传媒与信息工程学院 欧 新 宇
第10讲 线性方程组
第5章 线性方程组
⚫ 线性方程概述
⚫ 线性方程组解的几何意义
⚫ 高斯消元法与行阶梯方程组
⚫ 矩阵的初等变换
⚫ 线性方程组应用实例（Python）
线性方程概述
【例5.1】食品配方的应用
某食品厂收到某种食品的订单，要求这种食品由甲、乙、丙、丁四种原料 做成，且该食品中含蛋白质、脂肪和碳水化合物的比例分别为15％、5％和12
％。而甲、乙、丙、丁原料中含蛋白质、脂肪和碳水化合物的百分比由下表给 出。那么，如何用这四种原料配置出满足要求的食品呢？
𝑥 1 + 𝑥 2 + 𝑥 3 + 𝑥 4 = 1
20%𝑥 1 + 16%𝑥 2 + 10%𝑥 3 + 16%𝑥 4 = 15%
3%𝑥 1 + 8%𝑥 2 + 2%𝑥 3 + 5%𝑥 4 = 5%
10%𝑥 1 + 25%𝑥 2 + 20%𝑥 3 + 5%𝑥 4 = 12%
⇒
𝑥 1 + 𝑥 2 + 𝑥 3 + 𝑥 4 = 1
20𝑥 1 + 16𝑥 2 + 10𝑥 3 + 15𝑥 4 = 15 3𝑥 1 + 8𝑥 2 + 2𝑥 3 + 5𝑥 4 = 5 10𝑥 1 + 25𝑥 2 + 20𝑥 3 + 5𝑥 4 = 12
解出上述方程组的解，即可获得四种原料的配比。
1. 线性方程概述
甲 乙 丙 丁 某食品
蛋白质（％） 20 16 10 15 15
脂肪（％） 3 8 2 5 5
碳水化合物（％） 10 25 20 5 12
线性代数的任务之一——解方程 1. 线性方程概述
【定义】若线性方程组无解 ，则称该方程组是不相容的；如果
线性方程组至少存在一个解，则称该方程是相容的。
线性方程组解的求解和几何意义
适定二元线性方程组的求解 2. 线性方程组解的几何意义
(𝑎) ൜𝑥
1
− 2𝑥2
= −1−𝑥
1
+ 3𝑥2
= 3 ⇒ 𝑟2 ′
= 𝑟2
+ 𝑟1
⇒ ቊ𝑥1
− 2𝑥2
= −1 𝑥2
= 2(𝑏) ቊ𝑥
1
− 2𝑥2
= −1−𝑥
1
+ 2𝑥2
= 3 ⇒ 𝑟2 ′
= −𝑟2
⇒ ቊ𝑥1
− 2𝑥2
= −1 𝑥1
− 2𝑥2
= −3(𝑐) ቊ𝑥
1
− 2𝑥2
= −1−𝑥
1
+ 2𝑥2
= 1 ⇒ 𝑟2 ′
= 𝑟2
+ 𝑟1
⇒ ቊ𝑥1
− 2𝑥2
= −1 0𝑥1
+ 0𝑥2
= 0矛盾方程，
无解
无穷解
可以由下而上
地回 代 解 出 𝒙 𝟐 =2 ，
𝒙 𝟏 =3 ， 这 是 解 线
性 方 程 组 的 规 范
方法。
适定二元线性方程组的求解（几何形态）
2. 线性方程组解的几何意义
ቊ 𝑥
1− 2𝑥
2= −1
−𝑥
1+ 2𝑥
2= 1 (c) 有无穷个解 ቊ 𝑥
1− 2𝑥
2= −1
−𝑥
1+ 3𝑥
2= 3 (a) 有唯一解
ቊ 𝑥
1− 2𝑥
2= −1
−𝑥
1+ 2𝑥
2= 3
(b) 无解
超定二元方程组的近似解
三个方程，只有两个变量。它们所对应的三根直线并不共点，
即方程组 不相容 ，称为超定方程组。它没有精确解，但有近似 解——最小二乘解。
2. 线性方程组解的几何意义
ቐ
𝑥 1 + 𝑥 2 = 1 𝑥 1 − 𝑥 2 = 3
−𝑥 1 + 2𝑥 2 = −3
三元方程组的求解
⚫ 从第2个方程中减去第1个方程的2倍，得到 x 系数为零的新的 第2个方程，再从第3个方程中减去第1个方程的-5倍，得到 x 系数为零的新的第3个方程。
