第10讲线性方程组

(1)

甲乙丙丁 某食品

蛋白质（%） 20 16 10 15 15

脂肪（%） 3 8 2 5 5

碳水化合物（%） 10 25 20 5 12

第10讲线性方程组

作者：欧新宇（Xinyu OU）

本章要点

1. 线性方程概述

2. 线性方程组解的几何意义 3. 高斯消元法与行阶梯方程组 4. 矩阵的初等变换

5. 线性方程组应用实例（Python）

1. 线性方程组概述

【例5.1】食品配方的应用

某食品厂收到某种食品的订单，要求这种食品由甲、乙、丙、丁四种原料做成，且该食品中含蛋白质、

脂肪和碳水化合物的比例分别为15％、5％和12％。而甲、乙、丙、丁原料中含蛋白质、脂肪和碳水化合物的百分比由下表给出。那么，如何用这四种原料配置出满足要求的食品呢？

解出上述方程组的解，即可获得四种原料的配比。

线性代数的重要任务之一——解方程

【定义】若线性方程组无解，则称该方程组是不相容的；如果线性方程组至少存在一个解，则称该方程 是相容的。

2. 线性方程组解的几何意义

2.1 适定二元线性方程组的求解

(a) 有唯一解的方程

(2)

对于该等式，可以由下而上地回代解出，这是解线性方程组的规范方法。

(b) 无解的方程

该等式为矛盾方程，无解。

(c) 有无穷解的方程

该等式有无穷解。

2.2 超定二元方程组的近似解

三个方程，只有两个变量。它们所对应的三根直线并不共点，即方程组不相容，称为超定方程组。它没有精确解，但有近似解——最小二乘解。

(3)

2.3 三元方程组的求解

1. 从第2个方程中减去第1个方程的2倍，得到 x 系数为零的新的第2个方程，再从第3个方程中减去第 1个方程的-5倍，得到 x 系数为零的新的第3个方程。

2. 再将第2个方程乘7/5与第3个方程相加，在第3个方程中消去 y。于是形成了阶梯形的结构。可以由下而上地回代解出z, y, x，这是解线性方程组的规范方法。

这三个方程在笛卡尔坐标系中的图形是三个平面，方程组的解就是它们的交点坐标。

若将第三个方程改一下，消元后剩了两个方程，交点就成了交线，说明有无数个解，构成了一根直线。

与二元方程类似，三元方程也存在如下的解空间：共线、无解、两两共线。

(4)

对于更多元的线性方程组，不可能想象出其空间的几何图形，但关于^欠定、^适定和^不相容方程（超定）

的基本概念是一脉相承的，它们的解的特性也都可以推广到高维空间。

3. 高斯消元法与行阶梯方程组

3.1 高斯消元法

将求解方法推广到高阶系统，需要借助于矩阵，并用计算机进行求解，这是线性代数与初等代数的区 别。设为方程的个数，为未知数的个数，则元线性方程组可以表示为：

线性方程组中^解的全体称为方程组的解集(solution set)。解方程组就是求其全部解，即解集。一般情况 下，变量的个数与方程的个数不一定相等。

适定方程组 (m=n)：存在着唯一的一组解；

欠定方程组 (m<n)：其解存在，但不唯一；

超定方程组 (m>n)：不存在精确解，可以求出其近似解。

【定义】若两个含有相同变量的方程组具有相同的解集，则称它们是等价的，这两个方程被称为同解方 程组。

考虑以下两个方程组：

（）（）

不难得到它们的解都是（-2, 3, 2）,因此这两个方程称为^{同解方程组}。

【定义】消元法: 通过消元变换把^方程组化为容易求解的阶梯形结构的^{同解方程组}。

【例5.2】利用消元法求解方程组

求解方程组 (I)

解：对(I)式进行消元变化可以得到(II), (III)式。

求行最简形

(II)

(III)

1. 将(I)式中的第一个方程分别乘以-3/3及-2/3，加到第二、三方程上，可以消去后两个方程中的变量 ;

2. 将(II)式中的第二个方程乘-2/3，加到第三个方程中，消去其中的，得到第(III)个方程组;

3. 第(III)个方程组称为行阶梯形方程组。这样的阶梯形方程组可以用回代法方便地逐个求出它的解。

回代过程如下：

(IV)

(5)

(V)

(VI)

