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本章介绍复数的定义、运算，复平面点集和扩充复平面，为后面复变函数的研究作准备.

1.1 复 数

1. 复数的概念 形如 z a ib  或 z a bi  的数称为复数，其中a 和 b 为实数，i 称为虚单位，即是满足i2   .全体复数的集合称为复1 数集，用表示. 对于复数z a ib  ，a 与 b 分别称为复数 z 的实部和虚部，记作 Re , Im . a z b z 当且仅当虚部b=0 时，z=a 是实数；当且仅当 a=b=0 时，z 就是实数 0；当虚部 b≠0 时，z 叫做虚数；当实部a=0 且虚部 b≠0 时，z=ib 称为纯虚数. 显然，实数集是复数集的真子集. 如果两个复数的实部和虚部分别相等，我们称这两个复数相等.这样，一个复数等于零， 当且仅当它的实部和虚部同时等于零.一般情况下，两个复数只能说相等或不相等，而不能比 较大小. 2. 复数的向量表示和复平面 根据复数相等的定义，我们知道，任何一个复数z a ib  ， 都可以由一个有序实数对(a,b)唯一确定；我们还知道，有序实 数对(a,b)与平面直角坐标系中的点是一一对应的.由此，可以建 立复数集与平面直角坐标系中的点集之间的一一对应. 如图1.1 所示，点 z 的横坐标是 a，纵坐标是 b，复数 z a ib  可用点 z(a,b)表示，这个建立了用直角坐标系表示的 复数的平面称为复平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴.显然， 实轴上的点表示实数；除了原点外，虚轴上的点表示纯虚数. 今后，我们说点z(a,b)，与复数 z a ib  表示同一意义. 图 1.1 复数 z=a+ib

当两个复数实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数.复数 z 的共轭 复数用

z

表示，即如果z a ib  ，则 z a ib  .当复数 z a ib  的虚部 b=0 时，有 z z ，即 是任一实数的共轭复数仍是它本身. 每一个平面向量都可以用一对有序实数来表示，而有序实数对与复数是一一对应的.这样 我们还可以用平面向量来表示实数.在复平面上，复数 z a ib  还可以用由原点引向点 z 的向 量Oz来表示，这种表示方式建立了复数集 与平面向量所成的集合的一一对应（实数0 与零 向量对应）.向量Oz的长度称为复数z 的模，记为 |z|或 r，因此有 2 2 ₀ r a b z    ≥ （1.1） 显然，Rez ≤ z≤Rez  Imz, Imz≤ z ≤Rez  Imz. 3. 复数的运算 设复数z₁ a ib z, ₂ c id ，则加法由下式定义： 1 2 ( ) ( ) z z  a c i b d （1.2） 容易看出，这样定义后，复数的加法就可以按照向量的平行四边形法则来进行，如图1.2 所示.规定复数的减法是加法的逆运算，即是把满足 (c id ) ( x iy ) a ib

的复数x+iy，称为复数 a+ib 减去复数 c+id 的差，记作(a+ib)-(c+id). 容易得到 x+iy=(a-c)+i(b-d). （1.3） 复数的乘法定义如下： 2 1 2 ( ) ( ) z z ac ibc iad i bd    ac bd i bc ad .（1.4） 由乘法的定义，容易得到_{z   .这样，当}2 _{z z} 2

0

z



时，除法作 为乘法的逆运算，可以定义为： 1 2 2 2 2 2 ( )( ) ( )( ) z a ib a ib c id ac bd bc ad i z c id c id c id c d c d               （1.5） 容易验证，加法和乘法满足结合律、交换律及乘法对加法的分配律.所以，全体复数在定 义上述运算后称为复数域.在复数域内，我们熟悉的一切代数恒等式仍然成立，例如 2 2 2 2 2 ( ) 2 , ( )( ) a b a ab b a b a b a b         等. 复数的模和共轭复数有以下性质，其证明留给读者. 图1.2 复数的加法

（1）Re 1( ), Im 1 ( ); 2 2 z z z z z z i     （2） (z w) z w zw z w, ; z z



w 0 ;



w w            （3） zw  z w; （4） z z ; w  w （5） z  z. 4. 复数的三角表示和复数的方根 考虑复平面的不为零的点 z x iy  .如图 1.3 所示，这个点有 极坐标( , ) :r x r cos , y r sin.显然r z,是正实轴与从原点 O 到 z 的射线的夹角，称为复数 z 的幅角，记为 argz  显然有tan y x   . 任一非零复数z 的幅角有无限多个值，这些值相差 2π 的整数倍. 通常把满足条件 π  π   ≤ （1.6） 的幅角 称为argz 的主值，记为 =argz，于是有