⚫ 再将第2个方程乘7/5与第3个方程相加，在第3个方程中消去 y。
于是形成了阶梯形的结构。可以由下而上地回代解出z, y, x，
这是解线性方程组的规范方法。
2. 线性方程组解的几何意义
三元方程组解的几何意义
这三个方程在笛卡尔坐标系中的图形是三个平面，方程组的 解就是它们的交点坐标。
若将第三个方程改一下，消元后剩了两个方程，交点就成了 交线，说明有无数个解，构成了一根直线。
2. 线性方程组解的几何意义
3 2
1
2 1
3
2 4
4 4 4
2 3 3 5 3 5 5 3 5
4 11 5 3 5 0 0
r r
r r
r r
x y z x y z x y z
x y z y z y z
x y z y z
− −
−
+ − = + − = + − =
− + = ⎯⎯⎯⎯ → − + = − ⎯⎯⎯→ − + = −
− − = − + = − =
三元方程组解的几何意义
对于更多元的线性方程组，不可能想象出其空间的几何图形，
但关于欠定、适定和不相容方程（超定）的基本概念是一脉相承的，
它们的解的特性也都可以推广到高维空间。
2. 线性方程组解的几何意义
课堂互动一 Link
高斯消元法与行阶梯方程组
将求解方法推广到高阶系统，需要借助于矩阵，并用计算机进行求 解，这是线性代数与初等代数的区别。设m为方程的个数，n为未知数
的个数，则n元线性方程组可以表示为：𝑎 11 𝑥 1 + 𝑎 12 𝑥 2 + ⋯ + 𝑎 1𝑛 𝑥 𝑛 = 𝑏 1 𝑎 21 𝑥 1 + 𝑎 22 𝑥 2 + ⋯ + 𝑎 2𝑛 𝑥 𝑛 = 𝑏 2
⋮
𝑎 𝑚1 𝑥 1 + 𝑎 𝑚2 𝑥 2 + ⋯ + 𝑎 𝑚𝑛 𝑥 𝑛 = 𝑏 𝑚
线性方程组中解的全体称为方程组的解集(solution set)。解方程组 就是求其全部解，即解集。一般情况下，变量的个数n与方程的个数m 不一定相等。
⚫
适定方程组(m=n) ：存在着唯一的一组解；
⚫
欠定方程组(m<n) ：其解存在，但不唯一；
⚫
超定方程组(m>n) ：不存在精确解，可以求出其近似解。
3. 高斯消元法与行阶梯方程组
等价方程组
【定义】若两个含有相同变量的方程组具有相同的解集，则称它们是等 价的，这两个方程被称为同解方程组。
考虑以下两个方程组：
(𝑎) ቐ
3𝑥
1
+ 2𝑥2
− 𝑥3
= −2 𝑥2
= 32𝑥
3
= 4(𝑏) ቐ
3𝑥
1
+ 2𝑥2
− 𝑥3
= −2−3𝑥
1
− 2𝑥2
+ 𝑥3
= 5 3𝑥1
+ 2𝑥2
+ 𝑥3
= 2不难得到它们的解都是（-2, 3, 2）,因此这两个方程称为同解 方程组。
【定义】消元法: 通过消元变换把方程组化为容易求解的阶梯形结
构的同解方程组。
【例5.2】 利用消元法求解方程组
求解方程组 ቐ3𝑥
1
+ 2𝑥2
− 2𝑥3
= −4 3𝑥1
+ 3𝑥2
− 𝑥3
= −5 2𝑥1
+ 2𝑥2
− 𝑥3
= 4（I）
解：对(I)式进行消元变化可以得到(II), (III)式。
(II)ቐ
3𝑥
1
+ 2𝑥2
− 2𝑥3
= −4 𝑥2
+ 𝑥3
= −1 2/3𝑥2
+ 1/3𝑥3
= 20/3（III） ቐ 3𝑥
1
+ 2𝑥2
− 2𝑥3
= −4 𝑥2
+ 𝑥3
= −1− 1/3𝑥
3
= 22/31. 将(I)式中的第一个方程分别乘以-3/3及-2/3，加到第二、三方程上，可以 消去后两个方程中的变量𝑥
