正多边形和圆—巩固练习（提高）

(1)

正多边形和圆—巩固练习（提高）

【巩固练习】一、选择题 1. （_{2015•雅安校级一模）已知等边三角形的内切圆半径，外接圆半径和高的比是（} ） A．1：2： B．2：3：4 C．1：：2 D．1：2：3 2．将边长为 3cm 的正三角形各边三等分，以这六个分点为顶点构成一个正六边形，则这个正六边形的面积为 ( ) A．

3 3 cm

2

B．

3 3

4

cm 2 C．

3 3

8

cm 2 D．

3 3

cm2

3．如图，△PQR 是⊙O 的内接正三角形，四边形 ABCD 是⊙O 的内接正方形， BC∥QR，则∠AOQ=（）

A．60° B．65° C．72° D．75° 第 3 题第 5 题 4．周长是 12 的正三角形、正方形、正六边形的面积分别是 S3、S4、S6，则它们的大小关系是( )． A．S6＞S4＞S3 B．S3＞S4＞S6 C．S6＞S3＞S4 D．S4＞S6＞S3 5. 如图所示，八边形 ABCDEFGH 是正八边形，其外接⊙O 的半径为

2

，则正八边形的面积 S 为（）． A.

2

B.

4 2

C. 8 D.4 6．先作半径为的圆的内接正方形，接着作上述内接正方形的内切圆，再作上述内切圆的内接正方形，…，则按以上规律作出的第 7 个圆的内接正方形的边长为（） A． B． C． D．二、填空题 7．一个正方形与圆有相等的周长，则圆面积与正方形的面积比为________． 8．如图所示，正六边形内接于圆 O，圆 O 的半径为 10，则图中阴影部分的面积为________． P D R C Q B O A

(2)

9．半径相等的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为． 10．（2015•五通桥区一模）如图，在边长为 2 的正六边形 ABCDEF 中，点 P 是其对角线 BE 上一动点，连接_{PC、PD，则△PCD 的周长的最小值是} ． 11．如图所示，有一个圆 O 和两个正六边形 T1、T2．T1的 6 个顶点都在圆周上，T2的 6 条边都和圆 O 相切（我们称 T1，T2分别为圆 O 的内接正六边形和外切正六边形）．（1）设 T1，T2的边长分别为 a，b，圆 O 的半径为 r，则 r:a= ； r:b= ；（2）正六边形 T1，T2的面积比 S1:S2的值是．第 11 题图第 12 题图

12．如图所示，已知正方形 ABCD 中，边长 AB＝3，⊙O 与⊙O′外切且与正方形两边相切，两圆半径为 R、r，

则 R+r= ．

三、解答题

13.（_{2015•宝应县二模）如图，正六边形 ABCDEF 的边长为 2} _{cm，点 P 为六边形内任一点．则点 P 到} 各边距离之和为多少_cm？

(3)

14．如图①、②、③，正三角形 ABC、正方形 ABCD、正五边形 ABCDE 分别是⊙O 的内接三角形、内接四边形、内接五边形，点 M、N 分别从点 B、C 开始，以相同的速度中⊙O 上逆时针运动．（1）求图①中∠APB 的度数；（2）图②中，∠APB 的度数是，图③中∠APB 的度数是；（3）根据前面探索，你能否将本题推广到一般的正 n 边形情况？若能，写出推广问题和结论；若不能，请说明理由． 15．如图，正三角形、正方形、正六边形等正 n 边形与圆的形状有差异，我们将正 n 边形与圆的接近程度称为“接近度”.在研究“接近度”时，应保证相似图形的“接近度”相等. （1）设正 n 边形的每个内角的度数为 m°，将正 n 边形的“接近度”定义为|180-m|.于是，|180-m| 越小，该正 n 边形就越接近于圆， ①若 n=20，则该正 n 边形的“接近度”等于； ②当“接近度”等于时，正 n 边形就成了圆．（2）设一个正 n 边形的半径（即正 n 边形外接圆的半径）为 R，边心距（即正 n 边形的中心到各边的距离）为 r，将正 n 边形的“接近度”定义为|R-r|，于是|R-r|越小，正 n 边形就越接近于圆.你认为这种说法是否合理？若不合理，请给出正 n 边形“接近度”的一个合理定义．

