國立臺中教育大學數學教育學系教學碩士班碩士論文
指導教授：黃一泓 博士
國小三年級學童的表徵與數概念
知識結構探討—
以除法單元為例
研究生：楊雅芳 撰
中華民國 一○二 年 一 月
謝 誌
兩年半的日子以來，終於到了結束的時刻。這一段時間以來，有工作、教甄 及進修……，種種事務應接不暇。其中的甘苦談實在是非三言二語即可講完的。 所幸，在此段時間遇到了許多的貴人陪伴及支持。 首先，謝謝黃一泓教授不厭其煩的指導及提供諸多寶貴建議，使我從中獲得 許多啟發。再者，教授深知學生諸多不便之處皆願加以關心且體諒，在此一併感 謝。另外，由衷感謝口試委員李林滄教授及林冠成教授，給予珍貴的指正及建議， 使論文得以更加完備。 進修過程中，感謝研究所同學們靖文、佳珍、玫如的互相支持及打氣，使得 這一段日子有了併肩作戰夥伴的加持可以互相提醒、督促且一起努力。 最後，感謝家人對於自己無怨無悔的付出及支持，讓我有了專注完成學業的 原動力。想起種種過往及點滴，想必是幸運之神眷顧於我，才會讓我遇到如此多 的貴人及督促我成長的安排。所以，謝謝你們！ 雅芳 謹致 102.01.10中文摘要
本研究藉由ACT-R (Adaptive Control Thought- Rational) 理論以「三年級除法 單元」活動進行探究，分析學童數學表徵運用與數概念架構之連結。以國小三年 級一個班級，共26名學生為研究對象，採用自編「具體物表徵題型」、「抽象符 號表徵題型」及「數學符號表徵題型」為施測工具，探討以數學符號表徵題型施 測表現分成高分組、低分組共兩群組，依組別探究「具體物表徵題型」與「抽象 符號表徵題型」得分表現相關性；以「認知工作分析」剖析學童數學表徵與數概 念的內涵。測驗結果採用質與量分析方法，總結學童表徵題型的表現。 研究結果如下： 一、學童在數學符號表徵成績表現與「具體物表徵題型」、「抽象符號表徵題型」 之分數呈現，發現有顯著正相關。 二、依據認知工作分析，建立學童的數學表徵與數概念形成的生成規則。 三、施測結果顯示，學童在三類表徵成績表現以具體物表徵的平均得分最佳。 四、學童使用具體物表徵答對率較高而迷思較少、抽象符號表徵易出現數字圈選 表達迷思、數學符號表徵研究中可發現出學童除法數概念不完整的遺毒完全 顯現。 本研究建議：教學者於除法單元教學時，可以採用認知工作分析瞭解每位學 童該單元數概念建立情形加以判別需加強點再予以對症下藥，以增加學童學習興 趣並提升教師教學效能。 關鍵字：認知工作分析、ACT-R、除法概念、表徵
II
Study on Third Grade Students’ Representation and
Number Concept Knowledge Structure:
Using Decimal Division as An Example
Abstract
The purpose of the study is to analyze elementary school students’ knowledge
structure of representation and numeral concepts by probing into the activity of
“divide unit” based on ACT-R (Adaptive Control Thought- Rational) theory.
The study was performed on a class of the 3rd graders at an elementary school. A
total of 26 students participated in this survey.
The researcher designed “Specific Material Representation Test” ,“Abstract
Representation Test” , ”Mathematical Representation Test” to evaluate the participants.
The evaluation results were used to explore ”Mathematical Representation Test” the
relationship of their performances between other tests. “Cognitive Work Analysis"
was also adopted to investigate the students’ performances on representation and
numeral concept qualitatively.
The general conclusion of this study are:
I. There was significant relation Mathematical Representation Test
performance between the grades Specific Material Representation Test and
Abstract Representation Test display significant relationship.
II. According Cognitive Work Analysis, it can establish the production rule of
how the students’ representation and numeral concept.
III. Generally speaking, students’ have best scores on the Specific Material
IV. The higher accuracy was caught when the students used Specific Material
Representation Test. In Abstract Representation Test can find easily when
circle numbers appear mistake concept. In Mathematical Representation
Test find with no difficulty number concept isn’t total preparation when
students’ respond isn’t good enough.
According to the above experimental design and findings, teachers could be
adopted Cognitive Task Analysis promote students’ numbers concept. In order to
raise students’ interesting and elevate teachers’ effectiveness of teaching.
Keywords: Cognitive Task Analysis, ACT-R , number concept of division , representation
IV
目 次
中文摘要 ... I 英文摘要 ... ...Ⅱ 目次 ... Ⅳ 表目次 ... Ⅵ 圖目次 ... Ⅷ 第一章 緒論 ... 1 第一節 研究背景與動機 ... 1 第二節 研究目的 ... 2 第三節 名詞解釋 ... 3 第四節 研究限制 ... 4 第二章 文獻探討... 5 第一節 表徵的內涵 ... 5 第二節 除法相關研究 ... 8 第三節 錯誤類型的種類 ... 11 第四節 相關認知理論探討 ... 16 第三章 研究設計... 20 第一節 研究流程 ... 20 第二節 研究樣本 ... 21 第三節 研究工具 ... 21 第四節 研究分析 ... 25 第四章、研究結果與討論 ... 26 第一節 量化分析 ... 26 第二節 質性分析 ... 35 第三節 討論與建議 ... 90 第五章 結論與建議 ... 100 第一節 結論 ... 100 第二節 建議 ... 103 參考文獻 ... 106 一、中文部分... 106 二、英文部分... 108附 錄 ... 111 附錄一、三年級除法具體表徵測驗（1）... 111 附錄二、三年級除法具體表徵測驗（2）... 112 附錄三、三年級除法抽象表徵測驗（1）... 113 附錄四、三年級除法抽象表徵測驗（2）... 114 附錄五、三年級除法數學符號表徵測驗（1）... 115 附錄六、三年級除法數學符號表徵測驗（2）... 116
