2-3 三元一次聯立方程式

2-3 三元一次聯立方程式

Ch2 空間中的平面與直線

製作老師：趙益男 / 基隆女中教師

發行公司：龍騰文化事業股份有限公司

2-3 三元一次聯立方程式

問﹕上﹑中﹑下茶每袋各重幾斤﹖

課本頁次：

101

上茶二袋﹑中茶三袋﹑下茶五袋﹐總重 28

斤﹔上茶一袋﹑中茶三袋﹑下茶三袋﹐總重 19 斤﹒

上茶一袋﹑中茶二袋﹑下茶二袋﹐總重 13 斤﹔

設上茶 x 斤﹐中茶 y 斤﹐下茶 z 斤 依題意得

2 2 13 2 3 5 28

3 3 19

x y z

x y z

x y z

  

   

   



像這種由三個未知數所形成的一次聯立方程式﹐

我們稱其為三元一次聯立方程式﹒

課本頁次： 102

解三元一次聯立方程式

2 2 13 2 3 5 28

3 3 19

x y z

x y z x y z

  

   

   



2 2 13 2 3 5 28 3 3 19

x y z

x y z x y z

  

   

   







 j k l

例 1

解： < 加減消去法 >

k–j× 2 ^{2 2 13}

6 2 y z

x

y y

z z

  

  



  



 



n m j

2z  8 z  4 代回n﹐得 ^{y  2} 再將 ^{y  2} ﹐ ^{z  4} 代回j﹐得 ^{x 1}

l–j 由m +n 得

聯立方程式的解為

∴

課本頁次： 102

解三元一次聯立方程式

2 2 13 2 3 5 28

3 3 19

x y z

x y z x y z

  

   

   



2 2 13 2 3 5 28 3 3 19

x y z

x y z x y z

  

   

   







 j k l

例 1

解： < 代入消去法 >

2 2 13

2 6 y z

x

y y

z z

  

  



  



 



 m n j 代入kl消去 ^x

13 2 2 x   y  z

由j得

2

y z  代回n﹐消去 y 得 ^{z  4}

再將 ^{y  2} ﹐ ^{z  4} 代回j﹐得 ^{x 1} 由m得

聯立方程式的解為

∴

代入m﹐得 ^{y  2}

課本頁次： 103

3 3

2 2 3 .

3 2 8

x y z x y z x y z

  

   

   



解三元一次聯立方程式

3 3 2 2 3 3 2 8

x y z x y z x y z

  

   

   







 j k l

4 3 3 8

3 3

1 x

y y

z z y z

  

  



 



  





n m

解： j

練 1

k–j2 l–j3

1 5z 5 z

     代回n﹐得 ^{y  0} 再將 ^{y  0} ﹐ ^{z  1} 代回j﹐得 ^{x  2}

由_{n  m 2} 得

聯立方程式的解為

∴

課本頁次：

103

解三元一次聯立方程式

2 3 3 2 5 6

2 5 7 10 x y z

x y z x y z

  

   

   

 2 3

3 2 5 6 2 5 7 10

x y z x y z

x y z

  

   

   







 j k l

由n＋m 消去 ﹐得 ^{3 y} 0  5

例 2

解：

k －j ×3 l －j ×2

3 2 3

3 3 4

x z

z y z

y

 y

 

  

 

 



 



 m n j

( 矛盾 )

∴ 聯立方程式無解﹒

課本頁次：

104

解三元一次聯立方程式

2 3

2 3

4 5 6 x y z

x y z

x y z

  

   

   

 2 3

2 3

4 5 6 x y z

x y z

x y z

  

   

   







 j k l

由m＋n﹐得 ﹐即 例 3

解： k －

j 2 l －j

3 3 3 3

3

3 2

3 y

z z y

x y  z



 



  

  



 m n j

0 0 2 3

1 y

y z z x

  

  



 

 o

j

令　　代入z t o ^{y   1 t} 再將 1 代入j

y t

z t

  

 



課本頁次：

104

例 3

令　　代入o z t ^{y   1 t} 再將 1 代入j

y t

z t

  

 



 ^{聯立方程式的解為 1 ,}

2

x t

y t

z t







  

 





( 是實數 ) t

2 3

x y  z   ^{x  2 t}

∴

2 3

2 3

4 5 6 x y z

x y z

x y z

  

   

   



解：

課本頁次： 104

解下列三元一次聯立方程式﹕

(1) 3 2

2 2 1

3 3 3

x y z x y z x y z

  

   

   



由 n  m 2 消去 y, 得

5 3

3 2

10 3 y

x y z y



  



  



 



n m

解： j

練 3

3 2

2 2 1

3 3 3

x y z x y z x y z

  

