2-3 三元一次聯立方程式

全文

(1)

2-3 三元一次聯立方程式

Ch2 空間中的平面與直線

製作老師:趙益男 / 基隆女中教師

發行公司:龍騰文化事業股份有限公司

(2)

2-3 三元一次聯立方程式

問﹕上﹑中﹑下茶每袋各重幾斤﹖

課本頁次:

101

上茶二袋﹑中茶三袋﹑下茶五袋﹐總重 28

斤﹔上茶一袋﹑中茶三袋﹑下茶三袋﹐總重 19 斤﹒

上茶一袋﹑中茶二袋﹑下茶二袋﹐總重 13 斤﹔

設上茶 x 斤﹐中茶 y 斤﹐下茶 z 斤 依題意得

2 2 13 2 3 5 28

3 3 19

x y z

x y z

x y z

   

   

像這種由三個未知數所形成的一次聯立方程式﹐

我們稱其為三元一次聯立方程式

(3)

課本頁次: 102

解三元一次聯立方程式

2 2 13 2 3 5 28

3 3 19

x y z

x y z x y z

   

   

2 2 13 2 3 5 28 3 3 19

x y z

x y z x y z

   

   

j k l

例 1

解: < 加減消去法 >

k–j× 2 2 2 13

6 2 y z

x

y y

z z

 

n m j

2z  8 z 4 代回n﹐得 y 2 再將 y 2 z 4 代回j﹐x 1

l–j m +n

聯立方程式的解為

x 1 y 2 z 4

(4)

課本頁次: 102

解三元一次聯立方程式

2 2 13 2 3 5 28

3 3 19

x y z

x y z x y z

   

   

2 2 13 2 3 5 28 3 3 19

x y z

x y z x y z

   

   

j k l

例 1

解: < 代入消去法 >

2 2 13

2 6 y z

x

y y

z z

 

m n j 代入kl消去 x

13 2 2 x   y z

由j得

2

y z  代回n﹐消去 y 得 z 4

再將 y 2 z 4 代回j﹐x 1 m

聯立方程式的解為

x 1 y 2 z 4

代入m﹐得 y 2

(5)

課本頁次: 103

3 3

2 2 3 .

3 2 8

x y z x y z x y z

 

   

   

解三元一次聯立方程式

3 3 2 2 3 3 2 8

x y z x y z x y z

  

   

   

j k l

4 3 3 8

3 3

1 x

y y

z z y z

  

  

 

n m

解: j

練 1

k–j2 l–j3

1 5z 5 z

     代回n﹐得 y 0 再將 y 0 z  1 代回j﹐x 2

n  m 2

聯立方程式的解為

x 2 y 0 z   1

(6)

課本頁次:

103

解三元一次聯立方程式

2 3 3 2 5 6

2 5 7 10 x y z

x y z x y z

 

   

   

2 3

3 2 5 6 2 5 7 10

x y z x y z

x y z

 

   

   

j k l

nm 消去 ﹐得 3 y 0  5

例 2

解:

k -j ×3 l -j ×2

3 2 3

3 3 4

x z

z y z

y

 y

 

  

m n j

( 矛盾 )

∴ 聯立方程式無解

(7)

課本頁次:

104

解三元一次聯立方程式

2 3

2 3

4 5 6 x y z

x y z

x y z

 

   

   

2 3

2 3

4 5 6 x y z

x y z

x y z

 

   

   

j k l

mn﹐得 ﹐即 例 3

解: k -

j 2 l -j

3 3 3 3

3

3 2

3 y

z z y

x y  z

 

  

m n j

0 0 2 3

1 y

y z z x

  

 

o

j

令  代入z t o y   1 t 再將 1 代入j

y t

z t

  

 

(8)

課本頁次:

104

例 3

令  代入o z ty   1 t 再將 1 代入j

y t

z t

  

 

聯立方程式的解為 1 ,

2

x t

y t

z t

  

( 是實數 ) t

2 3

x y  z x  2 t

聯立方程式有無限多組解 解三元一次聯立方程式

2 3

2 3

4 5 6 x y z

x y z

x y z

 

   

   

解:

(9)

課本頁次: 104

解下列三元一次聯立方程式

(1) 3 2

2 2 1

3 3 3

x y z x y z x y z

 

   

   

nm 2 消去 y,

5 3

3 2

10 3 y

x y z y

 

 

 

n m

解: j

練 3

3 2

2 2 1

3 3 3

x y z x y z x y z

 

   