VI
表目次
表 2-3-1 錯誤類型相關研究 ... 14 表 3-3-1 使用具體物表徵與抽象符號的知識結構 ... 22 表 3-3-2 施測編號及施測內容 ... 23 表 3-3-3 數學符號表徵除法概念 ... 23 表 3-3-4 質性探討問題 ... 25 表 4-1-1 數學符號無餘數 v.s 具體物無餘數 ... 27 表 4-1-2 數學符號無餘數 v.s 抽象符號無餘數 ... 27 表 4-1-3 數學符號有餘數 v.s 具體物有餘數 ... 28 表 4-1-4 數學符號有餘數 v.s 抽象符號有餘數 ... 28 表 4-1-5 高分組具體物無餘數與抽象符號無餘數得分一覽表 ... 29 表 4-1-6 低分組具體物無餘數與抽象符號無餘數得分一覽表 ... 29 表 4-1-7 高分組具體物有餘數與抽象符號有餘數得分一覽表 ... 30 表 4-1-8 低分組具體物有餘數與抽象符號有餘數得分一覽表 ... 30 表 4-1-9 具體物無餘數之高分組與低分組描述統計 ... 30 表 4-1-10 具體物無餘數之高分組與低分組獨立樣本 t 檢定 ... 31 表 4-1-11 抽象符號無餘數之高分組與低分組描述統計 ... 32 表 4-1-12 抽象符號無餘數之高分組與低分組獨立樣本 t 檢定 ... 32 表 4-1-13 具體物有餘數之高分組與低分組描述統計 ... 33 表 4-1-14 具體物有餘數之高分組與低分組獨立樣本 t 檢定 ... 33 表 4-1-15 抽象符號有餘數之高分組與低分組描述統計 ... 34 表 4-1-16 抽象符號有餘數之高分組與低分組獨立樣本 t 檢定 ... 34 表 4-2-1 具體物、抽象符號、數學符號三類表徵模式之知識架構 ... 35 表 4-2-2 除法平分與分裝問題數概念知識 ... 35 表 4-3-1 高低分組具體物無餘數與抽象符號無餘數得分比較表現 ... 90表 4-3-2 高低分組具體物有餘數與抽象符號有餘數得分比較表現... 91
表 4-3-3 高低分組具體物操作情形...92
表 4-3-4 高低分組抽象符號操作情形...92
VIII
圖目次
圖 3-1-1 研究流程圖 ... 20 圖 3-3-1 數學概念與表徵的關係 ... 23 圖 4-2-1 對應除法平分與分裝問題數概念之三類表徵模式之認知分析圖 .. ..36 圖 4-2-2 高分組學童具體物無餘數表徵模式編碼 A 之作答類型... 37 圖 4-2-3 高分組學童具體物有餘數表徵模式編碼 A 之作答類型...38 圖 4-2-4 高分組學童具體物無餘數表徵模式編碼 B 之作答類型 ... 41 圖 4-2-5 高分組學童具體物有餘數表徵模式編碼 B 之作答類型 ... 42 圖 4-2-6 高分組學童抽象符號無餘數表徵模式編碼 A 之作答類型 ... 43 圖 4-2-7 高分組學童抽象符號有餘數表徵模式編碼 A 之作答類型 ... 44 圖 4-2-8 高分組學童抽象符號無餘數表徵模式編碼 B 之作答類型 ... 45 圖 4-2-9 高分組學童抽象符號有餘數表徵模式編碼 B 之作答類型 ... 47 圖 4-2-10 高分組學童抽象符號無餘數表徵模式編碼 C 之作答類型 ... 48 圖 4-2-11 高分組學童抽象符號無餘數表徵模式編碼C之作答類型... 48 圖 4-2-12 高分組學童數學符號無餘數表徵模式編碼 A 之作答類型 ... 50 圖 4-2-13 高分組學童數學符號有餘數表徵模式編碼 A 之作答類型 ... 53 圖 4-2-14 高分組學童數學符號無餘數表徵模式編碼 B 之作答類型 ... 54 圖 4-2-15 高分組學童數學符號有餘數表徵模式編碼 B 之作答類型 ... 57 圖 4-2-16 高分組學童數學符號無餘數表徵模式編碼 D 之作答類型 ... 58 圖 4-2-17 高分組學童數學符號有餘數表徵模式編碼 D 之作答類型 ... 60 圖 4-2-18 低分組學童具體物無餘數表徵模式編碼 A 之作答類型 ... 61 圖 4-2-19 低分組學童具體物有餘數表徵模式編碼 A 之作答類型 ... 62 圖 4-2-20 低分組學童具體物無餘數表徵模式編碼 B 之作答類型 ... 64 圖 4-2-21 低分組學童具體物有餘數表徵模式編碼 B 之作答類型 ... 66 圖 4-2-22 低分組學童抽象符號無餘數表徵模式編碼 A 之作答類型 ... 67圖 4-2-23 低分組學童抽象符號有餘數表徵模式編碼 A 之作答類型 ... 69 圖 4-2-24 低分組學童抽象符號無餘數表徵模式編碼 B 之作答類型 ... 71 圖 4-2-25 低分組學童抽象符號有餘數表徵模式編碼 B 之作答類型 ... 74 圖 4-2-26 低分組學童抽象符號無餘數表徵模式編碼 C 之作答類型 ... 75 圖 4-2-27 低分組學童抽象符號有餘數表徵模式編碼 C 之作答類型 ... 75 圖 4-2-28 低分組學童數學符號無餘數表徵模式編碼 A 之作答類型 ... 77 圖 4-2-29 低分組學童數學符號有餘數表徵模式編碼 A 之作答類型 ... 80 圖 4-2-30 低分組學童數學符號無餘數表徵模式編碼 B 之作答類型 ... 82 圖 4-2-31 低分組學童數學符號有餘數表徵模式編碼 B 之作答類型 ... 85 圖 4-2-32 低分組學童數學符號無餘數表徵模式編碼 D 之作答類型 ... 86 圖 4-2-33 低分組學童數學符號有餘數表徵模式編碼 D 之作答類型 ...87
1
第一章 緒論
第一節 研究背景與動機
柏拉圖（Plato）曾說：「數學為科學之母。」在所有與科學具有相關性的學 科當中，無一不與數學沾上邊的。以上，得以顯而易見數學教育的成效優劣與國 家未來國力具有相當程度的影響。為此，於九七課綱中亦提及，要把每一位學生 都帶上來，是九年一貫及國家教育政策既有的理念。（教育部，2008）所以，如 何找出適合學童學習數學的方法，以引發出國家未來主人翁的最大潛力及興趣， 進而儲備國力之永續的將來是一大課題。美國數學教師協會（National Council of Mathematics : NCTM）於 2000 年曾 提及數學教育的原則：對於任何的學童均應該給予適當的機會，以幫助其在不同 的資質下均得以學習數學，因此最強調平等學習的概念。所以，對於每位學童均 需能夠給予適才適用的資源並逐步的引發其最大潛力，讓他們在數學的學習旅程 能夠慢慢的得心應手。此一理想的實踐，相信是每一位教育最前線的教師們最深 切的期望。 在國小學童學習數學課程之基礎運算過程中，應屬於除法概念發展較晚。也 因為如此，使得原本認知發展狀況不一致卻在同一個班級內學習的學童，顯現出 有較明顯的學習成就落差。為促使這樣的學習成就落差盡量彌平，使得學童們能 夠不因為「分裝與平分」的抽象概念而落入嚴重的數學恐懼當中，身為教育工作 者的筆者，期望能夠從表徵認知概念之方向引導孩子，漸漸的接受數學並樂於學 習數學這樣一門既具體又抽象的學科。 在陳鵬全（2001）針對屏東地區三年級學童除法概念之調查中指出，對於除 法問題解題算式表徵中約有 30%~55%學童產生混淆之情況。另外，在黃于真 （2005）曾指出中年級老師應加強學童數學乘除法之基本能力，倘若放任學童數 學能力落差過大，等到升上更高年級將難以提升。再者，在施怡真（2008）曾提
到數學能力較不理想者，將會因此而伴隨低自尊與高挫敗感，甚至影響日後的學 習經驗、生涯選擇和專業發展。種種負面影響跟著這些學童一生如影隨形，一個 接著一個串在一起，實在不容小覷。 數學教育應運用學童的直覺經驗為基礎，經過逐步數學化過程的引導，促使 學童建立相關知識（教育部，2000）。Lesh（1979）曾提出五種表徵型式：真實 情境表徵、操作具體物表徵、圖像表徵、書寫符號表徵、口語表徵。數學的理解 應包括兩方面：（1）獲得一套符號或系統以用來代表數學表徵概念；（2）能以多 類型表徵型態來代表某一特定概念，並能在不同型式的表徵系統中作轉換 （Davis,1984；引自劉秋木，1990）抽象化能力始於能以運用符號、記號、模型、 圖形或其他各類數學語言、清楚傳達其量化及邏輯之關係（教育部，2000）。 綜合以上，本研究將進行藉由學童於具體物體表徵、抽象符號表徵、數學符 號表徵之試題表現，探究學童學習除法單元時此三類表徵中之彼此於試題表現中 是否具有正相關及探究低成就學童於表徵認知學習中所陷入的瓶頸。希望能夠以 本研究得以給予教學現場的教師們一點協助。
