的加速度與速 度反方向。 2. 一物作直線運動，位置（x）對時間（t）之關係如圖所示，則 (Ａ) t2、t4 時刻之速度值為 0 (Ｂ) t1 至 t2 時距，係向負方向增速 (Ｃ) t1 時刻加速度值為 0 (Ｄ) t2 至 t3 時距，物體之速度為負，加 速度為正 (Ｅ) t3 至 t4 時距，物體之速度量值漸減。 3. 在直線運動中，下列敘述何者正確？ (Ａ)加速度大於零，則速 率加快 (Ｂ)加速度小於零，則速率變慢 (Ｃ)加速度與速度同方向，則速率加快 (Ｄ)加速度與速度方向相反，則速率變慢 (Ｅ)加速度的方向與 位移方向相同。 4. 如圖為質點沿一直線運動之位置－時間圖，則 (Ａ)前 10 秒內 之平均速率為 8 m/s (Ｂ)前 10 秒內之平均速度為 4 m/s (Ｃ) 第 1 秒末至第 6 秒末之平均加速度大小為 5 m/s2 (Ｄ)第 6 秒末
之瞬時速度為 0 (Ｅ)第 8 秒末之瞬時速度大小為 20 m/s。 5. 某質點之位置－時間關係為 x＝t2－2t＋1，則 (Ａ)物體作等加速度運動 (Ｂ)其軌跡為 拋物線 (Ｃ)第 1 秒末回到原出發點 (Ｄ)前 4 秒內平均速度之量值為 2 m/s (Ｅ)前 4 秒內平均速率為 2 m/s。 6. 一人上山之速率為 v，下山之速率為 u，今上山後又下山回到原出發點，則 (Ａ)平均速度為 2 1 （u＋v） (Ｂ)平均速率為 2 1 （u＋v） (Ｃ)平均速度、平均速率均為 0 (Ｄ)平均速度為 0 (Ｅ)平均速率為 v u uv 2 ＋ 。 7. 某物運動之位置（x）對時間（t）的函數關係為 x＝－t2＋8t＋10，單位為 MKS 制，則 物體 (Ａ)前 4 秒的位移為 26 m (Ｂ) 2 秒末的加速度為－2 m/s2 (Ｃ) 3 秒末的速度為 2 m/s (Ｄ)前 4 秒內的平均速度為－4 m/s (Ｅ)前 5 秒內的平均速率為 3.4 m/s。 8. 一火箭地面上點火後，沿鉛直方向加速上升，燃料用盡後再 落回地面。如 v－t 圖所示為該火箭運動過程中的速度對時間 關係，下列有關該火箭運動的敘述，哪些正確？ (Ａ)第 10 秒後火箭開始下降 (Ｂ)當火箭落下過程其加速度量值為 10 m/s2 (Ｃ)火箭上升的最大高度為 10000 m (Ｄ)火箭在第 50 秒時著地 (Ｅ)火箭落地速度大小為 400 m/s。 9. 一直線上之運動物體位置與時間之關係為 x＝at2＋bt（x：m，t：s），a、b 為常數，若 其初速為＋2 m/s，前 2 秒內之平均速度為 3 m/s，則 (Ａ) a＝ 2 1 (Ｂ) a＝1 (Ｃ) b＝2 (Ｄ) b＝3 (Ｅ)此物作等加速度運動。 10. 一物體由初速 4 m/s 開始運動，其 a－t 圖如圖，則 (Ａ) 2 秒內 的平均速度大小為 5.5 m/s (Ｂ)第 3 秒時的速度大小為 5 m/s (Ｃ)若第 0 秒時 x＝10 m，則 2 秒時之位置為 11 m (Ｄ)第 4 秒 時的速度為 4 m/s (Ｅ) 4 秒內的平均加速度為 0。 三、非選題： 1. 一聲源沿 X 軸正方向以 40 m/s 作等速度運動，在時刻 t＝0 秒與 0.7 秒時發出的聲波經 空氣傳播，分別為 t＝3.0 秒及 t＝5 秒，到達沿 X 軸等速運動的聽者，若空氣中的聲速 為 340 m/s，則聽者運動的速度大小為______。 2. 某運動質點之位置與時間之函數關係為 2 x= −3t + +6t 2（x：米，t：秒），求此質點： (1)最初之位置______m； (2) 3 秒內之位移_______m； (3)第 2 秒內之位移______m； (4) 3 秒內運動之路徑長______m。 3. 物體作等加速度直線運動，AB、BC 的時距皆為 2 秒，間 隔距離如附圖所示，在 A 點時的速度大小為 ______cm/s。
答案：
一、單選題：
1. B 2. C 3. C 4. E 5. D 6. B 7. A 8. B 9. C 10. E 11. B 12. C 13.C 14. D 15. B 16. B
二、多重選題：
1. BCDE 2. BD 3. CD 4. AC 5. AD 6. DE 7. BCE 8. BC 9. ACE 10. ABDE
三、非選題：
等加速度直線運動 一、單選題： 1. 一汽車原以速度 20 m/s 行駛，開始煞車後，再行 50 m 才停止，煞車期間，此車之平均 加速度為何？ (Ａ) 20 m/s2，向前 (Ｂ) 5 m/s2，向後 (Ｃ) 4 m/s2，向後 (Ｄ) 10 m/s2，向前 (Ｅ) 0.2 m/s2，向後。 2. 有 A、B、C、D、E 五部公車，在同一地點沿同一直線，每隔 t 秒由靜止開始以等加速 度 a 依序開出，當 E 車剛要出發時，A 車恰離出發點 64 m，求此時 C、D 兩車相距多 遠？ (Ａ) 20 (Ｂ) 16 (Ｃ) 12 (Ｄ) 8 (Ｅ) 4 m。 3. 某質點以初速 v 在水平桌面上沿直線滑行，因摩擦力作用，當行進 d 距離時速度變為 v 2，則知已滑行的時間為 (Ａ) 2d (Ｂ) 3 d 4 (Ｃ) v 2 d 3 (Ｄ) v 3 d 4 (Ｅ) v 4 d 5 。 4. 一物體作直線等加速度運動，於第 4 秒內之位移為 22 m，於第 8 秒內之位移為 38 m， 則加速度為 (Ａ) 8 (Ｂ) 6 (Ｃ) 4 (Ｄ) 2 (Ｅ) 1 m/s2。 5. 一列火車從靜止開始作等加速度直線運動，一個人站在第一節車廂前觀察，第一節車廂 通過他歷時 5 秒，全部列車通過他歷時 20 秒。那麼這列火車共有幾節車廂？ (Ａ) 6 (Ｂ) 8 (Ｃ) 9 (Ｄ) 12 (Ｅ) 16。 6. 作等加速度直線運動的物體，第 1 秒末速度為＋6 m/s，第 2 秒末速度為＋10 m/s，則第 3 秒內之平均速度為 (Ａ) 8 (Ｂ) 10 (Ｃ) 12 (Ｄ) 14 m/s。 7. 列車沿直線自甲站開往乙站，最初 4 1 的行程係作等加速度行駛，最後的 4 1 行程則作等 減速度行駛，其他為等速行駛，則列車之平均速度為列車作等速運動時速度的 (Ａ) 2 1 (Ｂ) 3 2 (Ｃ) 4 3 (Ｄ) 5 1 (Ｅ) 1 倍。 8. 在一直線公路上，甲、乙兩車之位置（x）對時間（t）的關係如圖 所示，若乙車由靜止作等加速度運動，則兩車相遇時，乙車之速度 為 (Ａ) 18 (Ｂ) 26 (Ｃ) 36 (Ｄ) 42 (Ｅ) 48 公尺／秒。 9. 有一步行者以 4 m/s 之速度去追趕一停止之公共汽車，當他距公車 10 m 時，公車以 a 之等加速度離人駛去，設人與車最接近時的距離 為 6 m，則 a＝？ (Ａ) 1 (Ｂ) 2 (Ｃ) 3 (Ｄ) 4 (Ｅ) 5 m/s2。 10. 一人由靜止作等加速度直線運動跑了 300 m，求前 100 m 與後 200 m 所花時間比為若 干？ (Ａ) 1：2 (Ｂ) 1： 2 (Ｃ) 1： 3 (Ｄ) 1：（ 2 －1） (Ｅ) 1：（ 3－1）。 11. 一質點自靜止起作等加速度運動，第 10 秒內之位移比第 9 秒內多 10 公尺，則 (Ａ)第 10 秒內之位移為 95 公尺 (Ｂ)加速度為 5 公尺／秒2 (Ｃ)第 10 秒末之速度為 90 公尺／秒 (Ｄ) 10 秒內之位移為 400 公尺 (Ｅ)以上皆非。 12. 某質點作等加速度直線運動，通過線上 A 點時的速度為 v，通過線上另一點 B 時的速度 為 5v，在 A、B 之間的某一點 P，到 A、B 的距離分別為 1：2，則該質點通過 P 點時， 速度為 (Ａ) 5 v (Ｂ) 3 7 v (Ｃ) 3 7 v (Ｄ) 3v (E) 4v。
13. 某質點沿直線作等加速度運動，通過線上 A 點時的速度為 v，通過線上另一點 B 時的速 度為 3v，該質點通過 AB 中點時的速度為若干？ (Ａ) 1.5v (Ｂ) 2v (Ｃ) 3 v (Ｄ) 2v (Ｅ) 5 v。 14. 一物體自靜止開始作等加速度直線運動，若 t 秒後其位移為 x，則當其位移為 3 x 時的速 度大小為 (Ａ) t 3 x 3 2 (Ｂ) t 3 x 3 (Ｃ) t 6 x 6 (Ｄ) t 3 x (Ｅ) t 3 x 6 。 15. 列車長度 50 m，車頭通過月臺某定點時車速為 20 m/s，車尾通過時車速為 30 m/s，若 列車作等加速度直線運動，則整列通過該定點歷時多久？ (Ａ) 0.2 秒 (Ｂ) 0.5 秒 (Ｃ) 1 秒 (Ｄ) 2 秒。 16. 物體作等加速度直線運動，從 A 點靜止出發，若起初 5 秒內的位移與達到 B 點前 5 秒 的位移比為 5：11，則求此物體從 A 點到 B 點共花了多少時間？ (Ａ) 7 秒 (Ｂ) 8 秒 (Ｃ) 9 秒 (Ｄ) 10 秒 (Ｅ) 12 秒。 17. 作等加速直線運動的物體，依次通過 A、B、C 三點，線段長度 AB ＝BC。已知物體在 AB 段的平均速度大小為 3 m/s，在 BC 段的平均速度大小為 6 m/s，則物體在 B 點的瞬 時速度的大小為 (Ａ) 5.6 (Ｂ) 5 (Ｃ) 4.5 (Ｄ) 4.0 (Ｅ) 3.2 m/s。 18. 一質點沿 X 軸作等加速度運動，當 t＝1、2、3 秒時，其位置分別為 6、12、20 公分， 則該質點的初速度為 (Ａ) 0 (Ｂ) 2 (Ｃ) 3 (Ｄ) 4 (Ｅ) 6 公分／秒。 19. 直達電梯從底層先以 2 公尺／秒2的等加速度啟動直線上升，達某速度後維持等速度運 動一段時間，最後以－1 公尺／秒2的等加速度運動，直到停於距底層 52 公尺高的頂 樓。若全部過程歷時 16 秒，則電梯等速度上升時之速度值為何？ (Ａ) 8 (Ｂ) 6 (Ｃ) 5 (Ｄ) 4 (Ｅ) 3 公尺／秒。 20. 某物體作等加速度直線運動，當其速度由 2 m/s 變為－6 m/s 之時距內，物體的平均速度 量值與平均速率比為 (Ａ) 4：5 (Ｂ) 5：4 (Ｃ) 1：4 (Ｄ) 4：1 (Ｅ) 2：3。 二、多重選題： 1. 一物體自靜止作等加速度 a 運動，則 (Ａ)第 n 秒內之位移為 2 1 a（2n－1） (Ｂ)第 1 秒、第 2 秒、第 6 秒內所行距離比為 1：3：11 (Ｃ)位移為 S 及 2 1 S 時，所需時間比 為 2：1 (Ｄ)位移為 S 及 2 1 S 時，速率比為 2：1 (Ｅ)行至 2 1 S 時，瞬時速度大小 恰等於行至 S 時之平均速度大小。 2. 一靜止物體從光滑斜面頂 A 點滑至斜面底 E 點，設每 兩點間隔均相等，如圖。下列敘述，何者正確？ (Ａ)經 B、D 點加速度比為 1：3 (Ｂ)經 B、D 點速率 比為 1：3 (Ｃ)經 B、D 點之時間比為 1： 3 (Ｄ) D 點瞬時速率 vD 是全程平均速率的 3 倍 (Ｅ)全程平均 速度量值等於平均速率。
3. 圖中雙線道的公路上，各有甲乙兩車前後相距 S，它們同 時同向運動，乙在前面作初速度為零、加速度為 a1 的等加 速度運動。甲在後面作初速度為 v0、加速度為 a2 的等加速 度運動，則下列何者正確？ (Ａ)若 a1＝a2，甲、乙兩物體 相遇一次 (Ｂ)若 a1＞a2，甲、乙兩物體可能相遇兩次 (Ｃ)若 a1＞a2，甲、乙兩物體可能相遇一次 (Ｄ)若 a1＜a2，甲、乙兩物體可能相遇兩次 (Ｅ)若 a1＜a2，甲、乙兩物體可能不相遇。 4. 甲、乙兩車各以 30 m/s 及 20 m/s 之速率，相向在一直線上運動，相距 230 m 時均緊急 煞車，甲車之減速度值為 3 m/s2，則乙車之減速度值為下列何者時可以不相撞？ (Ａ) 5 (Ｂ) 4 (Ｃ) 3 (Ｄ) 2 (E) 1 m/s2。 三、非選題： 1. 一物體作直線運動，先以 6m / s 的等加速度從靜止開始運動，接著以2 −3m / s2 的等加 速度運動直到停止。若運動的總距離為 900 m，則此物體運動所需時間為______s。 2. 如附圖，AB 兩點相距 d，而質點 P 自 A 點以 V0初速向右運動， 作加速度 a 向左之運動，則欲通過 B 點 2 次，則 a 必須小於 ______。 3. 一步行者以 8 m / s 之速度在一直線道路上追趕一輛同向行駛而被紅燈所阻之靜止公車， 當他距公車 30 公尺時，交通燈改變，公車以 2 2 m / s 加速度駛去，則人車之最短距離為 公尺。 4. 一物體作等加速運動，第 6 秒內位移為 12.2m，第 10 秒內位移為 13.8m，則物體的加速 度為__________ 2 m / s 5. 一子彈列車作等加速度直線運動，過 A 站時的速度為 20 公尺／秒，再經 180 秒通過 B 站，A、B 兩站相距 7200 公尺，求通過 B 點時的速度為何？__________。 6. 作等加速度運動的物體，在某段時間內，其速度由 v 變為 v 2 − ，則在此段時間內，物體 平均速度的大小與平均速率的比值為______。 7. A、B 兩質點在同一直線上相向運動，原相距 10 公尺，初速各為＋1 m / s 與 3m / s− ，加 速度各為＋1 2 m / s 與＋2m / s ，試求：(1)何時兩者最接近？ (2)最接近之距離？ 2 8. 自靜止起作等加速度運動之物體在第 n 秒之位移為 d，則其加速度為______。
