單元11-廣義角三角比與極坐標

196

國中談到的角度只限於0°到180°之間，但是生活中角的大小並 非都在這個範圍之內。例如芭蕾舞劇天鵝湖中著名的32圈旋轉，舞 者大約轉了360° # 32 = 11520°。在方向上，逆時針旋轉和順時針旋 轉是不同的，例如北半球的颱風是逆時針方向旋轉，而南半球颱風 是順時針方向旋轉。因此，本單元將對角度的概念做進一步的推 廣。

廣義角三角比與

極坐標

11

▲ 圖1

甲

廣義角

平面上， AOB+ 為將射線 OA 繞著 O 點旋轉到射線 OB 所成的角（可以超過一 圈），如圖2所示，其中射線 OA 稱為角的始邊，射線 OB 稱為角的終邊；並規 定逆時針方向旋轉出的角為正角，順時針方向旋轉出的角為負角。像這種有正 負方向的角，稱為有向角。 ▲ 圖2

11

廣義角三角比與極坐標

197

舉例說明如下： 1 如圖3(a)，以射線 OA 為始邊，逆時針方向旋轉 250

c

到終邊 OB 所形成的有向 角為 AOB+ =+250

c

（習慣上會將「+」省略）。 2 如圖3(b)，以射線 OA 為始邊，順時針方向旋轉 110

c

到終邊 OB 所形成的有向 角為 AOB+ =-110

c

。 ▲ 圖3 (a) (b) 此後，角的度數不受限於 0

c

到 180

c

，亦可以有正有負，這樣定義的角稱為 廣義角。 將 360

c

平分為12等分，以射線 OA 為始邊，求下列以紅色標示旋轉量的 各廣義角之角度： 1　　　　　　2　　　　　　　　 解 1 此廣義角為逆時針方向旋轉，其角度為 30

c

#10=300

c

。 2 此廣義角為順時針方向旋轉，其角度為^-30

c

h#2=-60

c

。

例題

1

198

隨堂練習

以射線 OA 為始邊，畫出下列各角的終邊。 1210

c

　　　　　　2 -90

c

。 例題1中的 300

c

和 60-

c

有相同的始邊和終邊，而右 圖4 為 以 射 線O A 為 始 邊 ， 逆 時 針 方 向 旋 轉 660

c

， 即 比 300

c

再多繞一圈，也有相同的始邊和終邊，像這些始邊 和 終 邊 完 全 相 同 的 角 稱 為同 界 角。 同 界 角 彼 此 間 相 差 360

c

的整數倍。 任意兩同界角的度數相差 360

c

的整數倍。 同界角的性質 由同界角的性質可知每個角有無限多個同界角。

隨堂練習

選出100

c

的同界角。 1 460

c

　　　　2-100

c

　　　　3 260

c

　　　　4 -620

c

。 將廣義角置於坐標平面上，角的頂點與原點重合，角的始邊在x軸正向上， 這樣的角稱為標準位置角。當角的終邊落在第一、二、三或四象限時，分別稱 這個角為第一、二、三或四象限角。例如： ▲ 圖4

11

廣義角三角比與極坐標

199

1 如圖5(a)， 150

c

與 210-

c

都是第二象限角。 2 如圖5(b)， 30-

c

與 390-

c

都是第四象限角。 3 如圖5(c)， 60

c

與 420

c

都是第一象限角。 ▲ 圖5 (a) (b) (c) 此外，當角的終邊落在x軸或y軸上時，稱作象限角。例如 90

c

與 180

c

都是 象限角。

隨堂練習

下列各角在標準位置時，分別為第幾象限角？ 1 -100

c

。　　　　2120

c

。　　　　3390

c

。　　　　4300

c

。

乙

廣義角三角比

將銳角 i 放在坐標平面上，並在 i 角的終邊上任取異 於 原 點 的 一 點P x y_ , i， 令 r=OP= x2+y2 ， 如 圖 6 所 示。根據銳角三角比的定義，可得 sin r y i = ,cos r x i = , tan x y i = ， 而且三角比不受P點在終邊上的位置所影響。事實上，廣義角 i 的三角比可利用 上述的方法來定義。 ▲ 圖6

200

當 廣 義 角 i 是 一 個 標 準 位 置 角 時 ， 在 i 的 終 邊 上 任 取 異 於 原 點 的 一 點 , P x y_ i，令 r= OP= x2+y2，定義 i 的三角比為 sin r y i = ,cos r x i = , tan x y i = （ x!0）。 廣義角三角比的定義 給定一廣義角終邊上一點的坐標，可利用以上定義來求此角的各三角比，而 且其三角比不受此點在終邊上的位置所影響。

