數學 C ( Ⅱ ) 第二章 2-2 二、 三階行列式與Cramer 公式

2-2

二、 三階行列式

與

Cramer 公式

2

2-2.1 三階行列式與三階行列式的值

1 求下列各行列式的值： (1) 2 3 4 2 1 3 5 6 5 (2) 1 0 2 3 4 1 2 1 3 − − 。 (1) 2 3 4 2 1 3 2 1 5 3 3 5 4 6 2 5 1 4 2 3 5 2 3 6 5 6 5 = × × + × × + × × − × × − × × − × × 10 45 48 20 30 36 17 = + + − − − = 。 (2) 1 0 2 3 4 1 2 1 3 − − 1 4 3 0 1 2 ( 2) ( 1) 3 2 4 ( 2) 3 0 3 1 1 ( 1) = × × + × × + − × − × − × × − − × × − × × − 2-2 三階行列式的計算與克拉瑪公式

4 求下列各行列式的值： (1) 1 5 7 2 5 4 3 4 2 (2) 1 1 2 1 1 1 1 3 2 − − − 。 (1) 1 5 7 2 5 4 1 5 2 5 4 3 7 4 2 7 5 3 4 4 1 2 2 5 3 4 2 = × × + × × + × × − × × − × × − × × 10 60 56 105 16 20 15 = + + − − − =− 。 (2) 1 1 2 1 1 1 1 3 2 − − − 1 ( 1) 2 1 1 1 ( 2) ( 3) 1 ( 2) ( 1) 1 1 ( 3) 1 2 1 1 = × − × + × × + − × − × − − × − × − × − × − × × 2 1 6 2 ( 3) 2 4 =− + + − − − − = 。 2-2 三階行列式的計算與克拉瑪公式 2

3

解方程式

1

2

1

2

4

0

2

4

7

x

x

x

−

=

−

。

1 2

1 2 4

14

4(

2) 8(

1) 4(

2) 7(

1) 16

2 4 7

x

x

x

x

x

x

x

x

x

−

=

+

− +

− −

− −

− −

−

14

4

8 8

8 4

8 7

7 16

1

x

x

x

x

x

x

x

=

+ − + − − + − + −

=− −

所以

− − = ⇒ =− 。

x

1 0

x

1

6

解方程式

1

1

1

2

3

0

1

3

x

x

−

= 。

1

1

1

2

3

0

1

3

x

x

−

=

9

x

2

x

( 3)

x

6

0

⇒ + −

− − −

− =

6

0

(

3)(

2)

0

x

x

x

x

⇒

+ − =

⇒

+

−

=

3

2

x

⇒ = − 或

。

2-2.2 三階行列式的運算規則

8 2-2 三階行列式的計算與克拉瑪公式

10 5 求下列各行列式的值： (1) 4 36 1 55 0 22 2 27 3 − − − (2) 1 5 8 2 11 4 3 10 25 − − 。 (1) 4 36 1 4 36 1 55 0 22 11 5 0 2 2 27 3 2 27 3 − − − = × − − − 4 4 1 11 9 5 0 2 2 3 3 − = × × − − 99 [0 16 ( 15) 0 60 ( 24)] = × + + − − − − − 99 ( 35) = × − 3465 = − 。 2-2 三階行列式的計算與克拉瑪公式

(2)

1

5

8

2 11

4

3 10

25

−

−

1

5

8

0

1

20

0

5

1

( 1) 0 0 0 0 ( 100)

−

=

−

−

= − + + − − − −

99

=

。

12 求下列各行列式的值： (1) 45 120 25 15 18 3 0 12 2 − − − (2) 1 3 7 2 14 15 4 15 2 − − 。 (1) 45 120 25 15 18 3 0 12 2 − − − 3 120 25 15 1 18 3 0 12 2 − = × − − 3 20 25 15 6 1 3 3 0 2 2 − = × × − − 90 (18 0 50 0 18 40) = × + + − − − 90 10 900 = × = 。 2-2 三階行列式的計算與克拉瑪公式 6

(2)

1

3

7

2 14

15

4

15

2

−

−

1

3

7

0

20

1

0

3

30

−

=

600

0

0

0

3 0

597

=

+ + − − − =

。

14 7 若三階行列式 5 a b c d e f g h i =− ， 8 a b p d e q g h r = ，求 a c p b d f q e g i r h + + + 之值。 a c p b a c b a p b d f q e d f e d q e g i r h g i h g r h + + = + + a b c a b p d e f d e q g h i g h r = − − ( 5) 8 3 = − − − = − 。 2-2 三階行列式的計算與克拉瑪公式

若行列式

1

2

3

3

a

x

b

y

c

z

= ，求

1

2

3

a

x

x

b

y

y

c z

z

+

+

+

之值。

1

1

1

2

2

2

3

3

3

a

x

x

a

x

x

x

b

y

y

b

y

y

y

c

z

z

c

z

z

z

+

+

=

+

+

1

2

0

3

a

x

b

y

= −

+ = − 。

16

2-2.3 三階行列式與克拉瑪公式

9 利用克拉瑪公式解三元一次聯立方程組 2 3 3 2 2 1 3 2 2 x y z x y z x y z − + = ⎧ ⎪ _{+ − =} ⎨ ⎪ + + = ⎩ 。

1

2

3

2

2

1

3

1

2

−

Δ =

−

= + + −

4 6 6 18

− − − − =

( 8) ( 1)

7

，

3

2

3

1

2

1

2

1

2

−

Δ =

−

= + + −

12 4 3 12

− − − − =

( 4) ( 3) 14

，

18 1 3 3 2 1 1 3 2 2 y Δ = − = + − +2 ( 9) 12 9− − − − = − ，12 ( 2) 14 1 2 3 2 2 1 3 1 2 z − Δ = = + − + − − − − = − ， 4 ( 6) 6 18 ( 8) 1 7 所以 14 2 7 x = = ， 14 2 7 y = − = − ， 7 1 7 z = − = − 。 2-2 三階行列式的計算與克拉瑪公式

利用克拉瑪公式解三元一次聯立方程組

2

2

2

3

2

2

x y

z

x y z

x

y

z

+ − = −

⎧

⎪ − + =

⎨

⎪ − + =

⎩

。

1

1

2

1

1

1

2 1 6 2 ( 3) 2

4

1

3

2

−

Δ =

−

= − + + − − − − =

−

，

2

1

2

2

1

1

4 2 12 4 6 4

4

2

3

2

−

−

Δ =

−

= + +

− − − =

−

，

20

1

2

2

1

2

1

4 ( 2) ( 4) ( 4) 2 ( 4)

4

1

2

2

−

−

Δ =

= + − + − − − − − − = ，

1

1

2

1

1

2

2

2 6 2 ( 6) 2

8

1

3

2

−

Δ =

−

= − + + − − − − =

−

，

所以

4

1

4

x

= = ，

4

1

4

y

= = ，

8

2

4

z

= = 。