國立中山大學教育研究所 碩士論文
Institute of Education National Sun Yat-sen University
Master Thesis
研發數學遊戲對低成就學生數感改變之個案研究
A Case Study on the Development of Math Games for Change in Number Sense of Low Ability Students
研究生：何仁傑
Jen - Chieh Ho 指導教授：梁淑坤 博士
Dr. Shuk-Kwan S. Leung
中華民國 108 年 07 月 July2019
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誌 謝
在 106 年 3 月考上中山教育所那時，我告訴自己要用 3 年時間
好好的學習並完成碩士課程，結果幸運地僅用兩年完成，包括修 26 個學分的課、發表論文計畫及論文口考，這要大大的感謝我的指導 教授梁淑坤老師，使原本搭坐在莒光號的我如同轉乘高鐵的快速，
在這段學術旅程裡，看到老師對於教學的嚴謹與堅持；寫論文時，
不斷的鞭策與鼓勵。 其次，也還要感謝口試委員高雄師範大數學系 左太政教授和中山大學教育所陳利銘副教授，謝謝在百忙之中審閱 我的論文，在學位考試時，給予我十分中肯的建議與指導，讓論文 能更加的完善。
感謝梁門眾師兄姐們璿文、家煌、璧鴻、科亦、玉雪及炳宏在
求學路上的幫忙、鼓勵與陪伴；此外要感謝 106 級碩專同學秀鈴、
堯慈、素坪與 107 級博士班祈良在我寫論文這段期間的加油打氣與 課業協助。也要謝謝每一位指導過我的師長及協助過我的行政同仁
，因為您們，讓我的研究生活十分地充實，有機會重新審視自己的 不足，修正自己再出發。
最後，由衷地感謝幕後推手我的太太癸吟與支持我讀書的女兒 旻潔，因為有你們的支持、體諒與陪伴，讓我陸續地完成大學以及 研究所的學業夢想。
何仁傑 謹誌於
國立中山大學教育研究所
2019 年 8 月
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研發數學遊戲對低成就學生數感改變 之個案研究
摘要
本研究以國中八年級兩位低成就學生為研究對象，選八年級數學 科第四冊第一章等差數列與等差級數的單元為教材去設計遊戲，經過 試教及修訂後，將遊戲正式融入於數學課程來探討數學遊戲對低成就 學生培養數感的可行性、觀察學生的數感改變情形與學生對數學遊戲 教學的接受度。
研究結果顯示，數學遊戲對低成就學生培養數感是可行的，學生 在不同數學學習情境之下數感會有所改變，最後具有趣味、挑戰…等 多種特性的數學遊戲性學生接受度是高的。
最後研究者提出幾項建議，在研究上：將本研究的四個遊戲推及 於全班教學以及研究用別的班別的數學課題以遊戲融入教學。在教學 上：在遊戲時間的掌控、遊戲內容需調整及遊戲數位化之建議，作為 往後的研究方向及數學遊戲融入教學時的參考。
關鍵字：數學遊戲、低成就學生、數感
iv
A Case Study on the Development of Math Games for Change in Number Sense of Low
Ability Students
Abstract
The participants of this case study are two eighth graders in junior high school. The math game is designed to assist in teaching volume four, chap- ter one of grade eight math textbook—arithmetic series and progression.
The game is employed in math class after pre-test and modification to ex- amine the feasibility of utilizing the game to cultivate the number sense in low-achievement students. This study also observes students’ acceptance of math game and the changes in students’ number sense.
The result shows that it is feasible to develop number sense in low- achievement students through math games. Students’ number sense alters under different math-learning environment. Fun, challenging as well as characteristics raise students’ acceptability for math games drastically.
This study also put forth several suggestions. In regard to research, it is worth developing the four games designed in this research to teach math in a classroom setting. The designing of different games for the purpose of teaching other math lessons is also of great value. Regarding teaching, teachers should distribute time for game and lecture wisely. In addition, the content of games should be modified constantly, and the games can also be digitalized. These can be the references for further research and for bring- ing math games into teaching.
Keywords: math game, low-achievement student, number sense
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目 錄
論文審定書 ………i
誌謝
………ii
中文摘要 ………iii
英文摘要 ………iv
第壹章 緒論 ……… 1
第一節 研究動機………1
第二節 研究目的 ………3
第三節 解釋名詞………3
第四節 研究限制………4
第貳章 文獻探討 ………7
第一節 數感 ………7
第二節 學習障礙與數學低成就 ………10
第三節 遊戲融入數學教學 ………19
第四節 數學遊戲教學目標 ………28
第參章 研究方法 ………31
第一節 研究流程 ………31
第二節 研究現場與對象 ………33
第三節 數學遊戲 ………34
第四節 資料蒐集及分析 ………41
第五節 試教結果 ………42
第肆章 研究結果與分析 ………47
vi
第一節 研發的 4 款數學遊戲融入在低成就學生數學科教學
的可行性 ………47
第二節 實施數學遊戲教學後，學生的數感改變情形 …………63
第三節 數學遊戲融入教學後，學生對數學遊戲教學的接受度 ………89
第伍章 結論與建議 ………95
第一節 結論 …………95
第二節 建議 …………97
參考文獻 ………99
中文文獻 ………99
英文文獻………103
附錄 ………106
附錄一 遊戲教學過程記錄表 ………106
附錄二 「撲克大老三」數學遊戲學習單 ………107
附錄三 「叫我第一名」數學遊戲學習單 ………108
附錄四 「找出好朋友」數學遊戲學習單 ………109
