(99 課綱)
第四冊 第二章 坐標空間中的平面與直線
2-1 平面方程式
【目標】 能認識平面的法向量,並利用平面的法向量表示出平面的點法式或一般式,進而 處理兩平面的夾角與點到平面的距離。 【討論】 1. 若一個有向線段的始點與終點是一直線上的相異兩點, 則此有向線段表示的向量稱為該直線的一個方向向量。 於是,當 d P P1 2 0 時, d 即是直線P P1 2的一個方向向量,如圖所示。 一條直線的方向向量可長可短,而且可以指向相反的兩個方向, 但不能是零向量。 在坐標空間中,若直線 L 上有相異兩點P x1( ,1 y1, z1), P x2( ,2 y2, z2), 則 d PP1 2 (x2x1, y2y1, z2z1)是 L 的一個方向向量。 當直線 L 垂直於平面 E 時,直線 L 的方向向量就稱為平面 E 的法向量; 簡單的說,一平面的法向量就是垂直於該平面的一個非零向量。 當 n 是平面 E 的一個法向量時, 0 n ,且 n 與平面 E 上的任一非零向量 v 都垂直。 例如: a (0, 0, 1)與2 a (0, 0, 2)都是 xy 平面的法向量。 一般而言,當 n 是平面 E 的一個法向量時, k n 也是平面 E 的法向量,其中 k 是任意非零實數。 2. 坐標空間中,若平面 E 有法向量 n ( ,a b c, )且過點A x( ,0 y0, z0),如圖, 則點P x y z( , , )在平面 E 上的充要條件為 n AP或AP 0 ,即 n AP 0, 0 0 0 ( ,a b c, ) ( x x, yy , zz )0,a x( x0)b y( y0)c z( z0)0。 因此,平面 E 的方程式為a x( x0)b y( y0)c z( z0)0, 記為E a x: ( x0)b y( y0)c z( z0)0。 此式由一點及法向量決定,稱為平面 E 的點法式。3. 坐標空間中,每個平面都可由一法向量 n ( ,a b c, ) 0 , 及其上一點A x( ,0 y0, z0)得點法式a x( x0)b y( y0)c z( z0)0, 再整理化為axby cz d 0,其中d (ax0by0cz0),且a b c, , 不皆為0, 故每個平面都可表為三元一次方程式; 反之,任意給定三元一次方程式axby cz d 0時, 至少有一解(a 0時,( d, 0, 0) a 即為一解), 令( ,x0 y0, z0)為一解,即ax0by0cz0 d 0。 此時,以 n ( ,a b c, )為法向量,且過點A x( ,0 y0, z0)的平面方程式為 0 0 0 ( ) ( ) ( ) 0 a xx b yy c zz ,ax by cz (ax0by0cz0)0, 即axby cz d 0。 因此,每一個三元一次方程式axby cz d 0的圖形都是平面, 而且 n ( ,a b c, )是此平面的一個法向量。 4. 若 n 0 且 n 與平面 E 上兩個不平行的非零向量 v1, v2 都垂直, 則 n 是平面 E 的一個法向量。 因此,若A B C, , 是平面 E 上不共線三點, 則AB與AC的外積ABAC同時垂直於AB及AC, 故ABAC是平面 E 的一個法向量。 【定義】 1. 平面的點法式: 坐標空間中,以 n ( ,a b c, )為法向量且過點A x( ,0 y0, z0)的平面, 其方程式可表為a x( x0)b y( y0)c z( z0)0,其中a b c, , 不皆為 0 。 這些方程式都是三元一次方程式。 2. 平面的方程式: 坐標空間中,每一個平面都可表為三元一次方程式axby cz d 0; 反之,每一個三元一次方程式axby cz d 0的圖形都是平面, 且 n ( ,a b c, )是此平面的法向量。 3. 平面的截距式: 設 0, 則過點A( , 0, 0), B(0, , 0), C(0, 0, )的平面方程式為 x y z 1 。 【問題】 1. 設 0,求過點A( , 0, 0), B(0, , 0), C(0, 0, )的平面方程式。 解答: ( , , 0), ( , 0, ) AB AC , 0 0 ( , , ) ( , , ) 0 0 AB AC , 故所求平面方程式為(x)yz0,
