《整式的乘法与因式分解》全章复习与巩固（基础）

(1)

《整式的乘法与因式分解》全章复习与巩固（基础）

【学习目标】 1. 掌握整数幂的运算性质，并能运用它们熟练地进行运算；掌握单项式乘（或除以）单项式、多项式乘（或除以）单项式以及多项式乘多项式的法则，并运用它们进行运算； 2. 会推导乘法公式（平方差公式和完全平方公式），了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算； 3. 掌握整式的加、减、乘、除、乘方的较简单的混合运算，并能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算； 4. 理解因式分解的意义，并感受分解因式与整式乘法是相反方向的运算，掌握提公因式法和公式法（直接运用公式不超过两次）这两种分解因式的基本方法，了解因式分解的一般步骤；能够熟练地运用这些方法进行多项式的因式分解. 【知识网络】【要点梳理】要点一、幂的运算 1.同底数幂的乘法： (

m n

，

为正整数)；同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 2.幂的乘方： (

_{m n}

_，

为正整数)；幂的乘方，底数不变，指数相乘. 3.积的乘方： (

_n

为正整数)；积的乘方，等于各因数乘方的积. 4.同底数幂的除法： (

a

≠0,

m n

，

为正整数，并且

m n



). 同底数幂相除，底数不变，指数相减. 5.零指数幂：

a

0



1 

a



0 .



即任何不等于零的数的零次方等于 1.

(2)

6.负指数幂：

1

n n

a



_

(

_a



₀

，

n

为正整数).任何不等于 0 的数的－

n

次幂，等于这个数的

n

次幂的倒数. 要点诠释：公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式，还可以表示多项式；灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁. 要点二、整式的乘法 1.单项式乘以单项式单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式. 2.单项式乘以多项式单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加 . 即

mc

mb

ma

c

b

a

m

(



)





₍

m

,

a

,

b

,

c

_{都是单项式).} 3.多项式乘以多项式多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加 .即



a b m n



 







am an bm bn



_. 要点诠释：运算时，要注意积的符号，多项式中的每一项前面的“＋”“－”号是性质符号，单项式乘以多项式各项的结果，要用“＋”连结，最后写成省略加号的代数和的形式．根据多项式的乘法，能得出一个应用比较广泛的公式：



x a x b



 







x

2





a b x ab







. 要点三、乘法公式 1.平方差公式：

(

a b a b



)(

 

)

a

2



b

2 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 要点诠释：在这里，

a b

，

既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. 平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方. 2. 完全平方公式：





2 ₂ ₂

2 a b





a



ab b



_；

₍

_a

_

_b

₎

2

_

_a

2

_

₂

_ab

_

_b

2 两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍. 要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的 2 倍. 要点四、因式分解把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式. 因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法, 分组分解法, 十字相乘法, 添、拆项法等. 要点诠释：落实好方法的综合运用：首先提取公因式，然后考虑用公式；两项平方或立方，三项完全或十字；四项以上想分组，分组分得要合适；几种方法反复试，最后须是连乘式；

(3)

因式分解要彻底，一次一次又一次. 【典型例题】类型一、幂的运算 1、计算下列各题：（1）

(3 10 )



2 3

 

( 10 )

3 4 （2）

[3(

m n



) ] [ 2(

2 3



m n



) ]

3 2 （3）

( 2



xy

2 6

)

 

( 3

x y

2 4 3

)

（4）

( 2 )



a

6

 

( 3 )

a

3 2

 

[ (2 ) ]

a

2 3 【思路点拨】按顺序进行计算，先算积的乘方，再算幂的乘方，最后算同底数的幂相乘. 【答案与解析】解：（1）

(3 10 )



2 3

 

( 10 )

3 4

 

3

(10 )

2 3



(10 )

3 4 18 19

27 10

2.7 10









．（2）

[3(

m n



) ] [ 2(

2 3



m n



) ]

3 2



3



(

m n



)

6

 

( 2)

2



(

m n



)

6 6 6 12

27(

m n

)

4(

m n

)

108(

m n

)













_．（3）

( 2



xy

2 6

)

 

( 3

x y

2 4 3

)

6 6 6 12 3 3 6 12

( 1)

2 x y

( 1)

3 x y

 



 



_

₆₄

_{x y}

6 12

_

₂₇

_{x y}

6 12

_

₃₇

_{x y}

6 12 ．（4）

( 2 )



a

6

 

( 3 )

a

3 2

 

[ (2 ) ]

a

2 3

 

( 1)

6



2

6

a

6

 

( 1)

2



3

2



( )

a

3 2

 

( 1)

3



(2

6

a

6

)

6 6 6 6

64 a

9 a

64 a

9 a





 

．【总结升华】在进行幂的运算时，应注意符号问题，尤其要注意系数为－1 时“－”号、括号里的“－”号及其与括号外的“－”号的区别．举一反三：【变式】（2016 春耒阳市校级月考）• 82009_×0.1252009₌_．【答案】1． 82009_×0.1252009₌_{（8×0.125）}2009₌₁2009_=1. 类型二、整式的乘除法运算 2、解下列不等式．（1）

2 (

x x

 

1)

x x

(2

 

5) 12

（2）

3 (7

x



x

) 18 (3





x



15)

x

【答案与解析】解：（1）

2 x

2



2 x



2 x

2



5 x



12

，

3 x



12

_，

(4)

