3-3-2圓與球面方程式--圓與直線的關係

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(1)第三冊 3-2 圓與球面方程式-圓與直線的關係【性質】 1. 點與圓的關係：設圓 C 的圓心為 O ，半徑為 r ，則對平面上的動點 P ， (1)若 OP < r ⇔ 點 P 在圓 C 內。 (2)若 OP = r ⇔ 點 P 在圓 C 上。 2.. (3)若 OP > r ⇔ 點 P 在圓 C 外。直線與圓的關係： (方法一) 設圓 C : ( x − x0 ) 2 + ( y − y0 ) 2 = r 2 的圓心為 O( x0 , y0 ) ，半徑為 r ，直線 | ax0 + by0 + c | 。 L : ax + by + c = 0 ，圓心 O 到直線 L 的距離 d (O, L) = a2 + b2 (1)當 d (O, L) < r 時，直線 L 與圓 C 相交於兩點，稱直線 L 與圓 C 相割。 (2)當 d (O, L) = r 時，直線 L 與圓 C 恰交於一點，稱直線 L 與圓 C 相切。直線 L 稱為圓 C 的切線，圓心對直線 L 的投影點 T 稱為切點。 (3)當 d (O, L) > r 時，直線 L 與圓 C 沒有交點，稱直線 L 與圓 C 相離。 (方法二) 設圓的方程式 C : x 2 + y 2 + dx + ey + f = 0 ，直線 L : ax + by + c = 0 ，. ⎧ x 2 + y 2 + dx + ey + f = 0 ，先消去變數 y ，解聯立方程式 ⎨ ⎩ax + by + c = 0 可得 Ax 2 + Bx + C = 0 之形式，判別式為 ∆ = B 2 − 4 AC ，則 (1)若 ∆ > 0 ，則方程組有兩相異解，即圓與直線交於兩點。 (2)若 ∆ = 0 ，則方程組恰有一解，即圓與直線交於一點。 (3)若 ∆ < 0 ，則方程組無解，即圓與直線不相交。【問題】 1. 試問圓外一點到圓上一點的最大距離與最小距離各為何？此兩點各產生於何處？ 2. 兩個圓之間可能的關係為何？試分成內離、內切、相交兩點、外切、外離等情形分別討論此兩圓半徑之間的關係。解：設兩圓圓心分別為 O1 ,O2 ，半徑分別為 r1 ,r2 ，且連心線長 O1O2 = d ，則 (1)兩圓內離： d <| r1 − r2 | 。 (2)兩圓內切： d =| r1 − r2 | 。 (3)兩圓相交兩點： | r1 − r2 |< d < r1 + r2 。 (4)兩圓外切： d = r1 + r2 。 (5)兩圓外離： d > r1 + r2 。【定義】 1. 圓的割線：當直線與圓相交於兩點時，這樣的直線稱為圓的割線。 2. 圓的切線：平面上與圓恰有一個交點的直線稱為圓的切線，該點稱為切點。.

(2) 【定理】 1. 截弦長：. O d. r B. A. 設直線 L 與圓 C 交於 A, B 兩點，圓 C 圓心 O ，半徑 r ，圓心到直線 AB 距離為 d ，則截弦長 AB = 2 r 2 − d 2 。【討論】 1. 過定點的切線：平面上一圓 C 及一定點 P ，則 (1)當 P 在圓 C 內，過 P 沒有切線。 (2)當 P 在圓 C 上，過 P 恰有一切線。 (3)當 P 在圓 C 外，過 P 有兩條切線。 2. 求圓的切線之類型： (1)過圓上一點求切線(恰一條)。 (2)已知切線斜率求切線(有兩條)。 (3)過圓外一點求切線(有兩條)。【方法】設圓心為 O( x0 , y0 ) ，半徑為 r 的圓方程式 C : ( x − x0 ) 2 + ( y − y0 ) 2 = r 2 ，則 1.. 過已知切點 T ( x1 , y1 ) 求切線 L ：. T ( x1 , y1 ) P ( x, y ) O( x0 , y 0 ). (方法一)(垂直性質) 設切線上一點為 P( x, y )，利用 mOT × mPT = −1，得切線 L :. y0 − y1 y − y1 × = −1， x0 − x1 x − x1. 即 L : ( x1 − x0 )( x1 − x) + ( y1 − y0 )( y1 − y ) = 0 。 (方法二)(內積). v v v v. 利用 O T ⊥ P T ，得 O T ⋅ P T = 0 ，即 ( x1 − x0 , y1 − y0 )( x1 − x, y1 − y ) = 0 ，得切線 L : ( x1 − x0 )( x1 − x) + ( y1 − y0 )( y1 − y ) = 0 。 (方法三)(隱微分) 2( x − x 0 ) x − x0 dy ，利用隱微分得 2( x − x0 )dx + 2( y − y0 )dy = 0 ，即 =− =− dx 2( y − y 0 ) y − y0. 1.

