2-2-4三角函數的基本概念-廣義角的三角函數

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(1)第二冊 2-4 三角函數的基本概念-廣義角的三角函數【定義】 1. 角：看成以頂點為旋轉中心，由其一邊旋轉至另一邊而得出的角。 B. θ. 邊. 邊. O. A. 2.. (1)正向角：逆時針方向旋轉的角，就稱為正向角或正角。 (2)負向角：順時針方向旋轉的角，就稱為負向角或負角。 3. 有向角：在平面上將一射線 OA 繞端點 O ，沿著一個固定的方向旋轉到射線 OB 上，就形成一個有向角，稱射線 OA 為始邊，射線 OB 為終邊，而旋轉量就是此有向角的角度。為了方便，我們將有向角的角度標示在終邊。逆時鐘旋轉，角度取正；順時鐘旋轉，角度取負。正向角與負向角統稱為有向角。 B. θ. 終邊. 始邊. O 4.. 5.. A. 廣義角：角度的度數若有正向角與負向角之分且不限於 0° 至 180° 之間，統稱為廣義角。四個象限的角：坐標平面上以 x 軸正向為始邊的一個有向角，若它的終邊在第 n 象限內，則這個角稱為第 n 象限角( n = 1,2,3,4 )。第一象限角、第二象限角、第三象限角、第四象限角分別以 I, II, III, IV 表示。即 θ ∈ I ⇔ θ 是第一象限角 ⇔ 360° × n + 0° < θ < 360° × n + 90°, (n ∈ Z ) ， θ ∈ II ⇔ θ 是第二象限角 ⇔ 360° × n + 90° < θ < 360° × n + 180°, ( n ∈ Z ) ， θ ∈ III ⇔ θ 是第三象限角 ⇔ 360° × n + 180° < θ < 360° × n + 270°, ( n ∈ Z ) ， θ ∈ IV ⇔ θ 是第四象限角 ⇔ 360° × n + 270° < θ < 360° × n + 360°, ( n ∈ Z ) 。 y. 6.. II. I. III O. IV. x. 象限角：若一角的終邊恰好落在坐標軸上，則這角稱為象限角，即 θ 是象限角 ⇔ θ = 90° × n, ( n ∈ Z ) 。.

(2) 【問題】有了廣義角的定義之後，應該如何定義其六個三角函數值？是否可以仿照銳角三角函數來定義呢？【定義】 1. 銳角三角函數的坐標化：若 θ 為銳角，我們將 θ 角的頂點放在坐標平面上的原點上，將始邊放在 x 軸的正向上，於其終邊上任取一點 P ( x, y ) ， P 點不為原點。然後自 P 點向 x 軸作垂線，令垂足為 Q 點，則 ∆PQO 為直角三角形， ∠POQ = θ 。設 OP = r ，則可定義銳角 θ 的六個三角函數值為： y x y x r r sin θ = , cos θ = , tan θ = , cot θ = , sec θ = , csc θ = 。 r r x y x y. P ( x, y ). y r y. θ x. O 2.. x A(r ,0). Q. 廣義角三角函數：若 θ 為廣義角，我們將 θ 角的頂點放在坐標平面上的原點上，將始邊放在 x 軸的正向上，於其終邊上任取一點 P ( x, y ) ， P 點不為原點。然後自 P 點向 x 軸作垂線，令垂足為 Q 點，則 ∆PQO 為直角三角形， ∠POQ = θ 。設 OP = r ，則可定義廣義角 θ 的六個三角函數值為： y x y x r r sin θ = , cos θ = , tan θ = , cot θ = , sec θ = , csc θ = 。 r r x y x y y. P ( x, y ) r y Q. θ x. O. x. A(r ,0). 注意： 1. 以上的三角函數要在它的比值有意義的情況下才能定義，否則視為沒有定義。 2. 當 P 點在 x 軸上時，則 P 點的 y 坐標為 0 ，此時 cot θ 和 cscθ 的分母為 0 ，所以這種比值是沒有意義的。 3. 當 P 點在 y 軸上時， P 點的 x 坐標為 0 ，此時 tan θ 和 secθ 的分母為 0 ，所以這種比值是沒有意義的。【問題】 1. 銳角三角函數的坐標化定義與所取的 P 點是否有關？為什麼？ 2. 廣義角的倒數關係、商數關係、平方關係、餘角關係等是否還成立？試說明。.