附錄五 「快樂列車」數學遊戲學習單 ………110
附錄六 「○○○○○」數學遊戲回饋單 ………111
附錄七 訪談紀錄 ………112
附錄八 教師札記 ………113
附錄九 家長同意書 ………114
附錄十 訪談錄音、活動錄影及攝影之同意書 ………115
附錄十一「找出好朋友」-遊戲計算紙書 ………116
vii
圖 次
圖 2-1 數感主要元素的連結情形 ………7
圖 3-1 研究流程圖 ………32
圖 3-2 「撲克大老三」遊戲說明圖之 1 ………35
圖 3-3「撲克大老三」遊戲說明圖之 2 ………36
圖 3-4 「叫我第一名」數列位置圖 ………36
圖 3-5 「快樂列車」列車圖 ………40
圖 4-1 「叫我第一名」移除與堆疊的動作解說圖………50
圖 4-2 小陳的「找出好朋友」-遊戲計算紙 ………57
圖 4-3 小李的「找出好朋友」-遊戲計算紙………58
圖 4-4 「撲克大老三」學習單的第三題（小陳）………64、88 圖 4-5 「撲克大老三」學習單的第三題（小李）………65、88 圖 4-6 「撲克大老三」學習單的第一題和第四題(小陳) …………66
圖 4-7 「撲克大老三」學習單的第一題和第四題 (小李) …………66
圖 4-8 「撲克大老三」學習單的第二題(小陳) ………67
圖 4-9 「撲克大老三」學習單的第二題(小李) ………67
圖 4-10 「撲克大老三」學習單的第五題 (小陳) ………68
圖 4-11 「撲克大老三」學習單的第五題 (小李) ………68
圖 4-12 「撲克大老三」學習單的第六題 (小陳) ………69
圖 4-13 「撲克大老三」學習單的第六題 (小李) ………69
圖 4-14 「叫我第一名」學習單的第一題 (小陳) ………71
圖 4-15 「叫我第一名」學習單的第一題 (小李) ………72
圖 4-16 「叫我第一名」學習單的第二題和第三題 (小陳) ………73
圖 4-17 「叫我第一名」學習單的第二題和第三題 (小李) ………73
viii
圖 4-18 「叫我第一名」學習單的第四題 (小陳) ………74
圖 4-19 「叫我第一名」學習單的第四題 (小李) ………74
圖 4-20 「叫我第一名」學習單的第五題和第六題 (小陳) ………75
圖 4-21 「叫我第一名」學習單的第五題和第六題 (小李) ………75
圖 4-22 「找出好朋友」學習單的第一題 (小陳) ………76
圖 4-23 「找出好朋友」學習單的第一題 (小李) ………76
圖 4-24 「找出好朋友」學習單的第二題和第三題 (小李) ………78
圖 4-25 「找出好朋友」學習單的第二題和第三題 (小陳) ………79
圖 4-26 「找出好朋友」學習單文字題第一題 (小陳) ………80
圖 4-27 「找出好朋友」學習單文字題第一題 (小李) ………80
圖 4-28 「找出好朋友」學習單文字題第二題 (小陳) ………81
圖 4-29 「找出好朋友」學習單文字題第二題 (小李) ………81
圖 4-30 「找出好朋友」學習單文字題第三題 (小陳) ………82
圖 4-31 「找出好朋友」學習單文字題第三題 (小李) ………82
圖 4-32 「快樂列車」學習單第一題和第四題 (小陳) ………83
圖 4-33 「快樂列車」學習單第二題 (小陳) ………83
圖 4-34 「快樂列車」學習單第一題和第四題 (小李) ………84
圖 4-35 「快樂列車」學習單第二題 (小李) ………84
圖 4-36 「快樂列車」學習單第三題、第五題和第六題 (小陳)…… ………… ……… ……… …86
圖 4-37 「快樂列車」學習單第三題、第五題和第六題 (小李) …86 圖 4-38 「快樂列車」學習單第三題(小陳) ……… 88
圖 4-39 「快樂列車」學習單第三題(小李)………88
圖 4-40 回饋單-小陳 ……… ………92
ix
圖 4-41 回饋單-小李 ……… ………92
x
表 次
表 2-1 整理學者提出遊戲有其特徵、要素與特性之相關資料相關
資料一覽表 ………20
表 2-2 數學科八年級分年細目 ………28
表 2-3 康軒版國民中學數學科八年級下學期第四冊第一章單元名稱 、節數、能力指標與學習目標一覽表 ………29
表 3-1 「撲克大老三」數列表………35
表 3-2 「 找出好朋友」等差數列題目表………38
表 3-3 「 找出好朋友」等差數列題目圖（修訂版) ………45
表 4-1「叫我第一名」遊戲紀錄 ………51
表 4-2 「找出好朋友」題目分配表 ………55
表 4-3 小陳與小李在遊戲前、中與後的表現一覽表 ………93
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第壹章 緒論
第一節 研究動機
研究者在就讀國中小時，常在音樂課及英文課聽到老師們在強調
「音感」和「語感」，然而這種視覺、嗅覺及觸覺無法感受到的「感 覺」確實存在，這種「感覺」是能夠幫助我們學會音樂和語文。在研 究者自己學習數學以及教學的經驗中，確實有觀察到這種「數感」的 存在，例如能判斷 7/9 差不多是 2/3，但比 2/3 略大一些（對數字大小 的敏銳度) ，再例如能看出 256 其實是 16 的平方(對數字之間關係的 敏銳度)，從此以上的兩個例子中，能看出「數感」是一種用簡單明 瞭的方法去解決數學問題，並去判斷出合理性的答案或是否能深入理 解問題所在並想出解決問題的策略與方式等等。根據國外學者研究也 顯示，運用數感解題是能夠使學生提升在數學學上的自信，引發學童 對數學課程的期待(Howden, 1989; Trafton & Hartman, 1997)，因為運用 數感解題，其過程能對題目有種透徹了解的能力，而非單純重複式的 運算結果。但很可惜的是，目前坊間的教材中仍多以精算及熟練操作 為主，學生多數以寫過題型的經驗來解題，使用數感解題的經驗非常 少，所以碰到沒有見過的題型便自動進入“我不會”的思考模式，並 沒有真正的去深入瞭解題目的意義。教師即使認知到數感的重要性，
也不知道該如何將數感融入數學教學課程之中。在國內外文獻中，對 於數感的研究多半集中在國小階段，相對於在國中階段的相關研究非 常少，尤其是對低成就的學生就更少，且對於國中生的研究幾乎都是 著重在調查數感能力那方面，數感遊戲教學的部分幾乎沒有提到，身 為一個數學教授者也是研究者的我來說，產生一些想法，學生是否能 夠透過數學教學課程培養出「數感」嗎？研究者想要將安靜聽講的情
2
形轉變成有笑聲與同學間、師生間的討論聲，來培養「數感」， 所以 這就是研究者以「遊戲」來做教學活動的起因。想起自己就讀國小 時，每天最快樂的時間，便是每節下課與同學一起「玩遊戲」的時 候，那短短的 10 分鐘，可使人心情放鬆及感覺到快樂。心理學家 Zillmann (1988)有一篇與情緒管理相關的理論中有提及到，當人們 在進行快樂且有趣活動的時候，人們的情緒是會變得愉快的，不好 的情緒也會在這樣子的氛圍下使心情變好，因為「玩遊戲」是一種 通過實踐來認識周圍事物，需要自己親身經歷，就像當我們在遊戲 中解決難關時，心裡所產生的那種愉悅快樂情緒。遊戲要「好玩」
需要三種成分，1.遊戲類型、2.參與者與 3.指導者；也就是說，要 有開心歡樂的遊戲體驗，參與者得先選到自己喜歡的遊戲類型，再 經指導者清楚明確的說明遊戲過程，其他參與者也是自己認識也喜 歡的人。首先遊戲是必須讓人感興趣，玩的過程是快樂，一但沒有 了這些因素，這遊戲可能就會暫停或終止，所以研究者覺得一個大 家鍾意的遊戲，是要能帶給參與者快樂，這部分是整個遊戲活動過 程中最為重要，當參與者去理解與體驗到玩遊戲時所帶來的快樂感 覺，參與者因而會主動的去學習與探索。
然而這些看法始終是研究者的個人觀點，因此希望透過研究，去 瞭解學者們所定義的「數感」，以及如何將「數感」融入數學遊戲教 學之中。 研究者跳脫傳統教學的方式，以自行研發的數學遊戲活動來 進行教學，並觀察遊戲教學的可行性、適用性、學生的接收度與觀察 學生「數感」的改變情形。
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第二節 研究目的 一 、研究目的