(3) 切線斜率為. dy dx. =− x = x1. x1 − x0 x −x ，故切線為 y − y 0 = − 1 0 ( x − x0 ) ， y1 − y0 y1 − y0. 即切線 L : ( x1 − x0 )( x − x0 ) + ( y1 − y 0 )( y − y0 ) = 0 。註：想一想與前面所求切線是否相同。 (方法四)(一代、一不代公式) d e d 2 + e2 − 4 f ，圓 C : x 2 + y 2 + dx + ey + f = 0 配方得 ( x + ) 2 + ( y + ) 2 = 2 2 4 d e 圓心為 O(− ,− ) ， T ( x1 , y1 ) 為切點， 2 2 設 P ( x, y ) 為切線上任一點，. v v vv. 2.. 則 T P ⊥ OT ⇒ T P ⋅ OT = 0 d e ⇔ ( x − x1 , y − y1 ) ⋅ ( x1 + , y1 + ) = 0 2 2 d e ⇔ ( x − x1 )( x1 + ) + ( y − y1 )( y1 + ) = 0 2 2 d e 2 2 ⇔ x1 x + y1 y + ( x − x1 ) + ( y − y1 ) − ( x1 + y1 ) = 0 2 2 2 2 又 T ( x1 , y1 ) ∈ C ⇒ x1 + y1 + dx1 + ey1 + f = 0 ， x + x1 y + y1 兩式相加得 x1 x + y1 y + d ( ) + e( )+ f = 0， 2 2 x + x1 y + y1 故以 T 為切點的切線方程式為 x1 x + y1 y + d ( ) + e( )+ f = 0。 2 2 已知切線斜率 m 求切線 L ： L : y = mx + b. O( x0 , y 0 ). (方法一)(距離法) ⎧C : ( x − x0 ) 2 + ( y − y0 ) 2 = r 2 解⎨ ， ⎩ L : y = mx + b 利用圓心 O( x0 , y0 ) 到切線 L 距離. | mx0 + b − y0 | m2 +1. (方法二)(判別式) ⎧C : ( x − x0 ) 2 + ( y − y0 ) 2 = r 2 ，解⎨ L : y = mx + b ⎩ 先消去變數 y ，可得 Ax 2 + Bx + C = 0 之形式，利用判別式 ∆ = B 2 − 4 AC 為零，解 b 。 2. = r ，解 b 。.

(4) (方法三)(垂直性質) 設切點為 T ( x1 , y1 ) ， 1 利用 mKT = − 且 (x1 − x0 ) 2 + ( y1 − y0 ) 2 = r 2 ，解切點 T ( x1 , y1 ) 。 m (方法四)(公式法) 圓 C : ( x − x0 ) 2 + ( y − y 0 ) 2 = r 2 中斜率為 m 之切線為 ( y − y 0 ) = m ( x − x0 ) ± r 1 + m 2 。. 3.. 過圓外一點 P( x1 , y1 ) 求切線：. P ( x1 , y1 ) O( x0 , y 0 ). (距離法) 設切線 L : y − y1 = m( x − x1 ) ，利用圓心 O( x0 , y0 ) 到切線的距離. | m( x0 − x1 ) − ( y0 − y1 ) |. 等於半徑 r 解 m 。 m2 +1 註：過圓外一點求切線，必有兩條切線，所以 m 若只求得一組解，表示另外一條切線斜率不存在，即為鉛直線。【公式】 1. 一代、一不代公式： (1)設圓 C : ( x − x0 ) 2 + ( y − y0 ) 2 = r 2 ，過已知切點 T ( x1 , y1 ) 的切線為 ( x1 − x0 )( x1 − x) + ( y1 − y0 )( y1 − y ) = 0 ⇒ ( x1 − x0 )( x1 − x0 + x0 − x) + ( y1 − y0 )( y1 − y0 + y0 − y ) = 0 ⇒ ( x1 − x0 ) 2 + ( x1 − x0 )( x0 − x ) + ( y1 − y0 ) 2 + ( y1 − y0 )( y0 − y ) = 0 ⇒ r 2 + ( x1 − x0 )( x0 − x ) + ( y1 − y0 )( y0 − y ) = 0 ⇒ ( x1 − x0 )( x − x0 ) + ( y1 − y0 )( y − y0 ) = r 2. (2)設圓 C : x 2 + y 2 + dx + ey + f = 0 ，切線為 x + x1 y + y1 x1 x + y1 y + d ( ) + e( )+ f =0。 2 2 2. 已知切線斜率 m 的切線為 ( y − y 0 ) = m( x − x0 ) ± r 1 + m 2 。【問題】 1. 對圓而言用切點個數定義切線固然合適，不過對於其它函數圖形就不一定正確了。對於一般的曲線來說，要如何定義切線才合適呢？註：一般圖形的切線定義如下：切線：設 L 為曲線 Γ 的一條割線， L 與曲線 Γ 交於 P, Q 兩點，今固定 P 點而讓另一個交點 Q 點沿著曲線逐漸趨近於 P 點，當 Q 點與 P 點非常接近時，若割線 L 最後的位置為直線 L0 ，我們就稱 L0 為曲線 Γ 的切線， P 點稱為切點。. 3.