=argz=argz+2k

π

, k=0,±1,±2,…. （1.7） 利用极坐标表示，复数z 可以表示为 z=r(cos +isin ). （1.8） 式（1.8）称为复数的三角表示.再应用欧拉（Euler）公式ei _cos_isin_{ ，又可以将复数z} 表示成指数形式 ei z r  . （1.9） 例1.1 求 arg(-3-i4). 解： 由式（1.7）可知 arg(-3-i4)= arg(-3-i4)+2k

π

, k=0,±1,±2,…. 再由tan y x   ，点-3-i4 位于第三象限知， ( 4) 4

arg( 3 4) arctan π arctan π

( 3) 3

i 

     



所以有 4 arg( 3 4) arctan (2 1)π, 3 i k      k=0,±1,±2,… 例1.2 计算zeiπ. 解：因为eiπ cos πisin π  ，所以1 π ei   .1 例1.3 把复数 3 i 表示成三角形式和指数形式. 解： 3 1 2,cos 3. 2 r    因为与 3 i 对应的点在第一象限，所以arg( 3 ) π 6 i   . 于是 π π 3 2 cos sin 6 6 i  i    _  _  . 于是可得指数表示形式为 π / 6 3_{ i} 2ei _. 下面利用复数的三角表示，讨论复数乘法的几何意义.设复数 z1,z2分别写成三角形式 1 1 1 1 2 2 2 2 (cos sin ), (cos sin ). z r i z r i         根据复数的乘法法则及正弦、余弦的三角公式，有 1 2 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2

(cos sin ) (cos sin )

((cos cos sin sin ) (sin cos cos sin )) (cos( ) sin( )) z z r i r i r r i r r i                               上面我们得到的三角形式的公式，用指数形式表示出来，可得 1 2 (1 2) 1 2 1ei 2ei 1 2ei . z z r r  r r   （1.10） 由此得 1 2 1 2 r r 1 2 z z   z z , （1.11） 1 2 1 2

arg(z z ) arg z arg .z （1.12） 图1.4 说明了复数相乘的几何意义，两个复数相乘，积的模等于各 复数的模的积，积的幅角等于这两个复数的幅角的和.

注意：式（1.12）不能写成

arg(

z z

_{1 2}

) arg



z

₁



arg

z

₂，这是因为该式两边表示的都是幅 角的主值，而式（1.12）表示的是两个无穷的集合相等.

由式（1.11）和式（1.12）可得

1 1

1 2

1 2

2 2

,arg arg arg ,

z z z z z z z z    即是 1 1 1 2 2 2 2 ,arg arg . z z z z z  z z  （1.13） 由此可见，两个复数的商的模等于其模的商，商的幅角等于被除数的幅角与除数的幅角的差. 现在我们来讨论复数的乘方和开方问题.设复数

_{z r}

_

e

i_{，它的n 次幂可利用(1.10)由归纳} 得

( (cos sin )) (cos sin ) (cos sin ) e . n n n n n n in z r i r i r n i n r               （1.14） 从而有 |zn_|=|z|n_, 其中n 为正整数.当 r=1 时，得到棣莫拂（de Moivre）公式

(cos_{ i}sin ))_ n _cos_nisin_{n. （1.15）} 复数的n 次方根是复数 n 次乘幂的逆运算.下面我们介绍复数的 n 次方根的定义和求法. 设_{z r} ei_{是已知的复数，n 为正整数，则称满足方程} n _z   的所有复数为z 的 n 次方根，并且记为 n_z  . 我们用复数的指数表示来讨论复数的n 次方根.步骤是：先假定有 n 次方根，再找出这些根. 设_{ } ei_{，则根据复数z 的 n 次方根的定义和式（1.13），得} e e n n in _r i    , 记₀ arg z，则有 0 , 2 π, n _{r n k}      k=0,±1,±2,…. 解得 0 2 π , , n n_r k n      k=0,±1,±2,…, 其中n

r

是算术根，所以 0 2 π ( ) , k i n n n k z k ze      k=0,1,2,…,n-1 （1.16） 若记 0 0 i n_re n    ，则_k可表示为 2 π 0 , k i n k e   k=1,2,…,n-1. （1.17）

