6-1-3極限的概念-連續函數

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(1)6-1-3 極限的概念-連續函數【討論】希望函數 y = f (x) 的圖形在 x = c 處沒有斷裂、缺洞、跳躍等間斷的現象。【例題】不連續的圖形： 1. 斷裂： f (c ) 無定義。. 2.. 缺洞： lim f ( x) 不存在。. 3.. 跳躍： lim f ( x) 存在，且不等於 f (c) 。. x→c. x→c. 【例題】不連續的例子： 1. 斷裂： f ( x) = 1, x ≠ 0 。. ⎧ x2 −1 ,x ≠1 ⎪ 。 2. 缺洞： f ( x) = ⎨ x − 1 ⎪ 1, x = 1 ⎩ 3. 跳躍： f ( x) = [ x] 。【定義】 1. 連續函數(continuous function)：函數 y = f (x) 的圖形在 x = c 點連續，則 (1) f (c) 有定義。 (2) lim f ( x) 存在。 x→c. (3) lim f ( x) = f (c) 。 x →c. 註：定義為 ∀ε > 0, ∃δ > 0, ∋ x − a < δ ⇒| f ( x) − f (c) |< ε 。 2.. 處處連續(continuous everywhere)：.

(2) 若 y = f (x) 在實數集上的每一點都連續稱之。 3. 開區間上連續：若 y = f (x) 在 (a, b) 內每一點都連續，稱函數在 (a, b) 上連續。同理可定義函數在 (a, ∞) 或 (−∞, b) 上連續。 4. 閉區間上連續：若 y = f (x) 在 [a, b] 上滿足 (1)函數在 (a, b) 上連續； (2) lim+ f ( x) = f (a) (右連續)； x→a. (3) lim− f ( x) = f (b) (左連續)。 x →b. 則稱函數 y = f (x) 在 [a, b] 上連續。【性質】 1. 連續函數的四則運算：設 f ( x), g ( x) 在 x = c 連續，則 (1) f ( x) ± g ( x) (2) f ( x) g ( x) f ( x) ( g ( x) ≠ 0, ∀x ) (3) g ( x) (4) kf (x) 在 x = c 連續。證明：利用極限性質可證。 2. 合成函數的連續：設函數 g (x) 在 x = a 連續，且函數 f (x) 在 g (a) 點連續，則合成函數 ( f D g )( x) = f ( g ( x)) 在 x = a 連續。【定理】 1. 極值定理：設函數 f (x) 在閉區間 [a, b] 上連續，則 f (x) 在 [a, b] 上有最大值與最小值。即存在 r ∈ [a, b] ∋ x ∈ [a, b] 時，恆有 f ( x) ≤ f (r ) 。又存在 s ∈ [a, b] ∋ x ∈ [a, b] 時，恆有 f ( x) ≥ f ( s) 。註：若不連續或開區間時，則不一定成立。. ⎧1 π π ⎪ ,x ≠ 0 例如： f ( x) = ⎨ x 或 g ( x) = tan x, x ∈ (− , ) 。 2 2 ⎪⎩0, x = 0 2. 最大值、最小值定理(同上定理)：若 f : [a, b] → R 為連續函數，則在 [a, b] 中存在 c, d ，使得 f (c) = sup{ f ( x) | a ≤ x ≤ b}, f (d ) = inf{ f ( x) | a ≤ x ≤ b} 。 3. 中間值定理：設 f (x) 是 [a, b] 上的連續函數，且 f (a) ≠ f (b) ，若 k 是任意一個介於 f (a) 與. f (b) 之間的實數，則在 [a, b] 內至少有一點 c 使得 f (c) = k 。.

(3) 證明： (方法一)(若已經先證明了勘根定理) 設 g ( x) = f ( x) − k 利用勘根定理則 g (a) g (b) = ( f (a ) − k )( f (b) − k ) < 0 故 a, b 間至少有一實根 c 則 g ( c ) = f (c ) − k = 0 (方法二) 設 f (a) < k < f (b) 令 A = {x ∈ [a, b] | f ( x) < k} ，則 a ∈ A 知A≠φ 又 A ⊂ [ a , b] 故 A 為有界集合，則 A 有最小上界設 c = sup A (1)設 f (c) < k ，則 c ≠ b 因 f (x) 在 x = c 右連續所以 lim+ ( f ( x) − k ) = f (c) − m < 0 x →c. 又 ∃r > 0 ∋ x ∈ [c, c + r ) ⊂ [a, b] 時， f ( x) − k < 0 恆成立因此 [c, c + r ) ⊂ A ⇒ sup A ≥ c + r > c (矛盾) ∴ f (c ) ≥ k (2)同理可得 f (c) ≤ k ∴ f (c ) = k 4. 勘根定理：若函數 f (x) 在閉區間 [a, b] 上連續，且 f (a) 與 f (b) 函數值異號，則存在 α ∈ (a, b) ，使 f (α ) = 0 。註： (1)若不連續則不一定正確，例如高斯函數。 (2)利用勘根定理與二分逼近法，可以求得根的近似值。 5. 固定點定理：設 f : [a, b] → [a, b] 為連續函數，則存在 c ∈ R ，使得 c ∈ [a, b] 且 f (c) = c 。 (證明) 取 g ( x) = f ( x) − x ，則 g (x) 在 [a, b] 上連續 (1)若 f (a) = a ⇒ 取 c = a (2)若 f (b) = b ⇒ 取 c = b (3)若 f (a) ≠ a 且 f (b) ≠ b ，則 f (a ) > a 且 f (b) < b ⇒ g (a) g (b) = ( f (a) − a)( f (b) − b) < 0.

(4) 又 g (x) 在 [a, b] 上連續則由中間值定理可知 ∃c ∈ (a, b) ∋ g (c) = 0 即 f (c ) = c 6. 連續函數必為有界函數：若 f : [a, b] → R 為連續函數，則 f 必為有界函數。 7. 單調函數：設 f : [a, b] → R 為一對一的連續函數，則 f 在 [a, b] 上必為嚴格單調函數。【問題】 1. 試證： (1) | sin x |≤| x |, ∀x ∈ R 。 (2)利用(1)證明 y = sin x, y = cos x 皆為連續函數。.

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