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第 7 章向量代数与空间解析几何

在平面解析几何中，通过平面直角坐标系建立了平面上的点与二元有序实数对之间的一一对应关系，从而可以用代数的方法来研究几何问题，这为一元函数微积分学提供了直观的几何背景．空间解析几何也是按照类似的方法建立起来的，并为研究多元函数微积分学提供直观的几何背景．本章首先建立空间直角坐标系，然后介绍向量及向量的一些运算，并以向量为工具来讨论空间的平面和直线，进而介绍空间曲面和空间曲线的部分内容．

§7.1 空间直角坐标系

7.1.1 空间直角坐标系和空间点的坐标 过空间一定点 o，作三条相互垂直的数轴，它们都以点 o 为原点且一般具有相 同的长度单位．这三条轴分别称为 x 轴（横轴）、y 轴（纵轴）和 z 轴（竖轴），统 称为坐标轴．定点 o（有时使用大写字母O）称为坐标原点． 坐标轴的正向通常符合右手法则（如图 71 所示）：以右手握住 z 轴，当右手 的四个手指从 x 轴的正半轴以 2 p 角度转向 y 轴的正半轴时，大拇指所指方向就是 z 轴的正向．这样的三条坐标轴就组成了空间直角坐标系．在空间直角坐标系中，两条坐标轴确定的一个平面称为坐标面，分别称为xoy

平面、yoz 平面和 zox 平面．通常取xoy 平面位于水平位置， z 轴竖直向上．三个

坐标面将空间分为 8 个部分，每一部分称为卦限，含有 x 轴、y 轴与 z 轴正半轴的 那个卦限称为第Ｉ卦限，其他 7 个卦限的编号分别用 II、III、IV、V、VI、VII、 VIII 表示（如图 72 所示）．图 71 图 72 I II III IV V VI VII VIII x y z o x y z o

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高等数学（下册）在空间直角坐标系中，如何来表示空间中的点的坐标呢？设M 为空间一已知点，过M 作三个分别垂直于 x 轴、y 轴与 z 轴的平面，它们分别与 x 轴、y 轴、z 轴交于P 、Q、R 三点（如图 73 所示）．若P 、Q、R 在 x 轴、y 轴、 z 轴的坐 标依次为 x 、y 、z ，则由M 就唯一地确定了一个三元有序实数组 x y z , , ；反过来，已知一个三元有序实数组 x y z , , ，则可在 x 、y 、 z 轴上分别取坐标依次为 x 、y 、 z 的点P 、Q、R ，再过点P 、Q、R 分别作 x 轴、 y 轴、 z 轴的垂直平面，这 三个垂直平面的交点M 便是由三元有序实数组 x y z , , 所确定的唯一的点．这样就建立了空间点M 与三元有序实数组 x y z , , 之间的一一对应关系，我们把这组有序实数称为点M 的坐标，记为 ( , , ) M x y z ，并依次称 x 、 y 、 z 为点M 的横坐标、 纵坐标、竖坐标．特别地，原点的坐标为 (0,0,0) ， x 轴、 y 轴、 z 轴上的点的坐

标分别具有 ( ,0,0) x 、 (0, ,0) y 、 (0,0, ) z 的形式，xoy 平面、yoz 平面、zox 平面上的 点的坐标分别具有 ( , ,0) x y 、 (0, , ) y z 、 ( , 0, ) x z 的形式． 图 73 图 74 7.1.2 两点间的距离已知空间两点 M x y z 和 ₁( ,₁ ₁, ) ₁ M2(x y z ，如何求 2, 2, 2 ) M 1 和 M 之间的距离2 d 呢？过 M ₁和 M 各作三个分别垂直于三条坐标轴的平面，这六个平面围成一个以 2 1 2 M M 为对角线的长方体（如图 74 所示）．由于 D M NM 1 2 和 D M PN 1 均为直角三角形，因此 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 ₂ ₂ ₂ 2 1 2 1 2 1 ( 2 1) ( 2 1) ( 2 1 ) d M M M N NM M P PN NM x x y y z z x x y y z z = = + = + + = - + - + - = - + - + - ，所以 2 2 2 1 2 ( 2 1) ( 2 1) ( 2 1 ) d = M M = x -x + y -y + z - z ．（71）公式（71）称为坐标为 ( ,x y z 与 1 1, ) 1 (x y z 的空间两点间的距离公式． 2, 2, 2 ) 2 M g 1 M g 1 Q Q 2 2 P 1 P 1 R 2 R o z x y P Q R N o z x y P Q R M g

