數學寫作融入國三數學課室之我見我思
姜淑珍1 劉燕芬2 楊德清3 1 嘉義市玉山國中 2, 3國立嘉義大學數學教育研究所本文摘要
鑒於數學寫作有益於學生的數學溝通、解題與促進思考等優點，基於此想 法，本文之主要目的乃是要與讀者大眾分享數學寫作活動融入國三數學課室之我 見我思。經過一年來的觀察，發現數學寫作不但能夠促進學生的溝通表達能力與 啟發學生多元的想法，同時亦能逐漸增強學生解題及思考之流暢性。對教師而 言，教師能從數學寫作中瞭解學生的想法或迷思概念，並提供教師省思個人教學 方式以及改進教學之參考。 關鍵詞：數學寫作、國三、數學溝通。壹、前言
許多的研究與報告皆指出，溝通是數學之教與學中一個很重要的過程，而其 中特別強調「數學寫作」應該被視為數學學習中必要的溝通技巧之一（Baxter, Woodward, Olson & Robyns, 2002；National Council of Teachers of Mathematics,[NCTM], 2000）。同時美國數學教師協會（NCTM）所出版之「學校數學課程與 評量標準」一書中建議把數學寫作融入數學教學中，並強調二十一世紀的數學教 育將特別強調溝通的能力，並主張學生應藉由數學寫作之溝通方式來幫助他們釐 清自己的想法，加深他們既有之概念，以及協助他們連結新舊概念（NCTM, 1989）。此外，一些數學寫作相關之研究結果也顯示：數學寫作有助於提昇學生 的數學解題能力（Baxter, et al., 2002；劉祥通、周立勳，1997）。 何謂「數學寫作」呢？數學寫作是指將寫作的活動融入數學課室中，以促使 學生藉由寫作中對自己的數學想法做銓釋、反思、回顧、組織、連結，以進行統 整的活動（Baxter, et al., 2002；Anderson & Little, 2004）。因此，數學寫作活動可 以培養孩子發展更深一層的思考，學生可以藉由寫作以發現自己在想什麼？學到
了什麼？什麼是重要的？甚至透過寫作可以讓學生在學習的過程中，促進他們在 程序性與概念性知識的瞭解，更可以幫助學生組織與統整數學概念。由此可見， 數學寫作在幫助學生學習數學上扮演著重要的角色。綜合上述，數學寫作是一種 幫助學習的催化劑，它不僅提供學生可以清楚地描述他們的感覺、想法與觀念的 機會，並且也是學生與他人溝通的工具之一（Liedtke & Sales, 2001; NCTM, 2000）。 雖然數學寫作對於學生的學習具有正面的幫助，但目前將寫作應用在國中數 學科教學中仍不多見。因此，本文之主要目的乃是要與讀者大眾分享作者將寫作 活動融入國三數學課室中之我見我思。
貳、數學寫作融入國三數學課室之我見我思
誠如美國數學教師協會所出版之學校數學課程與評量標準中對數學寫作之 陳述：「數學寫作即是個人描述一個問題如何被解決，在這過程中可以幫助學生 澄清她（他）們的想法與發展更深一層的理解（p. 26）」（NCTM, 1989）。因此， 作者於過去一年將數學寫作融入國三數學課室中，藉由適當地運用數學寫作，鼓 勵學生運用自己的話在數學的學習過程中表達自己的想法與心得，以達成溝通、 組織與發展數學概念及解題技巧的目的。以下陳述數學寫作融入數學課室之我見 我思： 一、學生表現 數學寫作的內容涵蓋相當廣泛，學生可以把他上數學課的心得，解題的想法 與過程、解題所用的策略、解題錯誤的原因、課堂上無法理解的困惑之處全部紀 錄下來，還可以紀錄自己已嘗試過的解題策略，作為將來重新思考的根據（Baxter, et al., 2002；劉祥通、周立勳，1997）。茲將數學寫作融入課室之我見呈現如下： (一)寫作給予學生想像空間 在學習數學的過程中，學生的想法往往會出乎老師的意料之外。藉由寫作， 學生可以盡情地發揮，表現他們的數學想法。例如：研究者曾在課堂上佈一則 題目：已知某路徑圖以圖一的形式連續下去，試問數字 2002 到 2006 之路徑是 何種樣式？其中有一個學生的解法，如下： …… 所以，2002÷8＝250……2 其路徑圖為 圖二：學生圖解 此時，另一個學生也立刻將他的解法呈現出來： Ｓ：我發現此圖形是每 8 的倍數一個循環， 所以，2002÷8＝250……2 2004÷8＝250……4 2006÷8＝250……6 因此，其路徑圖為 圖三：學生圖解 (二)開放性的數學寫作可以幫助學生自創解題策略。
