3-3-3平面向量-二階行列式

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(1)3-3 二階行列式【目標】能結合正弦定理與向量內積處理三角形的面積，再以二階行列式表之。其次，探討二階行列式的性質與應用，包括：兩向量平行的判定以及表徵兩直線幾何關係的二元一次方程組之解以克拉瑪公式表示。【討論】設 a , b 為線性獨立的向量，若令 a  OA, b  OB ，則 O, A, B 三點不共線，另取點 C ，使 OACB 為平行四邊形，如圖，則 OACB 稱為向量 a , b 所張開的平行四邊形。此時， OC  a  b 。在坐標平面上考慮兩向量 a , b 所張開的平行四邊形，設 O 為原點，令 OA  a  (a1 , a2 ), OB  b  (b1, b2 ), OC  a  b  (a1  b1 , a2  b2 ) ，其中 a1 , a 2 , b1 , b2 都大於 0 ，如圖所示。又令 B(b1 , 0), A(a1 , 0), C (a1  b1 , 0) ，則 a , b 所張開的平行四邊形 OACB 面積等於三角形 OBB 與梯形 BBCC 面積的和，減去三角形 OAA 的面積，再減去梯形 AACC 的面積，即 OACB  OBB  BBCC  OAA  AACC 1 1 1 1  b1b2  (b2  a2  b2 )a1  a1a2  (a2  a2  b2 )b1 2 2 2 2 1 1  (b1b2  a1a2  2a1b2  a1a2  2a2b1  b1b2 )  (2a1b2  2a2b1 )  a1b2  a2b1 。 2 2 a a 設 a1 , a2 , b1 , b2 是四個實數，令符號 1 2 表 a1b2  a2b1 ， b1 b2. 即. a1 a2 a a  a1b2  a2b1 。 1 2 稱為二階行列式。 b1 b2 b1 b2. a . a .  1. . 其中稱 [a1 a2 ] 為第一列，[ b1 b2 ]為第二列；  1  為第一行，  2  為第二行。 b b 2. 我們知道平行四邊形的面積等於底乘以高，故由向量 a , b 所張開的平行四邊形面積為 | a | | b | sin  ，其中  表 a , b 的夾角，如圖所示。又 | a | | b | sin   | a | | b | 1  cos2   | a |2 | b |2  | a |2 | b |2 cos 2   | a |2 | b |2  ( a  b ) 2 。. 注意，最後的根號內恰為柯西不等式中較大端減較小端的差。【公式】 1. 兩向量所張開平行四邊形的面積(向量形式)：向量 a , b 所張開平行四邊形的面積為 | a | 2 | b | 2  ( a  b )2 。 47.

(2) 【討論】當 a , b 線性相依時， a , b 所張開的平行四邊形可視為退化成一線段，其面積為 0 。. 而此時， | a | 2 | b | 2  ( a  b )2 ，故 | a | 2 | b | 2  ( a  b )2  0 。在坐標平面上，令 a  (a1 , a2 ), b  (b1 , b2 ) ，則 a , b 所張開的平行四邊形面積為 | a | 2 | b | 2  ( a  b ) 2  (a12  a2 2 )(b12  b2 2 )  (a1b1  a2b2 )2  a12b2 2  a2 2b12  2a1b1a2b2  (a1b2  a2b1 ) 2  | a1b2  a2b1 | 。. 在之前討論中，導出平行四邊形 OACB 的面積為 a1b2  a2b1 ，並不帶有絕對值，那是因為 O, A, C, B 為逆時鐘方向。若不論其方向，則面積恆為 | a1b2  a2b1 | ，輔以行列式符號，則可表為 | 【公式】 1. 兩向量所張開平行四邊形的面積(坐標形式)：   設 a  ( x1 , y1 ), b  ( x2 , y2 ) 為非平行的兩向量，   則由 a, b 所張成的平行四邊形面積為 x y1     | a |2 | b |2  | a  b |2 || x1 y2  x2 y1 || | 1 | | x2 y 2 2.. a1 a2 |。 b1 b2.  a  |。 b. 線性相依的條件：設向量 a  (a1 , a2 ), b  (b1 , b2 ) ，則 a 與 b 線性相依(即 a // b 或 a , b 有一為 0 ) 的充要條件為 a1b2  a2b1  0 ，以行列式表示即. 3.. 4.. 平面上兩向量所圍成三角形的面積：     設 a  ( x1 , y1 ), b  ( x2 , y2 ) 為非平行的兩向量，則 a, b 所張成的三角形面積為  1 1 x y1 1 a 1  2  2    |。 | a | | b |  | a  b |2  || x1 y 2  x2 y1 ||  | 1  | | 2 2 b 2 2 x2 y2 註：利用本公式，可求給定三點所圍成的三角形面積。平面上三點所圍成三角形的面積：設平面上有三點 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), C( x3 , y3 ) ，則三角形 ABC 的面積為.    . 1 1 x x | AB |2 | AC |2 ( AB  AC ) 2  | 2 1 2 2 x3  x1. 5.. a1 a2  0。 b1 b2. y2  y1 y3  y1. 平面上三點共線：平面中三點 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), C( x3 , y3 ) 共線.  S ABC  0 .   AB. AC. 0 . x2  x1. y2  y1. x3  x1. y3  y1. 48.  0。. |。.