基於上述的研究動機，本研究以探討八年級低成就學生為對象，
選取「等差數列與等差級數」的單元來進行數學遊戲教學，藉由收集 課室觀察、晤談、學習單及教師反思紀錄等資料，來探討學生在數感 上之改變，將其目的分三方面探討：
（一）研發的 4 款數學遊戲融入在低成就學生數學科教學的可行性。
（二）實施數學遊戲教學後，低成就學生的數感改變情形。
（三）數學遊戲融入教學後，低成就學生對數學遊戲教學的接受度。
第三節 解釋名詞 一、 數學遊戲
數學遊戲是一種結合「玩樂」與「學習」的一種活動，具寓教 於樂的價值，適用於訓練創造力跟提升問題解決能力的有關課程和教 學活動。本研究研發了 4 款數學遊戲分別是「撲克大老三」、「叫我 第一名」、「找出好朋友」與「快樂列車」。這 4 款遊戲依據九年一 貫課程綱要（教育部，2008 發布）中八年級分年細目 8-n-04、8-n-05
、8-n-06 的內容為教學目標，並加入挑戰性、競賽性與合作性、機遇 性與趣味性與教育性（饒見維,1996）設計出的教學活動。
二、低成就學生
對「低成就學生」的解釋，目前有兩種較常見說法，第一種是學 生的在校學習成就在其能力之下，也就是根據智力或性向等測驗結果 可以猜測預料其成就水準，但實際上卻不如預期， 就如 Franzis ,
4
Heinz & Miriam(2006)提及「低成就」是指能力和預期表現之間的差 異;第二種是泛指不考慮學習者本身的潛在能力水準，在學業成就上 的表現，明顯的與同儕間是較低弱的（盧富美，1976），這類的學生 常介於普通和特殊教育兩系統之間。以上兩中說法的「低成就」是本 研究中所指的低成就學生。
三、數感
本研究以九年一貫課程綱要（教育部，2008 發布）中八年級分年 細目 8-n-04、8-n-05、8-n-06 的內容為教學目標，實施數學遊戲教學 後，兩位低成就學生在「數感」上有下列敘述的改變：1.能使用已學 習過的數學知識，去探討不同情境下的數字運算，以及數字間的相互 關係；2.能夠處理日常生活中以及任何情境之下所遭遇的數字和運算 之問題；3.能夠選擇適當的算法去解決問題並可以對結果作出適當的 解釋。
第四節 研究限制 一、 研究範圍的限制
本研究所選取的教學單元為八年級下學期的第一單元「數列與級 數」，故研究者所研擬的遊戲活動，無法使用在其他單元如「幾何」
、「代數」、「二次函數」等。
5
二、 研究結果的限制
本研究多以質性方式陳述研究者所研發的四款數學遊戲，對低成 就學生的可行性與適用性，少有量化的資料分析，所以在研究結果內 容會有所限制。
6
7
第貳章 文獻探討
根據本研究之目的，研究者將本章文獻探討分為：（一）數感、
（二） 學習障礙與數學低成就、（三）遊戲融入數學教學、（四）數 學遊戲教學目標，共四個部分。
第一節 數感 一、 數感的意義
數感就是當我們面對數字或運算等相關問題時，長時間累積在腦 中的數學知識，在需要它的時侯，可自由隨心的拿取出使用（楊德清
，2002），他也認爲數感是一種多能力的組合，包括基準點運用的能 力、比較數字大小的能力、心算的能力、估算的能力及對運算結果是 否合理的判斷能力等。NCTM 在 1989 年的「數學課程與評量標準」
中提出，要有好的數感，學童需具備以下 5 種基本能力：(1)能理解數 的基本意義；(2)會探索數字間的多重關係；(3)能瞭解數字的相對大小 關係；(4)能瞭解運算對數字的影響；(5)能發展參考物來測量ㄧ般的物 體等，並能運用於日常生活中。NCTM 也說到數感就是對數的一種無 需長時間的考量，可以快速直接將感覺說出或將想法與策略立刻去執 行。
McIntosh 等人(1992)也指出，一個學生具有良好的數感時，應該 能夠在相異的情境下，自由靈活地應用運算的性質來解決問題；亦或 在連結不同運算間的關係做連結，發展出多樣化的思考與解題方法。
圖 2-1 則在說明「數」、「運算」及兩者交互作用產生的「情境」這 三個元素的連結情形。
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圖 2-1 :
數感主要元素的連結情形
(McIntosh et al.,1992)
二、數感的相關研究
對於數感，許多學者們彼此之間的看法是有一定程度的共識存在
。研究者就中外學者對於數感的相關研究中所提出的定義以及描述，
將他們整理出三個部份分別是：（一）強調數字間的關係與意義；
（二）重視彈性與生活連結；以及（三）具備後設認知並且能夠將結 果做出合理性的判斷，分別說明如下：
（一） 強調數字間的關係與意義
數感是指數字和數字之間的關係有著良好直覺（Howden , 1989 ; 陳霈頡，楊德清 2006），而劉琪玲，謝哲仁(2003)則認為具有良好數 感的學生能使用已學習過的數學知識，去探討多種情境下數字運算，
以及數字間的相互關係，Reys 等人(1999)看到的則不只是數字及運算 之間的關係，認為數感牽涉到數種數學概念，數學事實，數學技能間 的關係。
NCTM (1991)認為學習者建構數學概念時，賦予意義(sense-
making)是最重的原則，而數感被認為是在數學情境下對其賦予意義的 渴望。Hope (1989) 也認為多考慮數字和關係而非書上的規則是數感的 觀點。；同樣地，Sowder 和 Schappelle (1994) 認為，數感最重要的元 素就是對數字的理解。楊德清與徐俊仁 (2000)則指出數字常識，是對 於數字意義進行瞭解內化的過程，而這種數字與運算符號之意義的理 解已存放在於腦中的記憶區內，所以它是一種思考的方式，在需要它
數 字 字
運 算 算 數 感
情 境
9
的時侯，可以自由隨心的拿取出使用（楊德清，2002），至於擁有數 感的學生，會將數字視為有意義的整體，並期待數字計算的結果是有 意義的(Reys et al , 1999)。
（二）重視彈性與生活連結
Greeno (1991) 彈性的心算、劉琪玲，謝哲仁(2003) 彈性的思考與 許清陽(2006) 彈性地發展解題技巧及策略等等，許多學者認為擁有彈 性是數感的一個重要特徵。同樣的，Reys 等人(1999) 則認為數感是指 對數字以及運算的普遍了解，並彈性地使用這種理解來做出數學判斷 的一種能力，許清陽與楊速清 (2001)的觀點是數感包括能在不同的情 境下以符合當下的方式使用和說明數字，能根據對於數字的多重意義 作判斷，這樣的觀點亦出現於 Resnick 等人(1989) 的觀點，即數字常 識經常產生多樣化的作答方法，而不會是單單一種的作答方法（引自 楊德清，徐俊仁，2000）。
Case (1998)認為具有良好數感的學生能夠在現實世界的量和數學 世界的數之間自在的遊走（引自林怡靜，2006），是建立數學和成功 經驗世界間的連結(Kastner , 1989)，可以處理在日常生活中以及任何 情境下所遭遇的數字和運算之問題（許清陽，2006）。林素微(2002) 的研究中，則將數感定義為：與生活經驗息息相關及隱約含有數量的 非按照慣例數學情境之下（如讀閱書籍或報章雜誌等非正式數學的環 境），個體對於情境中數量的查覺、感知與推理」。類似觀點亦出現 於其他學者的研究當中，認為數字的大小概念應與自然界中的參考相 比較(McIntosh , Reys ＆ Reys , 1992)。
(三)具備後設認知並且能夠將結果做出合理性的判斷
陳霈頡以及楊德清(2006)認為，數感具備後設認知的性質，能夠
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監控整個過程，一個擁有良好數感的人，面對數學相關問題時，能夠 思考以及反映數字、運算和所產生的結果，在題目作答的歷程裡，會 依據題目意思而先預設合理答案的可能類型與數目，並且將不合理的 答案排除（Dougherty＆Crites,1989; Hope,1989; NCTM,1991 ;劉琪玲、