第二節 研究目的
本研究在於探討國小三年級學童數學能力於除法概念中於具體物體表徵、抽 象符號表徵、數學符號表徵之試題表現及相關性，並分析出低成就學童之錯誤類 型，藉以瞭解三年級學童除法概念的學習情況。本研究目的可臚列如下： 一、分析學童於三類表徵中之試題表現。 二、探究學童於三類表徵中之相關性。 三、探討高成就與低成就學童之試題表現。 四、分析低成就學童之錯誤類型。3
第三節 名詞解釋
研究者將本研究相關的名詞解釋如下： 壹、表徵（representation） 表徵是一種媒介象徵，而人們透過各類不同的媒介，再度以不同的形式、狀 態予以欲展現並且保留其原本的意義、內涵，在此狀態或樣貌下得以與他人順利 進行溝通、交流。本研究主要探討學童於不同表徵中其試題表現之間的相關性。 貳、高分組、低分組學童 本研究中所指的「高分組」、「低分組」學童，乃依據研究對象接受自編數學 符號表徵題型施測後所呈現的成績表現，將學童分為高分組（前 50%）、低分組 （後 50%）。 參、試題表現 本研究所指的「試題表現」是指在試題當中,學童於施測題型中之作答情況 是否切合題意要求，並得以順利解出正確答案。 肆、錯誤類型 學童於解題過程中，答題內容不僅只有程序性知識表現，另外還包含概念性 知識展現。這二類知識相互影響著解題過程中，學童是否能夠符合題意且順利解 題是重要關鍵所在。第四節 研究限制
本研究構思與實施雖力臻嚴謹完善。然而由於時間、經費與人力等因素，致 使研究仍有所限制： 一、本研究範圍限定在國小三年級學童的數學除法單元解題情形。 二、本研究對於解題情形，主要著眼於學童的數學表徵及數概念認知。對於情意 表現或語文能力方面之探討，不在本研究範圍內。 三、本研究以筆者所服務學校之三年級學童，因此採便利抽樣樣本。5
第二章 文獻探討
依本文研究目的，筆者希望藉由透過研究數學表徵認知為導向探究除法學習 成果。深入了解學童於學習除法活動時，數學表徵的呈現與其學習成果之相關性 及表徵之間答題狀況之連結性。因此，文獻探討共分成了四個部份加以論述：第 一節為表徵的內涵；第二節為除法相關研究、第三節為錯誤類型的種類；第四節 為相關認知理論探討。第一節 表徵的內涵
壹、表徵的意義和類型
Vergnaud（1987）提出表徵型態的運用是教師之數學教學理論及學童之數學 學習理解過程中重要的工具之一，除了因為使用表徵在數學學習上具有促進運 思、幫助思考的重要性之外，還有另一很重要的理由，也就是使數學能夠在真實 世界內加以具體化，也就是說數學表徵是其數學概念得以具體化表達的樣貌。從 訊息處理理論而言，表徵指的是訊息處理過程當中，將訊息編碼採由某一形式再 轉換成另一種形式，以利於記憶儲存或表達說明的過程。（張春興，1989）數學 表徵本身就是數概念的展現形態之一，代表著人類世界對於數學概念中的運用與 認知瞭解（NCTM，2000），以下介紹常被論及關於討論表徵類型觀點的學者： 一、Lesh（1979）表徵類型 Lesh 將常見表徵的使用，採以溝通的方向予以思考並區分下列，可分別有 實體情境、可操作具體物、圖片或圖像、口說語言、書寫語言等五種類型。實體 情境就是運用環境中常見之實際事物予以表達說明；可操作具體物即類似數學教 學中常使用的積木或花片等物品為代表；圖片或圖像即為內容形像化而非具體物 品；口說語言為使用言語來進行表達；書寫語言是人類獨有的書寫能力進行溝通。 二、Bruner 表徵類型（引自張春興，1994）： Bruner 將表徵分為行為表徵、形像表徵、符號表徵等三類類型，來表達人類思考歷程中的成長演變改變。行為表徵通常運用具體物品幫助當事人思 考，於此時思考歷程者大多認為看的見的東西才代表實際存有，而未看的見物品 即不可能存在；形像表徵往往以圖像或圖片來取代先前思考模式之具體物品來協 助人類運思，較行為表徵高一等級層次；最後才是邁入符號表徵，其運思方式採 人類付予的各類符號來表達某一欲表達之概念，是一種較為抽象的運思方式。
三、Hiebert and Carpenter（1992）表徵類型（引自黃永和，1997）： Hiebert and Carpenter 採用簡單區分的二分法將表徵分為內在及外在二類表
徵型態。內在表徵是單僅僅存在於個人內心中或腦海裡面，旁人無法用直接觀察 方式探知的心理層次表徵。例如個人想像、大腦思考、判斷或評估等屬於內心心 理層次的活動。而外在表徵乃旁人易於聽到、看到、摸到的可實際研判的表徵層 次。例如文字、符號、具體物、語言等均是旁人易於與其進行溝通的表徵層次。 四、Schnotz et al.(2010)表徵類型： 由多位學者提出表徵的兩類形式：描述與描繪。其中描述是以符號來當作表 達抽象觀念的輔助工作，例如藉由語言或符號來表達有機化學等方式，再者其所 有表徵運用均由具代表性符號組合而成，與要表達的內容具可說明性；描繪是空 間上的分配表達，與要顯現的內容兩者間具有高程度的類似性質，例如照片、地 圖。
貳、表徵轉譯的重要性
在 97 課綱數學領域中，強調培養學童數學問題自行轉化解決的能力，將待 解答的問題轉變成數學相關問題（教育部，2012）現行數學課本內，多採用各式 各樣的表徵方式來進行引導學童學習，所以相形之下可發現要理解數學領域相關 概念學童必須具有熟稔各類表徵之間的轉譯能力。游自達（1995）提出數學領域 學習上，有三項重要因素得特別留意：1.使學童明瞭其符號系統內涵，並能夠實 際運用於適當位置；2.幫助促成各類數表徵之間的順利轉譯；3.數學概念的解釋7 需常使用多類型的表徵樣貌來說明。但有許多學者專家探討學童表徵轉譯表現的 計分方式，僅以二分法去判斷正確或不正確與否。可是當問題難度較有挑戰性 時，不能只是用對或錯如此非黑即白的判斷方式去分析，因為如此將侷限了轉譯 可論斷的範圍。Pimm（1990）與 Duval（2006）曾道出：每次的轉譯不一定均可 順利的得到希望的完整結果。（轉引自黃志維，2012）表徵運用能力是要逐步去 學習使用以期使其運用得當、運用準確，而非一開始就用二分法去斟酌正確性， 就太可惜了。學童若能運用多類型的數學表徵，可以促進數學概念的理解且使相 關數概念間獲得連結並能夠用數學表徵的方式與他人溝通數學觀念、邏輯，得以 實際被運用在現實生活當中。不再視數學為無法運用於實際生活當中且不符合實 際生活方式的一門學科。
參、相關研究
表徵策略是讓學習者在答題過程中，運用各類型表徵方式促進觀察、思考、 推理、溝通，最後可以達到成功解題的方式之一，相關研究說明如下： Ballard（2000）以訪問及說話思考的方式研究學童於答題時的表徵與轉譯相 關性。此研究發現可以答題成功與失敗的學童，其表徵與轉譯表現上有顯著差異。 莊凱安（2003）有關數學表徵與解題能力之相關研究。其研究顯示簡易的文 字題中學童常採符號表徵，只有在難度較高題型時多採用圖像表徵思考。而圖像 表徵及符號表徵運用適宜可協助學童數學解題能力的提升，根據研究教學風格較 活潑培養的學童較常使用圖像表徵進行解題，而教學風格較沈靜往往培育出的學 童較常使用符號表徵來解題。 羅秋霞（2007）研究圖像表徵策略對提升國小三年級數學低成就學童加減法 文字題補救教學成效之研究。其結論顯示：於研究中發現圖像表徵教學有助於低 成就學童提升解題表現且可協助題意理解、列式表達正確性提高、解題錯誤率降 低。以上多項幫助可使學童解題意願漸獲得提升，增加學習的意願及增強信心。從上述研究可以發現，使用各類表徵對於學童解題表現的正向影響顯而易 見。學習表徵的運用對於學童學習上的幫助不僅如此，還有連帶將相關學習情形 得到了改善。研究中得到的結論及建議方向都可以用來提供現職教師或教學相關 研究者，於教學現場或研究領域中有不一樣的省思與啟發。
第二節 除法相關研究
壹、除法概念
