國小五年級數學擬題教學之行動研究-以時間的乘除計算為例-

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國立臺中教育大學數學教育學系

國小教師在職進修教學碩士班碩士論文

指導教授：許天維教授

國小五年級

國小五年級數學

數學

數學擬題教學

數學

擬題教學

擬題教學之

擬題教學

之行動

之

行動

行動研究

研究

－

－以時間的乘除計算為例

以時間的乘除計算為例

以時間的乘除計算為例－

－

研究生：陳薇雅撰

中華民國九十九年六月

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摘

要

本研究主要是透過實務的行動，瞭解擬題活動在國小五年級實際教室的教學情況。其研究目的有四：1.設計並實施擬題教學流程；2.分析學生擬題作品中的類型；3.學生擬題過程迷思概念呈現的情形；4.擬題教學中教師所獲得的成長。擬題教學流程依序為「共同擬題」、「合作擬題」和「個人擬題」三個階段，擬題教學的方式是以「擬題活動」、「討論辯證」、「解題活動」交錯循環進行。擬題類型是採取梁淑坤教授所編製的擬題教材中，將擬題類型分為六大類，研究者採用「題目類」、「算式類」、「圖表類」這三種類型。在研究期間，研究者透過觀察、訪談、文件收集、教師省思、學生的數學日記和最後調查學生在擬題活動課程方面的接受度所施測的問卷等研究資料。研究結果發現如下: 一、在數學擬題教學策略之設計方面，教師不僅在設計教案或教學時需由教師本位的心態轉為學生本位為考量，也要掌握重點提問的介入時機，引導擬題活動討論的氣氛和協助學生擬題能力的成長。二、擬題教學流程適用於數學教學，大部份學生能擬出可行的題目。多數學生擬題時會改變題目的數字及內容事物，但改變題目結構者較少，需要多給予鼓勵與肯定。三、透過合作擬題，可以提供討論的機會促進小組的學習，而個別擬題的優點則是能激發學童的創意。學生可藉由共同評鑑與討論的時機，發現自己的迷思概念，進行修正。四、透過一系列的文件蒐集與最後的問卷調查，學童反映出在擬題活動教學中增加了學習數學的興趣和學習的動機。關鍵字: 擬題、共同擬題、合作擬題

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Abstract

The main purpose of this study is to understand how problem-posing applies to the real classroom teaching. There are four research objectives：1) Design and implement

problem-posing instruction on decimals. 2) Analyze the type of problems posed by children. 3) Display categories of misconceptions exhibited when children did problem posing. 4) Present what the teacher has learned and rewarded from the whole research process. The

problem-posing teaching method were in three phases : 1)posing problem collectively; 2) posing problem in small group；3) posing problem individually. The stages for instructions incorporate problem-posing activities, discussion and debate, problem-solving activities. In this study, the type of problem posing chosen for instruction are “ similar problem”, “equational problem”, and “diagramming problem ” which is adapted from Shuk-kwan S. Leung, Ph.D.

During this research period, the researcher used a variety of ways to collect data, such as observing, interviewing, self-introspecting, asking students to keep diaries, and final

questionnaire of affective domain. Conclusion of research is as follows:

1. When designing of the problem posing strategy, the teacher not only has to change the mind from a teacher-oriented one to a more student-oriented set, but also control the timing of introducing the critical questions related to the main points.

2. The implementation of fifth grade problem-posing instruction on decimals is feasible. Most students’ contain of problem-posing is sufficient information. They could change the number and content of the question but few revised the structure of the question.

3. The cooperative problem-posing is to create a team learning environment, and the advantage of individual problem-posing is to stimulate individual creative thinking. Students can detect and correct the misconceptions in class discussions.

4. According to the final questionnaire, the integration of problem-posing instruction has increased students’ interests and motivation in studying mathematics.

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誌

謝

論文的完成代表研究所生涯即將劃下休止符，心中難掩喜悅之情，透過進修，開啟處於教育第一線的我對數學教育之路的視野與遠見，使我獲益良多。今日敝人能順利完成論文，完全得歸功於許多師長、朋友與家人的支持與鼓勵。首先感謝指導教授許天維博士，於寫作期間的悉心指導，覺得自己何其榮幸，能遇到這麼和藹可親又博學多聞的長者，給予研究者一個寬廣的學習環境，使之能一圓碩士之夢；再者感謝胡豐榮教授，於課堂上引領學生研究方向，指正研究者論文中之缺失，作為論文修改的最佳參考。最後感謝陳進春校長，能百忙抽空，於口試期間提出寶貴建議與斧正，使整篇論文詞理達意與周延。此外，感謝服務學校的同事與一路走來總是並肩作戰的戰友─新珍同學，感謝你們的情意相挺，讓我更具勇氣與信心邁向前途。最後，感謝男友盈璋和我最摯愛的家人，因為你們的支持與包容，我才能順利地完成學業與論文，期許自己在未來教學專業上，能更加精進與成長。在此，謹以此份論文獻給所有幫助與協助我的朋友們，願與您們一同分享這份成果與喜悅。陳薇雅謹誌 2010.6

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目

次

中文摘要

中文摘要………I

英文摘要

英文摘要 ………II

誌

誌謝

謝

…

………III

………IV

表次

………VI

圖次

………VI

第一

第一章

章

緒論

第一節研究動機 ………1 第二節研究目的 ………4 第三節待答問題 ………5 第四節名詞界定 ………5

第二

第二章

章

文獻探討

第一節探討擬題的意義與內涵………7 第二節擬題的實徵研究 ………13 第三節時間學習概念之探討 ………19 第四節時間教材內容分析及學生學習的迷思概念.………22

第三

第三章

章

研究設計

第一節研究架構 ………26 第二節研究流程 ………28 第三節研究對象 ………29 第四節研究教材 ………29

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第五節資料蒐集與整理 ………33

第四

第四章

章

研究結果與討論

第一節擬題教學活動在五年級數學課室的實施歷程………36 第二節國小五年級學生時間的乘除計算擬題類型與內容…………40 第三節擬題教學中時間的乘除計算迷思概念呈現的情形…………59 第四節擬題教學過程中教與學的成長………62

第五

第五章

章

結論與建議

第一節結論………73 第二節建議………76

參考文獻

一、中文部分………78 二、英文部分………81

附錄

附錄一擬題教學活動設計 ………85 附錄二擬題活動單 ………94 附錄三訪談大綱 ………100 附錄四數學擬題的回饋問卷 ………101 附錄五教學札記舉隅 ………102

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表

次

表 1-4-1 擬題作品分類表（梁淑坤，1999：204）………6 表 2-1-1 各種擬題類型分析對照表 ………11 表 2-4-1 九年一貫正式綱要時間概念能力指標對照表 ………22 表 2-4-2 南一版時間概念教材分析 ………23 表 3-4-1 擬題類型與擬題素材對照表 ………30 表 4-1-1 擬題教學實施流程圖 ………37 表 4-2-1 擬題作品細分類型分析表……… 41 表 4-2-2 個人擬題分類結果 ………41 表 4-2-3 小組擬題作品分類結果 ………45 表 4-4-1 學生的「擬題教學回饋問卷」人數（百分比）統計表 ………66