【討論】 1. 在第三冊中曾經討論過, 利用兩直線的法向量決定兩直線的夾角。 在坐標空間中,兩平面的夾角問題也很類似。 假設兩平面 1: 1 1 1 1 0 E a x b y c zd ,E2:a x b y2 2 c z2 d2 0, 交於一直線 L ,另取平面 E 垂直 L , 且分別與E1, E2交於直線L1, L2,如圖。 令 n1 ( ,a1 b1, c1), n2 (a2, b2, c2)分別是平面E1, E2的法向量。 此時, n1 與n2 的夾角等於直線L1與L2的一個夾角, 也就等於平面E1與E2所夾的一個二面角。 兩平面交於一直線時,形成四個二面角,對頂的角度相等,相鄰的角度互補, 所以只要其中一個二面角的角度確定,四個二面角的角度就都確定了。 2. 我們已經知道:過一點 A 作一直線 L 的垂線,設垂足為 B , 則AB之長就是點 A 到直線 L 的距離(記為d A L( , )); 換句話說,一點到一直線的距離,就是此點與它在該直線上投影點的距離。 由於直角三角形中,斜邊長大於股長, 當 A 是定點, P 是直線 L 上的動點時, AP長度的最小值就是點 A 到直線 L 的距離,參看圖。 現在考慮一點到一平面的距離, 假設 A 是一個定點, P 是平面 E 上一動點, 則AP長度的最小值稱為點 A 到平面 E 的距離,記為d A E( , )。 同樣的,點 A 到平面 E 的距離就是點 A 與它在平面 E 上投影點的距離; 換言之,過點 A 作平面 E 的垂線, 設垂足為 B ,則d A E( , )AB,參看圖。 3. 坐標空間中,設平面E ax: by cz d 0, 定點A x( ,0 y0, z0)不在平面 E 上, 令 n ( ,a b c, ), 並設過點 A 作平面 E 的垂線, 垂足為B x( ,1 y1, z1),如圖, 則 n 與AB都是平面 E 的法向量,所以ABt n , 即(x1x0, y1y0, z1z0)t a b c( , , )( ,ta tb tc, ), 1 1 1 0 0 0 ( ,x y, z)(x at y, bt z, ct)。 點 B 在平面 E 上, 所以a x( 0at)b y( 0bt)c z( 0ct) d 0, 解出 0 0 0 2 2 2 ax by cz d t a b c , 於是 2 2 2 ( , ) ( ) ( ) ( ) d A E AB at bt ct | |t a2b2c2 0 0 0 2 2 2 |ax by cz d| a b c 。
4. 上一章提到過正四面體。 一般而言,三角錐又稱為四面體,如圖所示, 它有 4 個頂點, 6 條稜(邊), 4 個面, 每個面都是三角形。 當以其中任一個面為底面時, 不在底面上的頂點到底面的距離稱為高。 5. 給定兩平面E1, E2, 若P1是平面E1上的動點,P2是平面E2上的動點, 則P P1 2長度的最小值稱為平面E1與E2的距離。 顯而易見,當E1, E2有共同點, 即重合或交於一直線時,E1與E2的距離為0; 當E1, E2不相交,即E1//E2時, 1 E 與E2的距離等於E1上任一點 A 到平面E2的距離。 在坐標空間中, 當平面E1與E2平行或重合時, 1 E 與E2可取相同的法向量, 故可設其方程式為 1: 1 0 E ax by cz d ,E2:ax by cz d20, 令A x( ,0 y0, z0)是平面E1上一點, 即ax0by0cz0d10, 則點 A 到平面E2的距離為 0 0 0 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 |ax by cz d | | d d | |d d | a b c a b c a b c , 這就是兩平行平面E1與E2的距離。 【定義】 1. 用法向量決定兩平面的夾角: 設平面E a x b y1: 1 1 c z1 d10, E2:a x b y2 2 c z2 d20, 令 n1 ( ,a1 b1, c1), n2 (a2, b2, c2)的夾角為 , 則平面E1, E2的夾角為 或180 , 而 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 2 cos | | | | n n a a b b c c a b c a b c n n 。 2. 點到平面的距離公式: 坐標空間中, 點A x( ,0 y0, z0)到平面E ax: by cz d 0的距離 0 0 0 2 2 2 | | ( , ) ax by cz d d A E a b c 。 3. 平行平面的距離: 坐標空間中, 平行平面E ax by1: cz d10, E2:ax by cz d2 0的距離 1 2 1 2 2 2 2 | | ( , ) d d d E E a b c 。