答案：
一、單選題：
1. C 2. C 3. D 4. C 5. E 6. C 7. B 8. C 9. B 10. E 11. A 12. D 13. E 14. A 15. D 16. B 17. B 18. C 19. D 20. A
二、多重選題：
1. ABD 2. CDE 3. ABC 4. ABC
三、非選題： 1. 30 2. 2 0 v 2d 3. 14 4. 0.4 5. 60 6. 3 5 7. (1) 4 秒時；(2) 2m 8. 2d 2n 1−
自由落體 一、單選題： 1. 某物作自由落體運動，若不考慮空氣阻力，則第 3 秒內的位移與 3 秒內的位移量值之比 為何？ (Ａ) 1：1 (Ｂ) 5：9 (Ｃ) 1：3 (Ｄ) 1：5 (Ｅ) 5：1。 2. 張三隨著熱汽球以 10 m/s 的速度上升，當他距地的高度為 120 m 時，手中自由釋放一 小石子，設重力加速度 g＝10 m/s2，則經幾秒後小石子著地？ (Ａ) 4 (Ｂ) 5 (Ｃ) 6 (Ｄ) 7 (Ｅ) 8。 3. 一石自塔頂自由落下，落地前 1 秒之位移為塔高之 9 5 ，則塔高為何？（g＝9.8 m/s2） (Ａ) 10 (Ｂ) 44.1 (Ｃ) 88.2 (Ｄ) 19.6 (Ｅ) 49 m。 4. 不計空氣作用，且 g＝9.8 m/s2，今將一物體以 5 m/s 的速率鉛直向上拋出，一直到物體 以 2.5 m/s 的速率鉛直向下運動，須耗時 (Ａ) 196 25 (Ｂ) 98 25 (Ｃ) 98 75 (Ｄ) 49 75 (Ｅ) 49 25 秒。 5. 一滴管管口高出地板 81 cm，且每滴水滴下之時距均相同，第 1 滴滴下抵地板時，第 4 滴恰好要滴下，則此時第 3 滴距地板高若干 cm？ (Ａ) 9 (Ｂ) 27 (Ｃ) 36 (Ｄ) 54 (Ｅ) 72。 6. 一石自高 h 公尺處自由落下，其第 1 秒內與著地前 1 秒內位移之和為 (Ａ) 2gh (Ｂ) gh (Ｃ) 2gh (Ｄ) gh (Ｅ) 2 gh 公尺。 7. 某物體從高空自由落下，小明在屋內見物體自屋簷至地面費時 2 秒，而屋簷與地面間高 度為 100 m，求此自由落體出發點的高度？（g＝10 m/s2） (Ａ) 180 (Ｂ) 100 (Ｃ) 80 (Ｄ) 240 (Ｅ) 360 m。 8. 從高 72 m 的樓頂自由落下一石子，同時有一球自樓底以初速 24 m/s 鉛直上拋，當兩物 相遇瞬間，上拋球的速度為何？（g＝10 m/s2） (Ａ) 6 m/s 向上 (Ｂ) 6 m/s 向下 (Ｃ) 57 m/s 向上 (Ｄ) 27 m/s 向下 (Ｅ)無法在空中相遇。 9. 在樓頂將一石子以某一初速鉛直上拋，經 t1秒後落地，改將石子自樓頂同處以相同初速 率鉛直拋下，經 t2秒後落地。若使石子由樓頂同處自靜止落下，則經若干秒落地？ (Ａ) 2 1 2 2 2 1 t t t t ＋ ＋ (Ｂ) 2 1 2 1 t t t t ＋ ． (Ｃ) 2 1 2 2 2 1 t t t t ＋ － (Ｄ) 2 t t1＋ 2 (Ｅ) t1t2 。 10. 把自由落體運動下落的總距離分成長度相等的三段。按從上到下的順序，經過這三段路 程的平均速度的比是 (Ａ) 1：（ 2＋1）：（ 3 ＋ 2） (Ｂ) 1：4：9 (Ｃ) 1： 2： 3 (Ｄ) 1：3：5 (Ｅ) 1：1：1。 11. 石子 A 從塔頂自由落下 5 m 的瞬間，石子 B 自塔頂正下方 25 m 處自由落下，若兩石子 同時著地，則 A、B 著地速度量值之比為何？（g＝10 m/s2） (Ａ) 2：1 (Ｂ) 2：3 (Ｃ) 3：2 (Ｄ) 4：3 (Ｅ) 1：1。 12. 球自高 H 處自由落下，另一石同時自地面以初速 v0鉛直上拋，結果球與石同時著地，
則 H 應為 (Ａ) g v0 (Ｂ) g v 2 0 (Ｃ) g 2 v02 (Ｄ) g v02 (Ｅ) g v 2 02 。 13. 物體以初速 v 被垂直上拋，設重力加速度為 g，則自拋出上升到其最大高度的三分之二 處，所需時間為 (Ａ) g 2 v (Ｂ) g v （1－ 2 2 ） (Ｃ) g v （1－ 3 3 ） (Ｄ) g v ‧ 3 3 (Ｅ) g v ‧ 2 2 。 14. 物體以初速度 v0 被垂直上拋，設重力加速度為 g，且被拋至最高點的時間為 T，則物體 自拋出後，經歷 2 T 的時間，物體的高度為若干？ (Ａ) g 4 v02 (Ｂ) g 8 v 3 02 (Ｃ) g 8 v 7 02 (Ｄ) g 4 v 3 02 (Ｅ) g 2 v02 。 15. 一網球自 2.45 m 的高度落至地面，反彈至 1.25 m 的高度，若球與地面的碰觸時間為 0.10 秒，且重力加速度 g＝10 m/s2，則在觸地期間，球的平均加速度為 (Ａ) 120 m/s2，向上 (Ｂ) 120 m/s2，向下 (Ｃ) 20 m/s2，向上 (Ｄ) 20 m/s2，向下 (Ｅ) 0。 16. 以等速度上升的氣球，相對於氣球以 5 m/s 之速率鉛直上拋物體 A，經 8 秒落地。重力 加速度量值以 g＝10 m/s2 計，則物體 A 落地瞬間，氣球的高度為若干？ (Ａ) 280 m (Ｂ) 320 m (Ｃ) 360 m (Ｄ)氣球上升速度未知，故無法計算 (Ｅ)物體離開氣球時距 地面的高度未知，故無法計算。 17. 石頭自 O 點上拋，若測得在 O 點上方 h 公尺高處的速率為 O 點下方 h 公尺高處的 2 1 ， 則知 O 點與最高點相距 (Ａ) h (Ｂ) 3 h 5 (Ｃ) 2h (Ｄ) 2 h 3 (Ｅ) 2h 公尺。 18. 一石子 A 自高 h 的懸崖上自由落下，同時自懸崖底端鉛直上拋一球 B，不計空氣阻力。 已知 A、B 在距崖頂 2 h 處相遇。則相遇時，B 球運動狀態是 (Ａ)正在上升 (Ｂ)剛 好靜止 (Ｃ)正在下降 (Ｄ)條件不足，無法判斷。 二、多重選題： 1. 自地面鉛直上拋一石子，拋出時刻為 t＝0 秒，當 t＝4 秒時通過空中 P 點，當 t＝6 秒時 又回至 P 點，則下列敘述哪些正確？（重力加速度 g＝10 m/s2） (Ａ)此石子飛行時間 為 10 秒 (Ｂ)此石子飛行之最大高度為 125 m (Ｃ) P 點高度為 45 m (Ｄ)通過 P 點的 瞬時速度量值為 40 m/s (Ｅ)拋射時石子的初速度量值為 50 m/s。 2. 在地表附近自高處自由落下的石子，歷時 t 秒著地，則 (Ａ)最後 1 秒內的速度變化量 為 g (Ｂ)最後 1 秒內的平均加速度為 g (Ｃ)最後 1 秒內的位移為 2 1 g（2t－1） (Ｄ)最後 1 秒內的平均速度為 2 1 g（2t－1） (Ｅ)全程平均速度為 2 1 gt。