已知P 4_ ,-3i_{為標準位置角 i 終邊上的一點，求 sin i ,}cosi 及 tan i 的值。

解 因為P 4_ ,-3i，且 OP= 42+ -^ h3 2=5，所以 x= ,4 y=- ,3 r=5。 根據廣義角三角比的定義，得 sin r y 5 3 i = = - , cos r x 5 4 i = = , tan x y 4 3 i = = - 。

例題

2

11

廣義角三角比與極坐標

201

隨堂練習

分別求各圖中 sin i ,cosi 及 tan i 的值：

1　　　　　　2　

對於給定的廣義角，可在其終邊上取一點，再利用此點的坐標來求三角比。

利用廣義角三角比的定義，求 sin 120

c

, cos 120

c

及 tan 120

c

的值。

解 在120

c

的終邊上取一點P x y_ , i，使得 OP =2， 如右圖。因為 POQ+ =60

c

，所以 OQ= ,1 PQ= 3，即 x=- ,1 y= 3, r= 。2 根據廣義角三角比的定義，得 sin r y 120 2 3

c

= = ,cos r x 120 2 1

c

= =- , tan x y 120 1 3 3

c

= = - =- 。

例題

3

利用廣義角三角比的定義，求 sin 315

c

,cos 315

c

及 tan 315

c

的值。

202

當 i 為負角時，可仿照例題3的方法求得三角比。

利用廣義角三角比的定義，求 sin^-150

c

h,cos^-150

c

h及 tan 150^-

c

h的值。

解 在 150-

c

的終邊上取一點P x y_ , i，使得 OP =2， 如右圖。因為 POQ+ =30

c

，所以 OQ= 3 , PQ=1，即 x=- 3 , y=- ,1 r= 。2 根據廣義角三角比的定義，得 sin r y 150 2 1

c

- = = -^ h , cos r x 150 2 3

c

- = =-^ h , tan x y 150 3 1 3 3

c

- = = -= ^ h 。

例題

4

利用廣義角三角比的定義，求 sin^-60

c

h ,cos^-60

c

h 及 tan 60^-

c

h 的值。

隨堂練習

至於像 0

c

, 90

c

, 180

c

, 270

c

這種象限角，一樣可以利用相同的方法求到它們 的三角比。要注意的是： tan x y i = 只有在 x!0的情況下才有定義。

11

廣義角三角比與極坐標

203

利用廣義角三角比的定義，求 sin 90

c

, cos 90

c

及 tan 90

c

的值。

解 在 90

c

的終邊上取一點P x y_ , i，使得 OP =1， 如右圖，得 x= ,0 y= ,1 r=1。 根據廣義角三角比的定義，得 sin r y 90 1 1 1

c

=

= = , cos r x 90 1 0 0

c

= = = 。 但，因為 x=0，所以 tan x y 90

c

= 沒有定義。

例題

5

利 用 廣 義 角 三 角 比 的 定 義 ， 求 下 列 各 象 限 角 sin i , cosi 及 tan i 的 值 。

（以×表示沒有定義） i 三角比 0

c

90

c

180

c

270

c

sini 1 cosi 0 tani ×

隨堂練習

因為同界角有相同始邊和終邊，所以它們的三角比也會相等。

204

求 sin 420

c

, cos^-330

c

h 及 tan765

c

的值。

解 因為 420

c

是 60

c

的同界角，所以 sin420 sin60 2 3

c

=

c

= 。 因為 330-

c

是 30

c

的同界角，所以 cos 330 cos30 2 3

c

c

- = = ^ h 。 因為 765

c

是 45

c

的同界角，所以 tan765

c

=tan45

c

= 1。

例題

6

求 sin 390

c

, cos^-315

c

h 及 tan1500

c

的值。

隨堂練習

為了讓同學熟習廣義角三角比的定義，前面幾個例題中廣義角的度數皆為特 別角。然而，當角度不是特別角時，與前一個單元一樣，可以透過計算機的操作 來求三角比。 求 sin 143

c

及 cos^-37

c

h 的值。（四捨五入到小數點以下第1位） 解 利用計算機，依序按下 143 可得 . sin 143

c

.0 6。 利用計算機，依序按下 37 可得 . cos^-37

c

h.0 8。

例題

7

11

廣義角三角比與極坐標

205

隨堂練習

求 tan^-68

c

h 的值。（四捨五入到小數點以下第1位） 本書之後廣義角三角比的計算機操作，不再每題重複逐步說明，同學可自行 練習。 從廣義角三角比的定義可知，終邊上P點坐標x和y的正負決定了 i 三角比 的正負。例如，當 i 為第二象限角時， x1 且 y0 2 ，得0 sin r y 0 2 i = , cos r x 0 1 i = , tan x y 0 1 i = 。 將各象限三角比的正負整理如下表與圖7。 i 終邊所在象限 , x y _ i 第一象限 , + + _ i 第二象限 , - + _ i 第三象限 , -_ i 第四象限 , + -_ i sini + + − − cosi + − − + tani + − + −