從多位國外學者分析國小學童關於平分概念研究中曾提出，國小二年級以前 的學童即在日常生活當中即培養出平分物品的能力，學童進行反覆的分配行為到 每一個位置上，且可使得每一個位置分配到相同數量的物品，直到無法分配為 止。（Clements & Lean, 1988 ; Hunting & Sharpley, 1988 ; Miller, 1983）而國內學者研究二年級學童之平分的概念當中曾指出：其實學童在進入小學 之前就有運用除法解決日常生活中相關問題的能力，這些能力源自於「公平分配」 的需求。（楊瑞智，1997） 其中在除法數概念裡，最基礎的即為「包含除（quotative）」及「等分除 （partitive）」兩類。「包含除」乃將低階單位化為高階單位的單位量轉化。例如 3 朵香菇裝 1 包，9 朵香菇可裝成幾包？將「3」朵香菇轉化為「1」包；「等分除」 即是高階單位量未知曉的轉換概念。例如 9 朵香菇要平分成三包，每一包可得到 多少朵香菇？即以「1」包放置的香菇數量為高階單位量未知曉的轉換活動。 再提起於國小三年級除法單元，曾提及所謂「包含除」是表達單位數未明的 題型；而「等分除」是表明單位量未知的題型。因此，國民中小學九年一貫課程 綱要數學學習領域中即安排「分裝」（包含除）與「平分」〈等分除〉題型，使學 生從中瞭解除法基礎意義的所在。 從以上可以發現，除法基本觀念至少涵括了「平分」、「分裝」、「包含除」、「等 分除」等概念。但是在國小三年級除法題型教材當中，可發現「包含除」、「等分
9 除」，還加入了以「連續量」及「離散量」來反應日常生活環境所遇除法題型的 多樣性。因此本研究中除了具有「包含除」、「等分除」題型外也融入了「連續量」 及「離散量」做為施測內容，以因應現行國小三年級除法單元內容的現況。
貳、 除法解題策略分類
一、林慧麗（1991）解題策略研究 （一）直接表徵法：直接出示實際具體物品進行解題思辨，從中獲得結果。 （二）雙重數數法：使用具體物品做計算方式，但將被除數當成計數截止的 示意點。之後再依除數的組數予以計算出共分成多少組數。 （三）加減法：思索過程利用累加或累減去進行。 （四）跳數法：以常見序列順序跳數予以計數，例如 1,3,5,7,9。 （五）記憶法：解題方式乃利用先備經驗九九乘法表予以土法鍊鋼思考。 （六）數數法：不依賴使用具體物品，但少數學童偶爾亦會利用手指來折彎 計算、或以數數停頓的分組方式，例如 987（停頓）654（停頓）…。 （七）嘗試錯誤法：除法中等分除類型的問題最容易出現此類型解題方式。 例如：學童預先假設答案為某一數字，再套入算式中加以運算。假若 無法證明成功即再提出新的假設數字，直到符合式子運算結果為止。 （八）未知法；無法瞭解學童答題過程所產生思維。二、Joanne T. Mulligan & Michael C. （1997）解題策略研究
（一）直接計數模式：採用具體物，一一點數出總個數再分配後予以數出分 配結果組數。 （二）累減模式：例如全部 10 人，每 2 人一組共多少組？將採用 10,8,6,4,2。再計算共 5 組即答案。 （三）累加模式：例如全部 10 人，每 2 人一組共多少組？將採用 2,4,6,8,10。再計算共 5 組即答案。
（四）乘法運算：運用九九乘法規則去找尋與被除數相符合的數，即為正解。 三、楊瑞智（1997）解題策略研究 （一）直接表徵：思考解題過程中，均藉由具體物品或圖像模擬實際情況。 （二）數值捷途：採不斷嘗試錯誤策略模式及評估結果對餘數處理情形。 （三）減法：運用減法方式思考解決除法各類題型。 （四）加、減與乘法：一開始學習除法時，學童常採用熟悉的累加或累減方 式予以計算。當對除法概念稍加建立後，將以學童認為較快速乘法方 式來取代累加或累減的計算。 （五）分配律：將被除數當作是除數的倍數樣貌再予以計其倍數的結果。 四、鄭秋定（2002）解題策略研究 （一）圖像表徵解題策略：採用簡易圖形或簡單圖像進行題目意義的明瞭， 採數數或心算方式進行解題策略。 （二）多步驟加（減）解題策略：採用累加或累減方式，可用加（減）法直 式或橫式計算方式進行過程運算，求取答案的策略。 （三）乘法策略：採用乘法橫式或直式的計算方式，予以進行使用乘法事實 的過程，為求積的解題策略。 （四）除法策略：採用除法橫式或直式的計算方式，予以進行使用除法解題 記錄的過程，為求商的解題策略。 從上述學者專家們研究的結果可發現，學童們對於思考除法解題的策略不外 乎是圖像表徵的運用；累加（減）法的使用；先前乘法概念的記憶；除法列式及 計算。從中可看出，學童學習除法的學習歷程，從一開始多為具體物運思再緊接 著運用抽象符號思索，最後才是較高層次的數學符號運算過程。教師們可從學童 們除法運算學習過程中，予以判斷每位學童其思考歷程進展是落到哪一型態的認 知發展。從中可以給予適性的協助使學童能夠促成除法概念認知能力更進一步， 進而學習除法算式這樣較高層次的運算模式來進行除法各類題型的思考。
11
第三節 錯誤類型的種類
壹、錯誤類型的探究
錯誤的答題結果，源由於學童有了迷思數概念表現在計算運思中卻不自覺並 且未去做最後解題結果的合理性判斷所造成的狀態。（楊瑞智，1990）在傳統教 師觀念當中，只重視學童解題之最後結果呈現，並未對於解題過程中的錯誤細節 加以分析、研判，導致往往魔鬼藏在細節中的狀況。使得學童學習一途遇上了不 明白或偏頗之處卻未提供適性的導正，日積月累下將造就一錯再錯無法回頭的挫 敗感。現今有許多國內外學者提出應當把錯誤的答案與正確的答案視為具有提供 教師教學參考的相同價值。從中可以瞭解學童心理層次的數概念及思考邏輯，然 可針對迷思點而對症下藥，促成學童藉由對數迷思的解套而增加解題成就感、提 升學習意願。McLoughlin & Lewis(1986)認為所謂的學習錯誤分析，是指利用學童的解題
過程遺跡進行研究、探討，希望從中發現學童學習困難點。鄭昭明（1996）以國 外學者 Brown & VanLehn (1982)提出的「修整理論」（repair theory），解釋學童 錯誤解題的發生常導因於學童在進行題目思索、解題時遇到難關，於是試著找尋 各類可能的解題辦法來解決自身難點，所以其實這些難題的歷練本身也是一種思 考的激發及知識重組的過程。雖然，老師在批閱時，往往僅提筆評斷一個分數做 為學習成果的回應。但是，學童在其中解題過程內所可能產生的種種錯誤原由， 是難以用三言二語就解釋的清楚。 對一位教師立場而言，藉由分析學童解題錯誤的因素除了可以提供學童個人 學習結果的多樣性訊息，同時也是一種教師個別化教學的教學方式。(Radatz, 1979)根據 Kopp & Vardever(1979)曾提出：利用分析學童學習時的錯誤訊息進行
導正，可促成學童成績有顯著的進步。Radatz 曾提出數學解題歷程中，例如心智 層面上的思考運作亦或實際面的技能操作、理論知識理解等可視為訊息處理理論 中各類組成元素。以下將介紹五位曾提出關於學童錯誤類型分類方式的學者：
一、Mayer 的分類方法 Mayer(1992)試著從認知心理學派觀點，將學童解題過程總結共分為兩 面向階段、四項組成元素及五種知識類型： （一）兩面向階段： 1.表層面向：將題目轉譯表達成為一個可內化理解的表徵模式，包 括思索接受情形、實際操作狀況及目標方向鎖定。 2.深層面向：嘗試著各類解題模式以用來找尋一個能夠順利進行問 題解決的途徑方法，在這過程中須不斷的嘗試直到目標達成為止。 （二）四項組成元素： 1.問題理解 將每一題目文字內容轉譯為心理層次表徵，使得以瞭解題目內容中 關鍵字句彼此之間的關係。 （1）瞭解題目中關鍵用語的意義：學童易犯三種類型錯誤：遺漏的 錯誤（未能完全的呈述出來）、細節的錯誤（變數與變數之間 變換失敗、先備能力不足無法完整正確運用，例如：公尺轉換 成公分）、表達能力不足（未能將題目中的關係句子轉換成得 以表述的句型。） （2）使用直接表述的知識較容易：具有單位切換的數學問題層次較 未具有單位轉換的數學題型來得困難，學童更容易出現迷思。 2.問題併列整合 所有相關的問題題型或資料、解決答題內容所需具備的資訊、用各 類表徵來溝通問題等，均須可將所有相關資訊進行整併以成為得以 解決相關問題的表徵型態。 3.監督解題計劃過程 包涵了「關鍵語詞」、「題目列式」或「運算列式」來表達題目主要 問題、完成標的問題、提出內容結論等，可以提出解題監控情形及
13 過程計劃內容等。 4.解題回應 內容所包含進行簡單亦或複雜的一連串計算規則等，能夠精準的執 行解題策略以達成目標。 （三）五種知識類型： 1.語文知識：關於題目中文字敘述內容如何進行理解行為之字句。 2.語意知識：關於讀題過程中解題者如何去詮釋題目中表達的意義。 3.基模知識：將原先的個體所具有之先備知識與個體後來接受到的 新訊息加以進行相關連結。 4.策略性知識：關於學習者如何思考出題目答案的各項邏輯。 5.程序性知識：關於學習者於解題過程中所需執行的種種認知行為。 二、Bobbitt（1990）解題迷思的研究 （一）計算時，不夠仔細、細心產生的意外錯誤。 （二）操作數學符號時，先備能力未完全具備導致的概念錯誤。 （三）個體對於訊息內容接收及解讀之間產生錯誤解讀。 （四）認為毫無希望就未努力先行放棄的學得無助感。 三、秦麗花（1995）探討解題錯誤類型的研究 （一）未確認解題最後答案對於題目中表達的合理性。 （二）計算過程中的粗心錯誤。 （三）盲目隨意的抓取題目中的數字，拼湊出一個是式子模樣的組合。 （四）自我放棄努力作答、完全不願思考或解題的行為。 四、林清山、張景媛（1994）迷思類型研究 （一）對於題目中關鍵字句，未能完全瞭解以致於無法進行解題的行為。 （二）未具備有解決此一類型題目之完整的數概念。
