1曲線間所圍面積

1. 曲線間所圍面積

1 曲線間所圍面積

−2 0 1

− +

− +

Figure 1:

積分可求出有號面積，那麼若要求區域所圍面積，可分

析 f (x) 的正負區間，遇到負的就用減的。例如若要求由曲線

y= x³+ x²− 2x 與x軸圍成區域的面積，作出函數圖如右，得知 在₋₂到₀這範圍是正的、₀到₁是負的。故所求為

∫ ₀

−2x³+ x²− 2x dx −

∫ ₁

0

x³+ x²− 2x dx

=(1 4x⁴+1

3x³− x²)¯¯

¯¯⁰

−2−(1 4x⁴+1

3x³− x²)¯¯

¯¯¹

0

=0 −( 4−8

3− 4)

−(1 4+1

3− 1)

+ 0 =8 3+ 5

12 =37 12

這樣便成功地求出曲線與_x 軸所圍區域面積。現在回頭審視剛剛的做法，我們一開始畫 出函數圖形，藉此判斷正負區間。然而有些同學卻卡在不知道如何畫函數圖。雖然我們 在大一微積分課程確實學過函數繪圖，但這裡其實有點殺雞用牛刀了。做問題的時候，

要明確哪些是主要目的、哪些是次要目的，哪些是藉以達成目的的手段。在這裡，畫出 函數圖根本不是我們的目的，我們所需要的資訊不過是函數的正負區間，畫圖只是用來 判斷正負的一種手段。要判斷正負並不一定就要畫出圖來，如果不會畫，就不要畫了！

−2 0 1

− +

− + 以本例來說，其實只要分析

x³+ x²− 2x = x(

x²+ x − 2)

= x(x + 2)(x − 1) 按照高中所學，簡單分析出正負區間如右圖就好。

用更簡潔的手法來說，曲線 _{y= f (x)}與_x軸所圍面積和曲線 _y=¯¯f (x)¯¯ 與_x 軸所圍面 積根本就是一樣的！那我就可以這樣說：

性質 1.1 曲線與x軸所圍面積

曲線_{y= f (x)}與_x軸、_{x= a}、_{x= b}所圍面積為

∫ _b

a

¯¯f (x)¯¯dx

若 _{f (x)= 0}的最小最大實根分別為_α,β，則曲線_{y= f (x)}與_x軸所圍面積為

∫ _β

α

¯¯f (x)¯¯dx y = f (x)

−2 0 1

− +

− +

(a)

y = |f (x)|

−2 0 1 + + + +

(b)

Figure 2:

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1. 曲線間所圍面積

求出曲線_{y= sin(x)}與_x軸、_{x= −}^π

3、_x=^π

2 所圍區域面積。

解

∫ π 2

−^π₃

¯¯sin(x)¯¯dx=

∫ ₀

−^π₃

¯¯sin(x)¯¯dx+

∫ π 2

0

¯¯sin(x)¯¯dx

=

∫ ₀

−^π₃−sin(x) dx +

∫ π 2

0

sin(x) dx

=cos(x)¯¯¯⁰

−^π₃ +[

−cos(x)]^π

2

0

=[

cos(0)− cos(

−π 3

)]+[

− cos(π 2

)−(

− cos(0))]

=[ 1−1

2 ]+[

0+ 1]

=3 2 例題 1.1

將曲線 _{y= f (x)}與 _x軸所圍面積表為^{∫ b}

a

¯¯f (x)¯¯dx，並不只是為了表達起來比較簡潔 而已。現在，我們可以輕易地推廣到兩曲線所圍區域面積。

性質 1.2 兩曲線所圍區域面積

曲線y= f (x)與 y= g(x)、x= a、x= b所圍面積為

∫ _b

a

¯¯f (x)− g(x)¯¯dx

若 f (x)= g(x)的最小最大實根分別為_α,β，則曲線y= f (x)與y= g(x)所圍面積為

∫ _β

α

¯¯f (x)− g(x)¯¯dx

可見，曲線_{y= f (x)}與_x軸所圍面積只不過是 _{g (x)= 0}的特殊情況罷了。

求曲線_{y= x(x − 2)}²與曲線 _y= 2x(x − 2)圍成區域面積。

解

2

0 4

− +

− + 設 _{f (x)= x(x − 2)}²_{, g (x)}= 2x(x − 2)

⇒ f (x) − g(x) = x(x − 2)²− 2x(x − 2) = x(x − 2)(x − 4)

於是可分析出正負區間如右，並知 _{f (x)= g(x)}的最小最大 實根分別為_{0, 4}。故所求為

∫ ₄

0

¯¯f (x)¯¯dx=

∫ ₂

0

x³− 6x²+ 8x dx −

∫ ₄

2

x³− 6x²+ 8x dx

=(1

4x⁴− 2x³+ 4x²)¯¯¯¯

2 0

−(1

4x⁴− 2x³+ 4x²)¯¯¯¯

4

2

=8 例題 1.2

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1. 曲線間所圍面積

2

0 4

許多同學會先嘗試作出兩曲線圖形如右圖，於是容易會有疑 問，要如何正確作出此圖，以便列出

∫ ₂

0

x(x− 2)²− 2x(x − 2) dx +

∫ ₄

2

2x(x− 2) − x(x − 2)²dx

要回答此疑問亦不困難，整個問題點其實就在於，在_{(0, 2)}區間與

(2, 4)區間，分別是 _{f (x)}和_{g (x)}誰比較大。只要分別代個易算的內

點，例如代_{x= 1,x = 3}到兩個函數，就能判定誰比較大了。然而使

用上面所列解法，就根本不須要煩惱作圖問題了。但是請勿誤解我的意思，這裡並不是 在說我提供的方法必然比畫圖簡便，而是說畫圖只是可用來判斷 _{f (x)− g(x)}正負的手段 之一，不要本末倒置，卡在不會畫圖。以下題為例，若以畫圖來判斷也很快。

求出曲線_{y= x + 2}與曲線_{y= x}²、_y 軸、_{x= 1}所圍區域面積。

解

設 _{f (x)}= x + 2,g(x) = x²，則 _{f (x)}− g(x) = x + 2 − x²= −(x − 2)(x + 1)。可知在_{[0, 1]}

區間，_{f (x)− g(x)}是正的。所以

∫ ₁

0

¯¯f (x)− g(x)¯¯dx=

∫ ₁

0

x+ 2 − x²dx

= [x²

2 + 2x −x³ 3

]₁

0

=1

2+ 2 −1 3=13

6 例題 1.3

在上一題中，若是選擇畫圖也很容易。_{y= x}²是我們熟悉的拋物線，_{y= x + 2}是個斜 率為正、y 截距為2的直線。因此很容易畫出並判斷在區間[0, 1]直線在拋物線上方，便 能正確列式。

有時候題目是換個方向，改求曲線與 _y 軸所圍區域面積，而此時曲線是由_{x= g(y)} 所確定。例如曲線_{x= y}²_{+ 1}與 _y軸、_{y= −1}、_{y= 2}所圍面積。這與前面的問題，就只是 直接_{x, y} 互換而已，所以我們將_{x= g(y)}，對_y 積分，列出

∫ ₂

−1y²+ 1 dy =[ y³ 3 + y]₂

−1=[8 3+ 2]

−[

−1 3− 1]

= 6

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