謝哲仁,2003）。Dougherty Crites(1989)的觀點是，數感在確定答案的 數量大小和數字類型及選擇適當的計算方式等方面都十分有用。數感 估計與心算上的使用，也可以使得到不合理答案的機會減少，而使用 這樣的方法來處理數字的人，會去分析裁定那數字結果的合理性，當 數字的結果與本身的認知期待相互牴觸時，他們會以不同的出發點去 省思問題，試著去將這衝突解決(Sowder et al,1999)，他們在判斷答案 的合理性時是兼具能力與自信的(Kastner , 1989)。
第二節 學習障礙與數學低成就 一、學習障礙
在民國 50 與 60 年代，那時的教育知識與水準還不是非常普及，
家中若有就學孩童在學習上產生困難，例如：班上同學已經可以使用 心算做出個位數加減法的題目，但是有些學童卻還需要藉著雙手指頭 來輔助計算；或者是對圖像的學習和反應，比起其他同學（如文字、
空間問題的解決等）來得慢，進而影響到閱讀上的理解能力，在學習 學科的時候會感到十分吃力，相對地學童在學習成就上就明顯的低弱，
這類的學童在低年級時還會被安慰說是「長的較大隻的雞會比較晚出 啼聲」，甚至會被套上「壞學生」的名號在身上，當時不知道這樣的 學童可能在學習上是有障礙的，而在那年代所謂有障礙的孩子都是指 肢體障礙，對這學習障礙這類型的孩子所知不多。
11
「學習障礙」這一個名詞，最早是在民國 66 年的「特殊教育推 行辦法」修訂法中出現這一個名詞，在這之前的特殊教育服務的對象 並無學習障礙者，修法也是為了讓學習障礙者也可以成為服務對象之 一。經過了 14 年，在民國 80 年，國內第一個學習障礙的定義才在全 國第二次特殊兒童普查工作執行小組中所提出，在民國 81 年教育部 正式公布了學習障礙定義：「學習障礙，指在聽、說、讀、寫、算等 能力的習得與應用上顯著的困難者。學習障礙可能伴隨其他的障礙，
如感覺障礙、智能不足、情緒困擾；或由環境因素所引起，如文化刺 激不足、教學不當所引起的障礙，但不是由前述狀況所直接引起的結 果。學習障礙通常包括發展性的學習障礙與學業性的學習障礙，前者 如注意力缺陷、知覺缺陷、視動協調能力缺陷和記憶力缺陷等；後者 如閱讀能力障礙、書寫能力障礙和數學能力障礙等。」這是我國第一 個法定的定義。到了民國 87 年教育部再進一步將學習障礙的定義做 了的修訂，並公布在『身心障礙及資賦優異學生鑑定原則鑑定基準』
中。而在民國 91 年教育部公布了『身心障礙及資賦優異學生鑑標準』
取代原有的『身心障礙及資賦優異學生鑑定原則鑑定基準』，到了民 國 95 年，再次修訂『身心障礙及資賦優異學生鑑定標準』，但有關 學習障礙的定義在這兩次的公布內容中，未做任何的修訂。
特殊教育法第三條第二項第八款所稱學習障礙係指因神經心理功 能異常而顯現出注意、記憶、理解、推理、表達、知覺或知覺動作協 調等能力有顯著問題，以致在聽、說、讀、寫、算等學習上有顯著困 難者；其障礙並非因感官、智能、情緒等障礙因素或文化刺激不足、
教學不當等環境因素所直接造成之結果（教育部 , 1998）。然而從各 相關學習障礙的文獻資料中對其特徵的說明，整理出常見的以下 10
12
種（周台傑 , 2000）：活動過多、知覺缺陷、情緒不穩定、一般協調 能力缺陷、注意力缺陷、衝動現象、記憶缺陷、特殊的學業問題、空 間方向與時間管理及事物關係等能力不佳、不會使用適當的學習策略。
美國精神疾病診斷與統計手冊第四版 (DSM-Ⅳ-TR,2000) 對學習 障礙所下的定義是針對學業性學習為主，將其學業性學習障礙分為閱 讀、數學和書寫及非語文學習等四種類型障礙，研究者將上述的四種 學習障礙分成兩類（一）語言學習障礙與（二）其他類別障礙，敘述 如下：
（一）語言學習障礙 1.閱讀障礙
閱讀障礙是指智力正常或正常以上，沒有視、聽、語言文化剝奪 等現象，但在閱讀能力與智力指標間呈現明顯差異（智力高但學業成 就明顯落後）。
閱讀障礙屬於特定的學習障礙其中一種，Lerner (1993) 指出學習 障礙學生中有 80％會出現閱讀障礙。Olson (1989) 則認為這類型的學 習障礙學童在語音解碼方面有特別的發展性缺陷，也就是他們無法將 看到的文字轉換成語音。要使閱讀產生其效益，閱讀者必需將在平面 上的靜態文字訊息，轉換成為動態的聽覺形式，這樣人類腦中那記憶 的區塊，就會去處理轉換後的訊息。Kirk(1993) 等學者綜合其成因，
認為閱讀障礙者聽覺理解能力差、聽或視知覺速度太慢、無法知覺文 字符號、缺乏閱讀所需的知識、無法注意到重要關鍵字句或段落、及 無法了解書寫文字的單位。
當閱讀障礙學童從事跟閱讀無關的學習或表現時，可能與常人無 異或甚至表現得更加優秀，但當閱讀作為媒介進入學習狀態中，其表
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現則完全無法跟上同儕或遠低於預期。
2.書寫障礙
在學習障礙學生中，會有一部分是屬於書寫障礙類別的學生，這 類型的學生在學習不一定會有理解方面上的問題，但是要他們以書寫 作為表達方式是有困難的。楊坤堂(2003)曾針對書寫障礙學生的學習 特徵進行整理如下：同時聽寫困難且容易混淆、字形常常顛倒、過目 即忘、左右不分、 注意力不集中、動作表達能力欠佳。在美國精神 疾病診斷與統計手冊第四版(DSM-Ⅳ-TR,2000)中有指出單純為書寫障 礙則很少，而多數的書寫障礙會與其他學習障礙類型有相關聯。
在學校裡，教學者要觀察學生在課堂上的學習行為和找出其感興 趣的事物來做教學規劃，如此方式更能貼切學生需求，提升學生學習 成效。
（二）其他類別障礙 1.非語文學習障礙
Johnson 和 Myklebust 兩位學者在 1967 年，觀察一群兒童時發現
，這些孩童在語文學習上並沒有出現問題，但是在人際社交上與學校 環境適應上有困難，之後 Rourke 與他的同事發現這類的學童還伴隨 其他的學習困難，如：視覺空間、觸覺動作技巧及數學等特徵而提出
”非語文學習障礙” (NLD)一詞（引自 Semrud-Clikeman et al., 2010）
，但〝非語文學習障礙〞 (NLD)一詞是由 Myklebust 在 1975 年他自己 的文章中正式提出與介紹。Lerner (2003) 也認為此類型障礙是因為人 的腦中有神經上缺陷，進而導致在人際互動及溝通訊息傳遞、非語文 情境的適應、非語文符號和線索的辨識上是困難的。目前台灣並未有 一套很好的篩選量表是針對非語文學習障礙學生，並且在操作定義上
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也不明確，尤其容易與數學學習障礙混淆；再加上非語文學習障礙、
亞斯伯格症與注意力缺陷過動症這三種障礙類別有共病症（胡永崇，
黃秋霞，吳兆惠，胡斯淳，顏玉華，2006； Semrud-Clikeman,
Walkowiak, Wilkinson, &Minne, 2010），因此非常容易被人忽略，而 無法針對其學習上優劣勢與特質及早進行教學介入，以致於在學習上 遭遇到許多挫折，並影響到日後生活技能的應用。
2.數學學習障礙
數學學習障礙，意指個體智力正常，且排除其他障礙，但學習者 對於數學符號，以及概念的理解、運算能力的學習上有明顯困難，致 使數學能力低下，無法經由一般教育的學習輔導獲得學習成效。所以 數學障礙並不是因感官缺陷或是在教育上的不足或是文化不利所 造成的影響，它是一種先天性的障礙，美國精神疾病診斷與統計手 冊第四版 (DSM-Ⅳ-TR,2000) 提出數學障礙學生可能的缺陷如下列敘 述：
1. 在語文能力上（無法對於數學名詞的瞭解或表達、理解運算過程或 概念以及將應用題的題意轉為符號與數字呈現的算式）。
2. 在知覺能力上（無法分辨及讀出數字或數學符號及不會依特徵將物 品進行分類）。
3. 在注意力上（無法正確寫出數字或符號，計算時不會進位與退位以 及正確 看出運算符號）。
4. 在數學能力上（計算時不會遵循著步驟、學會計數以及背誦出九九 乘法表）。
數學學習障礙的表現形態具有個別性的差異，影響數學學習障礙 學童的學習形態和學習策略發展有許多因素，包括障礙生自己、家庭
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及老師教學等因素，彼此都會交互影響。許多研究也指出，教導數學 學習障礙的學童時，使用相關策略，例如：自我教導策略、後設認知 解題策略、融入電腦圖示策略等，能提升學生的數學學習成效。
