1-1-2基礎概念-集合的基本概念

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(1)1-2 基礎概念-集合的基本概念【定義】集合：明確指定對象的一個群體。通常以大寫英文字母表示。元素：組成集合的每一個對象。通常以小寫英文字母表示。有限集合：只含有限個元素的集合。無限集合：含有無窮多個元素的集合。【重點】列舉法：將集合中的元素逐一列舉出來的表示方法。形如 {元素1, 元素2, "} 。描述法：在集合豎線的右側寫出集合元素的共同特性來表示集合的方法。形如 {元素 | 條件} 。【性質】集合有以下特性：確定性，互異性，無序性。【問題】 1. {1,1,2} = {1,2} ？ 2. {1,2,3} = {3,2,1} ？【定義】屬於： x 是 A 中的元素，記為 x ∈ A 。 x 不是 A 中的元素，記為 x ∉ A 。包含於與包含：集合 A 中的每一個元素都在 B 中，稱 A 包含於 B ，或 B 包含 A ，記為 A ⊂ B 或 B ⊃ A ，否則記為 A ⊄ B 。註：包含於有含相等的可能情形。子集(subset)：若集合 A 的每一個元素都屬於 B ，就稱 A 是 B 的子集。交集(interction)： A 與 B 共同元素所組成的集合，記為 A ∩ B = {x | x ∈ A and x ∈ B}。表示都要有之意。聯集(union)： A 與 B 所有元素所組成的集合，記為 A ∪ B = {x | x ∈ A or x ∈ B} 。表示滿足一種即可。空集合(empty set)：不存在元素的集合，記為 φ 。註：空集合為任意集合的子集。集合相等：若集合 A 與 B 滿足 A ⊂ B 且 B ⊂ A ，則稱集合 A 與 B 相等，記為 A = B 。【性質】 3.

(2) q 自然數集 N ⊂ 整數集 Z ⊂ 有理數集 Q = { | p, q ∈ Z , p ≠ 0} ⊂ 實數集 R 。 p 【問題】 1. A ⊂ A ？ 2. 若 A ⊂ B ，則 B ⊄ A ？ 3. 若 A ⊄ B ，則 B ⊂ A ？ 4. 下列各表示何種涵義： φ , {},{φ}, {{}}, {0},0,{x | x ≠ x} ？哪些是相等的集合？ 5. 試判別 φ ⊂ A ？ 0 ⊂ {0} ？ 0 ⊂ φ ？ 0 ∈ φ ？ 0 ∈ {0} ？ φ ⊂ {0} ？ 6. n 個元素的集合共有幾種不同的子集？ 7. 試判別矩形、正方形、菱形、平行四邊形、四邊形等集合之間的關係？【定義】宇集：有關某個事件的最大集合，或討論問題的全體所成的集合，記為 U 。表示一件事情的全部可能情形。補集(餘集)：宇集中不在 A 中的元素所成的集合，記為 A' = U − A (也可記為 A )。表示一件事情的相反之意。差集： A − B = {x | x ∈ A且x ∉ B} 。積集： A × B = {( x, y ) | x ∈ A且y ∈ B} 。【問題】 1. 試求 U ' = ？ φ ' = ？ A ∪ A' = ？ A ∩ A' = ？ 2. 若 A ∩ B = φ ，則 A − B = ？ B − A = ？ 3. 若 A ⊂ B ，則 A − B = ？ B − A = ？ 4. 若 A ⊂ B ，則 B ' ⊂ A' = ？ 5. 若 A ⊂ B 則下列何者為空集合？ A ∩ B' ， A'∩ B ， A'∩ B' ， A ∩ B ？ 6. A ∪ B = ( A − B) ∪ B ？ 7. A ∪ B = ( A − B) ∪ ( A ∩ B ) ∪ ( B − A) ？【性質】笛摩根定律(De Morgan＇s Laws)： 1. ( A ∩ B)' = A'∪ B' 。表示全部都對的相反即至少有一個錯。 2. ( A ∪ B)' = A'∩ B' 。表示至少一對的相反即全部都錯。註：可用文氏圖說明或代數法證明。集合之運算與文氏圖解法： 1. A = U − A 2. A − B = A ∩ B = A − ( A ∩ B ) = ( A ∪ B) − B 3. ( A ∩ B) ⊂ A, A ⊂ A(∪ B) 4. 5. 6. 7.. 分割： n( A) = n( A ∩ B ) + n( A ∩ B ) ⇔ n( A ∩ B) = n( A) − n( A ∩ B) 排容原理： n( A ∪ B) = n( A) + n( B) − n( A ∩ B) n( A ∪ B ∪ C ) = n( A) + n( B) + n(C ) − n( A ∩ B) − n( B ∩ C ) − n(C ∩ A) + n( A ∩ B ∩ C ). 4.

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