隨堂練習

依據下列各條件，判斷各 i 是第幾象限角？

1 sini10且 cosi20。　　　　2 tani20且 cosi10。

在廣義角 i 的終邊上任取異於原點的一點P x y_ , i，令 r= OP= x2+y2﹐此 時 i 的三角比為 sin r y i = ,cos r x i = , tan x y i = （ x!0）。 由以上定義可得： ▲ 圖7

206

1 商數關係式： tan cos sin x y r x r y i i i = = = 。 2 平方關係式： sin cos r y r x r r 1 2 2 2 2 2 2 2 2 i + i = + = = ^ h ^ h 。 已知 i 是第四象限角且 cos 5 4 i = ，求 sin i 和 tan i 的值。 解 利用平方關係式 sin2i+cos2i= ，得1 sin 1 cos 1 5 4 25 9 2 2 2 i= - i= -e o = ， 解得 sin 5 3 ! i = 。 因為 i 是第四象限角，所以 sini10，即 sin 5 3 i =- 。 再利用商數關係式，得 tan cos sin 5 4 5 3 4 3 i i i = = -=- 。

例題

8

已知 i 是第三象限角且 sin 3 1 i =- ，求 cos i 和 tan i 的值。

隨堂練習

11

廣義角三角比與極坐標

207

丙

三角比的換算公式

在例題6中，我們利用「同界角有相同的三角比」這 個觀念先將角度化到 0

c

到 360

c

之間再做計算；事實上， 透過一些換算公式，我們可以更進一步將角度化成銳角 （ 0

c

到 90

c

之間），說明如下。 在坐標平面上，設廣義角 i 的終邊與單位圓（以原點 O為 圓 心 ， 半 徑 為 1的 圓 ） 交 於 一 點P x y_ , i， 如 圖8 所 示。根據廣義角三角比的定義，得 cos x x 1 i = = , sin y y 1 i = = ， 因此P點的坐標為_cosi,sinii，即 廣義角 i 的終邊與單位圓的交點為_cosi,sinii， 如圖9所示。 接下來，我們推導三角比的換算公式。 (一) 180^

c

-ih 換算公式 設 i 與 180c i^ - h 的終邊與單位圓的交點分別為 P與 Q。根據上面的結論，得 , cos sin P_ i ii,Q_cos^180

c

-ih,sin^180c-ihi 。 因為P與Q對稱於y軸，如圖10所示，所以P與Q的x坐 標互為相反數，且y坐標相等，即 x坐標： cosi=-cos 180^

c

-ih , y坐標： sini=sin 180c^ -ih 。

sin^180

c

-ih=sini,cos^180

c

-ih=-cosi。

180

c

-

i

^

h

換算公式 ▲ 圖8 ▲ 圖9 ▲ 圖10 (a) (b)

208

雖然圖10只畫出 i 為第一象限角與第三象限角的情形，但事實上，當 i 為 任意角時，以上的推論過程依然正確，所以換算公式也會成立。 (二) 180^

c

+ih 換算公式 設 i 與 180^

c

+ih 的終邊與單位圓的交點分別為P與 Q。根據前面的討論得 , cos sin P_ i ii, Q_cos^180

c

+ih,sin^180

c

+ihi 。 因為P與Q對稱於原點，如圖11所示，所以P與Q的x坐 標互為相反數，且y坐標也互為相反數，即 x坐標： cosi=-cos 180^

c

+ih , y坐標： sini=-sin 180^

c

+ih 。

sin^180c+ih=-sini, cos^180

c

+ih=-cosi。

180

c

+

i

^

h

換算公式 (三)^ h 換算公式-i 設 i 與^ h 的終邊與單位圓的交點分別為-i P與Q。根 據前面的討論得 , cos sin P_ i ii, Q_cos^-ih,sin^-ihi 。 因為P與Q對稱於x軸，如圖12所示，所以P與Q的x坐 標相等，且y坐標互為相反數，即 x坐標： cosi=cos^ h ,-i y坐標： sini=-sin^ h 。-i

sin^ h-i =-sini, cos^ h-i =cosi。

i

-^ h

換算公式 ▲ 圖11 (a) (b) ▲ 圖12 (a) (b)