   

   







 j

k l

k–j2 l –j3

0 3 ( 矛盾 )

∴ 聯立方程式無解﹒

課本頁次： 104

解下列三元一次聯立方程式﹕

(2) 2 5

4 7

3 3 2 9 x y z

x y z x y z

  

    

   



由 n  2  m 消去 y, 得

6 2 12

2 5

3 6

y z

y

y z

x z

   

 

 





 



 





 n j

m

解：

練 3

2 5

4 7

3 3 2 9 x y z

x y z x y z

  

    

   







 j k l

k–j l –j3

0 0 ﹐即

2

5 3y z 6 x  y z 



  





o j

令　　代入y t o _{z   6 3t 再將 代入j} 6 3

y t

z t

 

   



課本頁次： 104

解下列三元一次聯立方程式﹕

(2) 2 5

4 7

3 3 2 9 x y z

x y z x y z

  

    

   

解： 

練 3

令　　代入y t o _{z   6 3t 再將 代入j} 6 3

y t

z t

 

   



 ^{聯立方程式的解為 ,}

1 6 3

x t

y t

z t

  



 





 

( 是實數 ) t

2 5

x  y z   ^{x   1 t}

∴

課本頁次： 105

已知二次函數　　　　　　 的圖形通過 (1,1), (2,3),(3,7) 三點﹐求 ﹐﹐ 的值﹒

y ax 2  bx c a b ^c

1

4 2 3

9 3 7

a b c a b c a b c

  

   

   







 j

k l

由m ﹐n解得 a 1 ﹐

b   1

∴

a  1

c  1

解： k －j

l －k

3 2 1

5 4

a b a b a b

  c





  

  



n m j

課本頁次： 105

已知圓 x² + y² + dx + ey + f = 0 通過 (1,1), (1,–

1), (–2,1) 三點﹐求 d, e, f 的值﹒

解：

練 4

2 0 2 0

2 5 0

d e f d e f

d e f

   

    

    







 j k l

k －j l －k

2

2 0

3 2 3 0 e 0 d

d e f

  e 

 



  

  



 



 m n

j

由m﹐n解得 e  0﹐

d  1

再將 d 1﹐ e  0 代回j﹐解得f  3

∴

d  1

f   3

課本頁次： 106

乙、三元一次聯立方程式的公式解

令二階行列式 ^{1 1}

2 2

a b

  a b ^{1 1}

2 2

x

c b

  c b ^{1 1}

2 2

y

a c a c

﹐ ﹐   ﹒ 當^{  0}時﹐聯立方程式恰有一組解 ^{x  x}



y y

 

﹐ ﹒

1 1 1

2 2 2

a x b y c a x b y c

 

  

在聯立方程式 中﹐

幾何意義：

兩條直線^{a x b y c1  1  1}與a x b y c2  2  2 恰有一個交點﹐

且其交點坐標為 ^{ }_{ }^{x , y } ﹒

 

課本頁次： 107

設三元一次聯立方程式

1 1 1

2 2 2

1

3

3 3 3

2

d d a x b y c z

a x b y c z

a x b y c z d

  

   

   



令

1 1 1

2 2 2

3 3 3

a b c

a b c

a b c

 

1 2

1

3 3

3

1

2 2

x

b c b c d

d b c

  d

1 1

2

1

2 2

3 3 3

y

a c

a c

d a

d

d c

 

1 1

2 2 2

3

3 3

1

z

a b

a d

d b

a b

d

 

﹐

﹐

乙、三元一次聯立方程式的公式解

課本頁次： 107

1 1 1

2 2 2

3 3 3

x

d b c

d b c

d b c

  ₂^{1 1 0}_{2 0} ^{1 0}_{2 0} ¹₂ ¹₂

3 3 0 3 0 3 3

d b y c z b c d b y c z b c d b y c z b c

 

  

 

 y0

 

 z0

 

1 0 1 1

2 0 2 2

3 0 3 3

a x b c a x b c a x b c

   x0

乙、三元一次聯立方程式的公式解

 x y z0, ,0 0

若 是聯立方程式的一組解﹐則

1 1 1

2 2 2

3 3

1 2

3 3

0 0 0

0 0 0

0 0 0

d a x b y c z

a x b y c z a

d

x b y c z d

  

  

  





當  0時﹐x₀ ^x

  ﹐同理可得 ^y₀ ^{ y , z}₀ ^{ z}

 

1 1 1 1

2 2 2 2

3 3 3 3

a x b y c z d a x b y c z d

a x b y c z d

  

   

   