(3) 【定義】 1. n 元一次 m 式聯立方程式：  a11 x1  a12 x 2    a1n x n  b1  a x  a x  a x  b  21 1 22 2 2n n 2 稱為 n 元一次 m 式聯立方程式，    a m1 x1  a m 2 x 2    a mn x n  bm 一般通稱為一次方程組。【方法】解聯立方程組： 1. 二元一次與三元一次方程組可用加減消去法或代入消去法逐步簡化處理，以便求得其解。 2. 一次方程組可用高斯消去法(Gaussian Elimination)求解。【定義】 1. 二階行列式： a b 稱為二階行列式，它的值為 ad  bc 。 c d 為了簡化過程與符號，我們引進行列式的符號，  a x  b1 y  c1 此時方程組  1 的解， a x  b y  c 2 2  2 a b1 當  1  0 時， a2 b2.   x   x 可表為  ，   y   y  a b1 c 其中   1 ， x  1 a2 b2 c2. a b1 ，y  1 a2 b2. 49. c1 。 c2.

(4) 【性質】由二階行列式的定義 1.. 兩列(行)互換，其值變號，即證明：. 2.. a1 a2  a1b2  a2b1 可以推導出它的一些基本性質： b1 b2 a1 a1  b1 b1. a2 b1 b2 a a  1 2 或 b2 a1 a2 b1 b2. a2 。 b2. b1 b2 a a  b1a2  b2 a1  (a1b2  a2b1 )   1 2 。 a1 a2 b1 b2. 一列(行)相同的兩行列式相加時，可就另一列(行)相加，即. a1  a1 b1. a2  a2 a1 a2 a1   b1 b2 b2 b1. a a a2 或 1 1 b2 b1  b1. a2 b2. . a1 b1. a2 a1  b2 b  1. a2. 。. b2. 證明： a1  a1 b1. a2  a2  (a1  a1 )b2  (a2  a2 )b1  a1b2  a1b2  a2b1  a2b1 b2.  (a1b2  a2b1 )  (a1b2  a2b1 ) . 3.. 任一列(行)可提出公因式，即證明：. 4.. a2 。 b2. ka1 ka2 ka a a a a a k 1 2 或 1 2 k 1 2 。 kb1 b2 b1 b2 b1 b2 b1 b2. ka1 ka2 a a  ka1b2  ka2b1  k (a1b2  a2b1 )  k 1 2 。 b1 b2 b1 b2. 一列(行)全 0 ，其值為 0 ，即證明：. 5.. a1 a2 a1  b1 b2 b1. 0 0 0。 b1 b2. 0 0 0a 0a2 a a  1  0 1 2  0。 b1 b2 b1 b2 b1 b2. 兩列(行)成比例，其值為 0 ，即. a1 a2  0。 ka1 ka2. 證明：先證兩列相同時，其值為 0 ，即由性質知於是， 6.. a1 a2 a a a a a a   1 2 ， 2 1 2  0 ， 1 2  0， a1 a2 a1 a2 a1 a2 a1 a2. a1 a2 a a  k 1 2  k 0  0。 ka1 ka2 a1 a2. 一列(行)乘以一數加至另一列(行)，其值不變，即證明：. 7.. a1 a2  0。 a1 a2. a1 a2 a a2 a a a a a a  1  1 2  0 1 2  1 2 。 ka1  b1 ka2  b2 ka1 ka2 b1 b2 b1 b2 b1 b2. 行列互換，其值不變，即證明：. a1 a2 a a  1 2。 ka1  b1 ka2  b2 b1 b2. a1 a2. a1 b1 a1 a2 。  a2 b2 b1 b2. b1 a a  a1b2  b1a2  a1b2  a2b1  1 2 。 b2 b1 b2 50.