圖

次

圖 3-1-1 本研究之研究架構 ………27 圖 3-2-1 本研究之研究流程 ………28

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第一章

緒論

第一節研究動機

在資訊超載、變遷快速的時代，大部分的領域教學已崇尚多元發展，運用小組討論、合作學習及資訊融入等進行互動教學；然而唯獨數學這門學科，在台灣注重成績表象的教育環境中，教師教學過程時常浪費在反覆練習與標準答案上，迫使學生熟練教師傳授的解題技巧，進行機械式的重複，面對抽象的符號算式，學生只能背誦式的記數學，肩上的課業重擔不減反增，學生絲毫沒有足夠的時間與機會去理解和探究數學概念其背後真正的意涵，即使得到高分，也未必能對問題有透徹的理解。然而學校的數學教育不可能把學生日常所遇到的問題全部都教過，若是一味的要求學生在成功的模仿下學習，實在無法提升學生自發性的思考，也無法培養學生解決問題的能力，遑論應用於生活中，此與九年一貫數學學習領域課程綱要所強調要培養學生帶著走的能力相違背。九年一貫數學領域課程綱要的素質指標指出：「教育應提供學生做有意義及有效率學習的機會。」除了數學知識外，演算能力、抽象能力及推論能力的培養是整個數學教育的能力主軸。一般教學現場，教師多重視觀念和演算，如果學習過程配合學生的真實經驗，更能培養學生思考、解決問題的能力。教師就如同一位掌舵者，引領著學童進入探索的世界，除了整體數學課程的規劃、教科書呈現的方式，教學方法亦是直接影響學童學習成效的重要因素。在日常生活中，舉凡買賣計算、設計圖形、丈量土地、統計分析等，都得依賴數學能力，增添生活便利，所以數學在各個知識領域中，站有不可或缺的一席之地，即數學不能只是學校課程上一門理論性的學問，應是解決我們生活周遭疑難雜症的一項利器；然而，根據鐘思嘉、林青青及蔣

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治邦（民80）針對國內學童所做的研究，發現國小低年級的學生對數學仍抱持相當正面的看法，但隨著年級增加，對數學的興趣越顯得低落。政治大學教育系教授周祝瑛在《台灣教育怎麼辦?》一書中提及學生之所以缺乏人生的方向，大部分是她們的學習與實際生活脫節，思考過程缺少用創意去回答自己的疑問。當學生漸漸脫離獨立思考的習慣，數學只是學校考試的科目之一，已背離了培養學生自發思考能力的宗旨；更糟糕的是，有研究指出數學是國中、國小學生最感困難的學科之一(劉上真、詹士宜、王惠川、吳建志，1995)，由此可知，數學已成為多數學生擔心、排斥的科目；有鑑於此，教師確實有必要調整自己的教學步伐，思考透過怎樣的教學方法，可以促進學生有意義的學習，讓學生對學習數學感到有興趣，應該是身為老師的我們所要努力的方向。近年來數學教育改革注意到「擬題」(problem posing)的策略(梁淑坤，1993；Silver＆Cai, 1993；Silver, 1994)。Silver(1994)指出擬題是由經驗或情境中創造出新的問題，或是由給定的題目中，創造新的題目。Brown and Walter（2005)等學者都認為擬題是一種智力活動，也強調擬題（problem posing）和解題（problem solving）是相連性的活動（Brown ＆ Walter，1983；Polya，1945），擬題可以讓學生全方面思考，能為不同程度的學生創造更多機會及有趣的學習情境，並且激發學生好奇心、創造力，使學生更專注、更能控制自己的學習，甚至更喜歡體驗自己的學習經驗，而且可以減緩學生學習數學的焦慮。前中研院院長李遠哲曾說過：「當孩子能提出問題的時候，其實他已經知道了一半。」能提出問題，表示他對問題有所認知；而瞭解問題，才有能力解決問題。國民中小學九年一貫課程綱要（教育部，2003）也提到，透過擬題的活動，正可以提供學生一些討論、思考和想像的機會，藉以提昇學生的創造力，進而培養合作及溝通表達的能力。有鑑於此，學生除了解題和討論、發表的學習方式之外，教師應該使學生有機會從已知情境中主動去擬題，並由修正已知問

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題的條件中來創造新的問題。楊惠如(2000)的研究也指出，擬題是訓練一個人的數學思考，培養分析問題、創造問題與解決問題能力的方法之一。所以如何妥善運用數學擬題，設計一個有效、可行的教學策略，對於學生的學習有所助益，乃為本研究的動機之一。梁淑坤（1997）指出用解題去評量學生，似乎只知道學生不懂什麼，卻不知道學生真正懂得什麼。由於學生機械式地套用公式，若只依照解題算式或答案，來評量學生，即使解題正確，也可能是短暫的公式記憶或關鍵字解答，尚有不完備之處。馬秀蘭（2004)認為擬題能力在於評估學生逆向思考數學的能力，並可從中瞭解學生的數學概念，在整個擬題過程中，學生必須以自己的數學知識和生活經驗，把情境、人物、事件、數字和圖形等建立關係，加以組織而擬出一個數學題目，並以數學技巧和方法解決問題。由於其數學化的思考方式是自然形成的，故學生較能將這些繁複的數學知識重新組織，並發現其系統性與關連性(林原宏，許淑萍， 2002)；藉由擬題活動，教師不僅可以從學生形成的數學題目中，看出學生的數學能力，而且將能獲取更多訊息以看出學生對問題的認知結構，看到其迷思或不完整的概念，引導學生澄清迷思、歸納概念(林碧珍，2001），而民國92年所頒佈的九年一貫數學學習領域課程綱要（教育部，2003），在數學科能力指標與十大基本能力的關係中，也強調「發展形成數學問題（擬題）的能力，以培養主動探索與研究的基本能力」，故本研究的另一動機乃欲藉由擬題活動，分析學生的擬題和解題表現。當前學校的教育體制下，教師承受教學進度的壓力，教師不得不在有限的時間內傳授知識，導致許多學生學習困難，數學科是許多的孩子視之為燙手山芋的科目，若學生在教室內無法跟上學習，在家又無人指導，學生容易產生放棄學習的心態，最後演變成為「教室裡的客人」。多位學者提出「問題若是由解題者所擬出來，解題的動機就會很高」（Brown ＆ Walter, 1993; 梁淑坤，1994）。所以若要求學生解答自己所擬出的題目，

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與學生解答教科書或是教師所布的題目相比，學生的學習動機會提升。經由擬題過程中的一問一答，同儕間交相辯證的過程，不僅可強化學童腦海中的數學概念，釐清問題，也能學會尊重與傾聽，提升口語表達的發展，而且透過小組合作，讓學生肯定自我，重拾學習數學的信心，此與九年一貫數學學習領域的教學總體目標：「培養學生的演算能力、抽象能力、推論能力及溝通能力；培養欣賞數學的態度及能力」不謀而合。因此本研究另外探討擬題活動是否能對學生的學習態度有正向的改變。研究者擔任五年多的國小教育工作，看著許多高年級的學生因學習數學上遭逢困難而心灰意冷，更深感部分學生並非數學概念不足，而是由於不懂題意而答錯或是放棄作答（蕭宇欽，2006），綜合以上的理由，研究者配合上學期的數學課程，將與生活息息相關的單元「時間的乘除運算」和擬題教學相結合，透過擬題的方式，引導學生確實瞭解題意，強化時間量感，並訓練學生整合題目中的條件，養成學生自我監控、省思的能力，讓學生有機會嘗試、察覺生活情境，形成自己的數學問題，主動尋求解決之道，並且透過全班討論的方式，分享擬題的成果和解題的方法。期望本研究可作為有意將擬題活動融入數學科教學的教師其未來教學及研究之參考。

第二節研究目的

依照以上研究動機，本研究的研究目的如下: 一、設計並實施時間乘除運算的擬題教學流程。二、探討學生擬題的作品類型和內容。三、探討擬題教學過程中學童在時間乘除運算中的迷思概念。四、擬題教學過程中教與學的成長。

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第三節待答問題

依照以上的研究目的，本研究的待答問題如下: 一、擬題教學流程為何？二、學生的擬題作品出現的類型和內容變化為何？三、擬題教學過程中，學童在時間乘除運算中的迷思概念為何？四、擬題教學過程中教與學的成長為何?