1. 由最后一个方程解出 2. 代入第二个方程，解得：

3. 再将代入第一个方程，得到：。

最后的^行阶梯形方程组（VI）只保留了系数均为1的对角项。得到它就等于求出了方程组的解。

3.2 行阶梯矩阵

【定义】若一个矩阵满足

（1）每一个非零行中的第一个非零元为1；

（2）第k行的元不全为零时，第k+1行首变量之前零的个数多于第k行首变量之前零的个数；

（3）所有元素均为零的行必在不全为零的行之后，

则称其为行阶梯形矩阵。

【例5.3】下列矩阵为行阶梯形矩阵

【例5.4】下列矩阵不是行阶梯形矩阵

3.3 消元法的三种同解变换

在消元过程中，主要对原方程组进行了^三种变换： 1. 互换两个方程的位置；称为^位置变换。 2. 用一个非零数 k 乘某个方程；称为^数乘变换。

3. 把一个方程的 k 倍加到另一个方程上。称为^消元变换。

这三种变换称为线性方程组的^同解变换。因为对方程组而言，这些变换不会改变方程组的解。 消元法规则刻板，容易程序化，其计算量又是最少的，所以可以利用计算机程序实现。消元法是一 切线性方程组求解的基础。

4. 矩阵的初等变换

重新审视【例5.2】可以发现，从方程组(I)变换到方程组(VI)的全过程中，方程组中的变量并没有参与任何运算，参与运算的只是方程组的系数和常数。于是可省略变量，只提取方程组等式左端的系数和右端常数，分别写成如下系数矩阵和常数向量。

其中，矩阵的行号表示方程的序号，列号表示变量的序号。由矩阵很容易恢复出方程组原型。所以，可以通过这两个矩阵来研究线性方程组。学习线性代数的主要目标就是，要学会利用矩阵来描述系统，并用矩阵软件工具去解决各种问题

(6)

4.1 基于增广矩阵的方程组

【定义】由线性方程组所有系数所构成的矩阵，称为线性方程组的系数矩阵。系数矩阵为阶方阵的方 程组也称为阶方程组。

在【例5.2】中， 是三阶线性方程组的系数矩阵。把并排起来组成的矩阵，称为方程组的增广矩阵，知道了也就知道了线性方程组的全部参数。所有针对方程组所做的消元变换，都可以表示为对系数增广矩阵的行变换。

4.2 矩阵的初等行变换

【定义】下面三种变换称为矩阵的初等行变换：以下的 r表示行(row) 1. 交换两行的位置（交换第行，记作）；

2. 以非零数乘某行（以k乘第i行，记作）；

3. 把某一行的倍加到另一行上（把第行的倍加到第行上，记作）

矩阵的这三种初等行变换就对应于方程组的三种初等变换（^{位置、数乘和消元}）。它们都是可逆的，且其逆变换是同一类型的初等变换，由此可知，初等行变换是同解变换。

如果矩阵经有限次初等行变换变成矩阵，就称矩阵与矩阵等价。

方程消元等价于行变换线性方程组和它的增广矩阵是一一对应的，对线性方程组进行初等行变换就是对 其增广矩阵进行初等行变换。于是解方程组的过程可用矩阵的初等行变换来一一对照。

前向消元过程

系数矩阵

对最后一个矩阵按照消元回代的思想继续进行初等行变换，最终可以获得一个对角矩阵；之后再将各行除以对角元素，最终可以获得一个单位矩阵，此时最右一列就是方程组的解。

4.3 行最简形矩阵

事实上，在进行消元变化的时候，如果给出的原始矩阵不是满秩的方阵，则所获得的矩阵将不再是一个单位矩阵，而是行最简形矩阵。这意味着对于系数矩阵为非适定矩阵或奇异矩阵的方式组来说，方程组将无法获得唯一解。

(7)

【定义】若一个矩阵满足

（1）矩阵式行阶梯型的；

（2）每一行的第一个非零元是该列唯一的非零元，

则称该矩阵为行最简形矩阵（reduced row echelon form）。

下列矩阵为行最简形：

5. 线性方程组应用实例(Python)

Numpy.linalg库

numpy.linalg是Numpy库中提供的线性代数库，主要包括矩阵的点积、内积、矩阵积、行列式、逆矩阵和求解矩阵方程的函数。其中np.linalg.solve(A,b)可以实现线性方程的求解。但对于非适定方程或系数矩阵为奇异矩阵时，该库无法进行运算。

那如何解决呢？使用符号矩阵进行运算。

1. 将方程式转换为系数增广矩阵

2. 使用Sympy库将增广矩阵化简为行最简形 3. 根据输出结果获得未知数的解空间

Sympy 库

SymPy是一个符号计算的Python库。它的目标是成为一个全功能的计算机代数系统，同时保持代码简洁、易于理解和扩展。它完全由Python写成，不依赖于外部库。

此处，我们使用sympy库中最基本的运算函数：

解线性方程组（求阶梯矩阵）：Sympy.Matrix.rref(）

求矩阵的秩： Sympy.Matrix.rank()