11

廣義角三角比與極坐標

209

而當 i 的終邊不為y軸時，利用以上的換算公式與商數關係式可推得 tan 的

換算公式如下。

tan^180

c

-ih=-tani, tan^180

c

+ih=tani,tan^ h-i =-tani。

tan

換算公式

利用以上這些換算公式，可以將任意角的三角比化成銳角三角比來求值。

利用三角比的換算公式，求下列各值：

1 sin 150

c

。　　2 cos 210

c

。　　3 tan^-45

c

h 。　　4 cos 660

c

。

解

1 sin150 sin 180 30 sin30 2 1

c

= ^

c

-

c

h=

c

= 。

2 cos210 cos 180 30 cos30

2 3

c

= ^

c

+

c

h=-

c

=- 。 3 tan^-45

c

h=-tan45

c

=-1。

4 cos660 cos 60 cos60

2 1

c

= ^-

c

h=

c

= 。

例題

9

求下列各值：

1 sin 240

c

。　　2 cos 135

c

。　　3cos^-60

c

h 。　　4 sin 690

c

。

210

(四) 90c^ -ih 換算公式 前面提到，商數關係式與平方關係式對廣義角 i 都是成立的，那麼餘角關係 式對廣義角 i 是否成立呢？ 設 i 和 90^

c

-ih 的終邊與單位圓的交點分別為P與Q 兩點，得 , cos sin P_ i ii, Q_cos^90

c

-ih,sin^90

c

-ihi 。 因為 AOQ+ =^90

c

-ih-45

c

=45

c

-i= +AOP，得P與Q 對稱於直線 y=x，如圖13所示，所以P點的x坐標與Q 點的y坐標相等，且P點的y坐標與Q點的x坐標相等，即 cosi=sin 90^

c

-ih , sini=cos 90^

c

-ih 。

sin^90

c

-ih=cosi, cos^90

c

-ih=sini。

90c

-

i

^

h

換算公式

利用以上各換算公式，可推得 90^

c

+ih 的換算公式如下：

1 sin^90

c

+ih=sin_180

c

-^90

c

-ihi=sin^90

c

-ih=cosi。

利用 180^ c-ih 換算公式 利用餘角關係式

2 cos^90

c

+ih=cos_180

c

-^90

c

-ihi=-cos^90

c

-ih=-sini。

利用以上各換算公式將三角比的角度化成銳角後，再利用單位圓可以比較各

三角比的大小，以圖14說明如下：

▲ 圖14

設 0

c

1i₁1i₂190

c

, i 和₁ i 的 終 邊 與 單 位 圓 的 交 點 分 別 為 P₂ `cosi₁,sini₁j和

11

廣義角三角比與極坐標

211

Q`cosi₂,sini₂j。由圖可知，當角度為銳角時，角度愈大，其 sin 值亦愈大，但

是 cos 值則愈小。 比較下列各數的大小： sin a= 50

c

, b=sin140

c

, c=sin440

c

。 解 將a,b,c的角度化成銳角，得 sin a= 50

c

,

sin sin sin

b= 140

c

= ^180

c

-40

c

h= 40

c

,

sin sin sin

c= 440

c

= ^360

c

+80

c

h= 80

c

。 因為 80

c

250

c

240

c

，所以

sin80

c

2sin50

c

2sin40

c

。 故 c2 2 。a b

例題

10

比較下列各數的大小： cos a= 50

c

, b=cos140

c

,c= cos440

c

。

隨堂練習

丁

直角坐標與極坐標的轉換

生活中亦常利用距離和方向描述一個點的位置，例如「東北方，20 公尺 遠」，這種描述位置的方法，就是下面將要介紹的極坐標之概念。 如圖15，在平面上選定一點O（稱為原點或極點），以O 為端點向右作一水平射線（稱為極軸），對於平面上異於O的 任一點P，令 r= OP 且 i 代表以極軸為始邊、射線OP為終邊 的廣義角；此時，我們以7r,iA來表示P點的位置，並稱7r,iA 為P點的極坐標，記作P r7 ,iA。 ▲ 圖15