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第 7 章向量代数与空间解析几何 特别地，空间一点 ( , , ) M x y z 与原点 (0, 0, 0) O 的距离为 2 2 2 d= OM = x +y + z ．（72） 例 71 在 z 轴上找一点M ，使它与点 (1,1, 2) N 的距离为 3 2 ．解因为点M 在 z 轴上，故可设其坐标为 (0,0, ) z ，由公式（71），即得 2 2 2 2 2 (1 0) (1 0) (2 ) (3 2) 18 MN = - + - + -z = = ，即 2 4 12 0 z - z - = ，解得 1 2 2 6 z = - ， z = ．故所求点有两个，坐标分别为 (0,0, 2) - 和 (0, 0,6) ．例 72 证明：以 M ₁(4,3,1) 、 M ₂(1,1, 0) 、 M ₃(0, 2, 2) - 三点为顶点的三角形是一个等腰三角形．证因为 2 2 2 2 1 2 (1 4) (1 3) (0 1) 14 M M = - + - + - = ， 2 2 2 2 1 3 (0 4) ( 2 3) (2 1) 42 M M = - + - - + - = ， 2 2 2 2 2 3 (0 1) ( 2 1) (2 0) 14 M M = - + - - + - = ，所以 1 2 2 3 14 M M = M M = ．故 D M M M ₁ ₂ ₃为等腰三角形．习题 7.1 1．在空间直角坐标系中作出具有下列坐标的点： (2,3, 4) A ； (1, 2, 1) B - ； ( 2, 2, 2) C - ； (2, 2, 2) D - - ． 2．指出下列各点位置的特殊性： (2, 0, 0) A ； (0, 3,0) B - ； (0,0,1) C ； ( 5,0,3) D - ； (3,2,0) E ； (0,1,1) F ． 3．在平面直角坐标系和空间直角坐标系中，一切 x= （ a 为常数）的点构成 a 的图形分别是什么？ 4．求点 M (4, 3, 5) - 到各坐标轴的距离． 5．在 z 轴上求与点 ( 4,1,7) A - 和点 (3,5, 2) B - 等距离的点C ． 6．在 yoz 坐标面上，求与三个点 (3, 1, 2) A 、 (4, 2, 2) B - - 、 (0, 5, 1) C 等距离的点的坐标． 7．求证以 M 1 (4, 3, 1) 、 M 2 (7, 1, 2) 、 M 3 (5, 2, 3) 三点为顶点的三角形是一个等腰三角形．

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§7.2 向量的线性运算及向量的坐标

7.2.1 向量的概念在实际问题中，像质量、温度、体积等这样只有大小，没有方向的量，我们称之为数量或标量．此外如物体运动速度、加速度、力和力矩等这样不仅有大小，而且有方向的量，我们称之为向量或矢量．通常用有向线段来表示向量，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向． 以 A为始点、B 为终点的有向线段所表示的向量记为AB uuur ，也可用带箭头的小 写字母 a r 、 b r 、 c r 或黑体字母 a 、b、 c 等表示向量（如图 75 所示）．图 75 注 1：在手写向量时，一般使用上面带有箭头的形式，如 AB uuur 、 a r 、b r 、 c r 等．向量的大小叫做向量的模．向量uuur AB 、a 、a r 的模依次记为|uuur AB | 、| | a 、|a r | ．模

等于零的向量称为零向量，记作0（或 0

r

）；零向量的方向是任意的．模等于 1 的

向量称为单位向量，记作 e （或 e r ）．方向与 a 相同的单位向量称为向量 a 的单位

向量，记作 a ° ．方向相同（或相反） 的两个向量 a 和b称为是平行的，记作 a// b．方 向相同且模相等的两个向量 a 和b称为是相等的，记作 a= b ．显然，零向量与任何向量都是平行的．注意，这里所说的方向相同（或相反）是指向量的指向相同（或相反），甚至可能在同一条直线上．因此，经过平行移动后能够完全重合的向量也是相等的，我们称它们为同一个向量，这样的向量与起点无关，可以在空间自由平移，故称为自由向量．在数学上，我们只研究这种与起点无关的自由向量．注 2：我们通常使用i（或 i r ） 、 j （或 r j ）、k （或 k r ）分别表示与 x 轴正向、 y 轴正向、 z 轴正向方向相同的单位向量，它们都称为基本单位向量． 7.2.2 向量的加法 两向量 a 、b始于同一点，作以 a 、b为邻边的平行四边形，则由始点到对角 A B a b c

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第 7 章向量代数与空间解析几何 顶点的向量称为 a 与b之和，记作 a+ b（如图 76 所示），这种方法称为向量加法的平行四边形法则．由向量相等的意义及平行四边形的性质，如果将b平行移动，使其始点与 a 的 终点重合，则由 a 的始点到 b 的终点的向量也同样为 a+ b（如图 77 所示），这种方法称为向量加法的三角形法则．三角形法则还可以推广到求空间任意有限个向量的和：从第一个向量开始，依次把下一个向量的始点放在前一个向量的终点上，最后从第一个向量的始点到最末一个向量的终点的有向线段就是这些向量的和向量（如图 78 所示）．这种方法叫做向量加法的多边形法则．图 76 图 77 图 78 向量的加法具有下列性质： ① 交换律： a+b = b+ a （73） ② 结合律： (a+b)+ =c a+(b+ c ) （74） 与向量 a 有相等长度而方向相反的向量，叫做 a 的负向量，记作 -a ．向量 b 减 去向量 a 规定为向量 b 加上向量 a 的负向量-a ，即： ( ) + - - b a = b a ， 称 b- a为向量 b 与向量 a 之差（如图 79 所示）． 图 79 注 3：由平行四边形的性质， 若两向量 a 、b始点重合，我们也可以将向量 b- a 理解为以向量 a 的终点为始点，以向量 b 的终点为终点的向量．这就是向量减法的 三角形法则．特别地，当 b= a 时，有 ( ) + - - 0 a a = a a = ． 由三角形的性质，有 a b a + b a + b b a a + b + c + d a b c d a b - b a -a - b a