1
;2. 将(II)式中的第二个方程乘-2/3，加到第三个方程中，消去其中的𝑥
2
，得 到第(III)个方程组;3. 第(III)个方程组称为行阶梯形方程组。这样的阶梯形方程组可以用回代法 方便地逐个求出它的解。
3. 高斯消元法与行阶梯方程组
【例5.2】 利用消元法求解方程组 3. 高斯消元法与行阶梯方程组
回代过程如下：
1. 由最后一个方程解出x 3 = -22 2. 代入第二个方程，解得：
x 2 =21
3. 再将x 2 ，x 3 代入第一个方程，
得到：x 1 = −30。
最后的行阶梯形方程组（VI）只保留了系数均为1的对角项。
得到它就等于求出了方程组的解。
(IV)ቐ
3𝑥
1
+ 2𝑥2 − 1/3𝑥 2
= −48/33𝑥 1 + 2𝑥 2 − 1/3𝑥 2
= −12/33𝑥 1 + 2𝑥 2
− 1/3𝑥3
=−22/3
(V) ቐ3𝑥
1 + 2𝑥 2 − 1/3𝑥 2
= −90/33𝑥 1 + 2𝑥 2 − 1/3𝑥 2
= 212/33𝑥 1 + 2𝑥 2
− 1/3𝑥3
= 22/30 (VI) ቐ3𝑥 1 + 2𝑥 2 − 1/3𝑥 2
= −30/33𝑥 1 + 2𝑥 2 − 1/3𝑥 2
= 212/33𝑥 1 + 2𝑥 2 − 1/3𝑥 3
= −220行阶梯矩阵
【定义】若一个矩阵满足：
（1）每一个非零行中的第一个非零元为1；
（2）第k行的元不全为零时，第k+1行首变量之前零的个数多于第k行首变量 之前零的个数；
（3）所有元素均为零的行必在不全为零的行之后；
则称其为行阶梯形矩阵。
【例5.3】下列矩阵为行阶梯形矩阵 1 4 2
0 1 3 0 0 1
， 1 2 3 0 0 1 0 0 0
， 1 3 1 0 0 0 1 3 0 0 0 0
， 1 0
0 1 ， 0 1 0 0 0 1
【例5.4】下列矩阵不是行阶梯形矩阵 2 4 2
0 3 3 0 0 4
， 1 2 3 0 0 2 0 0 0
， 0 0 0 0 0 0 1 3 0 1 0 0
， 0 1 1 0
3. 高斯消元法与行阶梯方程组
消元法的三种同解变换
在消元过程中，主要对原方程组进行了三种变换：
① 互换两个方程的位置；称为位置变换。
② 用一个非零数 k 乘某个方程；称为数乘变换。
③ 把一个方程的 k 倍加到另一个方程上。称为消元变换。
这三种变换称为线性方程组的同解变换。因为对方程组而言，
这些变换不会改变方程组的解。
消元法规则刻板，容易程序化，其计算量又是最少的，所以 可以利用计算机程序实现。消元法是一切线性方程组求解的基础。
3. 高斯消元法与行阶梯方程组
课堂互动二 Link
矩阵的初等变换
重新审视【例5.2】可以发现，从方程组(I)变换到方程组(VI)的全过程中，
方程组中的变量𝒙
𝒏
并没有参与任何运算，参与运算的只是方程组的系数和常 数。于是可省略变量，只提取方程组等式左端的系数和右端常数，分别写成 如下系数矩阵A和常数向量b。ቐ
3𝑥
1
+ 2𝑥2
− 2𝑥3
= −4 3𝑥1
+ 3𝑥2
− 𝑥3
= −5 2𝑥1
+ 2𝑥2
− 𝑥3
= 4⇒ 𝑨 =
3 2 −2 3 3 −1 2 2 −1
, 𝒃 =
−4
−5 4
其中，矩阵A的行号表示方程的序号，列号表示变量 𝒙 的序号。由矩阵A,
b很容易恢复出方程组原型。所以，可以通过这两个矩阵来研究线性方程组。