212

寫出下圖中A,B兩點的極坐標。 解 A的極坐標為73 90,

c

A（或73 450,

c

A, 73,-270

c

A,…）， B的極坐標為72 225,

c

A（或72,-135

c

A,…）。

例題

11

從例題11中可知，因為同界角具有相同的始邊與終邊，所以極坐標的表示 法並不唯一。

隨堂練習

寫出例題11中C,D兩點的極坐標。 接下來，介紹直角坐標與極坐標的轉換。設直角坐標與極坐標的原點、單位 長 相 同 ， 且 極 坐 標 的 極 軸 與 直 角 坐 標 的x 軸 正 向 也 相 同 。 當 P₁點 的 極 坐 標 為 , 4 340

c

7 A時，因為 340

c

與 20-

c

為同界角，所以先利用量角器在方格紙上畫出 P₁ 點所在的終邊，再利用直尺量得 OP₁= 描出 P4 ₁點，如圖16所示。最後，利用直 尺測量 P₁點到x,y兩軸的距離，可得其直角坐標約為 . ,_3 8 -1 4. i。 ▲ 圖16 ▲ 圖17

11

廣義角三角比與極坐標

213

如 果 已 知 一 點 的 直 角 坐 標 ， 也 可 以 利 用 測 量 的 方 式 求 得 其 極 坐 標 。 例 如 , P₂_-4 -3i，我們先將 P₂點標示於方格紙上，如圖17所示。再分別利用直尺與 量角器測得 OP₂= 且 P OQ5 + ₂ =37c。故可得其極坐標為75 217,

c

A。 一般而言，直角坐標與極坐標的轉換，說明如下：設 平面上一點P的直角坐標為_x y, i，極坐標為 ,7r iA。根據三 角比的定義，可得兩者關係為 cos x=r i, y=rsini, r= OP= x2+y2。 也就是說，極坐標為7r,iA的點，其直角坐標為 , cos sin r i r i _ i。 1 已知P點的極坐標為74 300,

c

A，求其直角坐標。 2 已知P點的直角坐標為_-2,-2i，求其極坐標。 解 1 因為 r= ,4 i =300

c

，所以直角坐標為 , cos , sin x y = r i r i _ i _ i , cos sin 4 300 4

c

300

c

=_ i , , 4 2 1 4 2 3 2 2 3 # # =f f- pp=` - j。 2 如圖所示，得 r=OP= ^-2h2+ -^ 2h2 =2 2， 又 OQ= PQ=2，即 POQ+ =45

c

， 因此i =180

c

+45

c

=225

c

。 故得極坐標為82 2 225,

c

B（或82 2,-135

c

B,…）。

例題

12

▲ 圖18

214

隨堂練習

1 已知P點的極坐標為78 120,

c

A，求其直角坐標。

11

215

215

一、觀念題

以下各小題對的打「○」，錯的打「×」。 1 90

c

是 90-

c

的同界角。 2 321-

c

是第四象限角。 3 若 sini20且 cosi10，則 i 角是第四象限角。 4 sin361

c

=sin1

c

。 5 cos^-20

c

h=-cos20

c

。

二、基礎題

1 已 知P_-3 2, i為 標 準 位 置 角 i 終 邊 上 的 一 點 ， 求 sin i , cosi 及 tan i 的

值。

2 已知P_-2,-1i為標準位置角 i 終邊上的一點，求 sin i , cosi 及 tan i 的

值。 選出下列哪些為正數： 1 sin 230

c

2 tan^-170

c

h 3 cos^-350

c

h 4sin 1000

c

。 已知 i 為第二象限角，且 sin 5 3 i = ，求 cos i 。

216

3 tan 150

c

。 4cos 675

c

。

化簡下列各式：

1 sin90

c

+cos180

c

+tan360

c

。

2 sin330

c

#tan225

c

+cos210

c

#tan120

c

。

化簡下列各式：

1 sin^180

c

-ihsin^-ih+cos^180

c

+ihcos^-ih 。

2 sin sin tan tan cos cos 180 180 180 180 360

c

c

c

c

c

i i i i i i + -+ -+ -^ ^ ^ ^ ^ ^ h h h h h h _。

比較下列各數的大小：a=sin5

c

, b=sin179

c

, c=sin370

c

。

1 已知P點的極坐標為P 4 2107 ,

c

A，求其直角坐標。

217

三、進階題

已知 sin3 i+4cosi=5，求 sin i 的值。

已知 i 為第二象限角， sin

13 5

i = ，求下列各值：

1 sin 180^

c

+ih 。 2cos 180^

c

-ih 。 3 tan^ h 。-i

設 cos^-130

c

h=k。

1 將 cos 50

c

的值以k表示。 2將 tan 50

c

的值以k表示。

如 右 圖 ， 在 鈍 角 三 角 形 ABC 中 ， 已 知 CD= BD ,

BC= ,a AC= ,b AB= c，選出正確的選項。

1 CD=asinB 2 CD=bsinA

3 AD=bcosA 4 c=acosB+bcosA。

若 i 為第三象限角，則 2

i

為第幾象限角？