6-2-4極限的應用-曲線所圍的面積

全文

(1)6-2-4 極限的應用-曲線所圍的面積【概念】 1. 多邊形面積可分割成多個三角形。 2. 不歸則形面積可分割、逼近再求極限。【問題】 1. 是否分割越細時，誤差越小？【方法】設 f (x ) 在 [a, b] 為連續函數，且 f ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ [ a, b] ，求 y = f ( x ), y = 0, x = a, x = b 所圍成區域的面積？做法： 1. 分割成長條形。 2. 作上矩形、下矩形。 3. 求上和、下和。 4.. 利用夾擠原理求極限值。即 lim Ln ≤ R ≤ lim U n 。 n →∞. n→∞. 【方法】曲線下面積的求法： n. 利用下矩形面積和(下和)= Ln = ∑ ( i =1. n. ≤ Un = ∑( i =1. b−a ) mi ≤ A n. b−a ) M i =上矩形面積和(上和) n. 得 lim Ln ≤ A ≤ lim U n n →∞. n→∞. 【問題】求 y = x 2 , x = 0, x = 1, x 軸所圍區域面積? 解答: f ( x) = x 2 將 [0,1] 區域 n 等分設等分點 x0 , x1 , x 2 ," , x n ，其中 x k =. k n. 則 n n n 1 1 k −1 1 k −1 2 1 3 1 下和 = Ln = ∑ ( × mi ) = ∑ ( f ( )) = ∑ ( ( ) ) = (2 − + 2 ) 6 n n n n k =1 n k =1 n k =1 n n n n 1 1 k 1 k 1 3 1 上和 = U n = ∑ ( × M i ) = ∑ ( f ( )) = ∑ ( ( ) 2 ) = (2 + + 2 ) 6 n n n k =1 n k =1 n k =1 n n ⇒ Ln ≤ A( R) ≤ U n. ⇒ lim Ln ≤ A( R ) ≤ lim LnU n ∴ A( R ) = n→∞. n →∞. 1 3.

(2) 【定理】閉區間中的連續函數必為有界函數。【問題】設 f ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ [ a, b] 求 y = f ( x ), x = a, x = b, x 軸所圍區域面積? 解答: y = f (x ) 將 [a, b] 區域 n 等分設等分點 x0 , x1 , x 2 ," , x n ，其中 x k = a +. k (b − a ) n. 閉區間 I k = [ x k −1 , x k ] 且 I k 中之最大值為 M k ，最小值為 m k 任取 t k ∈ I k 則 mk ≤ t k ≤ M k 則 n. 下和 = Ln = ∑ ( k =1 n. b−a × mi ) n. 上和 = U n = ∑ ( k =1. b−a × Mi) n. n. ⇒ Ln ≤ Tn = ∑ ( k =1. b−a × f (t k )) ≤ U n n. ⇒ lim Ln ≤ A( R ) ≤ lim LnU n n→∞. n →∞. ⇒ lim Tn = A( R ) n→∞. 1.

(3)