（三）對於題目中語句之間相互關係之間，解題者未能有效且正確連結。 （四）解題過程中，發生意外失誤情形。 以上各位學者提出的學童錯誤迷思各類研究，可以列出以下四點共通內容： 1.關鍵字句未能正確理解、解讀；2.計算過程的失誤；3.先備能力的不足； 4.未嘗試學習即放棄學習意願。因此，對於數學領域學習內容中並非只重視結果 的呈現即可，教師應對於學童解題過程中協助其破除自身各類迷思。二者相較之 下，彷彿迷思的排除更顯得重要許多。更何況數學乃採階段式學習，現行階段未 能完全熟悉該單元應學得的內容，將對於下一階段更高層次的學習希冀學得順利 更是難上加難。
貳、
「除法」錯誤類型教學參考
歷年學者針對『除法』錯誤概念發生位置提供相關教學參考，如表 2-3-1： 表 2-3-1 錯誤類型相關研究 Bainbridge（1981） 1. 閱讀能力不足提供學童對於題目之全盤理解。 2. 答題者無法依自己能力詮釋題目所要求的答題方向。 3. 對於數學專有名詞尚未建立概念瞭解其意義。 4. 答題者未能夠熟練進行數學演算過程。 5. 所需相關先備能力不足，導致計算過程運用發生問題。 6. 缺乏耐心且細心度亦不足。 7. 對相關所需數學概念的認知不完備。 8. 無法適度運用所學知識於適當題型中。 Greer（1987） 1. 隨意抓任一些數字就進行式子組合運算。 2. 運算符號＋－×÷任意組合使用。15 3. 視答案將可能變大，就使用加法或乘法運用；而答案會 變小，就使減法或除法予以拼湊過程。 4. 鎖定關鍵字句再決定運算程式進行方向。 呂玉琴（1998） 1. 無法瞭解小數字除以大數字的運算題型代表涵意。 2. 完全不瞭解題意的表達。 3. 找尋關鍵字句，以進行答題計算過程符號及內容。 4. 知道如何運思及結果為何，但無法付諸實際運算過程。 5. 受隱晦模式思緒影響出現「乘會愈乘愈大；除會愈除愈 小；大數字除以小數字」的概念。 游麗卿（1999） 1. 混淆單位數與單位量在式子中之意義。 2. 無法完全瞭解題目內涵所欲表達為何。 3. 無法分辨「等分除」與「包含除」之除法題型意義。 4. 傾向用已知的模式去解決遇到的不確定之除法問題。 5. 無法清楚瞭解算式中乘數未知，於其中被乘數的意義。 陳鵬全（2002） 1. 學童對於包含除問題相較於等分除問題較容易有較高 答題正確率。 2. 學童對於運用「連減」或「連乘」做為算式計算過程來 表達除法意義仍有相當的難度。 3. 學童對於除號的意思，大多數仍認為是「減少」的涵義。 4. 在國小三年級學童大多有能力可列出算式填充題。 5. 學童宜具有運用多類型表徵表達能力以提升解題能力。 胡家戀（2003） 1. 應強化學童於單位數與單位量二類數概念的意義。 2. 幫助學童理解「除號」、「等分除」、「包含除」的意義。 3. 強化學童運用正確列式並順利計算過程。 Squire & 1. 營造具體情境有助於學童理解除法概念相關問題。
Bryant(2003) 2. 可運用簡單的舉例方式，例如：若 10÷2=5，則 10÷5=2。 依此可用來幫助學童對包含除與等分除問題產生認知 連結。 尤彥喬（2004） 1. 未能完全成功解讀出題目表達內容。 2. 先實行「離散量」題目教學再進行「連續量」題目教學， 可促進學童在除法上題意的理解更有助於學習成效提 升。 Horton（2007） 1. 無法完整詮釋題目意義，可能是對除法概念的未熟悉理 解或不習慣開口予以解釋計算過程及其自身思考邏輯。 從上述諸多研究內容，得以發現學生解題的錯誤類型多落在於運算過程出現 錯誤、數概念未完全建立、符號運用失當、對題目的理解有誤、先入為主的觀念 影響學習概念、未能確認最後答案的合理性、粗心等諸多因素。希望藉由此研究 內容的相關介紹，使得在教學現場的教師們能夠對學童們在學習除法時教學過程 中，得以有實質上的幫助。有助於教師們可以教學更加順利及學童們學習過程中 更得心應手，進而喜歡此一有趣的單元內容。
第四節 相關認知理論探討
本節將針對 ACT-R 理論、生成規則、認知工作分析進行說明：壹、ACT-R 理論
ACT-R（Adaptive Control of Thought-Rational）理論源自於美國心理學專家
John R. Anderson 其整合二大理論分別是：廣為人知的認知理論及人工智慧較為
相關的訊息處理理論所發表的研究觀點。ACT-R 理論基本上是透過三個角度分 析的二分法用來表達人類學習過程：
17 到訊息後再加以編碼以進行解讀；其二為依據先前經驗所 獲得信息。張二虎（2009）曾提陳述性知識也可稱為描述 性知識，以直接採用語言加以表達的知識內容。諸如教師 檢定考試中採紙筆測驗的考試方式，均為此類型知識。 程序性知識：指藉由參考舊經驗行為以解決新問題過程內容，從中獲得 的行為知識。王仲爾（2010）認為程序性知識即為是屬於 技能性知識，透過某種形式間接表現出欲表達的技能行 為。例如，游泳測驗、體能測驗等均得依賴實際行動技巧， 才能評斷出此學習者是否真正具備此所需能力。 二、操作假設：即為運用個體本身已具備之擁有的知識背景及認知的事實概 念去進行問題的處理。 學習假設：依據學習過程中，採用陳述性知識與程序性知識的輪替運用 思維以獲得新知識。 三、符號水準：指各訊息間相互的提取的陳述性知識及程序性知識中呈現的 生成規則運用。 子符號水準：陳述性知識訊息間相互合併整合的能力與程序性知識於其 中過程的使用成效。
貳、生成規則
生成（production）是依照題目給予的重要條件，進而循序操作些許特定的 認知內容，其過程稱之。也可說是「給條件即引發後續行動」（condition-action rule） 的一項規則。於生成規則中必得先依條件先確立首要目標，再成立相對應的次要 目標。例如針對小三除法的運算，倘若運用 ACT-R 的生成規則，可以視同： 18 ÷ 2 =？ ↓ ↓ ↓ A B C如果（IF）首要目標是將被除數 A 與除數 B 進行除法運算，而且 A÷B=C， 那麼（THEN）次要目標就視為 C ; 此提出生成規則不僅針對題目中顯示出具體條件建立了除法的首要目標，亦提取 了乘法概念及等分除概念的陳述性訊息內容，在此過程中成立了次要目標。 Anderson（1982）提出生成規則可分為三個階段的看法及觀點： 一、解釋性階段（interpretive procedures）：非關指定領域的生成規則，予以 將目標指定領域的陳述性知識加以合併運用，以進行解決問題的目標。 二、知識編纂階段（knowledge compilation）：將陳述性知識及程序性知識合 併運用的一連串過程，其中含括了序列化（proceduraliazation）和合成 （composition）過程。 三、自動化階段（autonomous stage）：程序性知識使用漸上手後即呈現愈來 愈自動化且速度及精準度上也逐步提升。 陶鈞（2009）提出 ACT-R 理論中學習能力可分為三個階段： 一、認知階段：人們對於其行為過程分別獨自予以進行陳述性的解釋。 二、聯絡階段：選擇多個行為分別同時執行的過程，使其達成程序性行為。 三、自動化階段：經過先前不斷練習，使程序性行為逐步得以加速可達到自 動化反應。 從上述內容可以得知，知識由陳述性知識過渡到程序性知識時，需經過多次 的練習，讓陳述性知識所提供的條件中與技能動作的連結速度加快，使其能夠造 就此知識提取愈來愈快速且愈來愈精準。
參、認知工作分析
認知工作分析探討的是個體在完成某一項認知工作內容時，其間進行的策略 思考、概念知識和目標結構整合等整個認知層次的思索內涵（Schraagen,2000）。19 Rittle-Johnson（2001）提出了關於認知工作分析的四大貢獻： 一、認知工作分析可將工作內容中所論及之相關表徵呈現及程序性行為運用 做一個明瞭的流程要點說明。 二、認知工作分析可促成特定假說稍加具體化，且可嘗試於進行實驗測試過 程的驗證。 三、認知工作分析可詮釋實驗的結論，使研究者明白過程上出現的差異點， 並可將其應用至其他領域。 四、認知工作分析可對於應用教導某些領域內容及教學流程上，對學習者提 出具體的建議以提升學習成果。 認知工作分析有助於教師對於教學前可掌握整個單元架構、教學內容的瞭 解、先備知識的具備、新舊經驗如何有效聯結、學童學習可能的迷思均可以做好 最完善的準備工作，使得教學過程及教學後的學習效率更為提升。