这就是说，复数的n 次方根是 n 个复数，这些方根的模都 等于这个复数的模的n 次算术根，它们的幅角分别等于这个复 数的幅角与2π 的 0,1,2,…,n-1 倍的和的 n 分之一.在复平面上， 这n 个根均匀分布在一个以原点为中心、n_{r 为半径的圆周上，} 它们是内接于该圆周的正n 边形的 n 个顶点，见图 1.5. 例1.4 求 1-i 的立方根. 解：因为 7π 4 1 i 2ei ，所以1-i 的立方根是 7π / 4 2 π 7π 8 π 6_2e 3 6_2e 12 _{, 0,1, 2.} k k i i k     即1-i 的立方根是 7 5 23 π π π 6_2e12 i_{, 2e}6 4 i_{, 2e}6 12 i_. 例1.5 计算 n 次单位根. 解：由于1 e i0，式（1.16）式给出如下这些根： 2π 4π 2( 1)π 1,e ,e , ,e . n i i i n n n   特别地，立方单位根是 1 1 1, ( 1 3), ( 1 3). 2  i 2  i 例1.6 已知i₁12.7 2 sin(314t30 ) A_， 2 11 2 sin(314 60 ) i  t  A_，求 1 2 i i  .i 解：II₁I₂ 12.7 30  A 11   60 A

12.7(cos30 isin 30 )A 11(cos 60 isin 60 )A

      =(16.5i3.18)A=16.8 10.9 A 所以，i₂ 16.8 2 sin(314t10.9 ) A_{，有效值I 16.8A.}

1.2 复平面点集

我们研究的许多对象（解析函数、保角变换等问题），首先遇到的是定义域和值域的问题， 这些都是复平面上的一种点集。在此，我们先介绍复平面上的点集. 1. 平面点集的几个概念 （1）邻域 0 0 ( , ) { : } D z   z z z  （1.18） 称为z0的 邻域，其中  ,0 图1.5 n 次单位根

0 0 0 ( , ) \ { } { : 0 } D z  z  z  z z  称为z0的去心邻域. （2）内点、开集 若点集 E 的点 z0有一个邻域D z( , )₀   ，则称 zE 0为E 的一个内点； 如果点集E 中的点全为内点，则称 E 为开集. （3）边界点、边界 如果点 z0的任意邻域内，既有属于E 中的点，又有不属于 E 中的点， 则称z0为E 的边界点；集合 E 所有边界点称为 E 的边界，记作



E

. （4）区域 如果集合 E 内的任何两点可以用包含在 E 内的一条折线连接起来，则称集合 E 为连通集. 连通的开集称为区域. 区域D 和它的边界



D

的并集称为闭区域，记为D . （5）有界区域 如果存在正数 M，使得对一切

z E



，有 M z ≤ , 则称E 为有界集.若区域 D 有界，则称为有界区域. （6）简单曲线、光滑曲线 设 x(t)和 y(t)是实变量 t 的两个实函数，它们在闭区间[ , ]  上连续，则由方程组 ( ) ( ) x x t y y t      或由复值函数 ( ) ( ) ( ) z t x t iy t 定义的集合 称为复平面上的一条曲线，上述方程称为曲线 的参数方程.点A z ( ) 和B z ( ) 分别称为曲线 的起点和 终点.如果当t t_{1 2}, [ , ],  t₁ 时，有t₂ z t( )₁ z t( )₂ ，称曲线 为 简单曲线，也称为约当（Jordan）曲线. z( ) z( ) 的简单曲线 称为简单闭曲线.例如圆周 cos , sin , [0, 2π] x r t y r t t 就是简单闭曲线. 如图 1.6 所示，用复数表示为 |z|=r. 我们容易证明圆|z|=r 将平面分为两个不相交的区域，由不等式|z|<r 和|z|>r 规定，这两个 区域以圆周为边界.这个结果是以下约当定理的特例. 定理1.1 一条闭简单曲线将平面分成两个不相交的区域，以曲线为公共边界. 这两个区域中，一个是有界的，称为 的内部；一个是无界的，称为 的外部. 如果曲线 在[ , ]  上有x t 和 ( )( ) y t 存在且连续，而且不同时为零，则称曲线 为光滑 曲线.由有限条光滑曲线连接而成的连续曲线，称为分段光滑的曲线. （7）单连通区域 设 D 为复平面上的区域，如果在 D 内的任意简单曲线的内部均属于 D，则称 D 为单连通区域，否则就称为多连通区域. 图1.6