二、 數學低成就
本節根據低成就的定義與類型、成因、學習特徵進行探討。
（一） 定義與類型
低成就的定義有不同的界定。多數教師贊同低成就即學習困難的 說法，此觀點係就學習成就水準而言（陳東陞，1993）。但是「低成 就」、「學習困難」、「學習障礙」等名詞到底有何差異? 然而這些 名詞在國內經常被混為一 談，多用來描述學習表現不佳的學生（洪儷 瑜，1995）。「低成就」的意義有兩種說法（洪儷瑜，1995;楊坤堂
， 1997)，第一種是「成就低落」(low achievement)即學生的成就表現 顯著低於其年齡或同年級常模者 ; 而另一種則是「低成就 」(under achievement) ，也就是學生的成就表現顯著低於其心智能力或潛能者
。此說法和楊坤堂(1997)的分類方式十分相似。楊坤堂將低成就分為 社會性或現實性低成就兩類型，即學生的成就表現顯著低於其年齡或 同年級常模者，是和其他同儕比較 ; 教育性或真實性低成就則是學生 的成就表現顯著低於自己的心智能力或潛能者，是和自己比較。由於 低成就的指標是差距程度，係指學生的心智能力與與當下真實的表現 或潛在能力與成效之間顯著差距的現象。因此，教師宜採用教育性或 真實性低成就的觀點看待學生，進而提供適性教育。
各學者對低成就有不一樣的定義，例如林美和 (1987) 指出，一些 智力正常的低成就學生，原則上在應該會有不錯的學業成就，實際上
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，他們的形成潛在學習能力與實際學習效果的有著極大差距。郭生玉 (1973) 說明低成就學生係指成就在其能力之下，亦即依據智力或性向 預測其應有某種程度成就，但是實際成就卻顯著低下許多。黃瑞煥、
詹馨 (1982)定義所謂的低成就學是指學業成就與學習能力相互比較下
，其學習能力所應達到的水準在學業成績上並未展現出來，甚至有很 大的差距。郭為藩 (1993) 認為低成就者係指個人潛在學習能力或智力 與學業成就有顯著的落差。張景媛 (1994) 稱智力發展無礙，學習表現 卻欠佳的學生為 「學業低成就生」。許永熹 (1994)認為低成就一般是 指一個人學業成績與 成就表現，明顯低於其智力或能力所推估的水準
。楊坤堂(1995) 則提出低 成就學生在學校遭遇學習問題，導致在學習 過程中無法做有效率的學習， 並造成學習成效明顯的低於其實際能力
。
低成就學生在學校遭遇的主要困難是學習問題，楊坤堂(1995)依 據學習問題的性質，將低成就學生分為五種類型: 1.學習能力不足或 欠缺的學習問題學生，屬於「能不能學習」的問題。2.學習意願 (或 動機)低落或欠缺的學習問題學生，屬於「願不願意學習」的問題。
3.學習策略欠缺或不足的學習問題學生，屬於「會不會學習」的問題
。4.學習機會欠缺或不足的學習問題學生，屬於「有沒有學習」或
「不足的學習」的問題。5.教學不當的學習問題學生，屬於「學習正 誤」或「錯誤的學習」的問題。也有學者依據學科數量將低成就學生 分為普通型低成就，是指多數的學科皆未達到與其能力相符合的水準
; 特殊型低成就，是指只有某些特殊學科成績低劣，而其他學科的成 績卻與其能力相符合(黃瑞煥 ，1982;Goldenson,1970)。若根據低成就 出現時間的長短來看，長期型低成就兒童是指其剛出現低成就現象時
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，由於特徵不明顯，未能及時獲得適當的輔導，日積月累，情況越趨 嚴重，其成就始終處於能力水準之下，而其形成原因較為複雜，不易 發現。暫時型低成就兒童的低成就表現則只是一種短暫現象，造成此 現象的原因可能為困擾經驗所致，例如家庭發生變故。不過，暫時型 低成就兒童的表現容易覺察，並且原因明顯，經由一段時間輔導後，
學生的學業表現大多能恢復正常(郭生玉，1973;黃瑞煥，1981)。
（二）成因
造成學業低成就的因素很多，各家學者也針對其成因提出看法(
劉瓊玩，1983;楊銀興，1988;楊坤堂，1992;陳東陞，1993)，綜觀各 家理論發現，低成就的成因不外乎是環境因素和個人因素，並受時間 因素的影響 (Mandel & Marcus ,1988)。
在環境因素方面，可從學校、家庭、社會三個層面來探討。在學 校層面，像是學校行政、教學設備、教育目標、教學活動、師生關係 和同儕互動、教師態度、班級的氣氛不佳也會導致學生的低成就。或 是因為學習環境的不良，如光線、溫度、溼度、場所是否安靜等因素
，皆會影響學生的學習效果。還有，如果教材的學習時間短促，當學 生無法熟練內容時，也會導致學習效果不佳。在家庭層面，例如父母 管教不當、家庭社經地位低落、環境問題、家庭氣氛不和諧的因素也 會影響學生成就。或者是問題家庭、處於危險環境中的兒童和經濟不 利，無效率學習者均說明家庭因素在文化、經濟或環境不利對兒童學 業的影響。此外，家長對子女教育的關懷程度不夠、家庭環境不良也 會有所影響。在社會層面的因素，則包括政治、經濟、教育、文化、
科技等，也就是說社會的意識形態、價值體系、教育政策等皆會影響 兒童的學業成就。
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在個人因素方面，就兒童自己本身有例如智能障礙、聽覺障礙、
情緒障礙、缺乏學習動機、學習策略不足及特定學習障礙等因素，有 可能造成低成就。陳東陞 (1993) 認為，生理機能與學習效果間有密切 的關係，生理障礙是造成低成就的因素之一。一般而言，視障、聽障 的學生均較普通學生容易出現學習困難。再者，情緒的不穩定常會影 響學習效果，學生在學習過程中，可能因為不安定、過動、無法集中 注意力，而降低學習效果。學生也可能因為學習方法與教材的不適合
，像是學習方法的不當，會浪費時間且成效不彰。若學習教材難度過 高或太過簡單，學生都有可能逃避學習。低成就學生常常因為不知道 如何組織學習內容，較難形成概念，缺乏知識體，無法把握要點，而 造成低成就現象。或者因缺乏學習動機與興趣，導致學習效率低，當 然學科成就評量的結果大多為低下。
Mandel 和 Marcus (1988)依據時間因素，將低成就的成因分成四 個類型：1.受到外在暫時性因素影響而導致低成就，例如父母生病、
教師請假等。 2.受到外在永久性因素的影響而導致低成就，例如轉學
、家庭破碎或家人死亡等。3.受到內在暫時性因素影響而導致低成就
，例如學生自身營養失衡或生病等。4.受到內在永久性因素影響而導 致低成就，例如學生學習能力不足、生理障礙或人格問題等。
（三）學習特徵
劉瓊玩(1983)認為低成就學生的學習特徵有：學業成績低下、自 卑、不滿意現實狀況、個人目標不明確、無法接受他人的批評與指教
、親子關係不佳、常自怨自哀且情緒低落、會有游離性的焦慮及缺乏 洞察自己及他人的能力。李咏吟(1987)從心理諮商的臨床經驗中觀察
，低成就學生顯現與學習相關的困擾，經常沒有花足夠的時間讀書、
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被強迫念不喜歡的科目、粗心、健忘、懶惰、不準時做功課、對某些 科目不感興趣、無法記住所讀的內容、不喜歡讀書、缺乏熱心和高自 我期許、對自己想要什麼感到混淆。李乙明 (1993)則認為低成就學生 在口頭和書面表現的品質差距很大，對於自己愛好的科目或課程，在 理解力及記憶力上皆有不錯表現，並有固著的傾向，不過容易分心，
專注力不夠，學習態度不佳，欠缺學習動機，做事無法持久，經常找 理由不繳交作業或是延遲繳交，屬於好玩者。在心理方面，低成就學 生容易出現自尊心低落，自我概念不佳，人際關係不良，缺乏溝通及 表達能力，傾向於不切實際的自我期許等特徵。常將個人成敗歸因於 外在因素，逃避自我要求及負責，有時會有退縮或攻擊行為出現。
第三節 遊戲融入數學教學 一、遊戲
遊戲可以說是伴隨著我們長大最佳玩伴，在遊戲中沒有人會去在
乎他的目的是工作或是學習，在這之中我們的心態是自在無束，享受 在遊戲之中所來的歡樂。而遊戲的特性 Froebel (1887)認為遊戲為人類 生活的縮影，它帶給學童們歡樂與自由，Froebel (1887)在書中也有說 到，遊戲是一個可以將自己內心的需求與衝動的一種自我表徵的活動