第三章 研究設計
本研究針對國小三年級之除法單元進行認知輔助工具數學表徵與數學概念 關係的探究。因此，本章節共分成四節，第一節是研究流程，第二節是研究樣本， 第三節是研究工具，第四節是資料分析。第一節 研究流程
源自於研究者在教學現場中，曾發現三年級的孩子初次遇見除法概念時學習 上的瓶頸及教師在教學上待解決的問題點，引起研究此類問題的想法，希望為如 此的問題上尋求有效的解決方法，而得以略盡棉薄之力。於是，在個人閱讀諸多 相關文獻資料，並與指導教授進行多次的討論之後，漸漸有了更確實的方向及標 的。緊接著尋找個案班級，主要需配合教學現場教師教學進度再施以研究者自編 的檢測試題為評量工具進行紙筆測驗，再從中選擇高、低兩族群之施測學童，進 行資料分析、撰寫論文。本研究的研究流程如圖 3-1-1。 圖 3-1-1 研究流程圖 收集、閱讀相關文獻 確 定 研 究 主 題 選 定 研 究 對 象 發 展 筆 試 測 驗 量化研究 從筆試結果中，進行 分析低、高不同程度 學童之比較。 質性研究 從低、高不同程度施 測結果，進行分析並 進行訪談。 彙 整 並 撰 寫 論 文21
第二節 研究樣本
本研究以國民小學三年級學童為對象，囿於時間、人力及經費等因素，乃以 研究者所任教位於彰化縣芬園鄉的國小三年級一班學童（26 人）為研究樣本， 可稱之為立意樣本。 此研究主要採用兩部分進行分析：一為量化研究，二為質性研究。由於研究 方式的不同，所以研究樣本也有所異動。於第一部分量化研究有效樣本為 26 人， 從施測的內容文字說明部分中，予以分析出低、高程度之族群，並針對低、高程 度族群探討學童表徵使用上知識能力的表現。於第二部分質性研究針對施測內容 予以分析，並因應學童答題狀況而訪談其答題當下所產生的解題想法及原由。主 要是希望藉由訪談過程瞭解學童對於除法表徵的操作與除法概念的認知二者之 關聯性。第三節 研究工具
本研究的研究工具分為紙筆測驗及訪談，說明如下。壹、紙筆測驗
一、編製方法 本研究紙筆測驗試題目的是為瞭解三年級學童在除法單元方面對於表徵使 用上知識能力的表現及表徵使用的問題。藉由表 3-3-1 的方式，分析出國小三年 級之國家教育研究院籌備處出版的國小數學教科書除法單元中，所使用之表徵及 其相對應知識結構，而相對應知識結構仍將每一表徵內部之涵蓋概念一一列出其 流程所需動作及代表意義。使用這方式，於教學前得以探究學童在使用這些表徵 時需具備哪些先備知識。 研究者參考 100 學年度之國家教育研究院籌備處出版的國小數學教科書所 使用的表徵類型，以表達除法概念之分裝與平分關係表徵為例，如圖 3-3-1 所 示。全部試題共分成六次施測，如附表 3-3-2：一為具體物表徵無餘數（附錄一），將給予 12 朵香菇具體圖像，請學童平均分配每人數量，從中思考可有幾種分配 方法；二為抽象符號表徵無餘數（附錄二），提供 18 公分長度的線段圖，請學童 使剪下的線段均等長，並思索有幾種方法得以解題；三、六為數學符號表徵（附 錄三、附錄六），提供文字敘述內容，如：12 公分的線段，每 4 公分剪成一段， 最多可以剪成幾段？之方式，請學童採用數學符號予以列式並解答；四為具體物 表徵有餘數（附錄四），將呈現 11 朵香菇具體圖像，請學童平均分配每人數量並 考慮有剩餘情況的產生，從中提出可有幾種分配方法；五為抽象符號表徵有餘數 （附錄五）提供 13 公分長度的線段圖，請學童使剪下的線段均等長並思量有剩 餘線段之狀況，並探索有幾種方法得以解題。另外，在三、六數學符號表徵當中， 分別測量七個除法概念，如附表 3-3-3 所示。 表 3-3-1 使用具體物表徵與抽象符號表徵的知識結構 具體物表徵 抽象符號表徵 a.假如有 n 個物品，得以平均分裝給 m 部分，每個部分均有 k 個物品。 b.先備知識中具有乘法基本概念，得以 知道 n=m*k c.思索出所有乘法概念中適用於 m、 *k、 =n 之乘法，且 n 恆等於某數。 d.表達出每個為 k、 之圖形，且共有 m、 個 a.假如有一線段長 x 公分，得以平分成 y 段，每段均有 z 公分。 b.具備乘法概念，瞭解 x 公分可由 z 公分*y 段得之 c.示意出形成 x 公分乘積之各類組成。 具體物表徵
23 抽象符號表徵 數學符號表徵 圖 3-3-1 數學概念與表徵的關係 表 3-3-2 施測編號及施測內容 施測編號 施測內容物 1 具體物表徵且無餘數 2 抽象符號表徵且無餘數 3 數學符號表徵且無餘數 4 具體物表徵且有餘數 5 抽象符號表徵且有餘數 6 數學符號表徵且有餘數 表 3-3-3 數學符號表徵除法概念 題目 除法概念 3-（1） 連續量包含除且無餘數 3-（2） 連續量等分除且無餘數 3-（3） 離散量等分除且無餘數 3-（4） 離散量包含除且無餘數 6-（1） 連續量包含除且有餘數 6-（2） 離散量包含除且有餘數 3-（5）（6） 6-（3）（4） 除法是乘法的逆運算 除法是乘法的逆運算
二、預試 為確認試題題目的可行性，在試卷完成後，便進行預試工作。預試對象則委 請同年級另一班級導師隨機挑選班上學童共四位。研究者斟酌預試結果，再進行 題目題意的修改。 而實驗測驗的時間順序，乃為第一階段（無餘數部份）：具體物→抽象符號 →數學符號，共分為三次施測；第二階段（有餘數部份）：具體物→抽象符號→ 數學符號，亦分為三次施測。所以，採二階段施測，總共施測六部份，每一次施 測均於任課教師於教授完畢此類型表徵後，再予以進行施測。 三、筆試試題的信度與效度 本研究筆試測驗：採用預試四位學童之施測題目總得分與正式施測題目總得 分予以進行 spss 系統分析，得到信度為 Pearson 相關為.99 而且達顯著水準.01 （雙尾），所以得知其相關顯著。本研究試題乃確定實驗方向及重心後，再參考 相關文獻。題目設計完成之後，與教授及有經驗的中年級教師討論後，經多次修 改後確定本施測題目之內容效度。
貳、訪談
一、樣本 從施測題目回答的狀況中，研究者依據施測結果內容呈現，進行訪談學童解 題過程分析，希望從訪談過程中更進一步了解學童在解題上的盲點及得以協助之 處。 二、訪談大綱 為了解學童在施測過程的思路歷程，大致上訪談的內容與試題內部題目相符 如附表 3-3-4，另外若遇到特殊情況時，再針對殊殊情況予以引導，希望可以從 中獲得更多學童們思考過程中所忽略的重點細節。25 表 3-3-4 質性探討問題 訪談大綱 目的 1.說說看，這個題目要你回答的是？ 希望確定受訪者真正瞭解題目的意義。 2.你回答的答案為什麼是這些呢？你 是如何知道答案的？ 希望引導受訪者說明其解題思考過程。 3.如果是你是否有其它的方法去處理 這樣的問題呢？ 希望激盪受訪者更深層的思維及想法。
第四節 資料分析
本研究乃採用紙筆測驗及一對一訪談的方式來探討及深究學童的解題情 形，一併分述如下：壹、紙筆測驗資料---量化分析
本研究將紙筆測驗資料蒐集後，以統計工具方式進行測驗結果分析。分析之 後，從學童在具體物表徵、抽象符號表徵、文字表徵之題目解題內容，得以檢視 不同程度學童在數學表徵使用上的能力與文字題測驗表現之間的相關性。另外， 為了探討高、低兩群不同文字解題能力學童在表徵上使用的情形，亦透過統計工 具的分析，藉以了解表徵使用上與分裝與平分關係文字題解題表現的關係。貳、紙筆測驗資料---質性分析
以數學表徵使用的知識結構為基礎（如表 3-3-1 之知識結構），從高、低分 組兩群中，分析個別群組學童在數學表徵能力的使用情形。探討學童數學表徵使 用上知識能力的表現，藉以了解學童數學表徵使用的問題。參、訪談資料---半結構性晤談
訪談部分乃於紙筆測驗施測結束後，再予以實施。將訪談資料以表 3-3-4 為晤談大綱，加以紀錄後，再進一步分析做更深入的探討。但晤談指導語及進行 順序並非固定某一方向，而是針對受試學童當時答題情況再予以引導。第四章 研究結果與討論
本章主要目的在於進行研究資料分析及結果解釋，以與本研究所提出之各項 研究假設相對照並予以討論之。全章共分為三節：第一節量化分析，先探討學童 在不同表徵間操作的相關性，接著再分析「高分組」與「低分組」學童間試題表 現的差異，依據施測之結果，經由統計檢定方式予以深入探究此二類學童之試題 表現情況；第二節質性分析為「高分組」、「低分組」學童之錯誤類型，依據前一 節之分析結果，並配合晤談資料之觀察、呈現，進行錯誤類型之探討、分析；第 三節為討論與建議第一節 量化分析