学习线性代数的主要目标就是，要学会利用矩阵来描述系统，并用矩阵软件 工具去解决各种问题。
4. 矩阵的初等变换
基于增广矩阵的方程组
【定义】由线性方程组所有系数所构成的矩阵，称为线性方程组的系数 矩阵。系数矩阵为 n 阶方阵的方程组也称为
n阶方程组。
在
【例5.2】中， A, b是三阶线性方程组的系数矩阵。把A,b并排起来 组成的矩阵C ， 称为方程组的增广矩阵，知道了C也就知道了线性方程组 的全部参数。所有针对方程组所做的消元变换，都可以表示为对系数增 广矩阵的行变换。
4. 矩阵的初等变换
𝑨 =
3 2 −2 3 3 −1 2 2 −1
, 𝒃 =
−4
−5 4
, 𝑪 = [𝑨, 𝒃] =
3 2 −2 3 3 −1 2 2 −1
−4
−5
4
矩阵的初等行变换 4. 矩阵的初等变换
【定义】下面三种变换称为矩阵的初等行变换：以下的
r
表示行(row)
（1）交换两行的位置（交换第i, j行，记作r
i ←→r j
）；（2）以非零数k乘某行（以k乘第i行，记作kr
i
）；（3）把某一行的k倍加到另一行上（把第j行的k倍加到第i行上，记作r
i +kr j
） 矩阵的这三种初等行变换就对应于方程组的三种初等变换（位置、数乘 和消元）。它们都是可逆的，且其逆变换是同一类型的初等变换，由此可知，初等行变换是同解变换。
如果矩阵
A经有限次初等行变换变成
矩阵B，就称
矩阵A与
矩阵B等价。
方程消元等价于行变换 4. 矩阵的初等变换
线性方程组和它的增广矩阵是一一对应的，对线性方程组进行初等行变换
就是对其增广矩阵进行初等行变换。于是解方程组的过程可用矩阵的初等行变 换来一一对照。⚫ 前向消元过程
ቐ
3𝑥
1+ 2𝑥
2− 2𝑥
3= −4 3𝑥
1+ 3𝑥
2− 𝑥
3= − 5 2𝑥
1+ 2𝑥
2− 𝑥
3= 4
⇒ ቐ
3𝑥
1+ 2𝑥
2− 2𝑥
3= −4 𝑥
2+ 𝑥
3= −1 2/3𝑥
2+ 1/3𝑥
3= 20/3
⇒ ቐ
3𝑥
1+ 2𝑥
2− 2𝑥
3= −4 𝑥
2+ 𝑥
3= −1
− 1/3𝑥
3= 22/3
⚫ 系数矩阵
方程消元等价于行变换 4. 矩阵的初等变换
对最后一个矩阵按照消元回代的思想继续进行初等行变换，
最终可以获得一个对角矩阵；之后再将各行除以对角元素，最终 可以获得一个单位矩阵，此时最右一列就是方程组的解。
3 2 −2 − 4 0 1 1 −1 0 0 −1/3 22/3
→
3 2 0 −48 0 1 0 21 0 0 −1/3 22/3
→
3 0 0 −90 0 1 0 21 0 0 −1/3 22/3
→
1 0 0 −30 0 1 0 21 0 0 1 −22
⇒ ቐ
𝑥 1 = −30
𝑥 2 = 21
𝑥 3 = −22
行最简形矩阵 4. 矩阵的初等变换
事实上，在进行消元变化的时候，如果给出的原始矩阵不是满秩的方阵，
则所获得的矩阵将不再是一个单位矩阵，而是行最简形矩阵。这意味着对于系 数矩阵为非适定矩阵或奇异矩阵的方式组来说，方程组将无法获得唯一解。
【定义】若一个矩阵满足
（1）矩阵式行阶梯型的；
（2）每一行的第一个非零元是该列唯一的非零元，
则称该矩阵为行最简形矩阵（reduced row echelon form）。
下列矩阵为行最简形：
1 0 0 1
1 0 2 0 1 0 0 0 0
1 0 0 0 1 2