(3) 【討論】 1. 試填入下列各象限角的三角函數值： θ 0° 90° 180° 270° 360° sin θ 0 1 0 0 −1 cosθ 1 0 − 1 0 1 ╳ tan θ 0 ╳ 0 0 ╳ cot θ ╳ 0 ╳ 0 secθ 1 ╳ − 1 ╳ 1 ╳ ╳ ╳ cscθ 1 −1 2. 三角函數值在四個象限的正負： θ 第一象限第二象限第三象限第四象限＋＋－－ sin θ ＋－－＋ cosθ ＋－＋－ tan θ ＋－＋－ cot θ ＋－－＋ secθ ＋＋－－ cscθ 3. 試填入下列四個象限內的三角函數值： θ 30° 45° 60° 120° 135° 150° 210° 225° 240° 300° 315° 330°. sin θ. 1 2. 1. cosθ. 3 2 1. 1. tan θ cot θ. 3 3. secθ. 2. cscθ. 2. 3. 2 2. 1 1 2 2. 3 2 1 2. −. 1 2. 3. − 3. 1. 1. 3. −. 3. 2. −2. 2. 2. 3. 1. 3 2. 3. 1 2. 2. −. 1 2. −. −1 − −1. 1 2. −. 1 2. 3 3 − 1 − 2 2 2 1 1. 3. 3. − 3. − 2 − 2. −. 2 3. 2. 3. −. 2 3. −2. 1. 1 2. 3. − 3. 1. 1. 3. −. −2. − 2 −. 2 3. 2. 3. 2 −. −. 1. 1 2. −. 1. − 2. 3 3 − 1 − 2 2 2. −. −1 − −1 2. 2 3. − 2. 1 2. 3 2 1. 3. − 3. 2 3. −2. 【定義】 1. 同界角：兩個廣義角 α , β 有共同的始邊與終邊，我們將這樣的 α , β 角稱為同界角。而兩個同界角之間，因為始邊與終邊相同，因此差別只是所繞的圈數不同，故可得 α − β = 360° × k , k ∈ Z 。可知同界角有相同的三角函數值。 2. 最小正同界角：正同界角中最小的。 3. 最大負同界角：負同界角中最大的。註：對於任意廣義角 θ ， θ 的六個三角函數之間的倒數關係、商數關係、平方關係、餘角關係等仍然都成立。.

(4) 【性質】將廣義角化成銳角的三角函數值( θ 表任意廣義角，但思考時將 θ 視為銳角想)：項目 1 2(負角) 3 4(補角) 5(同界角) 6 角度象限 IV IV I III II I 角度 0° + θ 0° − θ 180° + θ 180° − θ 360° + θ 360° − θ 函數 sin + sin θ − sin θ − sin θ + sin θ + sin θ − sin θ cos + cosθ + cosθ − cosθ − cosθ + cosθ + cosθ tan + tan θ − tan θ + tan θ − tan θ + tan θ − tan θ cot + cot θ − cot θ + cot θ − cot θ + cot θ − cot θ sec + secθ + secθ − secθ − secθ + secθ + secθ csc + cscθ − cscθ − cscθ + cscθ + cscθ − cscθ 項目象限角度函數. 7 II. 8(餘角) I. 9 IV. 10 III. 90° + θ. 90° − θ. 270° + θ. 270° − θ. sin + cosθ + cosθ − cosθ cos − sin θ + sin θ + sin θ tan − cot θ + cot θ − cot θ cot − tan θ + tan θ − tan θ sec − cscθ + cscθ + cscθ csc + secθ + secθ − secθ 【結論】 1. 化銳角： (1)有 θ 考慮：(a)函數是否要變。( 90° 的奇數倍要變) (b)正負號。(由角度所在象限考慮) (2)無 θ 考慮：(a)與 x 軸所夾銳角。 (b)正負號。(由角度所在象限考慮) 2. 輔助判別圖形： y. (0,1). ( −, + ) ( + , + ) sin csc. (−1,0). − cosθ − sin θ + cot θ + tan θ − cscθ − secθ. P ( x, y ) = (cos θ , sin θ ). 全正. θ cos sec. tan cot ( −, − ) ( + , − ). x. (1,0). (0,−1) 【問題】為何只要觀察與 x 軸所夾銳角就可以決定三角函數值的大小，然後再加上正負即可。(註：將 x, y 當成三角形的有號邊思考。).

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