當 時﹐此聯立方程式恰有一組解_{  0}

0 x

x  

 ⁰

y y

  ⁰

z  z



﹐ ﹐ ﹒

課本頁次： 108

克拉瑪公式

設 為三元一次聯立方程式﹒

課本頁次： 108

1 1 3

2 3 1 15 1 18 ( 3) ( 10) 9 6 1 3 5

            



1 3

3 1 2 3

1 ,

1

5 0

 x  



3 2 3

3 5

1 1 0 x y z

x y z x y z











  

  

  

利用克拉瑪公式﹐解聯立方程式 例 5

解：

1 1

1 3

2 1 1, 5

0 1

 y  



2 1 1 1

, ,

6 3 6 6

x   y  z 

∴ 此聯立方程式恰有一組解

1 1 1 1

2 3 1 , 1 3 0

 z 

課本頁次： 109

三平面 x+2y +z = 4, 2x–y + z = –1, x–3y+2z = – 7

4 1 2

2

3 2 7 x y z

x y z x y z

  

   

    





10 20 10

1, 2, 1

10 10 10

x y z

 

 

 

     

∴

1)

解：

練 5

交於一點﹐求此交點的坐標﹒

1 2 1 2 1 1 1 3 2

    10





2 1 1 1 4

1 7

10 3 2

 x   







1 1

2 1

4

1 0

7

2

1 2

y 



   

1 2

2 1 1

4

0 1 3

1 7

z 

 

   



﹐

﹐

課本頁次： 109

1 1 2

2 3 1 0 2 1

a

 

  



例 6

解：

3 1 2

2 3 2

x y z x y z ax y z b











  

  

  

已知聯立方程式 有無限多組解﹐ 求 a, b 的值﹒

3 a 8 2 2 ( 6 ) 0a

        

3

 a 

5a 15 0

  

3 1

1 2

3 1 0 2 1

x

b

 

  



9 b 4 6 1 ( 6 ) 0b

        

4

 b 

5b 20 0

  

課本頁次： 110

已知聯立方程式 無解﹐求 a 的值﹒

2 2 3

3 1

3 4 x y z x y z ax y z

  

   

   

 2 1 2 3 1 1 0

1 3 a



   



 

6 a 6 2 9 2a 0

       

 7 – a = 0

 a = 7

解：

練 6

課本頁次：

110

今有賣牛一﹑羊二﹑以買五豕﹐有餘 錢二兩﹔賣牛一﹑豕一﹑以買三羊錢 適足﹔賣羊二﹑豕三﹑以買二牛錢不 足一兩﹒問牛﹑羊﹑豕價各幾何？

（豕 ( ㄕ ˇ) ：是家畜豬的意思）

例 7

解： 設牛一頭 x 兩﹑羊一頭 y 兩﹑豕一頭 z 兩﹒

2 0 2 5

3

2 2 3 1

x y z

x y z

x y z

  



    

    



1 2 5 1 3 1

2 2 3



   



9 4 10 2 6 ( 30) 1

         

課本頁次：

110

例 7設牛一頭 x 兩﹑羊一頭 y 兩﹑豕一頭 z 兩﹒

,  1

2 5 3 1 2

0

2

1 3

x



  



      18 2 0 4 0 ( 15)   9 2

0 2 5

3

2 2 3 1

x y z

x y z

x y z

  



    

    



2

1 5

1 1

3 1

2

y 0







 



0 4 5 ( 1) 6 0 4

         ,   ,_x 9   _y 4

課本頁次：

110

例 7設牛一頭 x 兩﹑羊一頭 y 兩﹑豕一頭 z 兩﹒

,  1 2

0 2 5

3

2 2 3 1

x y z

x y z

x y z

  



    

    



,   ,_x 9   _y 4

1 2 1 3

2 2

2 0 1

  z 





3 0 4 0 ( 2) 12 3

        

∴

9 4

9, 4, 3

1 1

3

x 1 y z

 

  

   

   

課本頁次： 111

練 7 偉和走一山間步道﹐依序有上坡﹑平路﹑下坡 三段﹐總長 12 公里﹒上坡時他每小時行 2 公里﹑平路

解：

時每小時行 4 公里﹑下坡時則每小時行 5 公 里﹒已知去時花了 3.9 小時﹐回程則用了 3.3 小時﹐

問﹕上坡﹑平路﹑下坡三路段各有多少公里長﹖

設上坡﹑平路﹑下坡分別為 x 公里﹑ y 公里 ﹑ z 公里

課本頁次： 111

練 7 偉和走一山間步道﹐依序有上坡﹑平路﹑下坡 三段﹐總長 12 公里﹒上坡時他每小時行 2 公里﹑平路

解：

時每小時行 4 公里﹑下坡時則每小時行 5 公 里﹒已知去時花了 3.9 小時﹐回程則用了 3.3 小時﹐

問﹕上坡﹑平路﹑下坡三路段各有多少公里長﹖

設上坡﹑平路﹑下坡分別為 x 公里﹑ y 公里 ﹑ z 公里

12 2 4 5 3.9

5 4 2 3.3 x y z

x y z x y z

  