第四節名詞界定

一、擬題（problem posing）本研究的擬題是指學生以自己的數學經驗，在教師所給定的條件或情境下，自己想出一個數學題目來。二、擬題教學本研究所指的擬題教學，是指教師在教學活動中給予學生一些數學條件，讓學生依據自己的構想，擬出符合條件的數學題目。學生完成擬題後，由學生自行或交換解題。進行討論辯證的教學過程，師生共同欣賞、討論，並修正錯誤的部分。三、共同擬題本研究所指的共同擬題，是指在給定條件下，教學者引導全班共同討論出情境、更改數據、題目結構等，共同發展、修正成一個完整題目，記錄於黑板上，再由全班共同解題或隨機指派學生上台解題。四、合作擬題係指由教師給定指定條件，再經由小組進行討論、溝通，擬出新的題目來，並記錄於學習單及空白海報上，張貼黑板，進行全班評鑑、修正，最後解題。

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五、擬題作品的分類研究者採用國內學者梁淑坤（1999）所發展出的一套評量工具，如下表1-4-1，將學生擬題的作品分類，編碼數字「1」至「5」，為擬題好壞程度的評比，再依此分類方式，改編進行細部的擬題作品類型，細分類型分析表詳見表4-2-1。表1-4-1 擬題作品分類表（梁淑坤，1999：204）題目類可行的分類非題目類非數學不可行資料不足資料適中資料超過編碼 1 2 3 4 5 5 六、數學態度數學態度是指學生對於數學學習的行為、情感與認知的程度。本研究所指的數學學習態度是研究者參考學生的日記、教師札記及研究者自編的數學擬題的回饋問卷上的記錄，配合與學生晤談來評論學生對擬題教學後之學習數學之態度轉變。

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第二

第二章

章

文獻探討

本章共分四節，首先探討數學擬題的意義與內涵；其次，探討國內外有關數學擬題的相關研究；再者，探討時間學習概念與兒童時間概念認知發展的過程；最後分析時間教材內容及學生在時間化聚計算的迷思概念。

第一節

探討擬題的意義與內涵

壹、擬題的定義與特徵近年來擬題的教學活動與研究逐漸受到重視，國外有許多學者、數學教育組織將擬題視為重要的數學教育方法（Moses, Bjork, & Goldenberg, 1993；NCTM ,1989,1991,2000；Silver, & Mamona,1996），國內也有許多相關性研究（周幸儀，2002；陳佩琦，2003；林群雄，2004；吳進寶，2005；康滋容，2005；趙坤川，2006；陳金章，2007），其研究者也都認同學生擬題教學的重要及成效。國內學者梁淑坤（1994）對擬題下了一個定義：「自己想出一個數學題目來」。國外學者English(2004)將擬題定義為:從一個舊的問題來定義一個新的數學問題。美國學者 Silver（1994）則認為擬題是包括產生新的問題、給一個情境產生問題和解題的課程中形成問題。綜上所述，依據各家對擬題所下的定義，研究者認為擬題可以定義為「學生依據自己既有的數學概念為基礎，與生活經驗作結合，在教師所提供的數學問題與擬題策略，自己設計出獨一無二的數學問題。」擬題可能發生在解題前先擬題，或在解自己所擬的問題中，再修定自己所擬的題目；亦可能發生在解題後再擬題。由於擬題者所擬的題目是出自於個人猜想或推理，所以題目組織不如教師布題的縝密，也未如經過多位學者詳細審核過的教科書清楚、可解，有可能較顯粗糙或不完整，或欠足夠資料以解題，所以梁淑坤(民83)對於擬題行為提出四項特徵：

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一、組織的方法是屬於個人的（idiosyncratic）：擬題建立在個人的數學知識基礎，結合生活經驗，創造出一個新的數學題目，不一定與其他人的想法相同。二、擬題過程當中包括猜想及可信推理（plausible reasoning）：擬題是在模擬的過程中想出一個題目來，擬題者進行擬題時，會反問自己一連串問題像「假如是…？」（What if…？），「假如不是…？」（What if not…？）（Brown & Walter，1983），也許要用數學的猜想與可信推理（Polya，1945）。

三、擬題可以發生在解題前（before）、解題中（during）、以及解題後（after problem solving）。

四、擬題者（學生）由於經驗不足，其所想出來的題目可能是「粗糙的」（primitive）、不完整的（incomplete），甚至是不可行（implausible）

的或是欠缺足夠的解題資訊（insufficient）。瞭解以上四項擬題者可能會出現的擬題特徵後，發現擬題的結果和擬題者的數學經驗有著極大的關聯。當擬題有系統地融入學生數學學習時，即使只是簡單的讓學生形成問題，對於學生數學解題表現、數學態度都能有正向的影響（Silver ＆ Cai，2005）。林原宏、許淑萍（2002）的研究也指出擬題的活動自然形成數學化的思考方式，擬題者可將這些繁複的數學知識重新組織，並發現其系統性與關連性。因此在擬題的過程中,學生會組織、思考題意的完整性，並可提升學童創造題目的能力。當學生擬好題目後，進行思考題意或自行為自己所擬的題目解題的同時，也培養數學思考的能力。貳、擬題的類型擬題是表徵的轉換，擬題類型的分類依各個學者的研究方法不同而有不同的分類，以下依Reitman、Tsubota、Silver、Stovanova和Ellerton及梁淑坤等人的擬題分類方式加以探討。

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一、Reitman的題目結構分類方式 Reitman(1965)將題目的結構依照已知(given)已定義清楚或未定義清楚，以及目標(goal)是否定義清楚，提出四種問題的結構。如下列情況: 第一類型:為已知相當清楚且目標已定義清楚，此為結構題 (structured problem)。第二類型:為已知已定義清楚，目標未定義清楚，此類型為非結構題 (ill- structured problem)。

第三類型:為已知未定義清楚，目標已定義清楚，此類型為非結構題。第四類型:為已知和目標皆未定義清楚，此類型為非結構題。二、Tsubota(坪田耕三)的擬題類型 Tsubota(1987)「生動的算術」一日文書中提及，擬題的方法可分為七種: (一) 模仿法或類題法:學生學習某個完整的結構題後，做出和此同樣的題目。 (二) 算式法:教學者提出一個公式，學生再做出適用此公式的問題。 (三) 原理法:教學者給予某一數學的原理，讓學生做出和此相對的題目。 (四) 訂正法:教學者出一個題目，其中故意漏掉某些必要的條件，或給予其他不必要的條件，或做出矛盾而須訂正的方法。 (五) 實驗法:教學者透過實驗或以具體物操作佈題，讓學生以此事項為依據做出題目。 (六) 自由法:讓學生以自由的題材，進行自由形式的擬題。 (七) 題材法:教學者給定主題，讓學生在既定題材中擬題。

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三、Silver的擬題方法 Silver(1994)對擬題的分類是依據擬題者產生新題目時，所構想的方式，可以分成兩種: (一) 依據給定的題目中，再產生新的題目。 (二) 由情境或經驗中，再創造新類型的題目。四、 Stovanova和Ellerton的擬題類型 Stovanova和Ellerton(1996)將擬題分為三種類型: (一) 結構(structure)的情境:擬題者可以利用現有的題目加以改變。 (二) 半結構(semi-structure)的情境:擬題者利用先前的數學知識、技巧及概念的連結，完成一個完整結構的問題。 (三) 自由(free)的情境:讓擬題者在給定的自然情境下自由發揮。五、梁淑坤的擬題類型梁淑坤(1997)依據「國小數學課程標準」(教育部，1993)所訂定的內容，編製一套擬題的評量工具，在其擬題的教材中，將擬題類型分為六大類: （一）算式類：給一個算式，此算式不一定是正確的算式，讓學生根據這個算式擬出題目。（二）文字類：呈現一段文字的敘述，再讓學生依據文字敘述中所給的條件擬出一道題目。（三）圖表類：給一個圖表，讓學生依據圖表擬出一個跟圖表內容相關的題目。（四）解法類：規定一種運算方法，如「乘法」或「除法」，讓學生擬出的題目是運用此運算方法來解題。（五）答案類：給予一個答案或一個解題記錄，要求學生擬出符合佈題條件中的題目。