(5) 【討論】兩向量 a  (a1 , a2 ), b  (b1 , b2 ) 線性相依的充要條件為. a1 a2  0。 b1 b2. 換言之， a  (a1 , a2 ), b  (b1 , b2 ) 線性獨立的充要條件為. a1 a2 0。 b1 b2. 由於行列式的行列互換不改變其值， a . b . 故向量坐標以直式表示時， a   1  , b   1  ，  a2  b2  線性獨立的充要條件為. a1 a2. b1  0。 b2. a . b . 在坐標平面上，當 a   1  , b   1  線性獨立時，  a2  b2  c . 任意向量 c   1  可唯一表示成 a 與 b 的線性組合， c2  即存在唯一一組實數 x, y ，使 c  x a  y b ，  c1   a1   b1   a1 x  b1 y  a1 x  b1 y  c1  c   x  a   y b    a x  b y  ，  a x  b y  c 。 2 2  2 2   2  2  2  2 a x  b1 y  c1 由此可見二元一次方程組  1 ， a2 x  b2 y  c2 a b 在係數行列式 1 1  0 時，有唯一一組解。 a2 b2 a1 x  b1 y  c1 ， a2 x  b2 y  c2. 接著，我們就來解 . 得 (a1b2  a2b1 ) x  c1b2  c2b1 ，. a1 a2. c1 b1 c b b1 ，x 2 2 。 a1 b1 b2 a2 b2. b1 c x 1 b2 c2. 另一方面，得 (a2b1  a1b2 ) y  a2c1  a1c2 ，(a1b2  a2b1 ) y  a1c2  a2c1，. 為了簡化符號，令  . a1 a2. b1 c , x  1 b2 c2. a1 a2. b1 a , y  1 b2 a2. b1 a y 1 b2 a2. a1 a c1 ，y  2 a1 c2 a2. c1 c2 ， b1 b2. c1 。 c2.  a1 x  b1 y  c1  ，在   0 時，有唯一解 x  x , y  y ，   a2 x  b2 y  c2. 於是，二元一次方程組 . 此公式稱為克拉瑪公式。. 51.

(6) 【公式】 1. 克拉瑪公式：.  a x  b1 y  c1 解二元一次方程組  1 ， a2 x  b2 y  c2 a b1 當 x, y 的係數行列式   1  0 時， a2 b2 x y , )，   a c b1 , y  1 1 。 b2 a 2 c2. 克拉瑪(Gabriel Cramer,. 有唯一解 ( x, y)  ( 其中  x . c1 c2. 1704~1752，瑞士數學家). 證明：. 2..  (a b  a2b1 ) x  (c1b2  c2b1 ) 使用代入消去法解之得  1 2 ， ( a b  a b ) y  ( a c  a c ) 2 1 1 2 2 1  1 2   x   x  y 即 ，當   0 時，解得唯一解 ( x, y)  ( x , ) 。     y   y 二元一次方程組的解及兩直線的關係： a a1 x  b1 y  c1 ，行列式   1 a2 a2 x  b2 y  c2. 二元一次方程組 . b1 c , x  1 b2 c2. b1 a , y  1 b2 a2. c1 。 c2. 直線 L1 : a1 x  b1 y  c1 , L2 : a2 x  b2 y  c2 。 (1)當   0 時，方程組有唯一解 ( x, y)  ( formula)，直線 L1 與 L2 恰交於一點 (. x y , ) (稱為克拉瑪公式)(Kramer  . x  y , )。  . (2)當   0, 2x  2y  0 時，方程組無解，直線 L1 與 L2 平行。 (3)當    x   y  0 時，方程組無限多解，直線 L1 與 L2 重合。. 52.

(7) 【討論】 a1 x  b1 y  c1 a  b  c  ，令向量 a   1  , b   1  , c   1  ； a2 x  b2 y  c2  a2  b2  c2  b1 c b a c , x  1 1 ,  y  1 1 。 b2 c2 b2 a2 c2. 二元一次方程組  行列式  . a1 a2. 又令直線 L1 : a1 x  b1 y  c1 ，直線 L2 : a2 x  b2 y  c2 。 1.. 當   0 時，方程組有唯一解 ( x, y )  (. x  y , )，  . 是為相容方程組，直線 L1 與 L2 恰有一交點。 2.. 當   0 時， a 與 b 線性相依，又 a1 , b1 不皆為 0 ( a2 , b2 亦不皆為 0 )，故 a , b 不皆為 0 ，於是 a , b 在一直線上， a , b 的任意線性組合 x a  y b 也在同一直線上。. 此時，若  x ,  y 中有一不為 0 ，則 c 與 b 線性獨立，或 c 與 a 線性獨立。 c 就不在 a , b 所在的直線上，故 c 不能表為 a , b 的線性組合，即原方程組無解，是為矛盾方程組，直線 L1 與 L2 平行(不相交)。. 3.. 當   0 且  x   y  0 時， a , b , c 同在一直線上， c 可表為 a , b 的無限多種線性組合，. 故方程組有無限多解，是為相依方程組，直線 L1 與 L2 重合。【結論】 1. 二元一次方程組的解及其幾何意義：  y (1)當   0 時，方程組有唯一解 ( x, y)  ( x , ) ，此稱為克拉瑪公式。   以幾何意義表示即為兩直線不平行也不重合，也就是恰有一交點。 (2)當   0, 2x  2y  0 時，方程組無解，表示這兩直線平行。 (3)當    x   y  0 時，方程組無限多解，表示這兩直線重合。項目. 解個數. 幾何意義. 交點數. 係數. (1). 0. 唯一解  y ( x, y)  ( x , )  . 兩相交直線. 一個. a1 b1  a 2 b2. (2).   0, 2x  2y  0. 無解. 無. a1 b1 c1   a 2 b2 c 2. (3).   x  y  0. 無限多解. 無限多個. a1 b1 c1   a 2 b2 c 2. 53. 兩平行直線兩重合直線.

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