2. 直线和半平面 设L 表示 中的直线，从初等解析几何知道，L 是由 L 上的一个点和一个方向向量决定 的.如果 a 是 L 上的任一点，b 是它的方向向量，那么 { : } L z a tb      .t 由于

b



0

，于是对于L 上的 z，有 Im z a 0 b   _{ }     , 事实上，如果z 满足等式 0 Im z a b     _{ }  , 那么 z a t b   蕴涵着z a tb  ,    .因此t : Im z a 0 L z b      _{  } _    . （1.19） 集合 : Im z a 0 z b    _{ }   _ _    （1.20） 和 : Im z a 0 z b    _{ }   _ _    （1.21） 的轨迹是什么呢？我们首先考虑简单的情形.注意到 b 是一个方向，我们可以假定|b|=1，a=0 的情形. 记 0 : Im 0 z H z b     _{  } _    . ei b ，如果_{z r} ei _{，则有z b r/  e}i(  )_{. 于是} 0 z H ，当且仅当sin(  ) 0 ，即    .π  所以，如果我们“按照b 的方向沿着 L 前进”，H0是位于L 的左边的半平面.如果我们令 : Im 0 , a z a H z b      _{  } _     那么容易看出，H_a  a H₀ {a w w H :  ₀}；即Ha是由半平面H0平移a 而得到的，因此， Ha是位于L 的左边的半平面.类似地， : Im 0 a z a K z b      _{  } _     是位于L 的右边的半平面。

1.3 扩充复平面及其球面表示

在复函数中，常常遇到这样一些函数，当自变量趋于一个给定点时，函数值趋向无穷。 为了研究这样的情形，有必要将复数系统加以扩充，引入一个数 .在微积分中，  不是一个 定值，它代表的是变量无限增大的符号；而在我们这里，把它作为一个定值.它的运算规定如 下： 设a 是异于 的一个复数，我们规定 （1）a  ，则 a       ；a （2）a ，则 a0        ；a （3） a  ，则a 0, a      ； （4）a ，则0 0 a   ； （5）   , 的实部、虚部、幅角都无意义； （6）为了避免和算术定律相矛盾，对 0 ,0 , , 0        不规定其意义. 在复平面上没有一点和



对应，但是我们可以设想平面上有一个理想点和它对应.这个理 想点称为无穷远点.复平面加上



，称为扩充复平面 ∞= ∪{∞}.为使   的规定合理， 我们规定扩充复平面上只有一个无穷远点.为使无穷远点的存在得到直观的解释，我们建立扩 充复平面 ∞的球面表示法. 如图1.7 所示，记 3_{中的单位球面为} 2 2 2 1 2 3 1 2 3 {( , , ) : 1} S x x x x x x  . 设N=(0,0,1)为 S 上的北极点，把 等同于 3_中的点集 1 2 1 2 {( , ,0) : ,x x x x  }，于是 沿赤道 切割S. 对于复平面 内任意一点z，用直线将 z 与北极点 N 相连接，此直线与球面 S 恰好交 于一点zN.若|z|>1，那么 Z 位于北半球面上；若|z|<1，Z 点位于南半球面上；若|z|=1，那么 Z=z.当|z|→∞时，Z 怎样变化呢？很显然，Z→N.因此，我们就把 N 与扩充复平面中的 等 同起来，这样，扩充复平面 ∞就与球面S 之间建立了一一对应的关系.这样的球面称为复球 面，它是扩充复平面的几何模型.

小结

本章的主要内容是复数的有关概念、复数的代数表示与向量表示、复数的代数形式的运 算、复数的三角形式的运算、复指数和开方、复平面点集、扩充复平面. 大多数内容是高中阶段学习过的，我们主要复习一下其中的主要性质.对于复指数和开方 运算，特别是开方运算，要重点掌握，因为与后面的幂函数和多值性直接相关. 复平面点集是多元微积分中平面点集的复数表示，可以与平面点集的内容相对照.扩充复 平面是一个新的概念，要求读者对其几何意义加深理解.