   

j

k l

k–j2 l –j3

0 3 ( 矛盾 )

∴ 聯立方程式無解

(10)

課本頁次: 104

解下列三元一次聯立方程式

(2) 2 5

4 7

3 3 2 9 x y z

x y z x y z

 

    

   

n  2  m 消去 y,

6 2 12

2 5

3 6

y z

y

y z

x z

  

n j

m

解:

練 3

2 5

4 7

3 3 2 9 x y z

x y z x y z

 

    

   

j k l

k–j l –j3

0 0 ﹐即

2

5 3y z 6 x y z 

 

o j

令  代入y t o z   6 3t 再將 代入j 6 3

y t

z t

 

   

(11)

課本頁次: 104

解下列三元一次聯立方程式

(2) 2 5

4 7

3 3 2 9 x y z

x y z x y z

 

    

   

解:

練 3

令  代入y t o z   6 3t 再將 代入j 6 3

y t

z t

 

   

聯立方程式的解為 ,

1 6 3

x t

y t

z t

  

 

( 是實數 ) t

2 5

x y z  x   1 t

聯立方程式有無限多組解

(12)

課本頁次: 105

已知二次函數       的圖形通過 (1,1), (2,3),(3,7) 三點﹐求 ﹐﹐ 的值﹒

y ax 2 bx c a b c

1

4 2 3

9 3 7

a b c a b c a b c

  

   

   

j

k l

m n解得 a 1

b   1

再將 a 1 b  1 代回j﹐解得c 1

a  1

b  1

c  1

例 4

解: k -j

l -k

3 2 1

5 4

a b a b a b

  c

 

 

n m j

(13)

課本頁次: 105

已知圓 x2 + y2 + dx + ey + f = 0 通過 (1,1), (1,–

1), (–2,1) 三點﹐求 d, e, f 的值﹒

解:

練 4

2 0 2 0

2 5 0

d e f d e f

d e f

   

    

    

j k l

k -j l -k

2

2 0

3 2 3 0 e 0 d

d e f

e

 

 

m n

j

m﹐n解得 e  0

d  1

再將 d 1 e 0 代回j﹐解得f  3

d  1

e 0

f   3

(14)

課本頁次: 106

乙、三元一次聯立方程式的公式解

令二階行列式 1 1

2 2

a b

  a b 1 1

2 2

x

c b

  c b 1 1

2 2

y

a c a c

    0時﹐聯立方程式恰有一組解 x x

y y

1 1 1

2 2 2

a x b y c a x b y c

在聯立方程式 中﹐

幾何意義

兩條直線a x b y c1 1 1a x b y c2 2 2 恰有一個交點﹐

且其交點坐標為  x , y

(15)

課本頁次: 107

設三元一次聯立方程式

1 1 1

2 2 2

1

3

3 3 3

2

d d a x b y c z

a x b y c z

a x b y c z d

1 1 1

2 2 2

3 3 3

a b c

a b c

a b c

 

1 2

1

3 3

3

1

2 2

x

b c b c d

d b c

  d

1 1

2

1

2 2

3 3 3

y

a c

a c

d a

d

d c

 

1 1

2 2 2

3

3 3

1

z

a b

a d

d b

a b

d

 

乙、三元一次聯立方程式的公式解

(16)

課本頁次: 107

1 1 1

2 2 2

3 3 3

x

d b c

d b c

d b c

  21 1 02 0 1 02 0 12 12

3 3 0 3 0 3 3

d b y c z b c d b y c z b c d b y c z b c

y0

 

z0

 

1 0 1 1

2 0 2 2

3 0 3 3

a x b c a x b c a x b c

  x0

乙、三元一次聯立方程式的公式解

x y z0, ,0 0

是聯立方程式的一組解﹐則

1 1 1

2 2 2

3 3

1 2

3 3

0 0 0

0 0 0

0 0 0

d a x b y c z

a x b y c z a

d

x b y c z d



  0時﹐x0 x

﹐同理可得 y0 y , z0 z

(17)

1 1 1 1

2 2 2 2

3 3 3 3

a x b y c z d a x b y c z d

a x b y c z d

當 時﹐此聯立方程式恰有一組解  0

0 x

x  

0

yy

  0

z  z

課本頁次: 108

克拉瑪公式

為三元一次聯立方程式﹒

(18)

課本頁次: 108

1 1 3

2 3 1 15 1 18 ( 3) ( 10) 9 6 1 3 5

            

1 3

3 1 2 3

1 ,

1

5 0

 x  

3 2 3

3 5

1 1 0 x y z

x y z x y z

  