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高等数学（下册） |a+b| | |≤ a + | | b 及 |a-b| |≤ a|+ | | b ． 其中，当 a 与 b 同向或反向时等号成立． 7.2.3 数乘向量 向量 a 与实数 l 的乘积记作 la，我们规定如下：（1） la是一个向量且当 a = 时，0 l a = ； 0 （2）|la| |= l ||a ，即向量| la 的长度为|l a （这里||| | l 表示 l 的绝对值）| ；（3）若 l > 0， la 与 a 的方向相同；若 l < 0， la 与 a 的方向相反；若 l = 0， la 是零向量．数乘向量满足下列运算规律： ①结合律： l m( a)= m l( )a= (lm ) a （75） ②第一分配律： (l+m) a=la+ m a （76） ③第二分配律： (l a+b) =la+ l b （77）其中， l 、 m 为实数．这些规律证明较简单，从略． 显然，非零向量 a 的单位向量可写为 o | | = a a a ．向量的加法和数乘向量统称为向量的线性运算． 例 73 D ABC 中D 、E 是BC 边上的三等分点，如图 710 所示，设 AB = uuur a ， AC = uuur

b ．试用 a 、b表示uuur AD 和 uuur AE ．

图 710 解由向量减法的三角形法则，知 BC = - uuur b a ， 再由数乘向量，知 1 1 ( ) 3 3 BD= BC = - uuur uuur b a ， A B D E C a _b

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第 7 章向量代数与空间解析几何 1 1 ( ) 3 3 EC= BC = - uuur uuur b a ，从而 1 1 ( ) (2 ) 3 3 AD=AB+BD = + - = + uuur uuur uuur

a b a a b ，

1 1

( ) ( 2 )

3 3

AE=AC+CE=AC-EC - - = + uuur uuur uuur uuur uuur

= b b a a b ．定理 71 向量b平行于非零向量 a 的充分必要条件是：存在唯一实数 l ，使 l = b a ．证充分性．若存在唯一实数 l 使 b= la ，则b与 a 同向（当 l > 0时）或反向（当 l < 0时）或 b = 0 （当 l = 0时），因此必有 b a // ．必要性．若 b a // ，取 | | | | | | l = b a ，则有 | | | | | || | | | | | | | la =l a = b × a = b a ．

当b 与 a 同向时 l 取正值，当b 与 a 反向时 l 取负值，即有 b= la ；又若

l m = b a = a，则有 (l-m) a=la- m a = ， 0 从而|l m - ||a | 0 = ．因 | | 0 a ¹ ，故必有|l m - | 0 = ，即l= m．证毕． 7.2.4 向量的坐标在直角坐标系中，以坐标原点O为始点，向空间一点M 所引的向量 OM uuuur ，叫做点M 的向径，通常用 r 表示． 设向径 = OM r uuuur ，终点为 ( , , ) M x y z ．自点M 向 z 轴作垂线，垂足为R ，自点 M 向xoy 面作垂线，垂足为M ¢，再由M ¢分别向 x 轴、y 轴作垂线，垂足分别为P 、 Q．由图 711，利用向量的加法及向量相等的意义，

OMuuuur=OMuuuuur uuuuur¢+M M¢ =OMuuuuur uuur ¢ + OR ， OMuuuuur¢=OPuuur uuuur+PM¢ =OPuuur uuur + OQ ， 所以有

OMuuuur=OPuuur uuur uuur +OQ+ OR ， 又由定理 71 知

OP= x uuur

i ，OQuuur = y j， ORuuur = z k ， 故有

OM x y z

= = + +

uuuur

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高等数学（下册）图 711 显然，向径与其终点M 具有一一对应关系，即 r 与三元有序数组 x y z , , 之间 存在一一对应关系，因此向径 r 由有序数组 x y z , , 唯一确定，我们把这个有序数组叫做向径的坐标，并记作 ( ) = x, y, z r ．上式称为向径的坐标表示式．在这里特别强调，一个点与该点的向径有相同的坐标，记号 (x, y,z 既表示点 )

M ，又表示向量 OM uuuur ，因此，求点M 的坐标就是求向量 OM uuuur 的坐标．但要注意，

在几何中，点与向量是两个不同的概念，不可混淆，在看到记号 ( , , ) x y z 时，必须

从上下文去认清它究竟表示点还是表示向量，当 ( , , ) x y z 表示向量时，可对它进行

运算；当 ( , , ) x y z 表示点时，就不能对它进行运算．

利用向径的坐标表示式，我们容易得到空间中任意向量的坐标表示式．已知空间两点 M x y z 和 ₁( ,₁ ₁, ) ₁ M₂(x y z ，作以 ₂, ₂, ₂) M ₁为始点， M 为终点的向 ₂ 量 M M uuuuuur ₁ ₂（如图 712 所示），连接 OM uuuuur ₁、 OM uuuuur ₂．

图 712 1 1 1 1 ( ,1 1, 1 ) OM =x +y + z = x y z uuuuur i j k ， 2 2 2 2 ( 2, 2, 2 ) OM =x +y + z = x y z uuuuur i j k ，于是 1 2 2 1 M M =OM - OM uuuuuur uuuuur uuuuur

z x o y i j k R Q P ( , , ) M x y z ( , , 0) M x y ¢ r 1 M 2 M z x o y

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第 7 章向量代数与空间解析几何 2 2 2 1 1 1 (x y z ) (x y z ) = i+ j+ k - i+ j+ k 2 1 2 1 2 1 (x x) (y y) (z z ) = - i+ - j+ - k 2 1 2 1 2 1 (x x y, y z, z ) = - - - ．综上所述，向量的坐标等于它终点与始点的对应坐标之差．利用向量的坐标，可得向量在坐标轴上的投影及向量的线性运算．