3. 發球機連續把兩個球垂直向上發射，初速均為 40 m/s，重力加速度 g＝10 m/s2。若第一 球達到最高點瞬間，發射第二個球，則此兩球相撞瞬間 (Ａ)與第二球發射時刻相隔 2 s (Ｂ)與第一球發射時刻相隔 6 s (Ｃ)第一球的速度為 20 m/s↓ (Ｄ)第二球的速度為 20 m/s↑ (Ｅ)距離發球機的高度為 80 m。 4. 在樓頂將一石子以某一初速鉛直上拋，經 t1 秒後落地；改將石子自樓頂同處以相同初速 率鉛直拋下，經 t2 秒後落地。下列何者正確？ (Ａ)樓頂距地面的高度為 2 1 gt1t2 (Ｂ)物體的初速度為 2 1 g（t1－t2） (Ｃ)物體上拋落地與下拋落地，兩者平均速度比 t1：t2 (Ｄ)物體觸地前瞬間的速度量值為 2 1 g（t1＋t2） (Ｅ)若物體由樓頂同處自靜止 落下，經 t1t2 秒落地。 5. 自地面鉛直上拋一石，經 t1 時間後通過 P 點，t2 時間後又回至 P 點，則 (Ａ)此石飛行 時間為 t1＋t2 (Ｂ)此石飛行之最大高度為 8 1 g（t1＋t2） 2 (Ｃ) P 點高度為 2 1 gt1t2 (Ｄ) P 點與最高點距離為 8 1 g（t2－t1） 2 (Ｅ)拋射之初速率為 2 1 g（t1＋t2）。 6. 自高為 100 m 之懸崖上自由落下一石子，同時自崖底以 v0 之初速上拋一球，則 v0 為下 列何者時，兩者可在空中相遇且球正在下降？（ 9.8 3.1） (Ａ) 28 m/s (Ｂ) 30 m/s (Ｃ) 36 m/s (Ｄ) 24 m/s (Ｅ) 18 m/s。 7. 用初速度為 30 m/s 鉛直上拋一小球後，再以初速度為 45 m/s 鉛直上拋另一小球，在高 度為 40 m 處兩球相遇，則兩球拋出的時間差可能為 (Ａ) 1 (Ｂ) 2 (Ｃ) 3 (Ｄ) 7 (Ｅ) 9 秒。 8. 在不考慮空氣阻力的狀況下，鉛直上拋是具有對稱性的，也就是上去時間與落下時間是 相同的。如今若將空氣阻力考慮進去，假設空氣阻力恆為定值（不得大於重力），且與 運動方向相反，比較上拋過程與下降過程，下列敘述何者是正確的？ (Ａ)上拋時的位 移等於下降時的位移 (Ｂ)上拋時的時間大於下降時的時間 (Ｃ)著地時速率大於拋出 時速率 (Ｄ)上拋時平均速度的量值大於下降時平均速度的量值 (Ｅ)上拋時平均加速 度的量值大於下降時平均加速度的量值。 三、非選題： 1. 自由落體前1 2路程與後 1 2路程之平均速度大小比值為______。 2. 兩球自地面上同一位置，以相同的初速 14.7 m／s、前後相隔 1 秒被鉛直上拋，則： (1)第一球被拋射後至兩球相撞所需的時間為______秒； (2)兩球相撞的位置距地面的高度為______公尺。 3. 某物在地表附近作鉛直上拋，不考慮空氣阻力，則在上升過程中，最後一秒內爬升的高 度為______公尺。（重力加速度 g＝10 2 m / s ） 4. 氣球以 11 m / s 等速度上升，當高度為 70 公尺時墜落一包裹，設重力加速度為
10m / s ，包裹著地時，氣球高度 H 為______公尺。 2 5. 將一質點鉛直上拋，已知質點出發的速率為落回原處速率的5 3倍，則該質點上升的時間 與下降時間的比值為何（令空氣的阻力為定值）？ 6. 物體自一高樓頂鉛直上拋，經 t1秒落地，若以相同速度鉛直下拋，則經 t2秒落地，則樓 高為多少？(重力加速度＝g) 7. 一石子自塔頂自由落下，若最後 1 秒內落下之距離為塔高之3 4，求：（g＝10 m／s 2）(1) 塔高______m；(2)著地速度______m／s。 8. 將一物體自地面鉛直上拋，當其 2 次通過同一高度 60 公尺之位置時，歷時 4 秒，則此 物體的最大高度為______公尺。 9. 一石自懸崖頂自由落下 1 秒後，又以 15 m / s 初速鉛直拋下第二石，若欲落地前追及第 一石，則該懸崖高度的下限為______公尺。（ 2 g=10m / s ） 答案： 一、單選題： 1. B 2. C 3. B 4. C 5. E 6. C 7. A 8. B 9. E 10. A 11. C 12. E 13.C 14. B 15. A 16. A 17. B 18. B 二、多重選題：
1. ABE 2. 全 3. ABCD 4. ABDE 5. 全 6. ABD 7. AC 8. DE
三、非選題： 1. 2 1− 2. (1) 2；(2) 9.8 3. 5 4. 125 5. 3 5 6. 1 2 gt t 2 7. (1) 20；(2) 20 8. 80 9. 20
斜面上的運動 一、單選題： 1. 如圖，A 和 B 兩光滑斜面的長度各為 L1、L2。今兩質點在 頂部自靜止釋放，分別沿 A 和 B 兩斜面下滑，則其末速率 比 v1：v2 等於 (Ａ) L1：L2 (Ｂ) L2：L1 (Ｃ) 1：1 (Ｄ) L1 ： L2 (Ｅ) L2 ： L1 。 2. 一物在光滑斜面底端，以初速沿斜面向上滑行，到達最高點再折返，歷時 8 秒滑回原出 發點，其在斜面最大位移為 48 米，求此斜面仰角為若干？ (Ａ) 30° (Ｂ) 37° (Ｃ) 45° (Ｄ) 53° (Ｅ) 60°。 3. 一質點 A 由斜角 30°光滑斜面自由滑下，斜面長 10 m，而另一質點 B 同時自斜面底端 以初速 v0 上滑。若兩質點恰在斜面中點相遇，令重力加速度為 10 m/s 2 ，則 v0 為若干？ (Ａ) 5 m/s (Ｂ) 5 2m/s (Ｃ) 10 m/s (Ｄ) 10 2m/s (Ｅ)以上皆非。 4. 質量 m 的 A 質點與質量 2m 的 B 質點從圖所示位置靜止下 滑。在不計一切阻力時，已知兩質點同時落地，則兩質點下 滑起點鉛直高度的比 h1：h2為若干？ (Ａ) 1：2 (Ｂ) 2：1 (Ｃ) 1： 2 (Ｄ) 2 ：1 (E) 1：1。 5. 使鋼球自 A 點沿光滑斜面 AB、AC 及 AD 作自由落體，三者 所需的時間分別為 t1、t2、t3，則 t1、t2、t3 之比例關係為 (Ａ) 1：1：1 (Ｂ) 3：2：1 (Ｃ) 3 ： 2：1 (Ｄ) 2 3 ： 2： 3 (Ｅ)以上皆非。 6. 如圖所示，使鋼珠自 A、B 兩光滑斜面頂點自由下滑至底部， 則沿 A、B 滑至底部時末速之比為 (Ａ)4 3 ：1 (Ｂ) 3 ：1 (Ｃ)4 2：1 (Ｄ) 2：1 (Ｅ) 3 ： 2。 7. 一物自長 ℓ 、斜角 30°的光滑斜面底以一初速沿斜面上滑，同時有另 一物自斜面頂靜止下滑，若兩物能在斜面上相遇，則初速最小應為 若干？ (Ａ) 2 gℓ (Ｂ) 2gℓ (Ｃ) gℓ (Ｄ) 2 gℓ (Ｅ) 2 gℓ 。 8. 如圖所示，使鋼珠自 A、B、C 三個光滑斜面頂點自由下滑， 則置於何斜面之鋼珠最快滑至斜面底？ (Ａ) A (Ｂ) B (Ｃ) C (Ｄ) A、B、C 皆相同。 二、多重選題： 1. 一光滑斜面斜角 37°，質量 2 kg 的物體由斜面底沿斜面上滑，經 2 秒滑至斜面底，則 （g＝10 m/s2） (Ａ)物體所走的路徑長為 3 m (Ｂ)滑至斜面底之速率為 6 m/s (Ｃ) 2 秒內之平均加速度為 0 (Ｄ) 2 秒內之平均速率為 3 m/s (Ｅ) 2 秒內之平均速度為 0。