(5) 【性質】 1. 圓的切線性質： (1)圓的切線中，除了切點 P 點之外，其餘的點都在圓的外部。 (2)圓心與切點的連線必垂直於切線。【公式】 1. 過圓外一點求切線段長：. O(−. P ( x1 , y1 ). d e ,− ) 2 2. 設 P( x1, y1 ) 為圓 C 外一點， (1)若圓 C : ( x − x0 ) 2 + ( y − y0 ) 2 = r 2 ，則過點 P 的切線段長為 ( x1 − x0 ) 2 + ( y1 − y0 ) 2 − r 2 。 (2)若圓 C : x 2 + y 2 + dx + ey + f = 0 ，則過點 P 的切線段長為 x1 + y1 + dx1 + ey1 + f 。註：利用商高定理即可證明，注意圓的平方項係數要為 1時才能代此公式。兩圓外公切線段長： 2. 2.. 2. O1 O2 r2. r1. 設兩圓圓心分別為 O1 , O2 ，半徑分別為 r1 , r2 ， 2. 3.. 則外公切線段長為 O1O2 − ( r1 − r2 ) 2 。兩圓內公切線段長：. r1 O2. O1 r2. 設兩圓圓心分別為 O1 , O2 ，半徑分別為 r1 , r2 ， 2. 則內公切線段長為 O1O2 − (r1 + r2 ) 2 。. 4.

(6) 4.. 切點弦公式：過圓 C : x 2 + y 2 + dx + ey + f = 0 外一點 P( x0 , y0 ) 作兩條切線，得切點 A, B ， x + x0 y + y0 則直線 AB 之方程式為 x0 x + y0 y + d ( ) + e( ) + f = 0。 2 2. A P( x0 , y 0 ) O(−. d e ,− ) 2 2. B 證明：設 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ，則以點 A, B 為切點的切線分別為 x + x2 y + y2 x + x1 y + y1 ) + e( ) + f = 0， x1 x + y1 y + d ( ) + e( ) + f = 0， x2 x + y2 y + d ( 2 2 2 2 又切線過 P( x0 , y0 ) ，故 x +x y +y x +x y +y x1x0 + y1 y0 + d( 0 1 ) + e( 0 1 ) + f = 0，x2 x0 + y2 y0 + d( 0 2 ) + e( 0 2 ) + f = 0 ， 2 2 2 2 x + x0 y + y0 表直線 x0 x + y0 y + d ( ) + e( ) + f = 0 過 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 兩點， 2 2 x + x0 y + y0 即直線 AB 之方程式為 x0 x + y0 y + d ( ) + e( ) + f = 0。 2 2 【問題】 1. 如何求出相異兩圓的外公切線長、內公切線長，外公切線方程式、內公切線方程式，外公切線交點、內公切線交點？提示：利用分點公式。【定義】 1. 圓系：若設圓 C1 : x 2 + y 2 + d1 x + e1 y + f 1 = 0. 2.. 與圓 C 2 : x 2 + y 2 + d 2 x + e2 y + f 2 = 0 ，則過兩圓交點之所有圓方程式可設為 m( x 2 + y 2 + d1 x + e1 y + f 1 ) + n( x 2 + y 2 + d 2 x + e2 y + f 2 ) = 0, m 2 + n 2 ≠ 0 。註：若設圓 C1 : x 2 + y 2 + d1 x + e1 y + f 1 = 0 與圓 C 2 : x 2 + y 2 + d 2 x + e2 y + f 2 = 0 ，則 (d1 − d 2 ) x + (e1 − e2 ) y + ( f1 − f 2 ) = 0 稱為圓 C1 與 C2 的根軸。過圓與直線交點的圓：設通過圓 C : x 2 + y 2 + dx + ey + f = 0 與直線 L : ax + by + c = 0 之交點之所有圓方程式可設為： ( x 2 + y 2 + dx + ey + f ) + k (ax + by + c) = 0, k ∈ R 。 5.

(7) 【性質】 1. 圓冪性質：圓外一點 P 作任一割線與圓的交點為 A, B ，則 PA× PB 等於過 P 的切線段長的平方。. 6.

(8)