设 a=(a a a_x, _y, _z) =a_xi+a_yj+ a _zk ， b=( ,b b b_x _y, _z) =b_xi+b_yj+ b _zk ， 则称 a 、 x a y 、 z

a 为向量 a 在 x 轴上、y 轴上、 z 轴上的投影，而称 a i 、 _x a j _y 、 a k 为向量 a 在 x _z 轴上、y 轴上、z 轴上的投影分向量．利用向量加法的交换律与结合律，以及数乘 向量的结合律与分配律，有 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) . x x y y z z x x y y z z x y z a b a b a b a b a b a b a a a l l l l + = + + + + + - = - + - + - + + ，， a b i j k a b i j k a i j k 即 (a_x b a_x, _y b a_y, _z b _z) + = + + + a b ， (a_x b a_x, _y b a_y, _z b _z) - = - - - a b ， ( a_x, a_y, a_z) la = l l l ．这里 l 为任意实数．

定理 71 指出，当向量 a ¹ 0 时，向量 b a // ，相当于 b= la ，坐标表示式为 ( ,b b b_x _y, _z)= l(a a a_x, _y, _z) ．这也相当于向量b与 a 的坐标成比例： y x z x y z b b b a =a = a ．例 74 将点 M 1 (0, 1, 3) - 和 M 2 (2, 3, 4) - 间的线段分为三等份，求分点的坐标．解设分点依次为 ( ,A xA yA,z 、 (A ) B xB,yB,z ．由于 B ) 1 1 2 1 1 2 4 7 ( 0, 1, 3) (2, 4, 7) , , 3 3 3 3 3 A A A x - y + z - =M A= M M = - =æ_ç - ö _÷ è ø uuuur uuuuuur ，因此 2 2 4 1 7 2 0 1 3 3 3 3 3 3 3 A A A x = + = ， y = - = ， z = - + = ．同理，由于 2 1 2 1 1 2 4 7 (2 , 3 , 4 ) (2, 4, 7) , , 3 3 3 3 3 B B B x y z BM M M æ ö - - - - = = = - =_ç - _÷ è ø uuuuur uuuuuur ，因此 2 4 4 5 7 5 2 3 4 3 3 3 3 3 3 B B B x = - = ， y = - = ， z = - + = - ．

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高等数学（下册）综上，分点坐标依次为 2 1 2 , , 3 3 3 A æ_ç ö _÷ è ø 、 4 5 5 , , 3 3 3 B æ_ç - ö _÷ è ø ．我们下面用向量的坐标来表示它的长度和方向．任给向量 a = (a a a _x, _y, _z) ，作向径 OM = uuuur a ，则 OMuuuur = (a a a _x, _y, _z) ，点M 的坐标为(a a a _x, _y, _z) ，因此 _| _| 2 2 2 x y z OM OM a a a = uuuur = = + + a ． 为了表示向量的方向，先引进两向量夹角的概念．设有两个非零向量 a 、b，

作向径 OAuuur=a， OB uuur = b ，规定不超过p的 Ð AOB （设 j = Ð AOB， 0 j ≤ ≤ ）称 p 为向量 a 与b的夹角（如图 713 所示），记作( , ) a b

Ù

或( , ) a b

Ù

．如果向量 a、 b中有一个是零向量，规定它们的夹角可以是 0 与p之间的任意值．特别地，若( , )a b

Ù

=90 ° ，则称向量 a 与向量b 互相垂直，记作 a^ b （或 ^ b a ）．显然，零向量与任何向量都互相垂直． 非零向量 a 与三条坐标轴正向的夹角a b g 、、 称为向量 a 的方向角 （如图 714

所示），方向角的余弦cosa、 cosb、 cosg 称为向量 a 的方向余弦．容易推得

cos a+cos b+cos g = 1． 显然，如果 a 是非零向量，则有

(cos , cos , cos ) a b g ° = a ． 这说明以 a 的三个方向余弦为坐标的向量是 a 的单位向量． 例 75 已知两点 M - ₁( 1, 2,3) 和 M 2 (0,3, 2) ，计算向量 M M 1 2 uuuuuur 的模、方向余弦 及单位向量． z x y o b a g a M o _a B A j b

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第 7 章向量代数与空间解析几何解由 M M =₁ ₂ (0 ( 1), 3 2, 2 3)- - - - =(1,1, 1) - uuuuuur 知：模为 2 2 2 1 2 1 1 ( 1) 3 M M = + + - = uuuuuur ，