Kamii , Lewis 和 Livington (1993)提倡一種教學策略，避開算則的教學， 鼓勵兒童創造自己的解題過程。他們的實驗發現：兒童以自創的算則學習後，學 生對位值概念有更深刻的認識，也發展出較好的數概念。因此，鼓勵學生發展屬 於自己的解題方法，尊重學生的想法，引導學生連結相關概念，對學生概念性的 發展有很大的幫助。例如：在國中有一考古題：有個二位數，兩數之和為 9，將 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 圖一：路徑圖 2 4 10 12 18 20 26 28
此數之個位數與十位數交換後，相減的差為 27，求此二位數。有一位學生的解 法是這樣的：27÷9＝3…兩數的差，因為 9 為兩數的和，所以，9+3＝12，12÷2 ＝6，9－6＝3，因此，這兩數為 63 或 36。 由此可知，藉由寫作讓學生能夠自創解題程序與計算算則，並幫助學生深入 思考相關性的概念，進而促使學生發展多種不同的解題方法。 (三)數學寫作可以幫助學生組織、統整及連結各種不同的概念性知識與發展程序 性技能的精熟。 研究者在複習函數概念時，要求學生寫下函數的相關概念（如圖六）， 發現學生能夠藉由數學寫作將所學有關函數的定義、圖形以及從函數延伸的 一元一次方程式與一元二次方程式的概念重新作組織、統整與連結。 圖六：學生之解題表現 (四)幫助學生在學習的過程中紀錄自己的回顧、分析與反思，有助於學生後設認 知能力的發展。 為了寫作，學生便會反覆咀嚼其想法，例如：在教導「樣式」單元時，曾在 課堂上舉例：在斐波那契數列中（1,1,2,3,5,8,13……）請問前 200 項中，共有
幾個奇數？其中有一組學生的解法（如圖四） 剛開始此組學生的答案是 140，因為他們一開始觀察到毎 10 個數就有 7 個 奇數，所以，他們認為 200 個數中就有 140 個奇數，但他們發現別組的答案與他 們不同。於是乎，他們開始討論他們到底哪裡不對了，他們發現並不是毎 10 個 數就一定會有 7 個奇數，因為他們發現第 21~30 項中只有 6 個奇數，第 51~60 也 只有 6 個奇數…….因此，他們最後修正了他們的答案（圖五）。 (五)成為師生溝通管道之一 課堂上，或多或少都會有比較不敢發言的學生，此時，寫作便變成老師與學 生溝通的管道之一。如一位學生曾在數學日誌寫下： 『對我而言，以前印像中的數學即是算式，只需有正確答案即可， 但是我往往弄不清楚這個「算式、正確答案」如何而來？為何這樣做？ 數學對我而言，很抽象，好像一本「天書」。但在數學寫作的過程中，我 發現我必須思考、澄清每個觀念與步驟，並將其過程寫下來，在寫的過 程中，慢慢地我可以一點一滴的將一些概念與想法串聯起來，我發現我 愈來愈知道我在「做什麼」，數學已不再想像中那麼難懂了…』 二、教師反思 數學寫作融入教學活動，不僅幫助了學生數學學習，更使作者本身有了更深 一層的體悟。茲將數學寫作融入課室之我思呈現如下： (一)幫助教師瞭解學生的學習情況 Etkina(2000)認為除非教師知道學生的想法，否則沒有辦法真正的進行教 學；而教師如果要學生充分的理解概念，那麼就需要知道在每次上課前與上課 後，學生的腦袋瓜子裡具備了哪些已有的知識以及發生了什麼樣的變化，而數學 寫作可以讓學生的想法變得可見，也能讓學生學習到更紮實與更豐富的數學知 圖四：學生修改前之解題 圖五：學生修改後之解題
識，更可以讓老師掌握住學生的學習狀態，並可作為下一次教學時，學生先備知 識的評估依據。 (二)幫助老師瞭解每一位學生的想法 在教學過程中，教師通常沒辦法一次兼顧所有學生的進度，但藉由數學寫 作，教師較可以隨時掌握學生的學習情況，了解每一位學生的想法。過程中，教 師應適時給於學生回饋，以及尊重學生自然的想法，以鼓勵學生將其想法與解題 過程藉由寫作的方式以文字呈現，進而培養學生的自信心與探究的精神。 (三)作為評量與診斷的工具 寫作是教學過程的整合，學生可以寫下課堂上學到的心得，解題所用的策 略，與本單元相關的概念；他們也可以寫下課堂上困惑之處，以及解題失敗時所 嘗試過的所有解題策略。因此，在教學過程中，寫作也可作為一種評量與診斷工 具之一。 (四)設計開放式的數學寫作 這一年來，作者對學生實施各種開放性的數學寫作，不僅能啟發學生多元的 想法，也漸漸地感受到學生能夠獨立進行解題及思考。值得注意的是，在開放性 問題的探索下，教師必須依據學生的個別差異，給予不同層次的支持與協助，以 防低成就學生反而失去信心。