2. 設 CA、DA 為鉛直面上之兩個光滑斜面，令球從靜止沿 CA、DA 滑 下到 A 所需時間為 t1、t2 (Ａ)若 θ1＋θ2＝ 2 π ，則 t1＝t2 (Ｂ)若 θ1＋θ2 ＝ 4 π ，則 t1＝t2 (Ｃ)若 L 為常數，則 t 之最小值為 g L (Ｄ)若 L 為 常數，則 t 之最小值為 g L 4 (Ｅ)若 L 為常數，則 t 之最小值為 g L 9 。 3. 一小物先後從傾角 θ1、θ2（＜θ1）的兩固定光滑斜面同高處 自由下滑，若將該物沿斜面 1 與斜面 2 下滑之情況作相互比 較，則下列諸量中何者對斜面 1 而言恆大於斜面 2？ (Ａ)釋放至下滑抵達斜面底端需時 (Ｂ)下滑抵達斜面底端 之末速度量值 (Ｃ)下滑加速度量值 (Ｄ)下滑加速度的水 平分量 (Ｅ)下滑加速度的鉛直分量。 4. 如圖所示，圓 O 鉛直而立， AB 、CD 均表直徑，夾角為 θ，則一物 沿 AB 下滑所需之時間為沿 CD 下滑時間之半，設 AB、AD 及 CD 表 面均光滑，則 (Ａ) cosθ＝ 2 1 (Ｂ) cosθ＝ 4 1 (Ｃ)若物沿 AD 下滑 需 t1 時間，沿 AB 下滑需 t2 時間，則 t1：t2＝1：2 (Ｄ)承(Ｃ)方式， 但 t1：t2＝1：1 (Ｅ)承(Ｃ)方式，但 t1：t2＝2：1。 三、非選題： 1. 物體在斜角 37°斜面底端沿斜面向上滑行，已知在斜面上的最大位移為 12 m，則物體的 初速為______ m / s 。 2. 一物體質量為 m，從一長 24 公尺的光滑斜面頂端由靜止下滑，經 4 秒到達斜面底部。 今將此物體從斜面底部以初速v 沿斜面上滑，經 6 秒後又滑回斜面底部，則0 v 為0 m/s。 3. 長ℓ1，ℓ2兩光滑斜面置入一正球體內，斜面的頂點為球體的最高點， 沿二斜面同時釋放兩物體，則抵達底端時，二者的速率比為______。 4. 一光滑鐵絲連接半徑為 R 之鉛直圓上兩點 P1、P2， P1P2與圓心之鉛 直線夾θ角，則一個小串珠自 P1滑至 P2歷時______。
答案： 一、單選題： 1. C 2. B 3. B 4. A 5. D 6. A 7. E 8. B 二、多重選題： 1. BDE 2. AD 3. CE 4. BD 三、非選題： 1.12 2. 9 3. ℓ1:ℓ2 4. 2 R g
直線相對運動 一、單選題： 1. 升降機以等速率 4 m/s 上升，機上一男孩垂直向上拋出一球，球相對於升降機之初速為 1.96 m/s，設球不會撞到天花板，則球掉回男孩手上需要多久的時間？（g＝9.8 m/s2） (Ａ) 0.1 (Ｂ) 0.2 (Ｃ) 0.3 (Ｄ) 0.4 秒。 2. 飛機在 1 萬公尺高度作等速飛行，A、B 兩人自飛機上向下跳，A 先跳下，5 秒後 B 也跳 下，若不計空氣阻力，且重力加速度視為定值，則 B 見 A 的運動情況應為 (Ａ)自由落下 (Ｂ)等速下降 (Ｃ)靜止不動 (Ｄ)等速上升 (Ｅ)等加速上升。 3. 百貨公司有一電動樓梯自一樓至二樓。某人自一樓站於其上不動，抵達二樓費時 t1。若電梯 不動，此人自一樓步行至二樓費時 t2。今此人同速上樓，電動樓梯亦以原速移動，則此人自 一樓至二樓需時 (Ａ) 2 t t1＋ 2 (Ｂ) t 1＋t2 (Ｃ) 2 1 2 1 t t t t ＋ (Ｄ) 1 2 2 1 t t t t 2 ＋ (Ｅ) （ 1＋ 2） 2 1 t t 2 t t 。 4. A 坐在以等速度 va 向北行進的自強號火車上，B 坐在以等速度 vb 向南行進的通行列車上，有 一省道與鐵軌平行，若 A 看省道上一機車以等速度 v0 向北行駛，則 B 看到此機車的速度大 小為何？ (Ａ) va－vb＋v0 (Ｂ)－va＋vb＋v0 (Ｃ)－va－vb＋v0 (Ｄ) va＋vb＋v0。 5. 當一電梯以等速垂直下降時，電梯內一乘客將原靜止於手中、距電梯地板高 h 之小球釋放， 若重力加速度為 g，且不計空氣阻力，下列關於小球的運動情形，何者正確？ (Ａ)由於電梯 向下運動，因此小球將比電梯靜止時更慢落地 (Ｂ)落地時間與電梯靜止時一樣，沒什麼不 同 (Ｃ)若電梯向下運動的速度相當快，則在電梯未停止前，小球可能不會落於電梯內地板 (Ｄ)由於電梯向下運動，因此小球將比電梯靜止時更快落地 (Ｅ)小球會因電梯下降，先撞擊 電梯內的天花板後再向下運動。 6. 一等速上升速度為 8.0 公尺／秒的氣球，在距離地面 50 公尺高處，自底部放下一石子，則 2 秒後石子與氣球底部之距離約為多少？（g＝9.8 m/s2） (Ａ) 4.9 (Ｂ) 9.8 (Ｃ) 19.6 (Ｄ) 35.6 (Ｅ) 39.2 公尺。 7. 小明在加速的電梯內做自由落體實驗，發現物體掉落相同高度所需的時間，是電梯靜止時的 2 1 倍，則電梯加速度的大小是重力加速度 g 的幾倍？ (Ａ) 2 (Ｂ) 3 (Ｃ) 4 (Ｄ) 4 1 (E) 1 2 倍。 8. 設地面附近的重力加速度為 g，一升降機以向上的等加速度上升，在機內以對機為 v 之初速 鉛直上拋一石子，經 t 秒石子落回手中，則此升降機之加速度量值為 (Ａ) t v 2 (Ｂ) t v 2 ＋g (Ｃ) t 2 v －g (Ｄ) v 2 t －g (Ｅ) t v 2 －g。 9. 設地面附近的重力加速度為 g，一電梯正以加速度 a＝ 3 1 g 向上的等加速度垂直加速上升，在 電梯內小英以相對於電梯 v 之初速鉛直上拋一石子，若石子未觸及天花板，則此石子經過多 少時間落回小英手中？ (Ａ) g 2 v 3 (Ｂ) g v 3 (Ｃ) g v 6 (Ｄ) g 4 v 3 (Ｅ) g v 2 。