方向余弦为 cos 1 cos 1 cos 1

3 3 3 a = ， b = ， g = - ，它的单位向量为 1 2 1 2 1 1 1 1 (1,1, 1) , , 3 3 3 3 M M M M æ ö = - =_ç - _÷ è ø uuuuuur uuuuuur ． 例 76 已知向量 a 的两个方向余弦为 cos 1 3 a = 、 cos 2 3 b = ，且| | 3 a = ，求向 量 a ． 解由向量的方向余弦的关系 2 2 2

cos a+cos b+cos g = 1解得

2 2 1 4 2

cos 1 cos cos 1

9 9 3 g = ± - a- b = ± - - = ± ， 则向量 a 的坐标为 1 | | cos 3 1 3 x a = a a= × = ， | | cos 3 2 2 3 y a = a b= × = ， 2 | | cos 3 2 3 z a =a g = ± × = ± ．于是所求向量为 2 2 + + a = i j k或 a = i+2j- 2 k．习题 7.2 1．在平行四边形ABCD内，设 AB = uuur a 、 AD = uuur b ，M 是该平行四边形对角线 的交点．试用 a 和b表示向量MA uuur 、MB uuur 、 MC uuuur 、MD uuuur ．

2．求起点为 A (1, 2,1) ，终点为 B -( 19, 18,1) - 的向量 uuur AB 与 1 2 AB - uuur 的坐标表达式. 3．求常数 l 使向量 a = ( , 1, 5) l 与向量 b = (2, 10, 50) 平行． 4．求点 M (1, 2, 1) 的向径 OM uuuur 与坐标轴之间的夹角． 5．已知向量 a=6i-4j+ 10 k ， b=3i+4j- 9 k ，试求：（1） a+ 2 b；（2）3a- 2 b．

6．已知两点 A (2, 2, 5) 和 (3, 0, 4) B ，求向量uuur AB 的模、方向余弦和方向角． 7．求向量 a=2m+3 n- p 在 x 轴上的投影和在 y 轴上的投影分向量．其中 2 3 = + + m i j k， n=2i+ - j 3 k ， p=3i-4 j+ k ． 8．一向量的终点为点 B -( 2, 1, - 4) ，它在 x 轴、y 轴和 z 轴上的投影依次为 3、 3 - 和 8，求这向量始点A的坐标．

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高等数学（下册） 9．已知向量a 的两个方向余弦为 cos 2 7 a = 、 cos 3 7 b = ，且a 与 z 轴的方向角 是钝角．求cosg ．

§7.3 向量的数量积和向量积

7.3.1 向量的数量积先引入一个例子．设一物体在常力F 作用下沿直线从 M ₁移动到 M ，即有位 ₂ 移 = M M ₁ ₂ uuuuuur S ，若力F 与位移S 的夹角为q （如图 715 所示），则由物理学知，力 F 所做的功为 | || | cos W = F S q ．图 715 在数学上加以抽象，我们有如下定义： 定义 71 设有向量 a 和b，称实数值|a b|| | cos ( , ) a b

Ù

为向量 a 与b 的数量积（也称点积或内积），记作 a b× ，即 | || | cos ( , ) ×

Ù

Ù

= ° Û a b a b cos ( , )a b

Ù

=0 Û a b = a b× cos ( , )a b

Ù

= 0 ．由于零向量与任意向量都垂直，因此，上述结论可叙述为：向量 a^ b的充要条件是 a b = × 0 ．向量的数量积满足下列运算规律： ①交换律： a b = b a × × （79） ②分配律： a b + c = a b + a c ×( ) × × （710） 1 M S M2 q F

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第 7 章向量代数与空间解析几何 ③关于数的结合律： l(a b× ) = (la b = a)× × (l b ) （711）其中 l 为实数．例 77 试用向量证明三角形的余弦定理． 证如图 716 所示，设在 D ABC 中， ÐBCA q= ， |BC| = ， |a CA| = ， b |AB| = ．要证 c 2 2 2 2 cos c =a +b - ab q ．事实上，记CBuuur=a， CAuuur=b， uuur AB = c ，则有

= - c a b，从而 2 | |c = × =c c (a-b a)( -b)=a a× + × -b b 2 a b × 2 2 | | | | 2 | || | cos ( , ) = a + b - a b a b

Ù

，由 | |a=a， | |b=b， | | c = c 及( , )a b

Ù

q= 即可得 2 2 2 2 cos c =a +b - ab q ．图 716 下面我们来推导向量的数量积的坐标表示式． 设 a =a_xi+a_yj+ a _zk ， b =b_xi+b_yj+ b _zk ，则 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x y z x y z x x y z y x y z z x y z x x x y x z y x y y y z z x z y z z a a a b b b a b b b a b b b a b b b a b a b a b + a b a b a b + a b a b a b . × = + + × + + = × + + × + + × + + = × × × × × × × × × + + a b i j k i j k i i j k j i j k k i j k i i + i j + i k j i + j j + j k k i + k j + k k 由于 i 、 j 、 k 是互相垂直的单位向量，故有 i i× = j j× =k k × = 1 ， = = = = = = 0 × × × × × × i j j i j k k j k i i k ，因而得 x x y y z z = a b + a b + a b × a b ．（712）上式表示：两个向量的数量积等于它们对应坐标两两乘积之和．于是，我们有结论：向量 a^ b的充要条件是 a b_{x x}+a b_y _y+ a b = _{z z} 0 ． 利用两个向量的数量积，可以求出它们夹角的余弦，即当 a 、b非零时， 2 2 2 2 2 2 cos ( , ) | || | x x y y z z x y z x y z a b a b a b a a a b b b + + × = = + + + +

Ù

_{a b} a b a b ．（713） 例 78 已知 D ABC 的三个顶点为 (1, 1,0) A - 、 ( 1,0, 1) B - - 、 (3, 4,1) C ．试证 B a C c b q A

