3-2-2直線與圓-線性規劃

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(1)2-2 線性規劃【目標】能利用二元一次方程式的圖形，探索二元一次不等式與不等式組的解在坐標平面上的圖形，進而利用圖解的方式，解決在有限個二元一次不等式的條件下，求一次函數的最佳解，即簡易的線性規劃問題。【定義】 1. 二元一次不等式：當 x, y 為未知數，而 a, b, c 是常數，且 a, b 不全為 0 時， ax  by  c  0 是二元一次方程式，其中的等號「  」若改成不等號「  」，「  」，「  」，或「  」時，就是二元一次不等式。註：由一元或二元表示出來的一次不等式都可視為二元一次不等式，所有的一元不等式也都可稱為線性不等式。 2. 二元一次不等式的圖解：在坐標平面上，設直線 L : ax  by  c  0 。 (1)平面上任一點 P ( x 0 , y 0 ) 在直線 L 上  ax0  by0  c  0 。 (2)若 a  0 ，則 L 右側的點 ( x, y) 滿足 ax  by  c  0 ， L 左側的點 ( x, y) 滿足 ax  by  c  0 。證明：如圖，令過點 P ( x 0 , y 0 ) 的水平線交直線 L 於點 P ' ( x1 , y0 ' ) ，點 P ( x 0 , y 0 ) 在直線 L 的右邊  點 P ( x 0 , y 0 ) 在點 P ' ( x1 , y0 ' ) 的右邊  x0  x1  ax0  by0  c  ax1  by0 'c  ax0  by0  c  0 (3)若 b  0 ，則 L 上方的點 ( x, y) 滿足 ax  by  c  0 ， L 下方的點 ( x, y) 滿足 ax  by  c  0 。證明：令過點 P ( x 0 , y 0 ) 的鉛直線交直線 L 於點 P ' ( x 0 ' , y 0 ' ) ，點 P ( x 0 , y 0 ) 在直線 L 的上方  點 P ( x 0 , y 0 ) 在點 P ' ( x 0 ' , y 0 ' ) 的上方.  y0  y0 '  ax0  by0  c  ax0 'by0 'c  ax0  by0  c  0 註：在坐標平面上，畫出二元一次不等式的圖解時，可以配合畫出實線(含邊界) 或虛線(不含邊界)，以及斜線，如此可以標出代表的區域範圍。. 13.

(2) 3.. 4.. 二元一次不等式組：在坐標平面上，二元一次不等式組的圖形為其中各不等式所表半平面的重疊區域。格子點： x 坐標與 y 坐標都是整數的點稱為格子點。註：若不等式組的可能解在一個封閉區域內，且可能解的 x, y 都是整數時，可以一一點算。. 14.

(3) 【定義】 1. 線性規劃：若一個應用問題涉及變量 x, y ，且 x, y 受到幾個一次不等式的限制，又 k 是一個 x 與 y 的一次函數，則求 k 的最大值或最小值的問題，就稱為線性規劃。 2. 可行解區域與目標函數：那些不等式所成不等式組的圖形，稱為可行解區域，函數 k 稱為目標函數。在可行解區域中的一個點，表示滿足不等式組的一個解 ( x, y ) ，它是一個可行的方案。線性規劃就是要在所有可行的方案中，找出函數 k 的最大值或最小值。 3. 最大值與最小值：直線 ax  by  c  k 隨 k 變化而平行移動，使此類直線通過可行解區域之最大 k 值即為目標函數的最大值，而最小 k 值即為目標函數的最小值，最大值與最小值若存在都會發生在可行解區域的頂點。 4. 最佳解：滿足條件之最佳數對。 5. 等值線：對於任意 ( x, y) 代入後，函數值相等之直線。註： 1. 常會忽略 x  0, y  0 的條件。 2. 如果一個線性規劃問題有最佳解時，其最佳解可能在頂點或可行解區域的邊界上，即使是在邊界上，它也包含了兩個頂點，因此處理問題時只需考慮頂點即可。 3. 如果我們處理的線性規劃問題的變數必須是整數，當可行解區域的端點可使目標函數的值最小，而此端點不是格子點時，我們必須在這點附近的可行區域內找出最適當的格子點。【求法】 1. 平行線法：假設 k  ax  by  c ，當給定一個 k 值時，方程式 ax  by  c  k 的圖形是一條直線， k 值變動時，此直線平行移動到不同位置。故適當平行移動該直線通過可行解區域，便可取得 k 的最大值或最小值，這種方法稱為平行線法。 2. 頂點法：只由於目標函數的最大值或最小值如果存在，必定發生在可行解區域的頂點，所以只要檢查各頂點的 k 值，即可得 k 的最大值或最小值，這種方法稱為頂點法。註：此為由平面線性規劃推展到一般線性規劃的單純形法(simplex method)。兩個變量的線性規劃，有時僅憑直觀即可窺得其解。事實上，線性規劃可以處理三個變量，甚至更多變量的問題，其基本原理相同，但較複雜，不在討論範圍。. 15.