二、非選題： 1. 一升降機正以 12 m/s 之等速度上升，其天花板上懸吊一小球，離升降機之高度 h= 2.45 公 尺，若該球突然掉落，則歷時 t=______秒會碰到地板，若該球與地板碰撞時間為 0.01 秒， 且撞後球即停於升降機地板上，則碰撞時的平均加速度為______。（ 2 g=10m / s ） 2. 某人靜止站在一往上的電扶梯上，需要 20 秒可到達上一層樓，但是，如果電扶梯靜止，此人 步行而上，卻費時 30 秒。若此人在運行的電扶上，以同樣的速度步行向上，則此人費時 ______秒即可到達上一樓層。 答案： 一、單選題： 1. D 2. B 3. C 4. D 5. B 6. C 7. B 8. E 9. A 二、非選題： 1. (1) 0.7；(2) 700m / s2 2. 12
Ch4-牛頓運動定律 § 4-1 牛頓第一運動定律 § 4-2 牛頓第二運動定律 § 4-3 牛頓第三運動定律 § 4-4 非慣性系統與假想力 §4-1 牛頓第一運動定律 2. 伽立略對運動的觀察： 1) 物體在斜面上的運動： • 下坡時加速運動，如圖 (a)。 • 上坡時減速運動，如圖 (b)。 • 在水平面上時速度不增也不減， 如圖 (c)。 1. 亞里斯多德對運動的觀點： 物體需持續有力量作用才會運動，若無力的作用，則物體 必回歸於自然狀態 — 靜止。 圖 (a) 圖 (b) 圖 (c) 2) 物體在兩斜面間的運動：將小球由左邊斜面頂端自由滑 下，在右邊斜面上總是爬升到原來高度，如下圖。因此 他推得：若把右邊斜面平放，小球因無法到達原來高 度，必永遠運動下去。 3. 伽立略的主張：欲改變物體的速度需藉外力，但維持 速度則不需外力，物體在水平面上運動終致靜止，是因為 有摩擦力作用。 乾冰盤在無摩擦力的水 平面上作等速度運動。 4. 牛頓第一運動定律： • 物體若不受外力，或所受外力合為零，則靜者恆靜， 而動者恆沿一直線作等速度運動。 • 物體這種保持原來運動狀態的特性，叫做慣性，因此 牛頓第一運動定律又叫做慣性定律。 • 慣性座標：牛頓第一定律適用的座標系，為靜止或作 等速度運動的座標系統。牛頓第一定律的主要意義是 對慣性座標下定義。若為加速運動的座標系稱為非慣 性座標。 • 例：搭乘汽車時，若汽車突然開動，人體由於慣性而 後仰。對地面靜止的觀察者而言，車前進而人靜止， 為一慣性坐標系；對車上的觀察者而言，人不受外力 卻向後加速，為一非慣性坐標系。 §1-2 牛頓第二運動定律 1. 牛頓第二運動定律的實驗 ： 1) 實驗裝置：置乾冰盤於光滑水平桌面上，以細繩繞過桌 邊之定滑輪與一彈簧秤連接，彈簧秤下端掛法碼，改變 砝碼大小已調整施於乾冰盤的拉力，如左下圖。圓盤受 拉力而運動時，以閃光攝影法測得在不同時刻圓盤的位 置，如右下圖所示，並計算圓盤的加速度。 2) 實驗結果： • 固定乾冰圓盤的質量， 以不同拉力拉動圓盤， 則物體加速度 a 和其所 受拉力 F 成正比。如右 圖所示。 • 改變乾冰圓盤的質量， 並調整砝碼，使拉力保 持定值，物體加速度 a 與其質量 m 成反比， 畫出加速度與質量倒數 的關係圖如右圖所示。
2. 牛頓第二運動定律： 物體加速度 a 與外力 F 成正比，與其質量 m 成反比， 而加速度方向則與外力方向相同。這便是牛頓第二運動 定律，選取適當單位牛頓第二運動定律可寫成 F=ma 3. 質量的定義： • 慣性質量：比較物體慣性大小所測得的質量。 測量方法：分別施相同大小的力於待測物體與砝碼上， 測得兩者的加速度各為 a 與 a0，如砝碼的質量為 m0， 則待測物的質量 m 滿足 ma = m0a0，因此得 0 0 a m m a = F a m F m0 a0 • 重力質量：比較物體所受重力大小所測得的質量。 測量方法：以天平秤測量所得的質量為重力質量。 實驗顯示物體的慣性質量等於其重力質量。此為愛因斯坦 廣義相對論的基礎。 4. 力的單位： • 牛頓（nt）：使質量 1 公斤的物體產生 1 公尺∕秒2 加速度的力量，為 SI 制中力的單位。 • 達因（dyne）：使質量 1 公克的物體產生 1 公分∕秒2 加速度的力量。 • 公斤重（kgw）：質量 1 公斤的物體所受到的重力。在 地球表面 1公斤重 = 9.8 牛頓。 F ma = 註： 既是自然界的基本定律，也可看成 是力 ※ 量的定義。 5. 力學問題解題策略： • 選定受力體。 • 畫出該物體受到的外力圖。 • 選定適當的直角座標系，將各外力沿座標軸方向作 分解。 • 列出各座標軸方向的牛頓第二運動定律方程式。 • 解聯立方程式。 ix x i iy y i F ma F ma F ma = = =
§1-3 牛頓第三運動定律 1. 牛頓第三運動定律：力量來自於物體間的互相作用， 必成對同時出現，且作用力與反作用力大小相等，方向 相反。即當施力者施一作用力於受力者，則受力者也必 同時施一大小相等，方向相反的反作用力於施力者。 2. 作用力與反作用力的性質： • 同時發生，同時消失。 • 量值相等，方向相反。 • 對兩物體組成的系統而言，作用力與反作用力為內力， 不影響整體的運動狀態。對個體而言為外力，會影響個 體的運動狀態。 例題：如右圖，以輕繩連接三木塊（m1= 5kg， m2= 3kg，m3= 2kg），今以 T1= 150 牛頓的力 向上拉，試求各段繩的張力（g = 10 m∕s2） T3 m1 T1 T2 m2 m3 150 nt 答案：T2= 75牛頓；T3= 30牛頓 例題：一條均質的繩子，A、B 兩端分別施以 F 與 2F 之拉力，使其沿水平移動，如圖。若繩上一點與 A、B 兩 端之距離比為 2：3，則此點的張力為________。 F 2F A B 7 F 5 答案：例題：如右圖所示，桌上物體的質量 為 m1，下方吊掛物體的質量為 m2。 假設所有摩擦力繩子和滑輪的質量皆 可忽略不計，試求物體的加速度與繩 子的張力。 a a T T m2 g 2 1 2 1 2 1 2 m g a m m m m g T m m = + = + 答案： 例題：如右圖 (a) 所示，一輕繩跨過定 滑輪，兩端各懸掛三個質量皆相等的木 塊，呈平衡狀態。現將左端的兩個木塊 取下，改掛至右端，如右圖 (b)。若摩 擦力可不計，求繩上張力變為原來平衡 狀態時的幾倍？ 答案：5 ∕ 9 m m T 2T a 2a 例題：如右圖，不計滑輪與繩的質量， 也忽略所有摩擦力，求各段繩的張力與 兩物體的加速度。 2 1 T mg a g 5 5 = ； = 答案： 53 o 37o 例題：如右圖所示，質量皆為 m 的兩物體置於光滑斜面上，以細 線繞過滑輪相連接。假設所有摩 擦力、細線和滑輪的質量皆可忽 略不計，試求物體的加速度與線 的張力。 a 4 mg 5 T T a 3 mg 5 1 7 a g T mg 10 10 = = 答案： ； 例題：將 m1 與 m2 置於如圖所示， 傾斜角分別為 53o及37o角之光滑斜 面上，兩者恰保持平衡。若將 m1、 m2位置交換，則 m2 之加速度大小 為何？ 1 g 5 答案： 例題：如圖所示，人的質量為 60kg，平臺的 質量為 40kg，人在平台上以一向下的力拉 繩，欲使平台與人以 2m/s2的加速度上升，則 拉力應為多少牛頓？又平台對人的正向力為若 干牛頓？（g = 10 m∕s2） T 40kg 60kg 2T T N 60kgw 答案：T = 400nt；N = 320nt