(14)

高等数学（下册） ABC D 是直角三角形．证三角形三边所在向量为 ( 1 1, 0 ( 1), 1 0) ( 2,1, 1), (3 ( 1), 4 0,1 ( 1)) (4, 4, 2), (1 3, 1 4, 0 1) ( 2, 5, 1), AB BC CA = - - - = - - = - - - = = - - - - = - - - uuur uuur uuur 则有 ( 2) ( 2) 1 ( 5) ( 1) ( 1) 0 AB CA × = - ´ - + ´ - + - ´ - = uuur uuur ． 即 ABuuur^ CA uuur ，所以 D ABC 是直角三角形．

例 79 设向量 3 1 2 2 2 = + + a i j k ， 1 3 2 2 = - b i j．求以 a 、b 为邻边的平行四边形的两条对角线之间的不大于 2 p 的夹角的余弦． 解以 a 、b为邻边的平行四边形的两条对角线所在的向量为 3 1 1 3 2 2 2 2 2 2 2 3 1 1 3 2 2 2 2 2 2 2 æ ö æ ö = + =_ç + + _{÷ ç}+ - _÷= - + è ø è ø æ ö æ ö - _ç + + _{÷ ç}- - _÷= + + è ø è ø c a b i j k i j i j k d = a b = i j k i j i j k ，，它们之间不大于 2 p 的夹角q 的余弦为 2 2 2 2 2 2 2 1 ( 1) 2 2 2 | | 4 cos | || | ₂ _{( 1)} ₂ ₁ ₂ ₂ 9 q= × = ´ + - ´ + ´ = + - + × + + c d c d ． 7.3.2 向量的向量积前面我们讨论了向量的一种乘法运算，即数量积，数量积的运算结果是一个实数．但在物理和工程领域中往往还需要向量的另一种乘法运算，运算结果不是一个实数，而是一个新的向量，这就是数学上两向量的向量积． 定义 72 两向量 a 和b的向量积是一个向量 c ，记为 c=a b´ ． c 由下列条 件确定：（1）| | |c =a b´ | |= a b|| | sin ( , ) a b

Ù

；（2） c^ a且 c^ b； （3）a 、b、c 的方向服从右手法则：平移 a 、b、c 使其有共同的始点，当 右手的四个手指从 a 以不超过p的角度转向b握拳时，大拇指所指方向就是 c 的方 向．向量的向量积又称为向量的叉积（或外积），向量积的模的几何意义是：它的 数值是以 a 、b为邻边的平行四边形的面积．由向量积的定义可得

(15)

第 7 章向量代数与空间解析几何（1） a a = ´ 0 ； （2）若 a 、b为非零向量，则 a// b的充要条件是 a b = ´ 0 ；事实上，当| | 0 a ¹ ， | | 0 b ¹ 时， // Û( , )

Ù

= 0 a b a b 或 ( , ) = p a b

Ù

sin ( , ) 0 Û a b

Ù

= Û a b´ =0 Ûa b ´ = 0 ．由于零向量与任意向量都平行，因此，上述结论可叙述为：向量 a// b的充要条件是 a b = ´ 0 ．向量的向量积满足下列运算规律： ①反交换律： a b´ = - ´ b a （714） ②分配律： a´(b c+ ) = ´ + ´ a b a c ， (b+c) ´ = ´ + ´ a b a c a （715） ③关于数的结合律： (la)´b =l(a b = a´ ) ´ ( l b ) （716）其中 l 为实数．下面我们来推导向量的向量积的坐标表示式． 设 a =a_xi+a_yj+ a _zk ， b =b_xi+b_yj+ b _zk ，则 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) x y z x y z x x x y x z y x y y y z z x z y z z = a a a b b b = a b a b a b + a b a b a b + a b a b a b ´ + + ´ + + ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ( a b i j k i j k i i + i j + i k j i + j j + j k k i + k j + k k 由于i 、 j 、 k 是两两互相垂直的单位向量，故有 i i´ = j´j=k k ´ = 0 ， = ´ i j k ， j k´ = i ， k i´ = j ， j i´ = - k， k´j= - i， i k´ = - j，因而得 (a b_{y z} a b_z _y) (a b_{z x} a b_{x z}) (a b_x _y a b _z _x) ´ - + - + - a b = i j k ．为了便于记忆，可借用行列式表示法表示为 ( _x _y _z ) ( _x _y _z ) _x _y _z x y z a a a b b b a a a b b b ´ = + + ´ + + = i j k a b i j k i j k y z z x x y y z z x x y a a a a a a b b b b b b = i+ j+ k ．（717）例 710 设向量 a= +i 2 j- k ， b= 2 j + 3k ．计算 a b´ 及以 a 、b 为邻边的平行四边形的面积．解 1 2 1 2 1 1 1 1 2 8 3 2 2 3 3 0 0 2 0 2 3 - - ´ = - = + + = - i j k a b i j k i j + k ．根据向量积的模的几何意义， a b´ 的模在数值上就是以 a 、b 为邻边的平行