。Piaget(1951)發現學童要認識自身的周圍環境是可以透過遊戲來進行
，進而對空間進行複製、想像並創造。Maslow (1970)的需求層次論中 有說到，兒童在遊戲中也是有在學習的。心理分析學派 Freud (1928 [1927])認為遊戲可以使學童暫時離開真實生活，從被動與較差經驗的 角色中移轉，有調整學童的情緒和治療心理的功能，可以偵悉對學童
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來說遊戲其重要性。過去學者提出遊戲有其特徵、要素與特性，整理 如表 2-1：
表 2-1 整理學者提出遊戲有其特徵、要素與特性之相關資料一覽表
Caillois (1958)
遊戲具有的特徵
(1)自由的活動; (2)分隔的活動; (3)不確定的活動;
(4)無生產性的活動;(5)受到規則的約束;
(6)假裝的活動（引自黃怡芳，2005）
鄭肇楨 (1991)
遊戲具備的要素
(1)身體的直接與間接觸兩種;(2)官能活動;
(3)認知技巧;(4)時機的把握; (5)適者生存
Johnson et al., (1994)
遊戲具備的特性
(1) 是歡笑，愉悅和歡樂的;(2) 對參與者有正面意義;
(3) 沒有外在目標;(4) 是出自內在的動機;
(5) 參加者都主動投入，參與遊戲;
(6) 不是單一，獨立的行為，它和其他方面有密切關 係。（引自吳幸玲、郭靜晃譯，2003）。
潘慧玲 (1991)
遊戲具備的特性
(1)非實際性 (nonliterallity) ：遊戲的時空可透過想像 自成一個系統，特定的人，事，物在特殊的定義或關 係下，形成一種暫時性的組合。
(2)內在動機 (intrinsic motivation) ：遊戲中的緊張成 分可能帶來焦慮、不安、挫折或無奈的負面情緒，參 與者為完成目標，雖然過程艱辛，但心情卻很愉悅。
(3)過程勝於結果 (process over product) ：很多遊戲的 本質是簡單的，但過程中所獲得的經驗遠勝過結果的 勝負。
(4)自由選擇 (free choice) ：遊戲是自願、非強迫性的
，個人擁有非常充分的自主權，隨時可加入或退出。
(5)正面性的情緒 (positive affect) ：遊戲的魅力在於能 讓人沉湎於想像國度中，有欲罷不能且一玩再玩的衝 動。
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在遊戲具備的特性中，潘慧玲與 Johnson 兩位學者有幾個相同處
，敘述如下：
1. 動機皆出於自己本身，遊戲的過程對參與者充滿了無限想像，結果 是歡愉的。
2.對參與者都有正向的情緒與意義。
3.參與遊戲的人皆自願而非強迫。
4.對於參與者，遊戲的結果不是那麼的重要，重要的是與其他參與者 在過程中的互動與學習。
5.遊戲是一個暫時性且非個人的組合。
我們綜合上述對特徵、要素與特性可以看出，學童試著利用模仿 成年人的各種行為，來進行各項事物探尋與摸索，更在遊戲之中對於 其學童本身外在行為的選擇與問題解決的能力都有所增進 。換言之，
學童是自願性且在一個無壓力、無限制又開放的環境當中，經由遊戲 得來的經驗不斷演練、探索與創造，並發展自我解決問題方式，驗證 其社會化也對滿足內在心理動機的互動行為，稱為「遊戲」。
二、遊戲的理論
遊戲理論分為第一次世界大戰前所發展出來的「古典理論」及 1920 年代以後的「現代理論」（吳幸玲，郭靜晃，2003）。
（一）古典理論
古典理論，多以哲學思想為基礎論點，較不注重實證研究。可將 古典理論分為四種：能量過剩論、休閒放鬆論、重演論和練習論。現 將這四種論點依能量和本能對遊戲的定位及論述略分二：(1)、能量過
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剩論與休養鬆弛論將遊戲看做為一種能量之調整行為; (2)、重演論與 練習論是將遊戯解釋為人的本能（郭靜晃譯，1992 ;詹志禹，1997 ; 廖素霞，1992）。以下是四種古典理論分述：
1.能量過剩論：
能量過剩論最早是由哲學家 Friedrich Schiller 提出的。Schiller 他 認為遊戲是能量的發洩方式，成年人受到生理基本需求要進行工作來 維持需求，這時的活動會消耗精力，而孩童因不需要進行工作這樣的 活動，所以能量會過盛（簡楚瑛 1993）。因此，藉由遊戲消耗或釋放
過盛的能量，以免累積過多而形成壓力（吳幸玲，郭靜晃，2003）。
2 .休閒放鬆論：
休閒放鬆論是德國的哲學家 Moritz Lazarus 所倡導的，他認為 成人在工作中會因能量的耗損進而造成身體疲勞，而遊戲是能量不足 下所產生的活動，是為了將消耗能量補充回來的方式。林風南 (1993)
，需要藉由遊戲及休閒擺脫工作壓力，使能量恢復。所以，學生因課
業壓力所消耗的能量可以藉由遊戲幫助來恢復。
3 .重演論 :
Hall 和 Gulick 等認為孩童的遊戲是遵循人類的歷史演進而來的，
就像嬰兒發展至成人與人猿進化演變到現代人的過程是相同。所以遊 戲是為了讓我們除去不該在現實生活中出現的原始本能。例如：飼養 小動物反映畜牧時期的活動，學校的團體遊戲則反映部落時期的活動
（馬秀蘭等人，2012）。
4 . 練習論 ：
Groos 在 1898 年提倡的，他認為遊戲是本能的需求所衍生的活動 並具有適應目的，本能藉著一種安全遊戲活動，來練習獲得生活所需
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的基本技能（簡楚瑛，1993），兒童會藉由扮家家酒的角色扮演遊戲 去體驗成人世界的社會性互動模式，學習如何在未來實踐理想，做為 適應未來生活及社會的踏板（高鵬家，陳渝苓，2011）。因此，研究 者認為學童可以藉由遊戲來獲得數學的基本技能，以因應在未來生活
上所需。
（二）現代理論
現代理論是發展於 1920 年代之後，此理論對人為什麼要遊戲做 了解釋，而且試著去定義遊戲在兒童發展中的功能為何（Ellis, 1973）
，現代理論包含四種理論：1.心理分析論、2.認知論、3.貝蒂生理論 和 4.覺醒調節論。
1.心理分析論：
Freud (1961) 認為遊戲可以滿足個人願望，也可讓孩子的情緒 在遊戲中被調節。Erikson 延伸 Freud 的心理分析，認為遊戲發展是有 助於兒童自我發展的功能，在參與遊戲活動的與人產生互動時，進而 模仿遊戲情境在現實生活中處理事物（吳幸玲、郭靜晃，2003；馬秀
蘭等人，2012）。
2.認知理論：
認知理論包括有 Piaget、Vygotsky、 Bruner、和 Singer。Piaget (1962)認為認知發展對在遊戲中的兒童，所展現出的行為是有其影響
，兒童可以藉由遊戲去學習並鞏固最新的技巧進而使其程度達到熟練
。Vygotsky (1976) 認為促進孩子的認知發展可以使用遊戲這自我幫助 的工具，在遊戲過程中也可以促進兒童的創造力以及變通力。Bruner (1972) 則認為結果比遊戲的方法及過程都來得重要，因為在遊戲當中 孩子可以嘗試新的行為及方法，以便應用到實際的生活情境，以解決
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生活上的問題要（吳志衍，楊裕富，李傳房 ， 2004）。Singer (1973) 認為想像遊戲對兒童發展有其實質及正面的意義，可幫助兒童在發展 中的表徵的能力（吳幸玲，郭靜晃，2003）。
3.貝蒂生理論：
Bateson(1955)認為遊戲是相互衝突的，也就是說在遊戲中的行為 不一定等於現實生活中的行為。因遊戲和現實生活中的活動並不相同
，所以當兒童在遊戲過程中，他們要能夠同時操弄遊戲與現實生活的 意義等兩個不同的層面（吳志衍等人，2004）。
4. 覺醒調節論：
此理論是由 Berlyne 發展出來，Berlyne（1960）他認為當刺激不 夠時，為尋找刺激的所產生的行為就是遊戲（吳志衍等人，2004）。