【思考】 1. 平面上的直線是利用直線的傾斜程度(斜率)、方向向量或法向量來描述的, 再加上直線上一點,就可以求出直線方程式。那麼空間中的平面是如何來描 述的?是否也可以用傾斜程度、方向向量或法向量來描述,然後再加上平面 上一點以求出方程式? 2. 空間中的平面其地位是否與平面上的直線的地位相同呢?兩者都是維度少 一維。 【定義】 1. 法線與法向量: 設 E 為一平面,所有與 E 垂直的直線 L 都是平面 E 的法線,法線 L 上任意一 非零向量都是平面 E 的法向量。 註: (1)一平面的任意兩個法向量互相平行。 (2)平面E 的任一法向量與平面E 上的所有向量都垂直。 (3)平面的法向量不唯一。 (4)上述中,E 為 L 的一個法平面。 2. 與兩向量同時垂直的向量: 設u, 為平面 E 上的兩個不平行的向量,若v n 且u n ,v n 0,則 n為平 面 E 的法向量。 3. 平面方程式-點向式: 設n (a,b,c)為平面 E 的法向量,且A(x0,y0,z0)為平面 E 上一點,則平面 E 的點向式為a(xx0)b(yy0)c(zz0)0,通常以E:axbyczd 0一般 式的形式表示,其中 n稱為平面的法向量。 註: 設P(x,y,z)為平面 E 上一點, 利用n PA
0 0 ) , , ( ) , , ( 0 0 0 a b c x x y y z z 0 ) ( ) ( ) ( 0 0 0 a x x b y y c z z 。 A E n P4. 平面方程式-三點式: 空 間 中 通 過 點 A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),C(x3,y3,z3) 的 平 面 方 程 式 為 以 n A
B CA
為法向量,且過點A(x1,y1,z1)的平面, 即 n(xx1,yy1,zz1)0。 也可以表成 0 1 3 1 3 1 3 1 2 1 2 1 2 1 1 1 z z y y x x z z y y x x z z y y x x , 或者利用平行六面體體積公式可得 0 ) ( AP AB AC AP n C A B A P A
, 求得平面方程式。 5. 平面方程式-截距式: 方程式 1 c z b y a x 表x軸之截距為a、 y 軸之截距為b、 z 軸之截距為c的 平面方程式,且此平面與坐標軸所夾之四面體體積為 | | 6 1 abc 。 6. 平面方程式-平面族: 過兩平面E1:a1xb1yc1zd1 0,E2:a2xb2yc2zd2 0交線 的方程式可以表為m(a1xb1yc1zd1)n(a2xb2yc2zd2) 0, 即m(E1) En( 2)0。 【問題】 1. 平面的法向量是否為唯一? 2. 試問 xy 平面、 yz 平面、zx平面的法向量分別為何? 3. 試討論下列方程式所代表的圖形為何: 方程式 空間中(法向量) 平面上(法向量) 6 3 2x yz 表一平面( n (2,3,1)) 無意義 6 3 2x y 表一平面( n (2,3,0)) 表一直線(n (2,3)) 2 x 表一平面( n (1,0,0)) 表一直線(n (1,0))【公式】 1. 點到平面的距離: 點P(x0,y0,z0)到平面E:axbyczd0的距離為 ) , (P E d 2 2 2 0 0 0 | | c b a d cz by ax 。 註:證明利用到點對平面的投影點與點對平面的對稱點。 證法一: 設過點P(x0,y0,z0)且與平面 E 垂直的直線參數式 為Q(x0 at,y0 bt,z0 ct), 則 Q 在平面上,將之代入, 得a(x0at)b(y0bt)c(z0ct)d0, 解得 ( 02 02 20 ) c b a d cz by ax t , 故P(x0,y0,z0)到平面 E 的距離為 2 2 2 2 2 2 | | ) ( ) ( ) (at bt ct t a b c PQ 2 2 2 0 0 0 | | c b a d cz by ax 。 證法二: 設A(x1,y1,z1)為平面 E 上任一點(A Q), 則d(P,E) | A