本節將進行二部分之量化分析：第一部分採史比爾曼等級檢定相關，依「數 學符號無餘數 v.s 具體物無餘數」、「數學符號無餘數 v.s 抽象符號無餘數」、「數 學符號有餘數 v.s 具體物有餘數」、「數學符號有餘數 v.s 抽象符號有餘數」分別 進行相關性檢定。第二部分對於「具體物無餘數」、「抽象符號無餘數」、「具體物 有餘數」、「抽象符號有餘數」樣本依「數學符號無餘數」、「數學符號有餘數」施 測的得分予以分別排序，採以中位數為高分組、低分組的界定（高分組得分為前 百分之五十，低分組得分為後百分之五十），進行平均數及標準差之分析及針對 「具體物無餘數」、「抽象符號無餘數」、「具體物有餘數」、「抽象符號有餘數」樣 本進行簡單描述統計分析及獨立樣本 t 檢定分析。壹、史比爾曼等級檢定相關
一、數學符號無餘數 v.s 具體物無餘數 在顯著水準.01下，查史比爾曼等級相關係數得n＝26時，臨界值為.465。從 表4-1-1中分析得知，在數學符號無餘數v.s具體物無餘數之史比爾曼等級相關為 γs ＝.625 > .465，所以接受數學符號無餘數v.s具體物無餘數之施測分數具有
27 正相關性。也就是說上述二者之間彼此具有可預測性，所以當學童對於具體物無 餘數可呈現理想學習情形時，可推斷學童學習數學符號無餘數時可較為順利。 表 4-1-1 數學符號無餘數 v.s 具體物無餘數 數學符號 無餘數 Spearman's rho 係數 具體物無餘數 相關係數 .625 顯著性 (雙尾) .001 n＝26 , γs＝.625 > .465 二、數學符號無餘數v.s抽象符號無餘數 在顯著水準.01下，查史比爾曼等級相關係數得n=26時，臨界值=.465。從 表4-1-2中分析得知，在數學符號無餘數v.s抽象符號無餘數史比爾曼等級相關為 γs = .746<.465，所以接受數學符號無餘數v.s抽象符號無餘數之施測分數具有 正相關性。也就是說上述二者彼此間具有可預測性，所以當學童對於抽象符號無 餘數可達成理想學習情況時，可推斷學童學習數學符號無餘數時成效應較佳。 表4-1-2 數學符號無餘數v.s抽象符號無餘數 數學符號 無餘數 Spearman's rho 係數 抽象符號無餘數 相關係數 .746 顯著性 (雙尾) .000 N=26, γs=.746<.465 三、數學符號有餘數v.s具體物有餘數 在顯著水準.01下，查史比爾曼等級相關係數得n=26時，臨界值=.465。從 表4-1-3中分析得知，在數學符號有餘數v.s具體物有餘數史比爾曼等級相關為 γs = .586<.465，所以接受數學符號有餘數v.s具體物有餘數之施測分數具有正 相關性。也就是說上述二者之間彼此具有可預測性，所以當學童對於具體物有餘
數可達成理想學習狀態時，可推導學童學習數學符號有餘數時較有可能有較佳的 成效。 表4-1-3 數學符號有餘數v.s具體物有餘數 數學符號 有餘數 Spearman's rho 係數 具體物有餘數 相關係數 .586 顯著性 (雙尾) .002 N=26, γs=.586<.465 四、數學符號有餘數v.s抽象符號有餘數 在顯著水準.01下，查史比爾曼等級相關係數得n=26時，臨界值=.465。從 表4-1-4中分析得知，在數學符號有餘數v.s抽象符號有餘數史比爾曼等級相關為 γs = .662<.465，所以接受數學符號有餘數v.s抽象符號有餘數之施測分數具有 正相關性。也就是說上述二二之間彼此具有可預測性，所以當學童對於抽象符號 有餘數可達到理想成效時，可推斷學童學習數學符號有餘數時亦可有較佳的成 效。 表4-1-4 數學符號有餘數v.s抽象符號有餘數 數學符號 有餘數 Spearman's rho 係數 抽象符號有餘數 相關係數 .662 顯著性 (雙尾) .000 N=26, γs =.662<.465
貳、平均數與標準差
一、以數學符號無餘數施測得分排序： 由表 4-1-5、表 4-1-6 中，可得知以「數學符號無餘數」排序，予以分析之 高分組於「具體物無餘數」之平均數為 96.15，標準差為 9.94，「抽象符號無餘29 數」之平均數為 92.92，標準差為 13.20；低分組於「具體物無餘數」之平均數 為 75.62，標準差為 25.39，「抽象符號無餘數」之平均數為 63.54，標準差為 23.21。以上可知高分組之平均數，無論在「具體物無餘數」或「抽象符號無餘 數」之類型試題均高於低分組 17 分以上，然而從標準差中可看出高分組之標準 差較低分組之標準差的數值較低至少 10 以上，此意謂著低分組之分數分布呈現 落差較大，而高分組之分數分布較為集中。 表4-1-5 高分組具體物無餘數與抽象符號無餘數得分一覽表 個數 最小值 最大值 平均數 標準差 具體物無餘數 13 67 100 96.15 9.94 抽象符號無餘數 13 58 100 92.92 13.20 表4-1-6 低分組具體物無餘數與抽象符號無餘數得分一覽表 個數 最小值 最大值 平均數 標準差 具體物無餘數 13 33 100 75.62 25.39 抽象符號無餘數 13 25 100 63.54 23.21 二、以數學符號有餘數施測得分排序： 由表4-1-7、表4-1-8中，可得知以「數學符號有餘數」排序，予以分析之高 分組於「具體物有餘數」之平均數為99.54，標準差為1.66，「抽象符號有餘數」 之平均數為99.08，標準差為2.25；低分組於「具體物有餘數」之平均數為85.08， 標準差為16.32，「抽象符號有餘數」之平均數為76.85，標準差為18.70。以上 可知高分組之平均數，無論在「具體物有餘數」或「抽象符號有餘數」之類型試 題來得高至少14分以上，然而從標準差中可看出高分組之標準差較低分組之標準 差的數值為低至少8倍以上，此意謂著低分組之分數分布呈現落差較大，而高分 組之分數分布較為集中。
表4-1-7 高分組具體物有餘數與抽象符號有餘數得分一覽表 個數 最小值 最大值 平均數 標準差 具體物有餘數 13 94 100 99.54 1.66 抽象符號有餘數 13 94 100 99.08 2.25 表4-1-8 低分組具體物有餘數與抽象符號有餘數得分一覽表 個數 最小值 最大值 平均數 標準差 具體物有餘數 13 61 100 85.08 16.32 抽象符號有餘數 13 39 100 76.85 18.70
參、簡單描述統計分析及獨立樣本t檢定分析
一、具體物無餘數簡單描述統計分析 由表4-1-9可得知，具體物無餘數之高分組的平均分數為96.15、標準差為 9.94；具體物無餘數之低分組的平均分數為75.62、標準差為25.39。因此，從以 上可以看出在具體物無餘數之施測結果，高分組得分明顯高於低分組，而分數的 分佈情形亦較低分組更為集中。此可提醒教學者此二類組群學童落差程度極大， 且各自組群內中低分組內部成績分佈又有很大的差異。因此，很明顯的此仍學習 成效已呈現雙峰分佈狀態。教學者應留心此狀態並著手予以改善，否則將有馬太 效應的產生。 表4-1-9 具體物無餘數之高分組與低分組描述統計 組別 個數 平均數 標準差 高分組 13 96.15 9.94 低分組 13 75.62 25.3931 二、具體物無餘數獨立樣本t檢定分析 從表4-1-10分析結果顯示：t=-2.72，p值=.016<.05，也就是表示高分組與 低分組在具體物無餘數的平均數中已達顯著差異。代表高分組與低分組之間其各 自平均數的差異在統計上均已有實質的意義，告知本實驗結果中高低分組間的落 差已達不可忽略的情況。應針對於低分組學童進行適性教學以拉進學童之間的學 習差距。 表4-1-10 具體物無餘數之高分組與低分組獨立樣本t檢定 變異數相等的 Levene 檢定 平均數相等的 t 檢定 F 檢定 顯著 性 t 自由度 顯著性 (雙尾) 平均 差異 標準誤 差異 高分組 v.s 低分組 假設變異數 相等 22.37 .000 -2.72 24 .016 -20.54 7.56 不假設變異數 相等 -2.72 15.59 .016 -20.54 7.56 三、抽象符號無餘數簡單描述統計分析 由表4-1-11得知，抽象符號無餘數之高分組的平均分數為92.92、標準差為 13.20；抽象符號無餘數之低分組的平均分數為63.54、標準差為23.21。因此， 可以看到在抽象符號無餘數之施測結果，高分組得分明顯高於低分組，而分數的 分佈情形則高分組較低分組集中。此用以表示此二類組群學童之間落差程度非常 大平均數約有30分左右的差距，且各自組群內中特別是低分組內部成績分佈高低 分之分佈範圍較廣。因此，可推論此群體於學習效果已呈現雙峰分佈情形。教學 者須立即正視此情形並設法針對於弱勢學童予以協助刻不容緩。