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（六）題目類：給一個題目，要求學生解題後，再根據此題目擬出一個新的題目。綜合上述，擬題類型的分類雖然不盡相同，但仔細做綜合分析的比較後，仍然可以發現許多相似之處，林群雄(2004:12-13)將上述各學者的各種擬題類型，整理如下表2-1-1 表 2-1-1 各種擬題類型分析對照表學者類型 Reitman （1965）坪田耕三（1987） Silver （1994） Stovanova Ellerton （1996）梁淑坤（1997）結構題 1.已知、目標均定義清楚 1.模仿或類題法 1.從已給的題目再產生新題目 1.結構的情境 6.題目類 2.已知已定清楚，目標未定義清楚。 2.算式法 3.原理法 4.訂正法 5.實驗法 7.題材法 2.從情境或經驗中再創造出新類型的題目 2.半結構的情境 1.算式類 2.文字類 3.圖表類 4.解法類 3.已知未定義清楚，目標已定義清楚 --- --- --- 5.答案類非結構題 4.已知、目標均未定義清楚 6.自由法 --- 3.自由的情境 --- 透過表 2-1-1 的分析，本研究從這些類型中選出研究者認為適合五年級學生學習能力及經驗的擬題方式來設計擬題教學流程，將先以結構題的情境來引導學生模仿擬題，再以兩類非結構性擬題方式進行課程教學活動，梁淑坤(民 86)之擬題類型是依據教材綱要設計出，因此本研究之擬題活動的教學採用梁淑坤提出的題目類、算式類及圖表類這三種型態的擬題方式，做為本研究的擬題教學活動設計。

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参、擬題在數學教育上的重要性九年一貫課程主張為國民的終身學習奠下基礎，所以數學課程的發展除了知識的傳授，更需要配合各階段學生的身心與思考型態的發展，結合生活經驗，營造適合學生能力與興趣的學習環境，發展數學學習活動，加強能力的開拓。而擬題教學是近年來國際上許多學者及數學教育家關注的研究，研究者將擬題教學的重要性歸納為以下五項: 一、結合數學學習與學生的生活經驗學生為了讓自己所擬的題目比別人更多元、更特別，所以必須注意觀察生活周遭的環境以及身邊的人、事、物（林群雄，2004）。在擬題的過程，學生會配合生活經驗及感興趣的事物來擬題，所以教師也可透過擬題活動，了解學生擬題的素材及想法。劉芳妃（1998）在合作擬題的研究中，發現學生對於以周遭相關的人、事、物作為擬題素材，反應最為熱烈。有此可知，透過擬題活動可以增進學生對數學概念的理解，並將知識連結到日常生活經驗中（林德宗,1999）。二、激發學生解題的動機透過擬題教學，由於題目是學習者自己想出來的，結合生活經驗，便很容易解答。梁淑坤（1994）的研究認為解題者本身對於自己所擬出的問題，解題的動機會較高。坪田耕三（1987）也認為以學生本身有關的問題做教學，更可引起小孩子求知的欲望。因此擬題教學提供學習者發揮創造力的機會，更可以提昇學生解題的動機和興趣，促進積極學習的態度。三、增進學生察覺迷思概念及對問題結構的理解傳統的學習是學生接受教師布題，屬於被動式學習，不容易瞭解數學抽象觀念，但透過擬題活動，我們可以使數學抽象具體化，讓學習變得有意義。周筱亭(1995）指出有意義的學習是指兒童能有自己的想法，而不是大人決定是否對兒童有意義的作法，國內研究者劉祥通（1996）也指出，在課堂中要求學生擬題，可以加深學生對問題結構的瞭解。由此可知，擬

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題活動除了提高孩童學習動機，還能讓學生經由自我察覺錯誤的概念，而增進學生對問題結構的理解。四、培養學生互相欣賞與批判思考的能力 Schloemer（1994）認為擬題可以促進學生更成熟的思考。陳佩琦（2003）在其研究中也指出，學生完成擬題作品之後，在欣賞別人優秀的作品時，能給予適當的稱讚與鼓勵；對於有錯誤的題目，亦能相互討論思考改進，提供解決的方法。藉由擬題活動，學生以個人的數學知識，在教師給予的條件情境中，透過思考、組織，從資料中去組合或調整成一個新的題目，並透過觀摩、欣賞別人的擬題，再經自己思考或與同學討論的過程，修正題目，完成解題。有此可知，擬題活動除了激發學生的解題動機；增進學生察覺迷思概念外，透過欣賞、與人討論，可以促進學生分析問題的習慣，亦培養學生批判思考的能力。五、激發學生的創造力日本教師坪田耕三（1987）認為數學教學的目標在培養小孩的創造力，培養對激烈變化之現代社會的適應力，如果只是去解一些既定模式的題目，創造力就會漸漸會失去。莊美蘭（2003）亦在研究後提出，擬題活動可以激發學生擬題的創意與解題的興趣。透過擬題活動，學生經過個人的思考過程，大膽的假設，擬出一個新的題目或對結果做批判性思考，推翻或合理化題目，無論是解釋性的或可行性的推理，即屬於數學的創造過程，所以擬題活動可以提升且激發學生的創造力。

第二節擬題的實徵研究

擬題教學活動在數學課堂中的應用深受國內外學者及教育工作者的重視與運用，因此做出許多重要性的研究及報告，以下針對幾位研究者在實際教學方面的研究作內容簡述如下：

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壹、國外的實徵研究美國學者Keil(1965)以八百多位六年級的學生為對象作擬題教學研究，將學生分成實驗組與控制組，實驗組每週一節擬題活動，經過十六週的實驗，研究結果發現實驗組學生的解題能力表現高於控制組的學生，顯示擬題教學活動對於解題能力有正面的效果。 Stover(1982)引導國小六年級學生將已知的故事題，以圖形或增加其它訊息、編排訊息來改寫。在研究過程中，寫作變成數學課程的一部份，研究結果發現學生經過這樣的訓練，在解題上有明顯的進步。

Brown & Walter(1983)的研究在高等教育中擬題，深入討論擬題的定義、內涵與認知情意方面，並且讓學生練習如何出一個題目，透過擬題瞭解學生的創意，最後整理學生擬出來的題目，將這些題目編輯成書在《The art of problem posing》，提出的擬題策略是「What-if-not」，鼓勵學生在獲得答案之後，第一步先接受答案，第二步再挑戰各種假設，想想如果不是這樣，那麼答案又是如何，如此便又形成一個新的問題。這個擬題策略即是屬於Silver（1993）所說的：解題之後的擬題。日本國小教師Tsubota（1987）對國小一到六年級學生以開放性的問題進行教學，以解過的問題為基礎，鼓勵學生從原本的問題再想出其它的題目。藉由教師指導的方式，更改題目條件或數據，主動地發現問題、分析問題，並將實際上課內容編輯成書《生動的算術》。

在荷蘭，Van den Brink（1987）曾要求國小一年級學生擬故事題，學生在整個學年中進行許多擬題的活動，讓學童發揮想像力及創造力，呈現出一些富有創意的擬題作品。澳大利亞教師Penny Skinner在任教時，曾使用擬題取向的方式教學，將自己在幼稚園至國小二年級的教學經驗和學生作品，寫成著作《What＇s your problem？》與大家分享教師在課堂中和學生的互動以及進行擬題活動過程的點滴(Skinner,1990)。上課時，她技巧地讓學生擬出自己的問題，並

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讓學生有修改題目的機會，擬出來的題目需要動腦筋才能解答，否則就達不到擬題教學的效果，透過解答者反問擬題者，發現題目的漏洞或缺失，有助於澄清學生的觀念，從這樣擬題與解題的互動，證明幼稚園和低年級也能學會自行擬題。 English（1997）以五年級和七年級的學童為對象，研究不同能力的組別在課程中對於擬題的表現，研究結果顯示擬題能力強的學童，他們平常的數字計算能力並不強，但是針對特殊題目的解題表現不錯；並且發現學童擬出的題目具有複雜性，由此可見，學童具有豐富的創造思考力。此外，English 於1998年亦研究54位國小三年級學生的擬題能力，研究顯示學生在數概念及解題能力方面表現出不同的類型。在非例行性的情境中，學童可以擬出多樣化的題目，但在加法和除法的類型中，擬出來的題型傾向一致，他推測可能受到教材裡例行性題目的影響，使得學生思考模式定型化。因此，English 認為要多鼓勵學生擬題，並嘗試解答自己擬的題目，藉此可提昇學生的解題能力和興趣。從上述國外的研究中，可以發現其研究方向傾向研究擬題和解題之間的相關性，並探討分析學童擬題的行為及能力。因此研究者欲透過擬題活動，澄清學生的迷思概念，作為研究方向之一。貳、國內方面的研究徐文鈺（民85）以104位國小五年級學生為對象，將學生分為合作擬題組、個別擬題組及控制組三組，探討合作擬題教學、分數解題能力與分數擬題能力的增進效果。三組學生各接受每週兩次，每次約40分鐘的課，為期六週不同教學方式之分數課程教學。研究結果發現，合作擬題組在複雜的「部分/整體」概念的表徵轉換能力、分數解題能力、分數擬題能力的流暢性、精緻性、獨特性效果均優於個別擬題組和控制組，而在分數概念的增進效果上三者並無顯著差異。