P |cos | A
P |cos | || | | | n P A n P A P A
2 2 2 1 0 1 0 1 0 ) ( ) ( )| ( | c b a z z c y y b x x a 2 2 2 1 1 1 0 0 0 ( )| | c b a cz by ax cz by ax 2 2 2 0 0 0 | | c b a d cz by ax 。 2. 兩平面夾角: 設平面E1:a1xb1yc1zd10與E2:a2xb2yc2zd20之夾角 為 及 ,則cos 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 | || | a b c a b c c c b b a a n n n n , 其中n1(a1,b1,c1),n2 (a2,b2,c2) 分別為平面E1, E2之法向量。 Q E n P E1 E2 2 n 1 n3. 兩平行平面的距離: 設兩平面E1:axbyczd1,E2:axbyczd2, 則兩平行平面E1, E2的距離為 2 2 2 2 1 | | c b a d d 。 證明: 在E1:axbycz d1上任取一點 0( 1 ,0,0) a d P , 再求P 至0 E2:axbyczd2的距離即是所求, 可得 1 2 0 2 2 2 2 | 0 0 | ( , ) d a b c d a d P E a b c 2 2 2 2 1 | | c b a d d 。 【性質】 1. 兩平面的法向量分別為n1, n2, (1)E1//E2 n1//n2。 (2)E1E2 n1n20 。 2. 決定平面的條件: (1)不共線的相異三點。 (2)一線與其線外一點。 (3)二平行直線。 (4)二相交直線。 (5)一直線及線外一點。 (6)法向量及平面上一點。 (7)含一直線及與一平面(不與直線垂直)垂直。 註:基本上以上各種情形都是利用外積求法向量,再代入平面上一點求之。 3. 兩平面的夾角可用兩平面的法向量的夾角求出。 4. 點P0(x0,y0,z0)在平面E:axbycz d上,則ax0by0cz0 d。 5. 點P0(x0,y0,z0)不在平面E:axbycz d上,則ax0by0cz0 d或 d cz by ax0 0 0 。如此可用以判別兩相異點在平面的同側或異側。
【問題】 1. 設點P0(x0,y0,z0)對平面E:axbycz d的投影點 Q 與對稱點 R,試求出 Q 與 R 之坐標。 解: ct z z bt y y at x x LPQ 0 0 0 : d ct z c bt y b at x a ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) 2 2 2 0 0 0 ) ( c b a d cz by ax t ) , , (x0 at y0 bt z0 ct Q ) ) ( , ) ( , ) ( ( 0 2 02 20 0 2 2 2 0 0 0 0 2 2 2 0 0 0 0 c b a d cz by ax c z c b a d cz by ax b y c b a d cz by ax a x ) 2 , 2 , 2 (x0 at y0 bt z0 ct R ) ) ( 2 , ) ( 2 , ) ( 2 ( 02 02 20 0 2 2 2 0 0 0 0 2 2 2 0 0 0 0 c b a d cz by ax c z c b a d cz by ax b y c b a d cz by ax a x 2. 試問平面上兩直線的夾角公式與空間中兩平面的夾角公式有何異同之處? 3. 試問平面上兩直線的分角線與空間中兩平面的角平分面求法有何異同之處? 解:利用角平分面上任一點到兩平面的距離相等求。 4. 試問過空間中三點的三角形,如何求此三角形的重心坐標、外心坐標、內心 坐標、垂心坐標? 解: (1)重心坐標: 利用向量的概念求之,即 O