Ellis (1973) 也認為遊戲是一種尋求刺激的活動，其遊戲方式要不斷的 求新求變來增加刺激度（吳幸玲，郭靜晃，2003）
三、數學遊戲
(一) 教學融入遊戲
要將本身具許多的功能和作用的遊戲導入於數學課程中，是否也 可以發揮一樣的功效呢？接下來就對有關數學遊戲融入教學的主題進 行討論。Dienes (1981) （引自黃毅英，1997）在「數學的營造」一書 中，根據 Piaget 學習心理學，建立以六個步驟逐一完成的數學概念的 遊戲方式如下：
1. 自由玩耍 (free play) ：讓學習者在一個已經設計過的情境中自由玩 耍一段時間。
2. 規律遊戲 (games) ：設計者可以嘗試在學習者受到環境刺激後，對
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具有數學結構的事物有做出反應，再以遊戲方式，讓學習者進行 分類活動漸漸發覺這些事物的規律性。
3. 尋找共同結構 (searching for communality)：讓學習者重覆的運用各 種分類活動，從過程中結合推展知道所有的可能性。
4. 敘述和圖示 (representation)：學習者可以使用圖示或是文字敘述在 活動中的分類策略。
5. 符號化 (symbolization)：接著開始會以符號作出上述的描述。
6. 形式化 (formalization)：這時可以向學習者導入正式的符號，讓學 習者構成數學的概念。
Dienes 這以引導學習者在活動中發現規律的遊戲教學模式，黃毅 英 (1997) 則認為對學習者本身已知的某些數學概念澄清是有一定的效 果，但是對某些的似乎作用不大，例如新概念學習或抽象的事物。
Krulik 和 Rudnick (1983) 認為當一個遊戲結束後，應該緊接著讓學 生有機會檢視彼此勝負的原因與討論雙方相互攻守的策略，然而這正 是遊戲可以遷移到一般問題解決的關鍵所在。綜合上述，老師在遊戲 教學活動中或結束後，應該多鼓勵學生去分析檢討在活動中的一切行 動，藉以探究在遊戲中所隱含的數學知識。
提及遊戲運用於教學時，饒見維 (1996) 於著作「國小數學遊戲 教學法」中提到，數學遊戲必須具以下四種特性：
1. 適度的挑戰性：
教師會依課程教學目標去設計數學遊戲活動，並設定某種思考任 務或目標在遊戲活動中，學生則運用既有的數學知識與能力來達成任 務或目標。遊戲規則限制條件越多，其挑戰性越大；反之，其挑戰性 就較底，學生較易達成，所以教師設計遊戲時，考量適當的挑戰難度
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是非常重要的，難度高學生有挫折感，難度低學生覺得乏味，皆會抹 煞學童參與遊戲的樂趣。適度的挑戰性才能讓學生學習持續。
2.競賽性與合作性：
遊戲中活動的加入競賽成分可增加活動的趣味性，並可提升學童 參與率與學習動機。藉由於活動過程中，可採取具有合作性的團體模 式，各組為爭取的較優成績，學童間必須分工合作。
3.機遇性與趣味性：
有些遊戲會使參與者每次都有所期待， 因此一回又一回地玩下去
，主要是過程中有某種機遇的因素而增加其活動的趣味性，例如擲骰 子比大小或撲克牌撿紅點。
4.教育性：
一個良好的數學教學遊戲必須具備達成數學教學目的的特性，從 遊戲中學習並養成各項數學能力例如計算、邏輯推理、獨立與策略性 思考及解決問題等等。學童能夠將學習過的數學知識與能力，運用在 現實生活中去解決所面臨的問題。
《科學美國人》 雜誌在 1957 年撰寫數學遊戲的專欄，後續更出 版了一系列有關數學遊戲的論著，例如數學遊戲和娛樂，數學故事等
，中文將它翻譯在「啊哈！靈機一動」一書中，書中將數學遊戲分為 1.代數遊戯、2.算術遊戲、3.幾何遊戲、4.組合遊戲、5.數論遊戲、
6.圖論遊戲、7.概率遊戲、8.分割遊戲和 9.博奕遊戲等九類，此外，
還有許多如邏輯推理等智力遊戲。
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(二) 遊戲的評鑑規則
除了國內學者饒見維所提出的教師在設計數學遊戲時要注意的四 個要點外，國外學者 Bell (1978) 也提出十二項評鑑遊戲的準則（黃毅 英，1997），這十二項準則可以作為教師進行遊戲教學時的參考：
1.由於學生太過於投入遊戲進而忽略學習的目的嗎？
2.數學學習這部分，在整個遊戲過程中是否會被突顯出來嗎？
3.學生能否經由遊戲達成所設定的數學教學目標？
4.經過遊戲後，學生的數學表現有無提升？
5.遊戲難度太高是否會使原設定的遊戲時間變長？
6.遊戲設計是否太過容易？
7.教師所設計出的遊戲，學生接受度高嗎？
8.遊戲前，學生是否清楚遊戲規則嗎？
9. 學生學習遊戲規則，需要使用大量的時間嗎？
10. 在課程中實施遊戲教學，是否會引起學生的秩序混亂？
11.每個學生參與遊戲的機會是否均等？
12.每個學生都能夠參與整個遊戲的過程嗎？
以上十二個評鑑準則主要是以學生的學習為主，遊戲教學若要達 成預期的學習成效，在設計過程要考慮學生的起點行為，是否與課程 學習目標符合，遊戲的相關流程規畫是否恰當，清楚講解遊戲規則和 引導學生進行遊戲，這才能真正的透過遊戲達到有效的教學與學習。
Sutton-Smith (1983) 也認為遊戲的過程及方法比結果來得更加重要。
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第四節 數學遊戲教學目標
教學目標是指教學活動的主體在具體教學活動中所要達到的預期 結果、標準。教學目標。要根據課程標準和教材、學生學習的特點以 及發展來確定，可以從知識與技能、過程與方法、情感態度價值觀等 三方面來進行整體設計，建立目標體系。
本研究研發的遊戲，其教學內容設計主要是以九年一貫課程綱 要(教育部，2008 發布），數學科八年級分年細目表（表 2-2）「8-n- 04」、「8-n-05」與「8-n-06」為教學目標，教學內容選定八年級下學 期數學課程第一章：數列與級數為主軸，使用康軒版國民中學八年級 下學期數學為版本，以下是課程的單元名稱、節數、能力指標與學習 目標之整理如表（表 2-3）：
表 2-2 數學科八年級分年細目表 數與量
分年細目 對照指標
8-n-04
能在日常生活中，觀察有次序的數列，並
理解其規則性。 N-4-13
8-n-05
能觀察出等差數列的規則性，並能利用首 項、公差計算出等差數列的一般項。
N-4-13 N-4-14
8-n-06
能理解等差級數求和的公式，並能解決生 活中相關的問題。
N-4-13 N-4-14
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表 2-3 康軒版國民中學數學科八年級下學期第四冊第一章 單元名稱、節數、能力指標與學習目標數學一覽表
對應能力指標 之單元名稱
節 數
能力指標 單元學習目標
1-1 數列 (6) 6 N-4-13 N-4-14
1-1-1 培養學生觀察有次序的數 列，並察覺規律性。
1-1-2 能由代數符號描述數列項。
1-1-3 能寫出等差數列的一般項 公式。
1-1-4 能利用首項、公差（或其中 某兩 項的值）計算出等差 數列的每一 項。
1-2 等差級數(2) 10 N-4-13 N-4-14
1-2-1 能理解級數的意義，及數列 與級數的區別。
1-2-2 能推演導出等差級數的 公式。
1-2-3 能應用等差級數公式，
活用於日常生活中。
備註；前四項主題的能力指標以三碼編排，其中第一碼表示主題，分別以字母 N、S、A、D 表示「數與量」、「幾何」、「代數」和「統計與機率」四個主 題；第二碼表示階段，分別以 1、2、3、4 表示第一、二、三、四階段；第三碼 則是能力指標的流水號，表示該細項下指標的序號。
30
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第參章 研究方法
本研究的研究方法主要是在數學教學中以遊戲活動的方式呈現，
研究者先研擬規畫單元遊戲，經過前導階段的試教及反覆修正後，再 於正式階段開始進行施測，並將數學遊戲融入於課程教學中，之後研 究者透過遊戲教學過程紀錄表、數學遊戲學習單、數學遊戲回饋單、