0 1 2 0 0 1 0 0 0 0 0 0
1 3 0 0 0 0
0 1 1 5 0 0
课堂互动三 Link
线性方程组应用实例（Python）
Numpy.linalg库
numpy.linalg是Numpy库中提供的线性代数库，主要包括 矩阵的点积、内积、矩阵积、行列式、逆矩阵和求解矩阵方程的 函数。其中np.linalg.solve(A,b)可以实现线性方程的求解。但对 于非适定方程或系数矩阵为奇异矩阵时，该库无法进行运算。
5. 线性方程组应用实例（Python）
ቐ
3𝑥 1 + 2𝑥 2 − 2𝑥 3 = −4 3𝑥 1 + 3𝑥 2 − 𝑥 3 = −5 2𝑥 1 + 2𝑥 2 − 𝑥 3 = 4
ቐ
𝑥 1 = −30
𝑥 2 = 21
𝑥 3 = −22
5. 线性方程组应用实例（Python）
如何解决？
使用系数增广矩阵的行变换法求解方程组
将系数矩阵化简为行最简形矩阵 1 0 0
0 1 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0
1 0
行最简形矩阵 0 1
Sympy 库
SymPy是一个符号计算的Python库。它的目标是成为一个全 功能的计算机代数系统，同时保持代码简洁、易于理解和扩展。它 完全由Python写成，不依赖于外部库。
此处，我们使用sympy库中最基本的运算函数：
⚫ 解线性方程组（求阶梯矩阵）：Sympy.Matrix.rref(）
⚫ 求矩阵的秩： Sympy.Matrix.rank()
5. 线性方程组应用实例（Python）
【计算题】用计算机求解线性方程组
【例5.5】求下列方程组的解
2𝑥 1 − 2𝑥 2 + 2𝑥 3 + 6𝑥 4 = −16 2𝑥 1 − 𝑥 2 + 2𝑥 3 + 4𝑥 4 = −10 3𝑥 1 − 𝑥 2 + 4𝑥 3 + 4𝑥 4 = −11 𝑥 1 + 𝑥 2 − 𝑥 3 + 3𝑥 4 = −12
5. 线性方程组应用实例（Python）
【计算题】用计算机求解线性方程组
【例5.6】设方程组的系数矩阵𝑨，𝒃如下，判断它的解的性质及 𝑨的秩。
𝐴 =
−2 −2 2 1 −5 1
2 −2
−3 −1
−1 2 −5
−1 2 1
6 5 0 −1
, 𝑏 =
−2
−1 2 0
5. 线性方程组应用实例（Python）
【计算题】用计算机求解线性方程组
【结果分析】
在本例中，方程组是
欠定矩阵
，无法用numpy.linalg.solve()方法进行求解。在后续的
例题中，我们都将使用基于行最简形矩阵化简 的方法rref()完成。5. 线性方程组应用实例（Python）
函数 sympy.matrix.rref()方法的输出是一个2维元组，其中：
⚫ 第一项，为化简后的 行最简形矩阵；
⚫ 第二项，为行最简形中 “ 1”所在列的序号 。此例中，该项的的 长度为4，说明原矩阵4个主元和主元行，即矩阵的秩 𝑟=4 。 该结论也可以通过M.rank()方法进行验证。
此处， 秩<方程未知数个数 ，因此方程为欠定矩阵。
【计算题】用计算机求解线性方程组
【结果分析】
既然方程组是欠定方程，那 么不难发现未知数𝑥 3 ,𝑥 4 不存在唯 一解，即行最简形第三行的结果：
𝑥 3 − 𝑥 4 = −2/3
5. 线性方程组应用实例（Python）
设 𝑥 4 = 𝑐 ， 𝑐 是任意常数，则可以得到该方程组的解为：