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孫秀芳（民86）在1997年發表的國科會補助大學生研究專案計畫，研究國小二年級學生加減法擬題能力，及學生對擬題的認知程度，研究結果發現大多數的學生都具有擬題能力及認知程度，學生所擬出來的題目大部分是熟悉的情境，並且也確定擬題與解題是息息相關的。劉芳妃（民87）以國中一年級數學課堂中的擬題作業表現與活動，探討合作擬題教學對學生的數學概念、情意層面以及擬題能力之影響。研究結果指出，與學生生活經驗或班級中的人、事、物相關的次文化之擬題題材最能引發學生的討論及參與，藉由師生、同儕互動中，形成數學知識與概念，並培養團結精神、加強社會化發展。

梁淑坤、邬瑞香（Leung & wu,1999）給予學生不完整的題目，進行擬題活動，例如題目中遺漏某些重要的解題訊息，讓學生無法解題成功，再讓學生嘗試修正題目，成為一新的完整題目，提供學生擬題的機會，也澄清學生的數學概念。此外，梁淑坤、邬瑞香（Leung & wu,2000）亦研究讓家長與學生用日記的形式，在家中進行擬題與解題，將擬題活動變成家中的親子活動，再藉由日記與他人分享擬題心得。林德宗（民88）將擬題活動融入國小五年級數學教室中。研究結果發現，學生透過擬題活動，將知識連結到日常的經驗中，提升數學概念的理解，並且在討論的過程中，除了修正自己所想出來的題目，還學習到接納其它同儕的意見。楊惠如（民89）則用行動研究的方式，以自己任教的班級，設計三年級學童擬題的活動教材。研究結果顯示，整個擬題教學經歷三個階段：初試啼聲、漸入佳境、步入軌道。教學過程遭遇到許多困難，包括教學準備、學生擬題、全班討論、共同評鑑等，顯示教師在擬題教學活動中的重要性，透過不斷反省，尋求解決方法，以實際的行動解決了教學上的困難。鍾雅琴（民91）以合作擬題的教學方式，對國小五年級學生分數概念、分數解題能力與分數擬題能力的增進效果作研究。研究歸納出三點結論：

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1.合作擬題教學能增進實驗組學生在整體與複雜分數概念、分數的數線概念兩種表徵轉換的學習。對分數解題能力的增進效果，實驗組優於控制組且資優班優於普通班。 2.合作擬題教學的方式針對分數擬題能力的流暢性、變通性、精緻性、獨特性四個向度討論，其效果實驗組優於控制組，資優班優於普通班。 3.在合作擬題教學方式自評表上，在認知部分：大部分學生均認為合作擬題策略教學對其數學的學習有很大的幫助；在情意部分：大部分學生均認為合作擬題策略教學對其想像力之激發有很大的幫助；在技能部分：大部分學生均認為合作擬題策略教學對其數學解題的能力提昇有很大的幫助。周幸儀（民91）也透過合作擬題教學活動，探討國小二年級學生的擬題學習歷程、擬題教學對學生數學概念和擬題能力的增進效果。研究結果發現合作擬題教學對學生的擬題學習歷程、概念發展、擬題能力和解題能力均有增進的效果。莊美蘭（民92）亦透過合作擬題教學活動，以國中一年級的學生為研究對象，探討適合進行擬題活動的數學課程單元，以及合作擬題和個別擬題的差異。研究結果發現，負數、體積與容積等較容易進行擬題教學活動；合作擬題優點為透過同儕互動，提供討論機會，促進學習，個別擬題則是讓同學激發個人擬題的創意與實力，發現自己在數學概念的錯誤。林群雄（民93）透過行動研究方式，以國小三年級學生為對象，探討教師的專業成長，瞭解擬題教學的困難和適用的擬題素材。結果發現，教師引導討論的能力獲得成長，教學心態轉變為以學生為本位；學生亦能提升學習興趣、動機和自信。吳進寶（民94）以一個五年級的班級為樣本研究學生整數四則混合運算的擬題教學研究；結果發現，透過擬題教學，能使學生對四則混合運算題目的掌控度提高，且從學生的學習日記中也可以看出，擬題教學是學生希望的

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上課方式，其中顯露出學生樂於學習的態度。趙坤川(民95)探討一個國小六年級的班級，實施小數加減運算及大小比較擬題教學的情形。本研究共有四個發現： 1. 擬題教學流程適用於數學教學。 2. 學生在解題過程中擬出的題目屬於資料適中的有96.9﹪，大部份學生能擬出可行的題目。學生大多數會改變題目的數字及內容事物，但改變題目結構者較少，題目也出現多樣性的發展。 3. 學生表現在解擬題階段高於解題階段，也使學生顯露出樂於學習的態度，並能融入日常生活當中來運用。 4. 實施擬題教學時，所遭遇的困難有上課時間難以掌握、發表文化難以建立、部份學生呈現出迷思概念。方文鋒（民98）以國中一年級學生為對象，比較「合作擬題教學法」及「傳統教學法」兩種不同教學方式對學生在一元一次方程式的學習成就、學習保留、學習態度之影響；瞭解其擬題能力、擬題類型上的差異；並探討「合作擬題教學法」融入國中數學課程可能遭遇的困難。研究結果發現，接受合作擬題教學法之實驗組學生其一元一次方程式單元學習成就，以及假設、列式的學習表現、數學學習態度、在結構題及非結構的擬題成功率、流暢性及變通性，皆顯著優於接受傳統教學法之控制組學生。而合作擬題活動所遭遇的困難則是授課進度難以掌握、擬題內容難以約束、合作關係難以維繫、課後學習難以掌控。歸納上述國內外學者的研究，我們可以發現擬題教學活動確實在提升學生的學習動機、解題能力、數學學習態度及思考想像能力。國內學者梁淑坤亦呼籲職場教師需具有擬題教學能力。使研究者對此一研究增強了興趣。探討擬題的相關研究後，研究者產生一些研究構想：就擬題的教材內容方面，時間的乘除計算是尚未出現的題材，應是值得嘗試的內容，若再輔以合作學習的方式，培養學生溝通與尊重的精神，將數學教育結合品格教育，不失為

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一良好的教學策略。

第三節時間學習概念之探討

本節主要就時間概念的內涵、兒童時間概念的認知發展兩方面來做進一步的探討。壹、時間概念的內涵一、時間的特徵時間是抽象的，看不見也摸不著，時間的量感是建立在「刻度上變化相對性質」的量，不同於長度、重量、容量、溫度這一類在實物上可以找到的量，藉由工具上的刻度比對，建立相對於刻度的量感，卻和我們的生活息息相關。張振東（1990）指出時間存在於變動中，變動中的事物有「先」、「後」的變動連續狀態，其變動中的時間也必有「先」與「後」的連續情形，而「先」與「後」的連接點是「現在」。Leushina (1991) 認為時間具有流動性、不可逆性及缺乏明顯的形式這三種特性。流動性指的是時間持續不斷地在運行；不可逆性指的是時間無法再重回到過去；缺乏明顯的形式指的是時間是看不到也聽不到的，所以時間為工具量。二、時間的數學問題 (一)時間單位量概念 Nelson（1982）認為時間概念是兒童對於時間單位和期間的瞭解，以及兩者與事件之間的關係。 Thorntom＆Unkelicp(1988)以及Muir(1990)，則是用時間單位量表達時間概念可分為三方面：時鐘時間(o＇clock time) 、月曆時間 (calendar time)、歷史時間(historical time)或稱為年代表。羅傑．培根(引自丘宏義，1999)把時間分成三大類：

