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6-2-3極限的應用-函數的極值

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Academic year: 2021

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(1)6-2-3 極限的應用-函數的極值 【定義】 1. 遞增函數: 對於函數定義域中某區間內任意兩數 x1 , x2 , x1 < x2 都有 f ( x1 ) ≤ f ( x2 ) ,稱 f (x ) 為該區間上的一個遞增函數。 對於函數定義域中某區間內任意兩數 x1 , x2 , x1 < x2 都有 f ( x1 ) < f ( x2 ) ,稱 f (x ) 為該區間上的一個嚴格遞增函數。 2.. 遞減函數: 對於函數定義域中某區間內任意兩數 x1 , x2 , x1 < x2 都有 f ( x1 ) ≥ f ( x2 ) ,稱 f (x ) 為該區間上的一個遞減函數。 對於函數定義域中某區間內任意兩數 x1 , x2 , x1 < x2 都有 f ( x1 ) > f ( x2 ) ,稱 f (x ) 為該區間上的一個嚴格遞減函數。. 【性質】 1.. 遞增(減)函數與導數的關係: 設 f (x ) 在某區間內(開區間、閉區間或半開半閉區間)導函數 f ' ( x ) 存在, (1)若 f ' ( x ) ≥ 0 ,則 f (x ) 在該區間內為遞增函數。 (2)若 f ' ( x ) ≤ 0 ,則 f (x ) 在該區間內為遞減函數。. 2.. 遞增(減)函數與導數的關係: 設 f (x ) 在區間 (a, b) 內的導函數 f ' ( x ) 存在, (1)若 f (x ) 在區間 (a, b) 內為遞增函數,則對於每一個 x ∈ ( a, b) , f ' ( x ) ≥ 0 。 (2)若 f (x ) 在區間 (a, b) 內為遞減函數,則對於每一個 x ∈ ( a, b) , f ' ( x ) ≤ 0 。. 【方法】 求極值: 1. 配方法。 2. 算幾不等式。 3. 柯西不等式。 4. 正餘弦函數的疊合。 5. 求導數。 【定義】 1. 最大值(絕對(全部)極大值)(absolute maximum): 若 f (c ) ≥ f ( x ), ∀x ∈ D 。 2.. 最小值(絕對(全部)極小值)(absolute minimum): 若 f (c ) ≤ f ( x ), ∀x ∈ D 。. 3.. 極大值(相對(局部)極大值)(relative maximum): 若 f (c ) ≥ f ( x ), ∀ | x − c |< δ 。. 4.. 極小值(相對(局部)極小值)(relative minimum): 若 f (c ) ≤ f ( x ), ∀ | x − c |< δ 。.

(2) 【定理】 1. 設實函數 f : D → R ,若存在 ( a, b) ⊂ D, ∋ f ′ > 0 恆成立,且存在 (b, c) ⊂ D, ∋ f ′ < 0 恆成立,並且 f 在 (a, b) 連續,則 f 在 (a, b] 遞增,在 [b, c ) 遞減,因此 f 在 (a, c) 有最大值 f (b) ,故 f (b) 是 f 的一個極大值;同理若 f ' 在 (a, b) 恆小於零,在 (b, c) 恆大於零,則 f (b) 是 f 的一個極小值。 2. 若 f (x ) 在 x = a 有極值產生,且 f ' ( a ) 存在,則 f ' (a ) = 0 。 證明: 不妨設 f (x ) 在 x = a 有極大值產生 f ( a + h) − f ( a ) h →0 h (1)若 h > 0 ⇒ a + h > a 當 h → 0 時, f ( a + h) ≤ f ( a ). 又 f ' (a ) = lim. 則 f ' (a) ≤ 0 (2)若 h < 0 ⇒ a + h < a 當 h → 0 時, f ( a + h) ≤ f ( a ) 則 f ' (a) ≥ 0 由(1)(2)得 f ' ( a ) = 0 【問題】 1. 若 f ' ( a ) = 0 ,則 f (x ) 在 x = a 有極值產生?(不一定) 【性質】 極值可能產生在: 1. f ' ( x) = 0 之點。 2. f ' ( x ) 不存在之點。 3. 端點。 【問題】 1. 若 f (x ) 在 x = a 附近的導數都存在,且 f ' (a ) = 0 ,則何時 f (x ) 在 x = a 處有 極值產生? 解: ⎧if x < a ⇒ (1) ⎨ ⎩if x > a ⇒ ⎧if x < a ⇒ (2) ⎨ ⎩if x > a ⇒. f ' ( x) > 0 ⇒ f (x ) 在 x = a 處有極大值產生。 f ' ( x) < 0 f ' ( x) < 0 ⇒ f (x ) 在 x = a 處有極小值產生。 f ' ( x) > 0. 即 x = a 處兩側之導數異號。 【定義】 設實函數 f : D → R ,若 f ′′( a ) = 0 ,稱 (a, f (a )) 為 y = f (x ) 的反曲點。 【性質】 1. 若 f ' ' (a ) < 0 ,則 f (x ) 在 x = a 處凹口向下。 2. 若 f ' ' (a ) > 0 ,則 f (x ) 在 x = a 處凹口向上。.

(3) 【性質】 設 f ' ( a ) = 0, f ' ' ( a ) ≠ 0, 1. 若 f ' ' (a ) < 0 ,則 f (x ) 在 x = a 處有極大值。 2. 若 f ' ' (a ) > 0 ,則 f (x ) 在 x = a 處有極小值。 【例題】 求 f ( x) = x 3 − 3 x 的極值。 解: f ( x) = x 3 − 3 x ⇒ f ′( x) = 3 x 2 − 3 = 3( x − 1)( x + 1) ⇒ f ′′( x ) = 6 x x 0 1 −1 f ′(x ) f ′′(x) f (x ). +. − |. |. 2. 0. −2. 極大值. 反曲點. 極小值. | −. + +.

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