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高等数学（下册）四边形的面积．因而所求面积为 2 2 2 8 ( 3) 2 77 ´ = + - + = a b ．例 711 求单位向量 c ° ，使 c° ^ a， c° ^ b．其中 a= + i j， b= k ．解因为 c° ^ a， c° ^ b，故 c°// a b´ ，而 1 1 0 0 0 1 ´ = = - i j k a b i j ，故 1 ( ) 2 ´ ° = ± = ± - ´ a b c i j a b ．下面给出了空间三个向量共面的概念．如果三个向量在一个平面上，或经过平行移动后能放在一个平面上，则称此三个向量共面． 显然，要判断三个向量 a 、b、c 是否共面，只要看其中两个向量的向量积是否与第三个向量垂直．如果垂直，则三个向量共面，否则不共面，为此只需要计算 (a b c 的值． ´ ) × 一般地，我们称实数值 (a b c 为向量 a 、´ ) × b、c 的混和积． 由此可得出结论：向量 a 、b、c 共面的充要条件是 (a b c ´ )× = 0 ．例 712 向量 a= -2i+3 j+ k 、 b= - + j k 、 c= - - i j k 是否共面？解因为 2 3 1 4 2 2 0 1 1 ´ = - = + + - i j k a b i j k ，所以 (a b c =´ )× (4i + j + k2 2 ) (× i- -j k )=4 2 2- - = 0 ， 故 a 、b、 c 共面．结合公式（717）及三阶行列式的性质，我们有 ( ) x y z x y z x y z a a a b b b c c c ´ × = a b c ． 其中： a= a_xi+a_yj+ a _zk， b= b_xi+b_yj+ b _zk ， c= c_xi+c_yj+ c _zk．习题 7.3 1．已知 a = (1, 1, 2) 、 b = (2, 2, 1) ，求 a b× 、 a´ b及a与b 夹角的余弦． 2．证明下列结论：（1）向量 a = (1, 0,1) 与向量 b = - ( 1, 1, 1) 垂直；

(17)

第 7 章向量代数与空间解析几何 （2）向量 c 与向量 (a c b× ) -(b c a 垂直． × ) 3．求与向量 a=3i-2j+ 4 k 、 b= + - i j 2 k 都垂直的单位向量． 4．已知向量 a ¹ 0 ， b ¹ 0 ．证明： |a b´ |2=|a| |2 b|2-(a b × ) 2 . 5．已知向量 a=2i-3 j+ k， b= - + i j 3 k 和 c= - i 2 j，计算下列各式：（1） (a b c× ) -(a c b ； × ) （2） (a+b) (´ b c ； + ) （3） (a b c ； ´ ) × （4） a b c ´ ´ .

§7.4 平面及其方程

7.4.1 平面的点法式方程确定一个平面的条件很多，但在解析几何里最基本的条件是：平面经过一个定点且垂直于一个已知向量．以后我们将看到许多其他条件都可转化为这个基本条件．垂直于平面的任一非零向量称为该平面的法线向量，简称法向量．显然一个平面的法向量有无穷多个且它们相互平行．假设平面P 经过一定点 M₀( ,x y z 且其法线向量为 ₀ ₀, ₀) n = ( , , ) A B C ，下面来建立该平面的方程． 设点 ( , , ) M x y z 是平面P 上任一点（如图 717 所示），则向量 M M uuuuuur ₀ 必与平面的法线向量 n = ( , , ) A B C 垂直，于是 M M × 0 0 uuuuuur n = ，即 0 0 0 ( ) ( ) ( ) 0 A x-x +B y-y +C z-z = （718）这就是平面P 上任一点M 的坐标 ( , , ) x y z 所满足的方程． 图 717 反过来，如果 ( , , ) M x y z 不在平面P 上，那么向量 M M uuuuuur ₀ 与法线向量 n 必不垂 直，从而 M M ×₀ ¹ 0 uuuuuur n ，即不在平面P 上的点M 的坐标 ( , , ) x y z 不满足方程（718）． P n M 0 M z y x o

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高等数学（下册）由此可知，方程（718）要作为平面P 的方程必须满足两个条件：一是平面P 上任一点M 的坐标 ( , , ) x y z 都满足方程（718）；二是不在平面P 上的点的坐标都不满足方程（718）．由于方程（ 718 ）是由平面上一点 M0( ,x y z 及它的一个法线向量 0 0, 0 ) ( , , ) A B C = n 确定的，所以方程（718）叫做平面的点法式方程．由于平面的法线向量有无穷多个，如果我们取平面P 的另一个法线向量 n ， 1 方程（718）的形式会不会改变呢？其实，由 n n 知 // ₁ 1 =l =l( , , )A B C = (lA,lB,l C ) n n （ l ¹ 0），又由 M M × 0 1 0 uuuuuur n = 得 0 0 0 ( ) ( ) ( ) 0 A x x B y y C z z l - +l - +l - = ．（*）消去 l 后（*）式与方程（718）完全相同，这说明在求平面方程的点法式方程时，法向量可以在该平面所有法线向量中任意选取．例 713 求过三点 M 1 (2, 1, 4) - 、 M -2 ( 1,3, 2) - 、 M 3 (0, 2, 3) 的平面方程． 解先找该平面的法线向量 n ，由于向量 n 与向量 M M uuuuuur ₁ ₂、 M M uuuuuur ₁ ₃都垂直，而 1 2 ( 3, 4, 6) M M = - - uuuuuur 、 M M = -1 3 ( 2, 3, 1) - uuuuuur ，故可取所求平面的法线向量为 1 2 1 3 3 4 6 14 9 2 3 1 M M M M = ´ = - - = + - - - uuuuuur uuuuuur i j k n i j k，由式（718）得，所求平面方程为 14(x-2) 9(+ y+1) (- z -4)= ， 0 即 14x+9y- -z 15= 0 ． 7.4.2 平面的一般式方程从平面的点法式方程（718）可以得到 0 0 0 ( ) 0 Ax+By+Cz+ -Ax -By -Cz = ，令 D= -Ax₀-By₀- Cz ₀，则得 0 Ax+By+Cz+D = ．（719）这说明平面方程是关于x、、 y z 的一次方程．反过来，设A B、、 C 不同时为零，则形如（719）的关于x、、 y z 的一次方程都表示一个平面．事实上，任取满足（719）的一组实数 x y z ，有 0, 0, 0 0 0 0 0 Ax +By +Cz +D = ，将式（719）与上式相减，得 0 0 0 ( ) ( ) ( ) 0 A x-x +B y-y +C z-z = ．