(4)

【答案与解析】

一、选择题 1．【答案】D；

【解析】解：图中内切圆半径是_{OD，外接圆的半径是 OC，高是 AD，} 因而_AD=OC+OD；在直角△_{OCD 中，∠DOC=60°，} 则_{OD：OC=1：2，} 因而OD：OC：AD=1：2：3，所以内切圆半径，外接圆半径和高的比是_{1：2：3．故选 D．} 2．【答案】A；【解析】所得正六边形边长为 1，∴

3 1 6

2

3 3

4

2 S 

  

． 3．【答案】D；【解析】易求∠POQ=120°，∠AOP=45°，则∠AOQ=∠POQ-∠AOP=120°-45°=75°. 4.【答案】A；【解析】如图（1），∵ AB＝4，AD＝2，∠OAD＝30°，∴ OD＝

2 3

3

． ∴ ₃

6

1

6

1

2 2 3

4 3

2

3

AOD

S



S



  

AD OD



   



．如图（2），∵ AB＝AC＝3，∴ S4＝3×3＝9．如图（3），∵ CD＝2，∴ OC＝2，CM＝1， ∴ OM＝

3

． ∴ ₆

12

1

1 3 6 3

2

COM

S



S



   



．又∵

(6 3)

2



9

2



(4 3)

2， ∴

S

₆



S

₄



S

₃，故选 A． 5．【答案】B；【解析】连接 OA、OB，过 A 作 AM⊥OB 于 M， ∵

360

45

8 AOB





°



°

，

(5)

又

AO 

2

，∴ AM＝1， ∴

1

1 2 1

2

AOB

S



 

OB AM



 

 

， ∴

8

2 4 2

2

AOB

S



S



 



， 6．【答案】A．【解析】由于圆内接正方形的边长与圆的半径的比为，内接正方形的内切圆的半径与正方形的边长的比为，即这样做一次后，圆的内接正方形的边长为 × =1；做第二次后的正方形的边长为；依次类推可得：第 n 个正方形的边长是（）n-1 ，则做第 7 次后的圆的内接正方形的边长为．故选 A．二、填空题 7．【答案】

4 

；

【解析】设正方形边长为 a，则周长为 4a，面积为

a

2，圆周长也为 4a，则

2 

r

2



4 a

，

∴

4

2

2 a

a

r





，∴ 2 2 2 2

4 a

S



r





 

圆 ∴ 2 2

4

1

4 S

a

S







a





圆正方形． 8．【答案】

100 



150 3

；【解析】图中阴影部分面积等于圆的面积减去正六边形的面积． ∵

S

__O







10

2



100 

，

1 10 5 3 6 150 3

2 S

正六边形

  

 

，

(6)

∴

S

_阴影



S

__O



S

_正六边形



100 



150 3

9．【答案】：：1；【解析】设圆的半径为 R，如图（一），连接 OB，过 O 作 OD⊥BC 于 D，则∠OBC=30°，BD=OB•cos30°= R，（或由勾股定理求）故 BC=2BD= R；