訪談記錄表與教師札記等資料的蒐集與分析，進一步來探討本研究中 研究對象數感改變情況。本章共分成五節，第一節為研究流程，第二 節為研究現場與對象，第三節數學遊戲，第四節為資料蒐集及分析，
第五節為試教結果。以下分述來說明。
第一節 研究流程
在遊戲研擬的過程中，研究者為了使遊戲具有適切性及可行性，
隨時要修正數學遊戲流程與內容，基於上述之理念，將這研究流程列 於下圖（圖 3-1）。研究者利用半年的時間蒐集相關文獻，與指導教 授多次討論訂定研究主題以及參考由康軒出版社所編製的教材，於 107 年 11 月 23 日將「等差數列與等差級數」之學習單題目與數學遊 戲設計初略編製完成，初步研擬出六個數學遊戲：107 年 11 月 10 日 至 107 年 11 月 15 日研擬各項資料蒐集工具，如遊戲教學過程記錄表
、數學遊戲回饋單、數學遊戲學習單、訪談紀錄表、教師札記及遊戲 教具的製作；計畫於 107 年 12 月 26 日與 108 年 1 月 5 日這兩天進行 遊戲試教，試教結束後則進行遊戲內容與規則的修正。108 年 1 月 11 日將遊戲學習單上的題目由三位有數學相關背景的數學老師與教育所
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數學組研究員進行專家效度，108 年 1 月 12 日進行遊戲學習單上的題 目修正；108 年 1 月 23 日回收家長同意書；計畫於 108 年 02 月 23 日
、108 年 03 月 2 日、108 年 03 月 9 日及 108 年 03 月 16 日進行正式數 學遊戲教學，搭配著遊戲教學過程記錄表、數學遊戲回饋單、數學遊 戲學習單，訪談紀錄表與教師札記之資料蒐集與分析：最後進行分析 並完成報告之撰寫。
本研究原本設計 6 個數學遊戲教學活動，在遊戲試教中發現「超 級比一比」與「撲克大老三」的相似度頗高，「歡樂大富翁」則是對 低成就學生來說難度太高，經與指導教授討論，取消「超級比一比」
及「歡樂大富翁」2 個遊戲，最後決定在遊戲中挑選了「撲克大老三
」、「叫我第一名」、「找出好朋友」及「快樂列車」這 4 個遊戲。
圖 3－1 研究流程圖
研究主題的訂定
文獻收集與探討
研究主題的訂定
選定教學單元
數學遊戲的設計與試教
進行教學(融入數學遊戲)
研究者就八年級下學期康軒版 課本第一章「數列與級數」內 容，與饒見維 (1996) 於著作
「國小數學遊戲教學法」中提 到，數學遊戲必須具以下四種 特性： 適度的挑戰性、競賽 性與合作性、機遇性與趣味性 和教育性，共設計了 4 個數學 遊戲名稱如下：
1. 撲克大老三 2. 叫我第一名 3. 快樂列車 4. 找出好朋友
資料蒐集與分析
研究工具：
1.遊戲教學過程記錄表 2.數學遊戲回饋單 3.數學遊戲學習單 4.訪談紀錄表 5.教師札記
撰寫研究結果內容
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第二節 研究現場與對象
研究者擔任國中數學的家教老師，以下所描述的是教學現場以及
研究對象：
一、教學現場概況
現場是高雄市左營區某數學家教中心，開業已有 8 年，位於捷運 站出口附近，教師共有 2 位。家教中心共開設 9 班( 4 至 12 年級各一 班)，每班人數限制 4 人，班平均人數為 3 員；由於家教中心沒有入 班能力檢測的規定，所以同年級的學生程度有些差距，為了使教學現 場執行教學時能夠順暢，限制班級人數不得超過 4 人。家教中心的學 生家長為中產階級居多，對於學生的課業成績非常重視；中心內的教 授科目以數學和英文為主，星期一至星期六皆有上課。現階段在家教 中心數學科所使用的數學教材，為建弘出版社出版的「活用國中教學 講義數學」，而研究對象則是使用該數學講義的第 3 冊，國中八年級 教學活動時間安排於每週五下午 18:30-20:30 進行作業檢討與平時小考 及每周六上午的 09:00-12:00 是進行教學活動。
二、研究對象
研究者在 2017 年 7 月研究者所任職的家教中心，有新進的兩位 國一新生，第一位是小陳(化名)，在小港區就讀某國中資源班，學生 本身有學習障礙，注意力不集中容易分心，學習記憶短淺，第二位是 是小李(化名)，在左營區就讀學某國中需參與數學補救教學，為常模 的學生，由於父母忙於工作較少有時間在孩子的學業上進行教導，所 以學習狀況比同年齡的學童有明顯的落差。小陳和小李這兩位學生在 生活與學習心態上欠缺主動性，行動上不夠積極，在學業成績上也不
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盡理想。而上述的這兩位學生是本研究的研究對象，為研究者任教的 國中八年級班級的學生，兩位學生對數學科的接受度不高，對於難度 較高的教材會排斥，小陳和小李兩人在運算常出錯，因此常感到挫 折，對老師講解或自行解題時，聽不懂且無法理解時或不解題目的題 意時，兩位學生皆不會主動提問。
第三節 數學遊戲
由於小陳及小李二人的學習特徵相近，例如，二人均無法記住所 讀的內容以及對讀書不感興趣。二人同樣被人常說為：粗心、健忘、
學習態度不佳、缺乏動機……等，所以研究者採用相同的教法，使用 數學遊戲處理二人在數感的學習困難。
一、 數學遊戲活動設計
在本研究中，研究者就八年級下學期康軒版課本第一章「等差數 列與等差級數」內容，總共設計了 4 個數學遊戲來融入選定的教學單 元中，在此將 4 個數學遊戲活動的內容分別簡述如下：
(一)遊戲名稱：撲克大老三 教學單元：1-1-1 數列
學習目標：8-n-04 能在日常生活中，觀察有次序的數列，並理解其規 則性。
教學使用教具：
1.撲克牌取四種花色的 1(A)～12(Q) ，共 48 張。
2.「＋」與「－」運算符號卡，各 20 張，共 40 張。
3.數列卡共 30 張。(表 3-1)
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表 3-1 「撲克大老三」數列表
(1,2,3) (1,3,5) (1,4,7) (1,5,9) (1,6,11) (2,3,4) (2,4,6) (2,5,8) (2,6,10) (2,7,12) (3,4,5) (3,5,7) (3,6,9) (3,7,11) (4,5,6) (4,6,8) (4,7,10) (4,8,12) (5,6,7) (5,7,9) (5,8,11) (6,7,8) (6,8,10) (6,9,12) (7,8,9) (7,9,11) (8,9,10) (8,10,12) (9,10,11) (10,11,12) 備註：此數列表在遊戲時，會被切割成 30 張數列卡，隨意張貼在黑板上。
遊戲方法：
1.兩人一對一的比賽。
2. 撲克牌先洗牌，然後將牌全數發完，每人拿到 24 張撲克牌。
3.每人發給「＋」與「－」的運算符號卡各 10 張，共 20 張。
4.研究者將 30 張數列卡隨意貼在黑板上，以便參考。
5.每人將手上的牌找出與數列卡相同的數列（如圖 3-2）。
圖 3-2 「撲克大老三」遊戲說明圖之 1
6.剩下的牌可利用加減法湊成與數列卡相同的數列，例如有人的牌剩 下 9、2、1、9、1、2 等六張牌，運用「＋」 與「－」的運算符號 卡，湊成 9+1-2、9、9+1 一組等差數列(如圖 3-3)。
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圖 3-3 「撲克大老三」遊戲說明圖之 2
7.最後玩家手中所剩下的牌數最少為贏家，可得獎勵章 10 個。
遊戲特性：具有挑戰性、機遇與趣味性、競賽性以及教育性。
（二）遊戲名稱：叫我第一名 教學單元：1-1-2 等差數列
教學目標：8-n-04 能在日常生活中，觀察有次序的數列，並理解其規 則性。
8-n-05 能觀察出等差數列的規則性，並能利用首項、公差 計算出等差數列的一般項。
教學使用教具：
1.撲克牌一副
2.數列位置圖一張(如圖 3-4）
3.骰子一顆
圖 3-4 「叫我第一名」數列位置圖