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2.威權的時間:民用、宗教曆法上用的。 3.習俗的時間:人們任意訂定的時間，如月份名、每月的天數，如二十八、二十九、三十或三十一等等。 Friedman（1982）所稱的慣用時間系統是社會制定的一種工具，就是現在社會使用的時間單位。有四個顯著的特徵： 1、時間雖可分為不同的時段，如天、星期、月份、年代等，但彼此相互有關連。 2、時間是具有次序和反覆（recurrence）的特性。 3、時間的系統概念特徵是連結數的概念。例如數字成為時鐘和日期的元素，也就是說數字能表示小時、日期和月份等等。 4、時間提供一個指標，用來說明兩件事情發生前後、發生長短和安排未來。綜上所述，時間的單位量是年、月、日、時、分、秒，其高階單位到低階單位的進位系統有六十進位（時、分、秒）、二十四進位（日、時）、三十進位（月、時）、十二進位（上、下午）、七進位（週、日），是一個複雜的高低階關係也是多單位的系統。本研究係針對六十進位與二十四進位時制加以探討。貳、兒童時間概念的認知發展 Piaget (1969) 認為時間並非一種先備的概念，而是個體在發展過程中，隨著認知結構的不斷重組而逐漸構設形成。Piaget 將時間概念發展分為以下三個發展階段(俞筱鈞，1988)。一、序列期 (Ordinal Stage)：此階段屬於 Piaget 認知發展學說中的第二發展期—具體操作前期 (Pre-operation Stage)，大約實足七歲和八歲的學生屬於這個分期，這時期的兒童有以下的特點: (一) 注意經過視線之情況。

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(二) 對次序產生感覺。 (三) 強調結果，如：「同時到達」。 (四) 排列事情之先後，只限於同一件事內之細則。二、超序列期 (Hyperordinal Stage)：此階段是過渡期，在Piaget 認知發展學說中，大約在實足九、十歲左右的兒童屬於此階段，它有如下之特點： (一)能思索起點與終點的因素，不僅能序列事物情況的先後，而且也考慮到所牽涉的空間，以及經過的時間。 (二)能比較時距。 (三)走得遠一點認為速度快，多做一點事，認為時間長一點。三、精確衡量期 (Stage of Metric Time)：

根據Piaget的觀察，兒童年齡大約在十一、十二足歲左右，可以達到此階段的發展。此階段顯示之時間概念，有如下之特點： (一) 明瞭事件所經過的時間與涉及的空間關係。 (二) 明瞭速度與頻率之補償作用。 (三) 能追溯及預測。針對Piaget提出的時間概念理論，在教育方面，國內學者劉秋木（民85）認為學生要了解時間，需要建構以下的概念：一、事件順序的概念：能將一些事件依發生的先後排成順序。二、等時性（isochronism）：時鐘的指針或鐘擺的運動維持相等的速率，所以時鐘測量一動作的時間，不會因動作不同而使時鐘的運行變快或變慢。三、同步性（synchronism）：在同時開始且同時結束的動作間，相同的時鐘不會報出不同的時間。四、時間（綿延）的客觀性（或保留性）：「一天」的時間不會因為心情好壞或工作多寡而有長短。

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五、時間單位：一段時間間隔可以分成等值的小間隔作為單位。由以上所知，「時間概念」的發展是循序漸進的，非一蹴可及，隨年齡增加而逐漸成熟。我們瞭解兒童到八歲時已經具備時間的順序概念，而大約九歲、十歲的階段則逐漸理解時距的概念，到了十一歲，時間單位的概念才算完備。

第四節時間教材內容分析及學生學習的迷思概念

本節主要是針對九年一貫課程綱要數學領域中國小時間概念教材內容能力指標作整理，由表2-4-1得知，國小相關的時間概念在五年級課程結束後，即可全部學習完畢，從六年級開始，進入速度概念的理解與相關問題的單位換算。壹、時間概念的能力指標表2-4-1 九年一貫正式綱要時間概念能力指標對照表正式綱要能力指標階段年級 _{分段能力指標} _分年細目一 1-n-08 能認識常用時間用語，並報讀日期與鐘面上整點、半點的時刻。二 2-n-11 能認識鐘面上的時刻是幾點幾分。 2-n-12 能認識「年」、「月」、「星期」、「日」，並知道「某月有幾日」、「一星期有七天」。第一階段三 N-1-13 能報讀時刻，認識常用的時間單位，並做時或分同單位的加減計算。 _{3-n-11 能認識時間單位「日」、「時」、「分」、} 「秒」及其間的關係，並作時或分同單位時間量的加減計算。四 4-n-12 能解決複名數的時間量計算，以及時刻與時間量的加減問題。五 N-2-15 能認識測量的普遍單位，並處理相關的計算問題。 N-2-16 能理解普遍單位間的關係，並在描述一個量時，作不同單位間的換算。 5-n-13 能解決時間的乘除計算問題。第二階段六 N-3-06能理解速度的概念與應用，認識速度的普遍單位及換算，並處理相關的計算問題。 6-n-08 能理解速度的概念與應用，認識速度的普遍單位及換算，並處理相關的計算問題

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由表2-4-1得知，低年級的時間教材以報讀時刻為主；中年級之後，則以時間單位量的認識及計算為主；進入高年級後，延伸以分數、小數紀錄時間，接續時間化聚的學習。配合研究者的學校所使用的版本，蒐集了「南一」出版社所編輯的數學教材，歸納國小六年時間概念教材分析，如下表2-4-2：表2-4-2 南一版時間概念教材分析冊別時間概念第一冊＊能判斷事件發生的先後順序。＊認識鐘面，能報讀、記錄幾點鐘、幾點半。＊用上午、中午、下午、晚上的詞語報讀生活事件發生的時刻。第二冊＊認識日曆、月曆、年曆。＊認識昨天、今天、明天的用語及其相互關係。＊能查月曆報讀幾月幾日星期幾。＊查年曆知道某月的第一天和最後一天是幾月幾日星期幾。＊能完成月曆。第三冊＊認識年、月、星期、日的關係。＊做年、月、星期、日的化聚。第四冊＊認識鐘面的結構並報讀幾點幾分。第五冊＊認識年、月、日。＊認識24 時制。＊進行時、分同單位時間的加減。第六冊無第七冊＊能理解24 時制並應用在生活上。＊時和日、時和分、分和秒的關係與化聚。＊能理解生活中，各種量的測量工具上刻度間的結構，進而對以同單位表達的量作形式計算。第八冊＊時間的實測和求法。＊解決複名數時間量的計算。第九冊＊時間的加減乘除法。＊利用日時分秒的化聚，解決時間的乘除問題。第十冊無第十一冊＊能用小（分）數進行秒、分、時、日的化聚。第十二冊無

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貳、學生在時間的乘除計算的迷思概念近年國內有許多學者進行時間概念的研究，忽略時間單位的進位關係與僵化的使用十進位系統就是造成學生時間化聚學習困難的原因。從相關的文獻探討可瞭解國內兒童在時間概念的發展情形及迷思概念，以下針對本研究範圍，從相關的文獻探討，瞭解國內兒童在時間的化聚發展情形及迷思概念作整理，說明如下: 一、胡豐榮（民84）指出國小五年級學生在進數結構概念的學習成就普遍不佳，認為非十進數的進數結構概念，超乎現階段學生的思考範圍，學生在解時間單位換算的學習困難有： (一) 不知道時、分、秒單位間的換算關係。 (二) 知道時、分、秒單位間的換算關係，但不確定計算的程序是否正確，而導致最後瞎猜答案。二、譚寧君（民88）與國小五、六年級的學生晤談，得知學生在解時間單位換算有下列的錯誤解法： (一)僵化的使用十進位系統，忽略了時、分進位的關係。 (二)了解時、分的進位關係，但分數概念不足。三、呂玉琴、譚寧君（民85）指出時間的化聚概念，一般學生顯然較為不足。從單名數化成複名數表現較好，反之從複名數聚成單名數則表現較差。四、朱振生(2002) 在「國小五年級學生時間化聚學習表現與補救教學之研究」中歸納出學生時間化聚的七種錯誤類型，: (一) 時間單位的高低階關係不清楚：不了解「日、時、分、秒的關係」。 (二) 時間複名數的意義不了解：例如：部分學生可以理解2小時，卻對2 小時10分的意義產生困擾。 (三) 時間化聚的意義不了解：這部分學生不知道「化聚」就是一種等量運算。