(4) 【範例】 1. 利用 A, B 兩種不同規格的卡紙，製作大﹑中﹑小三種卡片，每張 A 卡紙，可裁製大卡片 7 張，中卡片 3 張，小卡片 3 張；每張 B 卡紙，可裁製大卡片 2 張，中卡片 2 張，小卡片 5 張。已知 A 卡紙每張 120元， B 卡紙每張 100元，若想製成大卡片至少 28 張，中卡片至少 21 張，小卡片至少 30 張，應使用 A, B 卡紙各幾張，可使費用最少，又最少費用為何？解答：依題意列表：卡片大中小價格（元）卡紙 3 3 120 7 A 5 100 B 2 2 需求(張) 28 21 30 當使用 A 卡紙 x 張， B 卡紙 y 張時， x, y 必須是整數， 7 x  2 y  28 3 x  2 y  21  且需滿足 3x  5 y  30 ， x  0   y  0. 畫出不等式組所定的可行解區域，如圖，. 又設總費用為 k 元，則 k  120 x  100 y ， 6 5. 當 k 值給定時， 120 x  100 y  k 是斜率為  的直線， 3 3 5 2 所以傾斜度介於 3x  5 y  30 與 3x  2 y  21 之間。直線 120 x  100 y  k 往左平行移動時， k 值減小。它通過可行解區域而使 k 最小時，經過頂點 P(5, 3) 。此時， k  120  5  100  3  900 。. 它的斜率介於  及  之間，. 故使用 A 卡紙 5 張， B 卡紙 3 張時，費用為 900 元，達到最少。. 16.

(5) 2.. 在上例中，若 A 卡紙改為每張 200 元，其他條件皆不變，則總費用為 k  200x  100y  100(x2 y 。) 當 k 值給定時，直線 200 x  100 y  k 的斜率為 2 ，此直線通過可行解區域而使 k 值最小時， 7 63 ) ，如圖所示。 4 8. 經過點 Q( ,. 但依題意， x, y 應為整數，即可行解區域中的格子點才是可行方案。 7 63 代入 2x  y ， 4 8 7 63 91 3 得 2     11 ， 4 8 8 8. 將x , y. 3 8. 故可行解區域中的每個點 ( x, y) 都滿足 2 x  y  11 ，而其中的格子點滿足 2 x  y  12 。若可行解區域內有滿足 2 x  y  12 的格子點 ( x, y) ，則 k  100  12  1200 為最小值， 7 4 取 x  2 ，代入 2 x  y  12 ，得 y  8 ；再代 x  3 ，得 y  6 。以 ( x, y)  (2, 8) 或 (3, 6) ，用不等式組檢驗，. 由於點 Q 的 x 坐標為  1.75 接近整數 2 ，. 這兩個格子點確實都在可行解區域內 (而 (1,10), (4, 4) 雖符合 2 x  y  12 ，但用不等式組檢驗，已超出可行解區域)。故使用 A 卡紙 2 張， B 卡紙 8 張，或 A 卡紙 3 張， B 卡紙 6 張，總費用皆為 1200元，達到最少。如果在可行解區域內沒有滿足 2 x  y  12 的格子點，可繼續在直線 2 x  y  13 ， 2 x  y  14 ，…上找滿足條件的格子點，就可以求得最小值。. 17.

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