𝑥 1 = −2/9 𝑥 2 = 2/9
𝑥 3 = c − 2/3
𝑥 4 = −1/3
【应用题】计算插值多项式
【例5.7】求插值多项式𝑝(𝑡) = 𝑎 0 + 𝑎 1 𝑡 + 𝑎 2 𝑡 2 + 𝑎 3 𝑡 3 的各系数，
使它能通过下表中各点。并求多项式在 𝑡 =1.5 时的值。
解：根据题目要求，列出方程组：
𝑎 0 𝑎 0 𝑎 0 𝑎 0
+ + + +
0 𝑎 1 2𝑎 1 3𝑎 1
+ + + +
0 𝑎 2 4𝑎 2 9𝑎 2
+ + + +
0 𝑎 3 8𝑎 3 27𝑎 3
=
= =
=
3 0
−1 6
⇒ 𝐴𝒙 = 𝑏 ⇒ 𝒙 = 𝐴\𝑏
5. 线性方程组应用实例（Python）
𝒕 𝒊
0 1 2 3𝑓(𝑡 𝑖 ) 3 0 −1 6
【应用题】 计算插值多项式
由输出结果可以得到方程组的解： 𝑎
0
= 3, 𝑎1
= −2, 𝑎2
= −2, 𝑎3
= 1。将结果代入多项式，可以得到插值多项式：
𝑝 𝑡 = 3 − 2𝑡 − 2𝑡
2
+ 𝑡3
⚫ 当t=1.5时，可以求得多项式的值：
𝑝 1.5 = 3 − 2 1.5 − 2 1.5
2
+ 1.53
= −1.1255. 线性方程组应用实例（Python）
-5
0
5
10
15
【应用题】平板稳态温度的计算
【例5.8】如图所示，假设存在一个密度均匀 的金属元器件，在其四周我们获得了8个点的 瞬时温度。已知元器件各点的温度等于其四周 温度的平均值,求abcd四个点的温度。
解：按要求可以得到abcd四点的温度方程式，整理以后可以得 到其系数矩阵 Ax = b：
𝑥
𝑎
= (10 + 20 + 𝑥𝑏
+ 𝑥𝑐
)/4 𝑥𝑏
= (20 + 40 + 𝑥𝑎
+ 𝑥𝑑
)/4 𝑥𝑐
= (10 + 30 + 𝑥𝑎
+ 𝑥𝑑
)/4 𝑥𝑑
= (40 + 30 + 𝑥𝑏
+ 𝑥𝑐
)/4，𝐴𝑥 =
4 −1
−1 4
−1 0 0 −1
−1 0 0 −1
4 −1
−1 4
𝑥
𝑎
𝑥𝑏
𝑥𝑐
𝑥𝑑
=
30 60 40 70
5. 线性方程组应用实例（Python）
【应用题】平板稳态温度的计算 5. 线性方程组应用实例（Python）
从程序输出结果可以得到abcd四个 点的温度分别是：a=20度, b=55/2度, c=45/2度, d=30度。
【应用题】交通流量分析
【例5.9】如图所示，某城市市区的交叉路 口由两条单向车道组成。图中给出了在交通 高峰时段每小时进入和离开路口的车辆数。
计算在四个交叉路口间车辆的数量。
解：在每一个路口，必然存在进入的车辆与 离开的车辆数相等，于是有：
✓ 节点A : x 1 + 450 = x 2 + 610
✓ 节点B : x 2 + 520 = x 3 + 480
✓ 节点C: x 3 + 390 = x 4 + 600
✓ 节点D: x 4 + 640 = x 1 + 310
5. 线性方程组应用实例（Python）
【应用题】交通流量分析
将节点信息转换为方程式，并得到增广矩阵。
𝑥 1 𝑥 3 4𝑎 2
−𝑥 1
−
− 4𝑎 2
0
𝑥 2 𝑥 2 4𝑎 2
0
𝑥 2
− 4𝑎 2
0
𝑥 2 𝑥 3 𝑥 3 0
𝑥 2 𝑥 2
− +
𝑥 2 𝑥 2 𝑥 4 𝑥 4
=
= =
=
160
−40 210
−330
⇒
1 − 1 0 0 0 1 − 1 0 0 0 1 − 1