  

  

利用克拉瑪公式﹐解聯立方程式 例 5

解:

1 1

1 3

2 1 1, 5

0 1

 y  

2 1 1 1

, ,

6 3 6 6

x   y z

此聯立方程式恰有一組解

1 1 1 1

2 3 1 , 1 3 0

 z

(19)

課本頁次: 109

三平面 x+2y +z = 4, 2x–y + z = –1, x–3y+2z = – 7

4 1 2

2

3 2 7 x y z

x y z x y z

 

   

   

10 20 10

1, 2, 1

10 10 10

x y z

 

三平面交於點 (1,2,–

1)

解:

練 5

交於一點﹐求此交點的坐標

1 2 1 2 1 1 1 3 2

  10

2 1 1 1 4

1 7

10 3 2

 x  

1 1

2 1

4

1 0

7

2

1 2

y

   

1 2

2 1 1

4

0 1 3

1 7

z

 

(20)

課本頁次: 109

1 1 2

2 3 1 0 2 1

a

 

例 6

解:

3 1 2

2 3 2

x y z x y z ax y z b

  

  

  

已知聯立方程式 有無限多組解 求 a, b 的值﹒

3 a 8 2 2 ( 6 ) 0a

       

3

a

5a 15 0

3 1

1 2

3 1 0 2 1

x

b

 

9 b 4 6 1 ( 6 ) 0b

       

4

b

5b 20 0

(21)

課本頁次: 110

已知聯立方程式 無解﹐求 a 的值﹒

2 2 3

3 1

3 4 x y z x y z ax y z

 

   

   

2 1 2 3 1 1 0

1 3 a

 

 

6 a 6 2 9 2a 0

      

 7 – a = 0

 a = 7

解:

練 6

(22)

課本頁次:

110

今有賣牛一﹑羊二﹑以買五豕﹐有餘 錢二兩﹔賣牛一﹑豕一﹑以買三羊錢 適足﹔賣羊二﹑豕三﹑以買二牛錢不 足一兩﹒問牛﹑羊﹑豕價各幾何?

(豕 ( ㄕ ˇ) :是家畜豬的意思)

例 7

解: 設牛一頭 x 兩﹑羊一頭 y 兩﹑豕一頭 z 兩﹒

2 0 2 5

3

2 2 3 1

x y z

x y z

x y z

 



1 2 5 1 3 1

2 2 3

  

9 4 10 2 6 ( 30) 1

     

(23)

課本頁次:

110

例 7設牛一頭 x 兩﹑羊一頭 y 兩﹑豕一頭 z 兩﹒

,  1

2 5 3 1 2

0

2

1 3

x

 

     18 2 0 4 0 ( 15) 9 2

0 2 5

3

2 2 3 1

x y z

x y z

x y z

 



2

1 5

1 1

3 1

2

y 0

 

0 4 5 ( 1) 6 0 4

      ,   ,x 9   y 4

(24)

課本頁次:

110

例 7設牛一頭 x 兩﹑羊一頭 y 兩﹑豕一頭 z 兩﹒

,  1 2

0 2 5

3

2 2 3 1

x y z

x y z

x y z

 



,   ,x 9   y 4

1 2 1 3

2 2

2 0 1

  z

3 0 4 0 ( 2) 12 3

      

牛一頭 9 兩﹑羊一頭 4 兩﹑豕一頭 3 兩﹒

9 4

9, 4, 3

1 1

3

x 1 y z

(25)

課本頁次: 111

練 7 偉和走一山間步道﹐依序有上坡﹑平路﹑下坡 三段﹐總長 12 公里﹒上坡時他每小時行 2 公里﹑平路

解:

時每小時行 4 公里﹑下坡時則每小時行 5 公 里﹒已知去時花了 3.9 小時﹐回程則用了 3.3 小時﹐

問﹕上坡﹑平路﹑下坡三路段各有多少公里長﹖

設上坡﹑平路﹑下坡分別為 x 公里﹑ y 公里 ﹑ z 公里

(26)

課本頁次: 111

練 7 偉和走一山間步道﹐依序有上坡﹑平路﹑下坡 三段﹐總長 12 公里﹒上坡時他每小時行 2 公里﹑平路

解:

時每小時行 4 公里﹑下坡時則每小時行 5 公 里﹒已知去時花了 3.9 小時﹐回程則用了 3.3 小時﹐

問﹕上坡﹑平路﹑下坡三路段各有多少公里長﹖

設上坡﹑平路﹑下坡分別為 x 公里﹑ y 公里 ﹑ z 公里

12 2 4 5 3.9

5 4 2 3.3 x y z

x y z x y z

  