例題：如右圖，m1= 5kg，m2= 10kg， 滑輪質量 m = 2kg，不計摩擦力，則施力 F 最大多少可使 m2保持不動？ （g = 10 m∕s2） m1 m2 m F T T mg 答案：230牛頓 例題：右圖中，二個小長方體的質量分別為 m1= 3kg、 m2 = 2kg，以細繩連結。m1 置於一個質量 5kg 的大長方體平 台 M 上，繞過不計質量的定滑輪後和 m2 相接。若只計 M 和 地面間的摩擦力，則 m1 自圖示位置啟動後，而 M 保持不 動，則地面施於 M 的摩擦力為多少？ 答案：12 牛頓 M m1 m2 B A C 例題：如右圖，A、B 質量分別為 m、2m，不 計滑輪與繩的質量，亦忽略所有摩擦力。求 (1) 若 C 保持靜止，則其質量為若干？ (2) 若 C 之質量為 3m，則其加速度為若干？ T 2T T C 8 (1) mg m m 3 = 答案： (2) a 1 g 17 = 例題：將質量皆為 m 的 A、B、C 三球，先用一理 想彈簧（彈簧質量不計）連接 B、C 兩球，再用一 條細線連接 A、B 兩球，最後用另一條細線繫住 A 球懸吊於天花板的 O 點呈靜止平衡，如右圖所示。 現用剪刀將 O、 A 間的細線剪斷，則細線被剪斷瞬 間，A、B 兩球間的細線張力大小為何？ O A B C mg 2 1 答案： 例題：如圖所示，m = 3kg、M = 5kg， 所有接觸面間的靜摩擦係數為 0.5，動 摩擦係數為 0.4。為不使上下兩木塊相 互滑動，則水平力 F 的最大值為何？ （g = 10 m∕s2） F m M 答案：72nt 例題：如圖中 m 與 M 間之動摩擦係數為 μ1，M 與地面之靜摩擦係數為μ2，今對 m 施以一水平力 F，欲使 m 等速移動而 M 保持不動之條件之一為何？ 1 2 µ µ + ≤M m m 答案：
例題：甲乙丙三物體質量均為 M，如圖所示 排置於一水平面上，並以一水平力 F 施於甲 物體，設甲物體與桌面之摩擦可以忽略，而 乙與桌面間及丙與乙間之靜摩擦係數均為 0.7，動摩擦係數均為 0.6，則下列敘述何者 正確？（g為重力加速度） (A)當 F = 0.5Mg 時，甲物體施於乙物體之力為 0.5Mg (B)當 F = 0.5Mg 時，乙物體施於丙物體之摩擦力之力為 0.7Mg (C)當 F = 3Mg，三物體之加速度均為 0.8g。 (D)當 F = 3Mg 時，乙物體施於丙物體之摩擦力為 0.8Mg。 (E)欲使乙丙相對靜止，則 F 的最大值為 3Mg。 乙 甲 丙 F 答案：A 53o mg N fk a 例題：如右圖，一物體在傾斜角為 37o的斜 面上可等速度下滑，則當斜面傾斜角度增為 53o時，物體下滑的加速度大小為何？ 7 g 0 a 2 = 答案： 例題：一木塊以 v = 10 m/s 的初速沿粗糙斜面上滑，如圖所 示。當木塊滑到最高點後，會沿反方向滑下來，若斜面與木 塊間的動摩擦係數 µ = 0.5，g = 10 m/s2，求木塊下滑回至 出發點時的速率為多少 m/s？ 2 5 答案： 例題：一木塊自斜面底沿一傾斜角為 37o 之斜面向上滑動，到 達最高點再由靜止向下滑回原點。已知上滑與下滑所費時間比 為 1：3，則木塊與斜面間之動摩擦係數約為何? 答案：0.6 θ A B F 例題：將一長方體切割成質量相等的 A、B 兩塊，如右圖。施一水平力 F 使 其沿著光滑水平面上滑行。若 A、B 間 無摩擦，則 A、B 間的正向力為若干？ sc 2 N=Fc θ 答案： N 例題：小坤到貓空坐纜車，假設纜車沿傾斜角 45 o的鋼索加速 上升（如右圖），質量 50 kg 的小坤發現自己的體重站在纜車 地板上的磅秤稱起來變成 60 kgw，假設小坤一直靜止在纜車 裡，纜車上升時地板皆維持平行水平地面，則纜車給小坤的靜 摩擦力為何？ 45o a 答案：10kgw
§ 4-6 非慣性系統與假想力 1. 加速座標與假想力： • 牛頓第二運動定律只適用於慣性座標系統，於非慣性（加 速運動）座標中，如欲使用牛頓第二定律，須以一假想力 來修正。 0 0 0 0 a m ma ma a − i 即在加速度為 的座標中，如欲使用牛頓第二運動定律來 分析質量為 的物體，須使其額外受到一假想力 ， 即大小為 ，方向與 相反的力。 0 0 0 a a F ma m(a a ) F ma ma F ′ ′ = = + ′ ′ − = = i 設非慣性座標相對於慣性座標的加速度為 ，質點相對於 非慣性座標的加速度為 ，則由 a 實例一：如上圖，在一以 a 向右加速度行進的車內，如 車內地板為光滑的，則車內的觀察者將看到地板上的物 體以 a 向後加速運動，因此感覺物體受到一向後方的假 想力 F = ma 。由車外靜止的觀察者來看，物體只是保持 不動停留在原位置，並無假想力的作用。 實例二：離心力 如右圖，在一輛正在轉彎的車 中。如地板為光滑的，車內的 觀察者將看到地板上的物體沿 著離心的方向加速運動。如右 圖。因此認為物體受到一離心 方向的假想力稱為離心力。 由慣性座標的觀察者來看，物 體只是沿著切線方向作等速度 運動，並未受到離心力。 ma 2. 實重與視重 1) 實重：物體實際的重量，即物體受到的地心引力。 2) 視重：物體置於磅秤上量到的重量。 3) 質量 m 的物體如在一加速運動的狀態下量重量，因額外 受到一假想力的作用，視重將不會等於實重。 如將物體放在一正以 a 向上加速運動 的電梯中量重量，則量到的視量： W1= mg + ma = m (g + a) 如將物體放在一正以 a 向下加速運動 的電梯中量重量，則量到的視量： W2= mg – ma = m (g - a) a N mg 例題：質量 60 公斤的人站在電梯內的磅秤量體重，如電梯 以下列方式運動，則量到的體重為幾公斤重？ (1) 等速上升。 (2) 以 0.5g 向上的加速度上升。 (3) 以 0.5g 向下的加速度下降。 答案： (1) 60 公斤重 (2) 90 公斤重 (3) 30 公斤重 例題：一重量為 60kg 之人進入電梯後立於一彈簧秤上，當 電梯開始運動時他發現彈簧秤的指標指示於 72kg，則電梯 的加速度為何？（g = 10m/s2） 1 g 5 電梯以 向上加 答案： 速運動。 例題：圖示為一等速向右前進的火車，密閉的車廂內有一氮氣 球，和固定在桌面上的水槽，水槽內盛水，另有一懸吊在天花 板的鐵球，光滑地板上有一塊方形木塊，以彈簧連接車廂前 壁。若火車突然減速，則下列敘述哪一個正確？ (Ａ)水槽內的右側水面較高 (Ｂ)鐵球向左移動 (Ｃ)懸吊鐵球 的懸線張力變小 (Ｄ)彈簧被拉長 (Ｅ)氮氣球向右偏移。 答案：A