−1 0 0 1
160
−40 210
−330
5. 线性方程组应用实例（Python）
【应用题】交通流量分析
【结果分析】
从结果不难看出，该方程是一个欠定方程组，其秩=3<未知 数个数4。即得不出唯一解。如果设 𝑥4 为自由变量，并将它移到 增广项位置，就可以求出解。其物理意义是，给定任意 𝑥4 ，均 可得到每个路口的交通流量。例如，设 𝑥4=150 ，则：
5. 线性方程组应用实例（Python）
【应用题】化学方程式的配平
【例5.10】给定化学方程式，试将其进行配平。即通过设置系 数，实现每个原子左右数量都相等。
(𝑥 1 )𝐶 3 𝐻 8 + (𝑥 2 )𝑂 2 → (𝑥 3 )𝐶𝑂 2 + (𝑥 4 )𝐻 2 𝑂
⚫ 四种物质的成分列向量：𝐶 3 𝐻 8 3 8 0
, 𝑂 2 0 0 2
, 𝐶𝑂 2 1 0 2
, 𝐻 2 𝑂 0 2 1
⚫ 配平方程为：𝑥 1 ⋅ 3 8 0
+ 𝑥 2 ⋅ 0 0 2
= 𝑥 3 ⋅ 1 0 2
+ 𝑥 4 ⋅ 0 2 1
⚫ 移项化后可知：𝐀 = 3 0 − 1 0 8 0 0 − 2 0 2 − 2 − 1
， 𝐛 = 0 0 0
5. 线性方程组应用实例（Python）
【应用题】化学方程式的配平
从结果不难看出，该方程是一个欠定方程组，其秩=3<未知数个数4。即得 不出唯一解。为了实现化学方程式的配平，我们可以设 𝑥4=4 （通常取分母的 最小公倍数），则方程的解可以变为唯一解。
由此，可以得到配平后的方程：𝑪
𝟑
𝑯𝟖
+ 𝟓𝑶𝟐
= 𝟑𝑪𝑶𝟐
+ 𝟒𝑯𝟐
𝑶5. 线性方程组应用实例（Python）
【应用题】电路图分析
【例5.11】在一个电路中，可根据电阻大小和电源电压来确定电路中各分支
的电流。如图所示，根据基尔霍夫定律，
1. 任一节点上流出电流的量等于流入电流的量
2. 任一回路上电压的代数和等于各元件压降的代数和 3. 压降E满足欧姆定律𝐸 = 𝑖𝑅
试求三条支路上的电流𝑖
1
, 𝑖2
, 𝑖3
。 根据以上定律可以得到：⚫ 节点A：𝑖
1
− 𝑖2
+ 𝑖3
= 0⚫ 节点B： − 𝑖
1
+ 𝑖2
− 𝑖3
= 0⚫ 上层回路：4𝑖
1
+ 2𝑖2
= 8⚫ 下层回路：2𝑖
2
+ 5𝑖3
= 95. 线性方程组应用实例（Python）
1 −1 1
−1 1 −1 4 2 0 0 2 5
0 0 8 9 增广矩阵
【应用题】电路图分析
根据以上定律可以得到：
⚫ 节点A：𝑖
1
− 𝑖2
+ 𝑖3
= 0⚫ 节点B： − 𝑖
1
+ 𝑖2
− 𝑖3
= 0⚫ 上层回路：4𝑖
1
+ 2𝑖2
= 8⚫ 下层回路：2𝑖
2
+ 5𝑖3
= 95. 线性方程组应用实例（Python）
⚫ 了解二阶和三阶线性方程组在笛卡尔坐标系中的几何意义
⚫ 掌握利用初等变换把增广矩阵化为行最简形的方法
⚫ 秩表明独立方程的个数。系数矩阵与增广矩阵的秩相等是线性 方程组有解的充分必要条件（适定方程）
⚫ MATLAB实践
（1）能够利用Python构造矩阵
（2）能够利用Python求解线性方程组的解
（3）能够利用Python求矩阵的秩
本章小节
课后作业 Link
读万卷书 行万里路 只为最好的修炼
QQ：14777591 (宇宙骑士）
Email：ouxinyu@alumni.hust.edu.cn Tel：18687840023