4 x



．（2）

₂₁

_x

_

₃

_x

2

_

_{18 3}

_

_x

2

_

₁₅

_x

，

6 x

 ，

18

3 x



．【总结升华】利用乘法法则进行去括号、合并同类项，按照解一元一次不等式的方法求解． 3、已知

_{ax y}

3m 12

_

₃

_{x y}

3 2n

_

₄

_{x y}

6 8_，求

₍₂

_{m n a}

_{ }

₎

n_的值．【思路点拨】利用除法与乘法的互逆关系，通过计算比较系数和相同字母的指数得到

m n a

、、

的值即可代入求值．【答案与解析】解：由已知

ax y

3m 12



3 x y

3 2n



4 x y

6 8，得

ax y

3m 12



4 x y

6 8



3 x y

3 2n



12 x y

9 2n8，即

a



12

，

3 m



9

，

2 n

 

8 12

，解得

a



12

，

m



3

，

n



2

．所以

(2

m n a

 

)

n

   

(2 3 2 12)

2

 

( 4)

2



16

．【总结升华】也可以直接做除法，然后比较系数和相同字母的指数得到

m n a

、、

的值. 举一反三：【变式】（1）已知

27

m1

_

3

2m

_

27

，求

m

的值．（2）已知

₁₀

a

_

₂₀

，

1

10

5

b

_

，求

₉

a

_

₃

2b的值．（3）已知

2

m

_

3

，

2

n

_

4

_，求

₂

3m2n_的值．【答案】解：（1）由题意，知

(3 )

3 m1



3

2m



27

．∴ 3( 1) 2 3

3

m  m

_

3

_． ∴

3 m

 

3 2

m



3

，解得

m



6

．（2）由已知

₁₀

a

_

₂₀

，得

_{(10 )}

a 2



₂₀

2，即

₁₀

2a

_

₄₀₀

．由已知

1

10

5

b

_

，得

10

2b



₂₅

1

． ∴

10

2

10

2

400

1

25

a

_

b

_

_

，即

₁₀

2a2b

_

₁₀

4．∴

₂

_a

_

₂

_b

_

₄

∴

9

a

_

3

2b

_

3

2a

_

3

2b

_

3

2a2b

_

3

4

_

81

．

(5)

（3）由已知

2

m

_

3

，得

₂

3m

_

₂₇

．由已知

2

n

_

4

_，得

₂

2n

_

₁₆

． ∴

2

3 2

2

3

2

27

16

m n

_

m

_

n

_

．类型三、乘法公式 4、对任意整数

_n

，整式

₍₃

_n

_

₁₎₍₃

_n

_{  }

_{1) (3}

_n

₎₍₃

_

_n

₎

是否是 10 的倍数？为什么？【答案与解析】解：∵

(3

n



1)(3

n

  

1) (3

n

)(3



n

)

2 2 2 2 2

(3 )

n

1 (3

n

) 9

n

1 9

n



 





  

_

₁₀

_n

2

_

_{10 10(}

_

_n

2

_

₁₎

， 2

10(

n



1)

_{是 10 的倍数，∴ 原式是 10 的倍数．} 【总结升华】要判断整式

(3

n



1)(3

n

  

1) (3

n

)(3



n

)

是否是 10 的倍数，应用平方差公式化简后，看是否有因数 10．举一反三：【变式】解下列方程(组)： 2 2

(

2)

(

4)

(

)(

)

3

2 x

y

x y x y

x

y

 















 



【答案】解：原方程组化简得



   

x

_x



₃

2 _y

y



3 ₂



，解得

13

5 x

y





 



． 5、已知

_{a b}

_{ }

₃

，

_ab

_{ }

₄

，求： (1)

_a

2

_

_b

2；(2)

_a

3

_

_b

3 【思路点拨】在公式



a b





2



a

2



2 ab b



2中能找到

_{a b ab a}

_

_,

2

_

_b

2_的关系. 【答案与解析】解：(1)

a

2



b

2



a

2



2 ab b



2



2 ab





2

2 a b

ab







　∵

a b

 

3

，

ab

 

4

，　∴

a

2



b

2



3

2

   

2  

4

17

(2)

a

3



b

3



a

3



a b a b b

2



2



3　



 



2

a a b

b a b a b



 





(6)



_{a b a}





2

_{ab b}

2













 



2

[

3 ]

a b

ab







　∵

a b

 

3

，

ab

 

4

， ∴

a

3



b

3



3 3



_

2

  

3  

4 

_



63

. 【总结升华】在无法直接利用公式的情况下，我们采取“配凑法”进行，通过配凑向公式过渡，架起了已知与未知之间桥梁，顺利到达“彼岸”.在解题时，善于观察，捕捉习题特点，联想公式特征，便易于点燃思维的火花，找到最佳思路. 类型四、因式分解 6、（2015 春岱岳区期末）已知• x2_﹣_4y2₌₂₀_{，x+2y=5，求 x，y 的值．} 【思路点拨】直接利用平方差公式分解因式，进而得出 x 2y=4﹣ ，再利用二元一次方程组的解法得出 x，y 的值．【答案与解析】解：∵ x2_﹣_4y2₌_{（x+2y）（x 2y}_{﹣ ）=20，x+2y=5，} 5 ∴ （x 2y﹣ ）=20， x 2y=4 ∴ ﹣ ， ∴ ，解得：．【总结升华】此题主要考查了公式法分解因式以及二元一次方程组的解法，正确分解因式是解题关键．举一反三：【变式】分解因式：（1）