如图（二），连接 OB、OC，过 O 作 OE⊥BC 于 E，则△OBE 是等腰直角三角形， 2BE2 =OB2 ，即 BE= ，故 BC= R；如图（三），连接 OA、OB，过 O 作 OG⊥AB，则△OAB 是等边三角形，故 AG=OA•cos60°= R，AB=2AG=R，（或由勾股定理求）故圆内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为 R： R：R= ：：1． 10．【答案】6. 【解析】要使△_{PCD 的周长的最小，即 PC+PD 最小．} 利用正多边形的性质可得点C 关于 BE 的对称点为点 A，连接 AD 交 BE 于点 P'，那么有 P'C=P'A， P'C+P'D=AD 最小．又易知_{ABCD 为等腰梯形，∠BAD=∠CDA=60°，} 则作BM⊥AD 于点 M，CN⊥AD 于点 N， ∵_AB=2， ∴_{AM= AB=1，} ∴_{AM=DN=1，从而 AD=4，} 故△PCD 的周长的最小值为 6．

(7)

11．【答案】（1）r:a＝1:1；

r b 

:

3 2

:

；（2） ₁ ₂

3

4 S S 

:

．【解析】如图所示．（1）连接圆心 O 和 T1的 6 个顶点可得 6 个全等的正三角形，所以 r:a＝1:1；连接圆心 O 和 T2相邻的两个顶点，得以圆 O 半径为高的正三角形，所以

r b 

:

3 2

:

．（2）T₁∶T₂ 的边长比是

3

∶2，所以S₁∶S₂=

(

a

:

b

)

2



3 :

4

. 所以 ₁ ₂

3

4 S S 

:

． 12.【答案】

6-3 2

；【解析】连结 OA、OO′、O C‘ _{.（如图所示）} ∵⊙O 与 AB，AD 相切，⊙O′与 BC,CD 相切，

∴OA 平分∠BAD,O′C 平分∠BCD, ∴∠BAO=∠BCO′=45°，若连结 AC,则∠BAC=45°，∴直线 OO′与直线 AC 重合，设⊙O 切 AB、AD 于 E、F，⊙O′切 BC、CD 于 G、H．

∵⊙O 与⊙O′互相外切，∴OO′＝R+r．连接 OF、OE、_{O H} 、

O G



，则OA 2OF 2R．同理

O C

 

2 OH



2 r

， ∴

AC



2 R



2 r R r

   

(1

2)(

R r



)

．又∵

AC 

3 2

，∴

(1



2)(

R r

 

) 3 2

， ∴

3 2

3 2( 2 1)=6-3 2

1

2 R r

 







．

(8)

三、解答题 13.【答案与解析】解：过_{P 作 AB 的垂线，交 AB、DE 分别为 H、K，连接 BD，} ∵六边形_{ABCDEF 是正六边形，} ∴_{AB∥DE，AF∥CD，BC∥EF，且 P 到 AF 与 CD 的距离和及 P 到 EF、BC 的距离和均为 HK 的长，} ∵_{BC=CD，∠BCD=∠ABC=∠CDE=120°，} ∴∠CBD=∠BDC=30°， ∴_{BD∥HK，且 BD=HK，} ∵_CG⊥BD， ∴_BD=2BG=2×2 × =6， ∴点P 到各边距离之和为 3BD=3×6=18． 14.【答案与解析】（1）∠APB=120°（如图①） ∵点 M、N 分别从点 B、C 开始以相同的速度在⊙O 上逆时针运动， ∴∠BAM=∠CBN，又∵∠APN=∠BPM， ∴∠APN=∠BPM=∠ABN+∠BAM=∠ABN+∠CBN=∠ABC=60°， ∴∠APB=120°；（2）同理可得：图②中∠APB=90°；图③中∠APB=72°．（3）由（1）可知，∠APB=所在多边形的外角度数，故在图 n 中，∠APB= ． 15.【答案与解析】（1）①∵正 20 边形的每个内角的度数 m= =162°， ∴|180-m|=18； ②当“接近度”等于 0 时，正 n 边形就成了圆．（2）不合理．例如，对两个相似而不全等的正 n 边形来说，它们接近于圆的程度是相同的，但|R-r| 却不相等．合理定义方法不唯一，如定义为、越小，正 n 边形越接近于圆；越大，正 n 边形与圆的形状差异越大；当 =1 时，正 n 边形就变成了圆．