   



   



課本頁次： 111

練 7 ¹²

2 4 5 3.9 5 4 2 3.3 x y z

x y z x y z

  



   



   



1 1 1 10 5 4 4 5 10

 

12 78

1 1 5 4 5 10 66

 x

96

2 4 x 4

   

12

78 10 5 4

4 5 10 66 x y z

x y z

x y z

  



    

   



 

1 1

5 4 6 100 2

6 13 44 65 40 130 5 96

1

5 5 10

1

        

50 16 50 20 100 20 24

       

課本頁次： 111

練 7 ¹²

2 4 5 3.9 5 4 2 3.3 x y z

x y z x y z

  



   



   



1 1

10

12

78 4 4 66 10

 y

144

2 6

y 4



   

12

78 10 5 4

4 5 10 66 x y z

x y z

x y z

  



    

   



1 1 1 10 5 4 4 5 10

  50 16 50 20 100 20      24

 

1 1

10 4 6 130 32 110 44 200 52

4 10

2

6 13 144

11

        

課本頁次： 111

練 7 ¹²

2 4 5 3.9 5 4 2 3.3 x y z

x y z x y z

  



   



   



1 1 10

12 78 6 5

6 4 5

 z

48

2 2 z 4

   

12

78 10 5 4

4 5 10 66 x y z

x y z

x y z

  



    

   



1 1 1 10 5 4 4 5 10

  50 16 50 20 100 20      24

 

1 1

10 5 6 55 52 100 6 2

6 13 48

11

5 110 40 4 5

        

課本頁次： 111

練 7 ¹²

2 4 5 3.9 5 4 2 3.3 x y z

x y z x y z

  



   



   



12

78 10 5 4

4 5 10 66 x y z

x y z

x y z

  



    

   



6

2 4,

x y z

   

∴ 上坡長 4 公里﹑平路長 6 公里﹑下坡長 2 公里

課本頁次： 111

乙、三元一次聯立方程式的公式解

克拉瑪公式的優點是：

「檢驗聯立方程式是否恰有唯一解」

課本頁次： 112

丙、三平面幾何關係的代數判定

三元一次聯立方程式

1 1 1 1

2 2 2 2

3 3 3 3

a x b y c z d a x b y c z d

a x b y c z d

  

   

   



的解就是聯立方程式中三個平面的共同交點﹒ 當 時﹐這三平面恰交

於一點

  0

(x , ^y , )z

  

課本頁次： 112

丙、三平面幾何關係的代數判定

三元一次聯立方程式

1 1 1 1

2 2 2 2

3 3 3 3

a x b y c z d a x b y c z d

a x b y c z d

  

   

   



的解就是聯立方程式中三個平面的共同交點﹒

當 時﹐此時三平面相交的情形有以下 7 種：

  0

課本頁次： 112

(1) 當三個法向量都互相平行時﹐

有 3 種情形：

三平面重合 二平面重合且與

第三平面平行 三平面平行

丙、三平面幾何關係的代數判定

課本頁次： 112

(2) 當其中二個法向量平行﹐另一個不平行時﹐

有 2 種情形：

二平面重合且與第 三平面交於一直線

二平面平行且與第三 平面分別交於一直線

丙、三平面幾何關係的代數判定

課本頁次： 113

(3) 當三個法向量均不互相平行時﹐

有 2 種情形：

三平面兩兩不重合 且相交於一直線

三平面兩兩交於一直 線但沒有共同交點

丙、三平面幾何關係的代數判定

綜合上面的討論可得﹐三元一次聯立方程式

1 1 1 1

2 2 2 2

3 3 3 3

a x b y c z d a x b y c z d

a x b y c z d

  

   

   



的解與三平面的幾何關係有以下的結論：

課本頁次： 113

方程組的解 幾何關係

恰有一解 三平面恰交於一點

  0

丙、三平面幾何關係的代數判定

綜合上面的討論可得﹐三元一次聯立方程式

1 1 1 1

2 2 2 2

3 3 3 3

a x b y c z d a x b y c z d

a x b y c z d

  

   

   



的解與三平面的幾何關係有以下的結論：

課本頁次： 113

方程組的解 幾何關係

無解 三平面沒有共同交點

無限多組解 三平面交於一直線或一平面

  0

丙、三平面幾何關係的代數判定