表4-1-11 抽象符號無餘數之高分組與低分組描述統計 組別 個數 平均數 標準差 高分組 13 92.92 13.20 低分組 13 63.54 23.21 四、抽象符號無餘數獨立樣本t檢定分析 從表4-1-12分析結果顯示：t=-3.97，p值=.001<.05，也就是表示高分組與低 分組在抽象符號無餘數的平均數中已達顯著差異。代表高分組與低分組之間其各 自平均數的差異在統計上已被證實存在其差異性，然顯現出其高低分組間的落差 宜針對於低分組學童進行個別化教導以提高學童學習成效。 表4-1-12 抽象符號無餘數之高分組與低分組獨立樣本t檢定 變異數相等的 Levene 檢定 平均數相等的 t 檢定 F 檢定 顯著 性 t 自由 度 顯著性 (雙尾) 平均 差異 標準誤 差異 高分組 v.s 假設變異數 相等 3.54 .072 -3.97 24 .001 -29.39 7.41 低分組 不假設變異數 相等 -3.97 19.03 .001 -29.39 7.41 五、具體物有餘數簡單描述統計分析 由表4-1-13可得知，具體物有餘數之高分組的平均分數為99.54、標準差為 1.66；具體物有餘數之低分組的平均分數為85.08、標準差為16.32。因此，從以 上可以看出在具體物有餘數之施測結果，高分組平均數得分明顯高於低分組，而 分數的分佈情形亦高分組較低分組集中許多。此用以提醒特別於低分組內部成績 分佈有很大的差異。因此，教學者應針對於低分組標準差落差極大情形予以個別 學童進行處理，否則對於學童於學習單元內容時易有挫敗感的產生。
33 表4-1-13 具體物有餘數之高分組與低分組描述統計 組別 個數 平均數 標準差 高分組 13 99.54 1.66 低分組 13 85.08 16.32 六、具體物有餘數獨立樣本t檢定分析 從表4-1-14分析結果顯示：t=3.18，p值=.004<.05，也就是表示高分組與低 分組在具體物有餘數的平均數中已達顯著差異。也就是說，高分組與低分組之間 其各自平均數的差異在統計上均具有可供參考的價值。可指出本實驗結論中高低 分組間的落差已必須正視且予以解決的情況。宜對於低分組學童實施個別化教學 以瞭解個別學童其學習上的癥結點。 表4-1-14 具體物有餘數之高分組與低分組獨立樣本檢定 變異數相等的 Levene 檢定 平均數相等的 t 檢定 F 檢 定 顯著 性 t 自由 度 顯著性 (雙尾) 平均 差異 標準誤 差異 高分組 v.s 低分組 假設變異 數相等 134.11 .000 3.18 24 .004 14.46 4.55 不假設變 異數相等 3.18 12.25 .008 14.46 4.55 七、抽象符號有餘數簡單描述統計分析 由表4-1-15得知，抽象符號有餘數之高分組的平均分數為99.08、標準差為 2.25；抽象符號有餘數之低分組的平均分數為76.85、標準差為18.70。因此，可 以看到在抽象符號有餘數之施測結果，高分組得分高於低分組，而分數的分佈情 形則高分組較低分組更為集中。可探討此二類組群學童平均數與標準差均有明顯
落差。而其中，於低分組群內中標準差的差異之大實令人感到憂心。如此的高低 分組分佈落於同一班級內，易造成教學上的難度。建議宜對於低分組組群額外進 行補救教學，以拉進與高分組之間的差距。如此，才可協助教學者於教學成效的 提升及低分組學童學習關卡的突破。 表4-1-15 抽象符號有餘數之高分組與低分組描述統計 組別 個數 平均數 標準差 高分組 13 99.08 2.25 低分組 13 76.85 18.70 八、抽象符號有餘數獨立樣本t檢定分析 從表4-1-16分析結果顯示：t=4.26，p值=.000<.05，也就是表示高分組與低 分組在抽象符號有餘數的平均數中已達顯著差異。顯示高分組與低分組之間其各 自平均數的差異在統計上表示其分類已具有意義。可指出分析結果中，高低分組 間的落差教學者須予以進行教學上的策略調整。宜對於低分組學童進行分析學習 困難點為何對症下藥，希望藉此拉近高低分組學童之間學習成效的落差。 表4-1-16 抽象符號有餘數之高分組與低分組獨立樣本檢定 變異數相等的 Levene 檢定 平均數相等的 t 檢定 F 檢 定 顯著 性 t 自由 度 顯著性 (雙尾) 平均 差異 標準誤 差異 高分組 v.s 低分組 假設變異 數相等 25.77 .000 4.26 24 .000 22.23 5.23 不假設變 異數相等 4.26 12.35 .001 22.23 5.23
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第二節 質性分析
欲瞭解學童在數表徵模式的題型施測結果下所表現出的內容即予以分析，本 節將採用研究者編製之「三類表徵模式之知識架構」進行學童數學概念認知分 析，即以學生施測表現結果分為高分組與低分組二類，予以著手進行。 為探究學童依三類表徵模式所測得之實驗結果，本節採用研究者編纂之「具 體物、抽象符號、數學符號三類表徵模式之知識架構」進行受試者之認知分析。 希望依受試結果瞭解學童表徵使用之相對應之知識架構。進而探討學童在此類表 徵使用上需具備的先備知識。依學童受試結果分為高分組及低分組，著手於表徵 模式與數概念知識架構兩大面向予以探討。 表 4-2-1 具體物、抽象符號、數學符號三類表徵模式之知識架構 具體物 抽象符號 數學符號 A→設定有一排花片，能 依規則做判定。 A→在數線上標示一確切 數字將線段切成數等 分。 A→依題意理解除法的意 義。 B→全部的花片皆可等分 分配。 B→數等分的值合為設定 值。 B→採數學符號依規則判 定。 C→每一等分線段區分要 精準確實。 D→可依照除式記法中將 數字擺放正確位置。 表 4-2-2 「除法平分與分裝問題」數概念知識 1：除法知識概念 2：除法平分、分裝概念 3：乘除互逆概念 ○+ ：操作○+ ○+ ○+ 具體物 抽象符號 數學符號 圖 4-2-1 對應「除法平分與分裝問題」數概念之三類表徵模式之認知分析圖
壹、高分組學生知識結構
一、表徵模式知識架構之施測呈現 （一）以具體物表徵模式下，學童之受試分析： 1.在具體物表徵施測結果中，可以獲得高分組學童均能做出符合「表徵 模式之知識架構」中的編碼 A：設定有一排花片，能依規則做判定。 具體物無餘數表徵模式，其主要作答方式有 6 種類型。解題策略為： 3 朵一堆、4 朵一堆、6 朵一堆、2 朵一堆、12 朵一堆、1 朵一堆，如 圖 4-2-2；具體物有餘數表徵模式，其主要作答方式有 9 種類型，如 下圖 4-2-3 所示。解題策略為：2 朵一堆，剩 1 朵、3 朵一堆，剩 2 朵、4 朵一堆，剩 3 朵、5 朵一堆，剩 1 朵、9 朵一堆，剩 2 朵、6 朵一堆，剩 5 朵、7 朵一堆，剩 4 朵、8 朵一堆，剩 3 朵、11 朵一堆， 剩 0 朵。 （1） A 1 B A A B B C D 1 1 2 2 2 3 3 337 （2） （3） （4） （5） （6） 圖 4-2-2 高分組學童具體物無餘數表徵模式編碼 A 之作答類型 （1） （2） （3） （4） （5） （6）
（7）
（8）
（9） 圖 4-2-3
39 2.在具體物表徵施測結果中，可以獲得高分組學童均能做出符合「表徵 模式之知識架構」中的編碼 B：全部的花片皆可等分分配。具體物無 餘數表徵模式，其主要作答方式有 3 種類型。解題策略為：用除法去 算、用乘法、數一數，如下圖 4-2-4 所示；；具體物有餘數表徵模式， 其主要作答方式有 1 種類型。解題策略為：用除法採 11 除以 1 至 11 的數，只要餘數不大於除數即可，如圖 4-2-5。 第一類型
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圖 4-2-4
高分組學童具體物無餘數表徵模式編碼 B 之作答類型 第三類型
圖 4-2-5 高分組學童具體物有餘數表徵模式編碼 B 之作答類型 （二）以抽象符號表徵模式下，學童之受試分析： 1.在抽象符號表徵施測結果中，可以獲得高分組學童均能做出符合「表 徵模式之知識架構」中的編碼 A：在數線上標示一確切數字將線段切 成數等分。抽象符號無餘數表徵模式，其主要作答方式有 6 種類型。 解題策略為：每一線段 18 公分、每一線段 1 公分、每一線段 3 公分、 每一線段 6 公分、每一線段 2 公分、每一線段 9 公分，如圖 4-2-6； 抽象符號有餘數表徵模式，其主要作答方式有 13 種類型，如下圖 4-2-7 所示。解題策略為：每一線段 2 公分，剩下 1 公分、每一線段 6 公分， 剩下 1 公分、每一線段 3 公分，剩下 1 公分、每一線段 5 公分，剩下