(19)

第 7 章向量代数与空间解析几何这就是过点 M₀( ,x y z 且具有法线向量 ₀ ₀, ₀) n = ( , , ) A B C 的平面的点法式方程．这说明任一 x y z , , 的一次方程均表示一个平面．方程（719）称为平面的一般式方程， 向量 ( , , ) A B C 是该平面的一个法线向量． 例如，方程 2x+3y- +z 5= 0 表示一个平面，向量 (2,3, 1) - 是这个平面的一个法线向量．对于式（719），存在着以下几种特殊情况： ① 当 D = 0 时，有 Ax+By+Cz = 0 ，方程表示一个经过原点的平面．反之亦然． ② 当 A = 0 时，有 By+Cz+D = 0 ，法线向量 n = (0, , ) B C 垂直于 x 轴，方程 表示一个平行于 x 轴的平面；同样， Ax+Cz+D = 0 和 Ax+By+D = 0 分别表示平 行于 y 轴和 z 轴的平面．反之亦然． ③ 当 A=B = 0 时，有 Cz+D = 0 或 z D C = - ，法线向量 n = (0, 0, ) C 同时垂直 于 x 轴和 y 轴，方程表示一个平行于坐标面xoy 的平面；同样，方程 Ax+D = 0 和 0 By+D = 分别表示平行于坐标面 yoz 和zox的平面．反之亦然．例 714 求过点 M ₁(1, 1, 2) - 、 M - 2 ( 1, 0,3) 且平行于 z 轴的平面方程． 解法一因为平面平行于 z 轴，故可设平面方程为 0 Ax+By+D = ，因为 M 、 1 M 在平面上，所以有 2 0 0 A B D A D - + = ì í - + = î ，解得 A=D B， = 2 D ，故所求平面方程为 2 0 Dx+ Dy+D = ，约去D （ D ¹ 0 ，否则 A=B = ） 0 有 2 1 0 x+ y + = ． 解法二设所求平面的法线向量为 n ，则 n ^ M M uuuuuur ₁ ₂且 n^ k ，从而可取 1 2 2 1 1 2 0 0 1 M M ´ - = + uuuuuur i j k n = k = i j ，取定点 M ₁(1, 1, 2) - ，所以所求平面方程为 (x-1) 2(+ y+1) 0(+ z -2)= ， 0 即 2 1 0 x+ y + = ． 例 715 已知平面经过坐标轴上的 3 个定点 ( ,0,0) P a 、 (0, ,0) Q b 、 (0,0, ) R c ， 求此平面的方程（这里 a 、b 、 c 都不为零）．

(20)

高等数学（下册）解设所求平面方程为 0 Ax+By+Cz+D = ， 因为 ( ,0,0) P a 、 (0, ,0) Q b 、 (0,0, ) R c 三点都在该平面内，所以有 0 0 0 Aa D Bb D Cc D + = ì ï + = í ï ₊ ₌ î ， 解得 A D a = - ， B D b = - ， C D c = - ，将其代入方程 Ax+By+Cz+D = 0 并约去D （ D ¹ 0 ，否则 A=B=C = 0 ），便得所求平面方程为 1 x y z a+b+c = ．（720）方程（720）称为平面的截距式方程，其中a、、 b c 分别称为平面在x、、 y z 轴上的截距（如图 718 所示）．图 718 7.4.3 两平面的夹角两平面的法向量的夹角q （0≤ ≤ q 90° ）称为两平面的夹角．各取两平面的一个法线向量，它们之间的夹角若不是两平面之间的夹角，就是两平面之间夹角的补角，所以不论哪种情况，两平面的夹角余弦等于两个法线向量夹角余弦的绝对值．设平面 P 和 ₁ P 的夹角为q ，它们的方程分别为 ₂ 1 1 1 1 2 2 2 2 0 0 A x B y C z D A x B y C z D + + + = + + + = ，，则由 P 和 ₁ P 的法向量夹角的余弦公式，容易得出它们夹角余弦的计算公式为： ₂ 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 ₁ ₁ ₁ ₂ ₂ ₂ cos A A B B C C A B C A B C q == × = + + × ₊ ₊ ₊ ₊ n n n n ．利用定理 71 的结果及两向量垂直的充要条件，我们容易得到结论：（1）平面 P 和 ₁ P 平行的充要条件是 2 1 1 1 2 2 2 A B C A = B = C ； o z x y R P Q a b c