參、數學寫作實施原則之建議
雖然數學寫作能幫助教師教學及學生學習，但研究者發現要數學寫作融入課 程中仍然存在著困難，如：對老師而言，將數學寫作融入於課室中可能會稀釋教 學的時間，影響教學的進度；對學生而言，從「想」到「寫」的過程中，更是一 項挑戰。因此，綜合 Baxter, et al.（2002），Countryman（1992），Miller（1991）， 劉祥通、周立勳（1997）及研究者本身多年來的教學心得，歸納出下面幾個教師 進行數學寫作時須注意的原則： 一、教師應讓學生明白進行寫作的目的：主要幫助學生與老師清楚地了解學生的 學習進度與學習的狀況。 二、設定寫作的時間並事先設計教學流程，這樣做，可以使學生明白整個學習的 過程，不但便於做數學寫作的紀錄，而且也有利於數學概念的邏輯性發展。三、要學生在開始上課前寫數學寫作，以便做好上課準備，並且有助於與以往所 學習的內容作轉換或連結。 四、要學生在結束一個單元之後寫數學寫作，以便評估他們對課程內容的理解程 度，或是了解他們對這單元課程的想法與感覺。 五、在進行數學寫作時可以給予學生寫作的相關提示語。 六、幫助不知如何寫作的學生並進行個別協助。 七、讓學生有機會討論與分享自己的作品，利用數學寫作來與別人進行溝通。 八、不要讓學生有分數壓力，要讓他們知道，有效的學習需要數學寫作的配合。 九、教師要有耐心，多給學生鼓勵。 十、透過數學寫作達到師生溝通與互動，也就是說，教師應對於學生的作品進行 回饋，並修正自己的教學模式。
肆、結論
藉由教師將數學寫作融入數學課室之歷程，可發現學生會嘗試使用文字、符 號、圖形等不同表徵方式說明自己的想法，透過解題過程，寫作可被用來有效的 獲得知識，因此在要求學生寫作時，學生必須對要探討的問題有清楚的了解，概 念才會更清楚；或許對於沒有數學寫作經驗的學生而言，剛開始的執行是困難 的，但經由教師不斷的引導回饋下，多數學生漸能藉著日誌寫作檢視個人的思考 歷程，反思及修正自己的想法，且當學生記下並反思他們的想法時，更增進其解 題的能力，讓解題過程更有效率；教師也能從中得知學生的想法或迷思概念，提 供教師省思個人教學內容，以評估是否進行補救教學或是個別的協助。故透過數 學寫作將有助於改善解題技巧，增進數學認知，並再次評估個人所學得的數學知 識，促使學生主動學習，乃是教師檢驗教學、學生自我學習監控的好方法。參考文獻
劉祥通和周立勳（1997）。數學寫作活動－國小數學教學的溝通工具。國立嘉義 師範學院國民教育學報，3，頁 239-260。Anderson, M. A & Little, D. M. (2004). On the write path: Improving communication in an elementary mathematics classroom. Teaching Children Mathematics, 10(9), 468-472
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Countryman, J. (1992). Writing to Learn Mathematics. Portsmouth, N.H.: Heinemann. Etkina, E. (2000). Weekly Reports：A two-way feedback tool. Science Education 84,
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for School Mathematics. Reston, VA: NCTM.
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