习题一

1. 用复数的代数形式 a+ib 表示下列复数 π / 4_;3 5 _{;(2 )(4 3 );}1 3 7 1 1 i i e i i i i i   _{  }   . 2. 求下列各复数的实部和虚部（z=x+iy） ( z a a z a  _  ); 3 3 3_; 1 3 _; 1 3 _{; .} 2 2 n i i z _   _{ }  _ i     3. 求下列复数的模和共轭复数 1 2 ; 3;(2 )(3 2 ); . 2 i i i i       4. 证明：当且仅当z z 时，z 才是实数. 5. 设 z,w_{∈ ，证明： z w} ≤ z  w . 6. 设 z,w∈ ，证明下列等式： 2 2 _{2 Rezw} 2_, z w  z   w 2 2 _{2 Rezw} 2_, z w  z   w 2 2 ₂₍ 2 2_). z w  z w  z w 并给出最后一个等式的几何解释. 7. 将下列复数表示为指数形式或三角形式 3 3 5 _{; ; 1; 8π(1 3 );} 2π 2π _. cos sin 7 1 9 9 i i i i i  _{  }  _       8. 计算：①i 的三次根；②1 的三次根；③ 3 3i的平方根. 9. 设 2π ein , 2 z n≥ . 证明： 1 1 z zn 0

10. 证明：若复数 z1,z2,z3满足等式 1 3 2 1 3 1 2 3 z z z z z z z z   _   , 则有 3 1 2 3 2 1 z z z z z z     . 并作出几何解释. 11. 设



是圆周{ :z z c r r}, 0,a c r  e .i 令 : Im z a 0 L z b   _  _   , 其中_bei_.求出L 在a 切于圆周 的关于的充分必要条件. 12. 指出下列各式中点 z 所确定的平面图形，并作出草图. （1）argzπ; （2） z1 z; （3）1  z i| 2; （4） RezIm ;z （5） Imz1且z 2.

第一章 自测训练题

一、选择题：（共 10 小题，每题 3 分，总分 30 分） 1. 当 1 1 i z i    时， 100 75 50 z z z 的值等于（ ）. A. i B. i C.

1

D. 1 2. 复数z  1 3i的辐角主值arg z 等于（ ）. A. 21π 3 B. 2 π 3 C. 4π 3 D. 5 π 3 3. 复数 sinπ cosπ 3 3 z  i 化为三角形式是（ ）. A. cos5π sin5π 6 i 6 B. 5π 5π sin cos 6 i 6

C. cosπ sinπ 3i 3 D. 5π 5π cos( ) sin( ) 6 i 6    4. 设复数

z

满足arg( 2) π,arg( 2) 5π 3 6 z  z  ，那么z （ ）. A.  1 3i B.  3 i C. 1 3 2 2 i   D. 3 1 2 2i   5. 设 z x yi  ,则Im( )iz  （ ）. A.

x

B. y C.



x

D. y 6. 使得_z2 _{ z}2_{成立的复数z 是（ ）.} A. 不存在的 B. 唯一的 C. 纯虚数 D. 实数 7. 方程 z 2 3i  2所代表的曲线是（ ）. A. 中心为 2 3i ，半径为 2 的圆周 B. 中心为 2 3i  ，半径为 2 的圆周 C. 中心为 2 3i  ，半径为 2 的圆周 D. 中心为 2 3i ，半径为 2 的圆周 8. 设D



z z i  ，则 D 为（1



）. A. 有界多连通域 B. 无界单连通域 C. 无界多连通区域 D. 有界单连通域 9. 设 z x yi  ，则 1 z  将圆周_x2 _y2 _{ 映射为（2 ）.} A. 通过 的直线0 B. 圆周 1 2   C. 圆周 2 2 D. 圆周| | 2  10. _ez_{把带形区域0 Im z2π映射成平面上的（ ）.} A. 上半复平面 B. 整个复平面 C. 割去负实轴及原点的复平面 D. 割去正实轴及原点的复平面 二、填空题：（共 5 小题，每题 3 分，共 15 分） 1. 设z(2 3 )( 2 i   ，则 arg z  _______________.i) 2. 设 5,arg( ) 3π 4 z  z i  ，则z _______________. 3. 不等式 z    所表示的区域是曲线_______________的内部.2 z 2 5 4. 方程 z 1 2i    所表示的曲线是连接点_______________和_______________z 2 i 的线段的垂直平分线.

5. 设 (1 )(2 )(3 ) (3 )(2 ) i i i z i i       ，则 z  _______________. 三、计算题：（共 5 小题，第 1 题 7 分，第 2~5 题均每题 8 分，共 39 分） 1. 试证：设 1 1 z z   是纯虚数，则必有 z  .1 2. 求z4 3 i 0的根. 3. 试利用(5i) (14 i)，证明：4 arctan1 arctan 1 π 5 2394. 4. 试用 sin和 cos表示 sin 6和 cos6.

5. 函数z2把下列曲线映射成平面上怎样的曲线？ （1）以原点为中心，2 为半径，在第一象限里的弧. （2）倾角 π 3   的直线. （3）双曲线 2 2 4 x y  .