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(四)受鐘面結構的影響：學生對低年級學習的鐘面結構存有迷思概念，以致有錯誤的時間進位制產生，如1時=12分，1分=5秒。 (五) 時間單位進位制與10進位制混淆：這部分的學生可能了解時間單位高低階關係，也可能不了解，但在解題題時，卻以10進位制為時間進位制，如5時＝50分，5分＝500秒等。 (六) 無法由題目條件判斷時間進位制(24與60進位制的混淆)：這部分的學生知道1日＝24時，1時＝60分，1分＝60秒，這是他們的生活經驗；但在實際運用時卻無法藉由題目所出現的時間單位，選擇正確的時間進位制。 (七) 不同的時間單位造成解題困擾：在實際的解題過程，這部分的學生並不了解，同一種量若只有單位改變，其運算是不變的。五、陳孟吟、劉好 (2006)的研究指出，國小五年級學童時間化聚概念上，和差關係表現較優，倍數表現欠佳。教學不只是要求教師如何教才能達到良好的效果，教師還要瞭解學生的迷思概念，提出相關策略來修正學生經驗中的錯誤概念。從文獻探討發現學童在時間的化聚運算上的一些迷思概念，希望能透過擬題與解題的過程，使學生發現到自己的錯誤，再透過擬題教學的過程中改善這些迷思。

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第三章

研究設計

本研究旨在探討擬題活動在國小五年級數學教學中實施的情況，瞭解擬題活動實施的困難與限制，探究數學課堂上擬題與評鑑活動中，師生互動的情形，及學生在課堂中學習擬題時的表現行為和擬題成果；最後再調查學生對擬題活動的接受度。透過研究的歷程，記錄教學者的成長及學生擬題內容、合作態度與學生擬題的信念。本章對研究設計的說明，分成研究架構、研究流程、研究對象、研究教材與資料蒐集與整理，合計五個小節，加以說明。

第一節研究架構

本研究的研究架構如圖3-1-1，茲說明如下: 階段一：設計並實施「時間的乘除」擬題教學活動階段二：實施擬題教學活動，透過課室觀察、師生訪談、文件等蒐集資料。階段三：藉由資料彙整，探討學生擬題的成果，並設計擬題學習回饋問卷，瞭解學生對擬題活動的接受程度及學習狀況。

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圖3-1-1 本研究之研究架構

設計

設計「

「

「時間的乘除

時間的乘除

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」

」擬題教學流程

」

擬題教學流程

擬題教學

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共16

16

16 16節課

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節課)

))

)

1.共同解題、擬題 (4節課) 2.小組解題、擬題（6節課） 3.共同評鑑成果、解擬題 4.個別擬題(6節課) 5.共同解擬題、評鑑成果教師引導學生解題、擬題分析學生擬題作品的類型和內容共同評鑑、欣賞學生擬題的成果探討學生對擬題教學的接受程度、學習態度

擬題教學回饋問卷

內容分析

內容分析(

((

(資料彙整

資料彙整

資料彙整)

))

)

訪談學生對於擬題活動的各種想法

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第二節

研究流程

研究者根據研究目的，將本研究流程圖示意如下：

實施流程預定時間工作內容準備階段 98.2-98.11 1.相關文獻收集 2.擬定研究方向 3.確定研究主題 4.擬題教學法融入教學設計實施階段 98.12-99.1 1.執行研究計畫: 數學擬題教學課程設計，共16節課，如下: (1)教學暨共同擬題4節課 (2)小組合作擬題6節課 (3)個別擬題6節課 2.蒐集資料 (1)錄影 (2)課室觀察 (3)訪談資料 (4)省思札記 (5)學生活動記錄分析階段 99.1-99.5 1.將所蒐集到的資料分析整理 2.提出結果與建議 3.撰寫報告圖3-2-1 本研究之研究流程

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第三節

研究對象

本研究所選定的對象是研究者所任教的國小，該學區地理位置屬於彰化縣沿海鄉鎮學校，附近有農田、工業區與新興的住宅區，家長的職業以從事工、農業為主，所以學生多半為農家或工人的子弟，由於學校位處郊區，學生所接受的文化刺激較少，接受新知的機會不若都市學童，雖然大多數家長很關心孩子，但由於工作忙碌，有時無法兼顧孩子的教育，家長對學生的學習狀況大多仰賴老師與安親班。學校於學年結束時，將升上三、五年級的學生，依照前一學年的學業成績及期末總測驗，以S形方式排列進行重新編班的依據，如此可符合常態編班的原則。因此研究者將所研究對象的班級，假設為在數學成就方面和同校的其他班級是沒有差異的。本研究的研究樣本是研究者擔任導師所任教的全體學生，男生18人，女生16人，合計34人，有一名學習障礙的特殊學生。由於平時教學注重討論與溝通的方式，因此學生的學習氣氛與教師的教學情形均相當融洽，師生的互動良好，學生樂於與教師分享學習的點滴。

第四節

研究教材

本研究所使用的擬題教材，是研究者根據南一版第九册數學課本及教學指引第八單元「時間的乘除」編製而成。擬題教材編制完成後，研究者根據擬題教材，配合教學活動，設計該章節每一小節的教學活動，研究者設計出教學活動之後，商請同事以及指導教授提供意見，並進行修正，詳細教學活動設計請見附錄一。擬題類型是根據梁淑坤（民88）的命題工具，採用算式類型、圖表類型和題目類型三種，除了課堂運用課本上的練習題作共同擬題外，三種類型的題目分別設計兩題，總共設計6個擬題活動的問題，擬題教學活動順序分別

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為共同擬題、小組擬題與個人擬題三部分。共同擬題的部分是教師於課堂教學後，由全班共同擬出題目，當成佈題的來源；小組擬題的方式是配合各小節，透過合作學習，直接將擬題當成教學活動，於課堂上進行；個人擬題的活動，是學生的習題及家庭作業，幫助學生複習及統整該小節的數學概念，也檢驗學生個別擬題的能力。個別擬題活動的討論題目由教師篩選，設計擬題評鑑學習單，再由小組合作進行修正、再擬題，最後各組發表，進行全班共同討論、挑戰解題、小組評鑑的活動。在小組擬題及個人擬題的階段，擬題後，皆進行全班共同討論與評鑑。下表3-4-1是研究者配合南一版數學第九冊的內容所採用的擬題類型與擬題素材對照表。表3-4-1 擬題類型與擬題素材對照表階段一階段一階段一階段一擬題擬題擬題擬題方式方式方式方式擬題類型擬題類型擬題類型擬題類型擬題素材擬題素材擬題素材擬題素材算式類依照算式想一個數學問題。 4分14秒×8＝（）分（）秒（南一版課本第92頁）共同擬題題目類宣導短片播放8次共花了48分24秒，平均播放1次需要幾分幾秒? （南一版課本第93頁）題目類專櫃小姐包裝好一件商品需要 36 秒，相同的商品，12 分鐘最多可以包裝好幾件? （請你根據上面這個題目出一個數學問題。）分和秒的乘除計算小組擬題圖表類依照以下圖表，想出一個有關時間乘法的數學故事(題目)。歌手歌手歌手歌手演唱曲目演唱曲目演唱曲目演唱曲目歌曲時間歌曲時間歌曲時間歌曲時間范逸臣無樂不作 00:02:53 羅志祥撐腰 00:03:19 슈퍼주니어 (Super Junior) Sorry, Sorry 00:03:52 郭靜在樹上唱歌 00:03:59