【计算题】求解线性方程组

【例5.3】求下列方程组的解

不难发现，该方程组是一个适定方程，因此我们尝试使用两种方法进行求解。

(1) numpy.linalg.solve() (2) sympy.matrix.rref()

import numpy as np import sympy

A = np.array([[2,-2,2,6],[2,-1,2,4],[3,-1,4,4],[1,1,-1,3]]) b = np.array([[-16],[-10],[-11],[-12]])

out1= np.linalg.solve(A,b) print('out1=\n{}'.format(out1))

# 将系数矩阵合并为增广矩阵，并转换为sympy.Matrix格式 M = sympy.Matrix(np.concatenate((A,b), axis=1)) out2 = M.rref()

print('out2=\n{}'.format(out2))

(8)

【结果分析】

numpy.linalg.solve()方法可以直接输出方程组的^{解空间矩阵}，但该方法对于超定矩阵和欠定矩阵会给出维度不匹配的信息；

sympy.matrix.rref()方法利用矩阵变换的方法，将系数增广矩阵化简为行最简形矩阵，此时最右 边的一列就是^{解空间矩阵}。

【计算题】求解线性方程组

【例5.4】设方程组的系数矩阵𝑨，𝒃如下，判断它的解的性质及𝑨的秩。

out1=

[[11.]

[-8.]

[-6.]

[-7.]]

out2=

(Matrix([

[1, 0, 0, 0, 11], [0, 1, 0, 0, -8], [0, 0, 1, 0, -6],

[0, 0, 0, 1, -7]]), (0, 1, 2, 3))

import numpy as np import sympy

A = np.array([[-2,-2,2,-2,2], [1,-5,1,-1,-3], [-1,2,-5,5,6], [-1,2,1,-1,0]]) b = np.array([[-2],[-1],[2],[0]])

# 将系数矩阵合并为增广矩阵，并转换为sympy.Matrix格式 M = sympy.Matrix(np.concatenate((A,b), axis=1))

print('rank ={}'.format(M.rank())) print('out = {}'.format(M.rref())) display(M.rref()[0])

rank =4

out = (Matrix([

[1, 0, 0, 0, 0, -2/9], [0, 1, 0, 0, 0, 2/9], [0, 0, 1, -1, 0, -2/3],

[0, 0, 0, 0, 1, -1/3]]), (0, 1, 2, 4))

(9)

0 1 2 3

3 0 -1 6

在本例中，方程组是一个欠定矩阵，因此无法使用 numpy.linalg.solve() 方法进行求解。因此，在后续 的例题中，我们都将使用^{基于行最简形矩阵化简}的方法rref()完成。

函数 sympy.matrix.rref() 方法的输出是一个2维元组，其中：

第一项为，化简后的行最简形矩阵；

第二项为，行最简形中“1”所在列的序号。此例中，该项的的长度为4，说明原矩阵4个主元和主元行，即矩阵的秩。该结论也可以通过M.rank()方法进行验证。

【应用题】计算插值多项式

【例5.5】求插值多项式 的各系数，使它能通过下表中各点。并求多项式在时的值。

解：根据题目列出要求，列出方程组：

x=A\b

以上代码给出了插值方程的解，将其带入多项式可以得到完整的插值多项式：

。

当时，

import sympy

A = sympy.Matrix([[1,0,0,0,3], [1,1,1,1,0], [1,2,4,8,-1], [1,3,9,27,6]])

out = A.rref()

print('out = {}'.format(out[0]))

t = 1.5

res = out[0][0,4] + out[0][1,4]*1.5 + out[0][2,4]*1.5**2 + out[0][3,4]*1.5**3 print('p = {:.3f}'.format(res))

out = Matrix([[1, 0, 0, 0, 3], [0, 1, 0, 0, -2], [0, 0, 1, 0, -2], [0, 0, 0, 1, 1]])

p = -1.125

(10)

。插值的图例如下所示:

【应用题】平板稳态温度的计算

【例5.6】如图所示，假设存在一个密度均匀的金属元器件，在其四周我们获得了8个点的瞬时温度。已 知元器件各点的温度等于其四周温度

的平均值,求abcd四个点的温度。

解：按要求得到abcd四点的温度程式，整理以后可以得到矩阵：

从程序输出结果可以得到abcd四个点的温度分别是：20度, 55/2度, 45/2度, 30度。

【应用题】交通流量分析 import sympy

A = sympy.Matrix([[4,-1,-1,0,30], [-1,4,0,-1,60], [-1,0,4,-1,40], [0,-1,-1,4,70]]) print('out = {}'.format(A.rref()))

out = (Matrix([

[1, 0, 0, 0, 20], [0, 1, 0, 0, 55/2], [0, 0, 1, 0, 45/2],

[0, 0, 0, 1, 30]]), (0, 1, 2, 3))

(11)

【例5.7】如图所示，某城市市区的交叉路口由两条单向车道组成。图中给出了在交通高峰时段每小时进 入和离开路口的车辆数。计算在四个交叉路口间车辆的数量。

解：在每一个路口，必然存在进入的车辆与离开的车辆数相等，于是有：

节点A:

节点B:

节点C:

节点D:

从结果不难看出，该方程是一个欠定方程组，其秩=3<未知数个数4。即得不出唯一解。如果设为自由变量，并将它移到增广项位置，就可以求出解。其物理意义是，给定任意，均可得到每个路口的交通流量。例如，设，则：

$X=\begin{bmatrix} 330 \ 170 \ 210 \ 0 \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} 1 \ 1 \ 1 \ 0 \end{bmatrix} x_4

= \begin{bmatrix} 330 \ 170 \ 210 \ 0 \end{bmatrix} + 150

= \begin{bmatrix} 480 \ 220 \ 360 \ 150 \end{bmatrix}

=> \left{\begin{aligned} x_1=480 \ x_2=220 \ x_3=360 \ x_4=150 \end{aligned} \right. $

【应用题】化学方程的配平 import sympy

A = sympy.Matrix([[1,-1,0,0,160], [0,1,-1,0,-40], [0,0,1,-1,210], [-1,0,0,1,-330]]) print('out = {}'.format(A.rref()))

out = (Matrix([

[1, 0, 0, -1, 330], [0, 1, 0, -1, 170], [0, 0, 1, -1, 210],

[0, 0, 0, 0, 0]]), (0, 1, 2))

(12)

【例5.8】给定化学方程式，试将其进行配平。即通过设置系数，实现每个原子左右数量都相等。

为了配平化学方程式，可以设每一种元素为一个未知数，而分子中原子的个数为未知数的系数矩阵，则我们可以得到以下等式：

四种物质的成分列向量：

待配平方程：

移项后得到系数矩阵和增广矩阵：

从结果不难看出，该方程是一个欠定方程组，其秩=3<未知数个数4。即得不出唯一解。为了实现化学方程式的配平，我们可以设（通常取分母的最小公倍数），则方程的解可以变为唯一解。

取

由此，可以得到配平后的方程：

【应用题】电路图分析

【例5.9】在一个电路中，可根据电阻大小和电源电压来确定电路中各分支的电流。如图所示，根据基尔 霍夫定律，

1. 任一节点上流出电流的量等于流入电流的量 2. 任一回路上电压的代数和等于各元件压降的代数和 3. 压降满足欧姆定律

试求三条支路上的电流。 import sympy

A = sympy.Matrix([[3,0,-1,0,0], [8,0,0,-2,0], [0,2,-2,-1,0]]) print('out = {}'.format(A.rref()))

out = (Matrix([

[1, 0, 0, -1/4, 0], [0, 1, 0, -5/4, 0],

[0, 0, 1, -3/4, 0]]), (0, 1, 2))

(13)

根据以上定律可以得到：

节点：节点：上层回路：下层回路：

增广矩阵

从结果可以得出方程组的解集：，即三个支路的电流：

import sympy

A = sympy.Matrix([[1,-1,1,0], [-1,1,-1,0], [4,2,0,8], [0,2,5,9]]) print('out = {}'.format(A.rref()))

out = (Matrix([

[1, 0, 0, 1], [0, 1, 0, 2], [0, 0, 1, 1],

[0, 0, 0, 0]]), (0, 1, 2))

第10讲 线性方程组

第10讲 线性方程组

本章要点

1. 线性方程组概述

2. 线性方程组解的几何意义

2.1 适定二元线性方程组的求解

2.2 超定二元方程组的近似解

2.3 三元方程组的求解

3. 高斯消元法与行阶梯方程组

3.1 高斯消元法

3.2 行阶梯矩阵

3.3 消元法的三种同解变换

4. 矩阵的初等变换

4.1 基于增广矩阵的方程组

4.2 矩阵的初等行变换

4.3 行最简形矩阵

5. 线性方程组应用实例(Python)

第10讲线性方程组

第10讲线性方程组