   

   

(27)

課本頁次: 111

練 7 12

2 4 5 3.9 5 4 2 3.3 x y z

x y z x y z

  

   

   

1 1 1 10 5 4 4 5 10

 

12 78

1 1 5 4 5 10 66

 x

96

2 4 x 4

 

12

78 10 5 4

4 5 10 66 x y z

x y z

x y z

  

  

 

1 1

5 4 6 100 2

6 13 44 65 40 130 5 96

1

5 5 10

1

 

50 16 50 20 100 20 24

(28)

課本頁次: 111

練 7 12

2 4 5 3.9 5 4 2 3.3 x y z

x y z x y z

  

   

   

1 1

10

12

78 4 4 66 10

 y

144

2 6

y 4

12

78 10 5 4

4 5 10 66 x y z

x y z

x y z

  

  

1 1 1 10 5 4 4 5 10

  50 16 50 20 100 20 24

 

1 1

10 4 6 130 32 110 44 200 52

4 10

2

6 13 144

11

   

(29)

課本頁次: 111

練 7 12

2 4 5 3.9 5 4 2 3.3 x y z

x y z x y z

  

   

   

1 1 10

12 78 6 5

6 4 5

 z

48

2 2 z 4

 

12

78 10 5 4

4 5 10 66 x y z

x y z

x y z

  

  

1 1 1 10 5 4 4 5 10

  50 16 50 20 100 20 24

 

1 1

10 5 6 55 52 100 6 2

6 13 48

11

5 110 40 4 5

   

(30)

課本頁次: 111

練 7 12

2 4 5 3.9 5 4 2 3.3 x y z

x y z x y z

  

   

   

12

78 10 5 4

4 5 10 66 x y z

x y z

x y z

  

  

6

,

2 4,

x y z

 

∴ 上坡長 4 公里﹑平路長 6 公里﹑下坡長 2 公里

(31)

課本頁次: 111

乙、三元一次聯立方程式的公式解

克拉瑪公式的優點是:

「檢驗聯立方程式是否恰有唯一解」

(32)

課本頁次: 112

丙、三平面幾何關係的代數判定

三元一次聯立方程式

1 1 1 1

2 2 2 2

3 3 3 3

a x b y c z d a x b y c z d

a x b y c z d

的解就是聯立方程式中三個平面的共同交點 當 時﹐這三平面恰交

於一點

  0

(x , y , )z

  

(33)

課本頁次: 112

丙、三平面幾何關係的代數判定

三元一次聯立方程式

1 1 1 1

2 2 2 2

3 3 3 3

a x b y c z d a x b y c z d

a x b y c z d

的解就是聯立方程式中三個平面的共同交點

當 時﹐此時三平面相交的情形有以下 7 種:

  0

(34)

課本頁次: 112

(1) 當三個法向量都互相平行時﹐

有 3 種情形:

三平面重合 二平面重合且與

第三平面平行 三平面平行

丙、三平面幾何關係的代數判定

(35)

課本頁次: 112

(2) 當其中二個法向量平行﹐另一個不平行時﹐

有 2 種情形:

二平面重合且與第 三平面交於一直線

二平面平行且與第三 平面分別交於一直線

丙、三平面幾何關係的代數判定

(36)

課本頁次: 113

(3) 當三個法向量均不互相平行時﹐

有 2 種情形:

三平面兩兩不重合 且相交於一直線

三平面兩兩交於一直 線但沒有共同交點

丙、三平面幾何關係的代數判定

(37)

綜合上面的討論可得﹐三元一次聯立方程式

1 1 1 1

2 2 2 2

3 3 3 3

a x b y c z d a x b y c z d

a x b y c z d

的解與三平面的幾何關係有以下的結論:

課本頁次: 113

方程組的解 幾何關係

恰有一解 三平面恰交於一點

  0

丙、三平面幾何關係的代數判定

(38)

綜合上面的討論可得﹐三元一次聯立方程式

1 1 1 1

2 2 2 2

3 3 3 3

a x b y c z d a x b y c z d

a x b y c z d

的解與三平面的幾何關係有以下的結論:

課本頁次: 113

方程組的解 幾何關係

無解 三平面沒有共同交點

無限多組解 三平面交於一直線或一平面

  0

丙、三平面幾何關係的代數判定

數據

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參考文獻

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