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個別擬題圖表類下表是慶祝五孝動物園舉辦運動大會，比賽項目有等，底下是大會公布成績表，請出兩題「分和秒的時間計算」數學題目。項目成績紀錄保持者附註說明分秒分秒分秒分秒階段二階段二階段二階段二擬題擬題擬題擬題方式方式方式方式擬題類型擬題類型擬題類型擬題類型擬題素材擬題素材擬題素材擬題素材算式類依照算式想一個數學問題。 2時32分×4＝（）時（）分（南一版課本第96頁）共同擬題題目類奶奶織6頂毛線帽共花了14小時30分，平均織1頂毛線帽需要幾小時幾分？（南一版課本第97頁）題目類鹿港到彰化市公車最早是上午 6 時 30 分開車，每隔 15 分鐘開出一班，最後一班公車是晚上九點開出，請問一天總共開出多少班公車 ? 時和分的乘除計算小組擬題算式類請你依照算式想一個數學問題。列式:「4時30分 × 5」。

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個別擬題圖表類＊下表是五孝功課表。請想出一個「時和分的時間計算」數學故事(題目)。我的功課表一二三四五 7:50-8:35 早自習 1 8:40-9:20 國社國國國 2 9:30-10:10 數社數體鄉 3 10:30-11:10 自數綜數電 4 11:20-12:00 自體綜英音 12:00-12:40 午餐 12:40-13:20 午休 5 13:30-14:10 國彈性自藝 6 14:20-15:00 英彈性健藝 7 15:20-16:00 綜國彈性社階段三階段三階段三階段三擬題擬題擬題擬題方式方式方式方式擬題類型擬題類型擬題類型擬題類型擬題素材擬題素材擬題素材擬題素材算式類依照算式想一個數學問題。 1日23時×6＝（）日（）時（南一版課本第99頁）共同擬題題目類建築工程分6階段進行，日夜趕工，共需13日12小時才能完成，平均1個階段需要幾日幾小時? （南一版課本第100頁）日和時的乘除計算 _小組擬題算式類依照算式想一個數學問題。 4 日 23 時 × 6＝ ?

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圖表類看圖說故事。參考圖片，請各出一題有關「時間和薪水」的數學題目。提示:時薪、日薪、月薪… 個別擬題圖表類依照以下的圖，想出一個有關本單元的數學題目。提示:工作量、工作天、工作時數、薪資…等。

第五節資料蒐集與整理

以下依序說明四項研究教材：自編解擬題學習單、教學札記、擬題教學回饋問卷、半結構式訪談。壹、解擬題學習單

研究者參考相關的擬題教學研究及與時間的乘除運算迷思概念相關研究結果，並請教同學年教師的意見及指導教授的修正，編製解擬題學習單。內容包含三大部分:分與秒的乘除、時與分的乘除、日與時的乘除運算題型，時薪 200 元時薪 180 元考古家羅賓羅賓羅賓羅賓廚師香吉士香吉士香吉士 香吉士航海王魯夫魯夫魯夫魯夫獵人索隆索隆索隆索隆醫生喬巴喬巴喬巴喬巴時薪 300 元時薪 250 元時薪 100 元

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每一小節題目各3題，合計9題。題目編製的原則以結合生活情境為出發點，避免與教科書、習作、坊間參考書類似，相關的數學知識均勻分配於題目中，擬題活動學習單內容詳見附錄二。學生小組或自己擬題後，還要將答案算出來，再與全班分享、討論，最後全班評鑑、修正與票選最佳題目前三名，登記於小組競賽分數。貳、教學札記研究者自行設計的教學札記，記錄課堂所觀察到的事件、學生學習行為、教學過程中遇到的問題，以及教學後的想法與省思，得以啟發下次教學的注意事項。以下為記錄表格式，範例請見附錄五: 記錄者陳薇雅上課時間學生出席狀況上課進度觀察記錄上課狀況擬題內容一、本節擬題類型：二、學生反應三、學生迷思四、合作能力五、評鑑修正舉例教學省思參、擬題教學回饋問卷擬題教學回饋問卷是研究者自編的問卷，在學生接受整個單元擬題活動後，做總結性的回饋問卷，調查學生對擬題活動的接受度，並讓學生寫下學習的感想，作為研究者擬題教學的參考，內容舉例詳見附錄四。

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肆、半結構式訪談為瞭解學童在時間的乘除擬題及解題策略之想法，因此研究者進行半結構式訪談，以瞭解學生的解題歷程。訪談的主要內容為：當次上課的情形、學生擬題的內容、學生對擬題的想法。研究者利用下課、午休或課餘時間與學生在教室進行訪談，以合作擬題及個人擬題活動的內容為主，共分為兩部分：非正式訪談與正式訪談。一、非正式訪談:係指研究者在擬題活動前後，進行隨意、開放式的非結構性談話方式，主要針對個人擬題活動。二、正式訪談:隨著教學與研究的進行，針對合作擬題活動，研究者在訪談前先擬定訪談大綱，訪談架構大致依照大綱進行，分為團體訪談與個別訪談兩部分，訪談大綱見附錄三： (一) 團體訪談以各小組為單位，針對特定問題所進行的訪談，主要是瞭解實施合作擬題教學活動期間，學生對擬題的看法、小組合作情形及適應度，做為研究者教學參考的依據。 (二) 個別訪談是於擬題結束後，針對學生所填的問卷及個別擬題的內容，進行個別訪談，以作為交叉檢核資料的依據。

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第四章研究結果與討論

本章分四個小節，分別闡述研究結果與討論: 第一節擬題教學活動在五年級數學課室的實施歷程、第二節國小五年級學生時間的乘除計算擬題類型與內容、第三節擬題教學中時間的乘除計算迷思概念呈現的情形、第四節擬題教學過程中教與學的成長。為顧及研究倫理，本研究中皆使用代碼來說明學生的學習表現。代碼的表示方式舉例說明如下：

【編碼說明】

第一碼：數字表示第幾次個別擬題教學

第二碼：s 表示解題，p 表示擬題，m 表示

心得記錄

第三碼：數字表示學生座號

例如：3-p-26 是表示在第3次擬題教學過程中，學生26號的擬題作品。 2-s-18 是表示在第2次擬題教學過程中，學生26號的解題內容。 m-12 是表示學生12號的心得記錄。

第一節擬題教學活動在五年級數學課室的實施歷程

本研究課程設計共 16 節課，分成三個階段，分別是教學暨共同擬題（4 節）、小組擬題（6 節）以及個別擬題（6 節），此節將詳細記錄各階段擬題教學的進度與重點，並整理成表 4-1-1 擬題教學實施流程圖。

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表 4-1-1 擬題教學實施流程圖教師佈題學生解題發表、討論發表共同擬題個人擬題解擬題重新擬題討論解擬題共同評鑑小組擬題發表重新擬題解擬題發表分組評鑑修正篩選範例重新擬題共同評鑑第一階段：學習新觀念第二階段：小組擬題第三階段：個人擬題

國小五年級數學擬題教學之行動研究-以時間的乘除計算為例-

國 立 臺 中 教 育 大 學 數 學 教 育 學 系

國 小 教 師 在 職 進 修 教 學 碩 士 班 碩 士 論 文

指 導 教 授 ： 許 天 維 教 授

國小五年級

國小五年級

國小五年級

國小五年級數學

數學

數學擬題教學

數學

擬題教學

擬題教學之

擬題教學

之行動

之

之

行動

行動

行動研究

研究

研究

研究

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－以時間的乘除計算為例

以時間的乘除計算為例

以時間的乘除計算為例

以時間的乘除計算為例－

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研 究 生：陳薇雅 撰

中 華 民 國 九 十 九 年 六 月

摘

摘

摘

摘

要

要

要

要

Abstract

誌

誌

誌

誌

謝

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謝

目

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目

目

次

次

次

次

中文摘要

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中文摘要

中文摘要………I

英文摘要

英文摘要

英文摘要

英文摘要 ………II

誌

誌

誌

誌謝

謝

謝

謝

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………III

目次

國立臺中教育大學數學教育學系

國小教師在職進修教學碩士班碩士論文

指導教授：許天維教授

研究生：陳薇雅撰

中華民國九十九年六月