例題：如右圖一，在一以加速度 a 向 右行進的車內，自天花板以細線懸掛 一質量為 m 的物體。則擺線將向左 斜，試求擺線與鉛錘線的夾角。 1 a a tan tan ( ) g g − θ = θ = 答案： ma T mg θ （圖二） θ （圖一） a 例題：在與水平成θ角的一平滑斜面上放一物體。今令此斜 面以一加速度 a 沿水平方向運動。設物體正好在斜面上保持 靜止，則加速度 a 大小等於多少？ [72.日大] θ g an a= t θ 答案： a mg N θ ma 例題：如圖所示，楔形木塊的光滑斜 面仰角為 37°，當楔形木塊固定在地 面時，某一物體自斜面頂端自由下 滑，需要 4 秒才到達底端。若此楔形 木塊以之加速度 0.5g 向左水平移動 時，物體自斜面頂端自由下滑到達底 端，需時若干秒？ 37o 4 3 答案： 秒 例題：如右圖，質量 m 的物體置於傾斜θ角，質量為 M 的斜面上。所有接觸面均為光滑。試求 (1) 斜面的加速度 (2) 物體相對於斜面的加速度。 (3) 斜面與物體間的正向力。 θ M m N amA mg A N 2 2 2 mg cos sin A M m sin (M m)g sin a M m sin Mmg cos N M m sin θ θ = + θ + θ = + θ θ = + θ 答案：
THE END
練習題
牛頓第一運動定律 一、單選題： 1. 下列關於慣性的說法中，何者正確？ (Ａ)物體的運動速度愈大，慣性愈大 (Ｂ)物體 的質量愈大，慣性愈大 (Ｃ)物體運動狀態改變時，物體不一定受力作用 (Ｄ)牛頓第 一運動定律說明外力可以改變物體的慣性 (Ｅ)同一物體在靜止狀態與運動中的慣性大 小有所不同。 2. 曾同學站在行駛中的車內，當煞車時，她的身體會向前傾。依據圖，下列哪一項是造成 曾同學身體向前傾的主要理由？ (Ａ)車輪給曾同學一向前的力 (Ｂ)車內空氣給曾同 學一向前的力 (Ｃ)車地板給曾同學一向後的摩擦力 (Ｄ)車在煞車時，改變了曾同學 重力的方向。 3. 下列何項不是牛頓第一運動定律的表現？ (A)汽車剎車時，人向前傾 (B)物體在斜面 上等速下滑 (C)雨滴以終端速度等速落下 (D)人造衛星繞地球等速率運動 (E)物體掛 在彈簧下靜止，使彈簧伸長。 二、多重選題： 1. 下列敘述，何者錯誤？ (Ａ)質量愈大，慣性愈大 (Ｂ)慣性愈大的物體，在地球上的 重量愈重 (Ｃ)物體不受外力，則不具慣性 (Ｄ)物體質量愈大，速度愈不易改變 (Ｅ)慣性的大小會隨地點的不同而改變。 2. 下述物理現象，何者可以用慣性性質來解釋？ (Ａ)賽跑者到終點仍向前衝幾步 (Ｂ)斧頭鬆脫時，執柄向下方敲擊，斧頭即自嵌入柄內 (Ｃ)一玻璃杯置於長條紙上， 若用手急拉紙條，則杯穩然不動 (Ｄ)站在汽車內之乘客，當汽車突然開動易向後仰， 突然停止易向前傾 (Ｅ)從火車上跳下之人仍須向前走幾步，才不會跌倒。 3. 下列關於牛頓第一運動定律的敘述，哪些正確？ (Ａ)慣性定律即牛頓第一運動定律， 是經由實驗證明而得到 (Ｂ)慣性是物體具有保持其原運動狀態的特性 (Ｃ)牛頓第一 運動定律闡明物體具有慣性，並且指出力乃是使物體改變其運動狀態的一種作用 (Ｄ)對於一物體，若滿足慣性定律，則物體的動量會保持守恆 (Ｅ)牛頓第一運動定律 乃是牛頓第二運動定律的特殊情形。 答案： 一、單選題： 1. B 2. C 3. D 二、多重選題： 1. CE 2. 全 3. BCD牛頓第二運動定律 一、單選題： 1. 附圖中彈簧質量不計，若施力 F 於 m2向右拉之，彈簧伸長量 為 x；若將同樣之力 F 改施於 m1向左拉之，則彈簧伸長量 為： (A) x (B) m m2 1x (C) m1 m2x (D) m1 m1＋m2x (E) m2 m1＋m2x。 2. 將質量為 m 的木塊置於傾斜角為 37°的木板 上，如圖(一)所示，木塊恰可開始下滑； 若將木板擺成水平狀態，如圖(二)所示， 則欲使木塊由靜止開始移動，所需之推力 F 的最小值約為 (Ａ) 7 15 mg (Ｂ) mg (Ｃ) 5 3 mg (Ｄ) 2 3 mg (Ｅ) 3 mg。 3. 三個質量分別為 2m、m 和 2m 的木塊，木塊間的靜摩擦係數 為μ，而木塊與地面之間無摩擦力。試問，欲使中間的木塊 不致落下，則所需最小的力 F 為多少？ (Ａ) μ mg (Ｂ) mg (Ｃ) μ 3 mg 5 (Ｄ) mgμ (Ｅ) 5 3 mg。 4. 一質地均勻粗繩 AB，長度為 ℓ ，置於光滑之水平面上，今在 A 及 B 兩端各施力 F1 及 F2 拉之（F1＞F2），則繩上距 B 端 x 處之張力為 (Ａ) F1－ ℓ x F F1＋ 2） （ (Ｂ) F2＋ ℓ x F F1－ 2） （ (Ｃ) F1＋ ℓ x F F1＋ 2） （ (Ｄ) F2＋ ℓ x F F1＋ 2） （ (Ｅ) F1＋F2。 5. 如圖，小球質量 m，A 繩與鉛垂線之夾角為θ，重力加速度為 g。現以剪刀將小球右方與牆壁間之 B 繩剪斷，求剪斷瞬間， 小球之加速度大小為（設小球半徑遠小於 A 繩長度） (Ａ) g (Ｂ) g sinθ (Ｃ) g cosθ (Ｄ) g tanθ (Ｅ) g cotθ。 6. 兩木塊質量分別為 m1 及 m2（m1＞m2），相互接觸置於光滑水 平面上，如圖所示，今同時以量值為 F1 之水平力由右側推動 m1，以量值為 F2 之水平力由左側推動 m2（F1＞F2），設兩物體 之加速度為 a、兩物體間之作用力為 F，若 F1、F2 同時增加Δ F，則 (Ａ) a 變大，F 不變 (Ｂ) a 不變，F 不變 (Ｃ) a 變 大，F 變大 (Ｄ) a 不變，F 變大 (Ｅ)以上皆可能。 7. 甲、乙兩繩（質量不計）繫有 A、B 兩物（如圖），且手執甲繩上端。若 1 mA＝2m、mB＝m，乙繩張力為 2 1 mg，則甲繩張力為 (Ａ) 3mg (Ｂ) 2 3 mg (Ｃ) mg (Ｄ) 2 5 mg (Ｅ) 2mg。 圖(一) 圖(二)
