1-2-4多項式函數-多項式不等式

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(1)2-4 多項式不等式【目標】能結合多項式方程式的根，辨識多項式函數圖形的特徵及函數值正﹑負的區間，以便處理多項式不等式及簡易的分式不等式。【說明】解高次多項式不等式的問題以已分解的不等式為主，從前面的解題經驗，我們已建立了在數線上標示分割點後，從右而左，在各區間內函數值正負的逐步變換的概念。如果某個一次式的因式是偶次方者，其左右區間內的正負號不變，依此原則即可求得不等式的解。【定義】 1. 多項式不等式：要討論由多項式的不等關係形成的不等式，只要討論形如 f ( x)  0, f ( x)  0, f ( x)  0, f ( x)  0 的不等式，其中 f ( x) 是實係數多項式。這樣的不等式就稱為多項式不等式，它的解可由多項式函數 y  f ( x) 的圖形與 x 軸的交點來判讀。註：每一個實係數多項式理論上都可以分解成實係數一次﹑二次多項式的乘積。一旦分解完成了，由此多項式所作成的多項式不等式便可以求解。 2. 二次不等式：實係數二次多項式 f ( x)  ax2  bx  c ，當 a  0 時，二次不等式 f ( x)  0 及 f ( x)  0 的解如下表： b  4ac  0, f ( x)  a( x   )( x   ) ，其中    2. b  4ac  0, f ( x)  a( x   ) 2. 2. b 2  4ac  0, f (x) 在實係數中不能分解. f ( x)  0. f ( x)  0. x  或x.  x. x 是任意實數 x 是任意實數. x  x 無解. 其中 b2  4ac  0 時，若不等式中不帶等號不帶等號，則解中亦不帶等號。 3. 一元 n 次不等式：設實係數多項式 f ( x)  a( x  1 )( x   2 )( x   n ) ，其中 a  0 ，且  n   n 1     2  1 都是實數，則 f (x) 的值在 x  1 ,  2  x  1 ,  3  x   2 ,,  n  x   n 1 , x   n 各段中從正開始，正負交替。 4. 解相同：設 a  0 且 b2  4ac  0，則 ax2  bx  c 的值恆正，故多項式不等式 f ( x)  0 的解與 (ax2  bx  c) f ( x)  0 的解相同。 5. 分式不等式：設 f ( x), g ( x) 是實係數多項式，其中 g (x) 不是零多項式，則 f ( x) (1) 不等式  0 的解與不等式 f ( x) g ( x)  0 的解相同。 g ( x) f ( x) (2) 不等式  0 的解與不等式 f ( x) g ( x)  0 的解相同。 g ( x). 49.

(2) 【注意】 1. 首項係數是否為正。 + +   2. 是否有恆正的項或者恆非負的項(利用判別式)。 x 3. 完全平方項。    4. 可能等於零的 x 值。 5. 分母不能為零，根號內大於或等於零。 6. 計算過程中不等式是否要變號。 7. 注意等號。【公式】 1. 二次函數恆正或恆負的判別：函數 f ( x)  ax 2  bx  c ，其中 a, b, c 為實數且 a  0 ， (1) a  0 且 b2  4ac  0 ，則開口向上且與 x 軸無交點，即 f (x) 恆正。 (2) a  0 且 b2  4ac  0 ，則開口向下且與 x 軸無交點，即 f (x) 恆負。 (3) a  0 且 b 2  4ac  0 ，則開口向上且與 x 軸交一點，即 f (x) 恆非負。 (4) a  0 且 b 2  4ac  0 ，則開口向下且與 x 軸交一點，即 f (x) 恆非正。 2. 一元三次不等式： (1) 設 a  0,     ，則 a( x   )(x   )(x   )  0 之解為   x   或 x 。 (2) 設 a  0,     ，則 a( x   )(x   )(x   )  0 之解為 x   或   x 。 3. 根式不等式：  f ( x)  0  f ( x)  0  (1) 或  g ( x)  0 。 f ( x)  g ( x)    g ( x)  0  2  f ( x)  ( g ( x)).  f ( x)  0  (2) 。 f ( x)  g ( x)   g ( x)  0  f ( x)  ( g ( x)) 2  4. 分式不等式：設 a  b ，則 xa (1)  0  ( x  a)( x  b)  0 且 x  b  a  x  b 。 xb xa (2)  0  ( x  a)( x  b)  0  a  x  b 。 xb 5. 絕對值不等式：設 f ( x) | x  a1 |  | x  a 2 |    | x  a n | ，其中 a1  a 2    a n 其圖形是由 n  1 條線段及兩射線連成的折線，而折點為 (a k , f (a k )), k  1,2, , n ， (1) 若 n 為奇數，則當 x  a n 1 時， f (x) 有最小值。 2. (2) 若 n 為偶數，則當 a n  x  a n 時， f (x) 有最小值。 2. 2. 1. 50.

(3) 【結論】 1. 若欲解的不等式帶等號，則不等式之解亦帶等號。 2. 若二次式 g ( x) 之值恆正，則不等式 f ( x) g ( x)  0 之解與 f ( x)  0 之解相同；若二次式 g ( x) 之值恆負，則 f ( x) g ( x)  0 之解與 f ( x)  0 之解相同。 3. 解分式不等式時，通常先將分式不等式轉化為具有相同解的多項式不等式後，再解之。. 51.

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