國立楊梅高級中學 101 學年度 第 2 學期 第一次期中考試 高一數學試題卷
共3 頁．第 1 頁 使用答案卡：□是 □V 否 使用答案卷： □V 是 □否 一年____班 座號： 姓名：
考試科目 高一數學 使用班級 101-113 命題教師 陳健在 考試範圍 1-1 至 2-1
備 註 說 明
1.請將答案填入答案卷相應欄空格內 2.繳回答案卷
3.請利用空白計算
得
分 一、多選擇題：(每題 6 分，共 30 分，錯 1 選項得 3 分，錯 2 選項或以上得 0 分)
1.試判斷下列何者為「敘述」？
(A)
2
是自然數 (B)數學題目很簡單 (C) x＞2，x是實數 (D)高斯是數學老師 (E) 0.99
＝12.設集合 S＝{1，2，{1，2}，3}，下列哪些選項是正確？
(A) S 有 32 個子集 (B) 1∈S (C) {1，2}∈S (D) {1，3}⊂ S (E) {1，2}⊂ S
3.有關於 Σ 的性質，下列哪些選項是正確？
(A)
∑
= 200 −
1
) 1 2 (
k
k ＝
∑
= 201 +
0
) 1 2 (
m
m (B)
∑
= 30 1 k
a ＝k
∑
= 10 1 k
a ＋k
∑
= 30
11 j
a
j (C)∑
= n ×
k
k
k b
a
1
＝
∑
= n
k
ak 1
×
∑
= n
k
bk 1
(D)
∑
= +
n
k 0 k 1
3 ＝
∑
= n
k 0
3
∑
= +
⋅ n
k 0 k 1
1 (E)
∑
= n
k
n
1
＝n 2
4.已知 P，Q 為兩非空集合，下列哪些選項是正確？
(A) (P－Q)∪(Q－P)＝P∪Q (B) (P－Q)與(P∩Q)互斥 (C) n(P×Q) ≠ n(Q×P) (D) (P∩Q) ⊂ P ⊂ (P∪Q) (E) (P∪Q)′＝P′∪Q′
5.設數列＜a ＞，其前n
n
項的和為n ＋5n－2，則下列哪些選項是正確？ 2(A)數列＜a ＞為等差數列 (B)數列＜n a ＞為等比數列 (C)數列＜n a ＞不為等比或等差數列 n (D)數列＜a ＞的首項大於 0 n (E)數列＜a ＞中，n a ＝38 20
二、填充題：(每題5分，共60分)
1.求 1 到 200 的整數中，既不是 3 的倍數也不是 5 的倍數者有________個？
2.設三個不同數 a，b，c 為一等比數列，且(a＋b)，(b＋c)，(a＋c)成等差數列，則 a，b，c 三數的公比為_____
3.設一等差數列第 6 項為 45，第 21 項為－10，若前 k 項的和為最大，則 k＝_____
4.設 n 為自然數，已知22n+1＋32n+1恆為P 的倍數，其中 P 為大於 1 的正整數，則 P 之值＝______
5.設數列＜a ＞滿足n
≥ + +
=
=
+
( 1 ) , 1
1
1 1
n n a a a
n n
，試求其一般項a ＝_________ n
6.設兩集合 A＝{ 1，2，4，6，7}，B＝{2，4，5，7，9}，則(A∪B)－(A∩B)＝____________
7.化簡
∑
= n +
k
k
1
)2
1 2
( －
∑
= n −
k
k
1
)2
3 2
( ＝____________
國立楊梅高級中學 101 學年度 第 2 學期 第一次期中考試 高一數學試題卷
共3 頁．第 2 頁 使用答案卡：□是 □V 否 使用答案卷：□V 是 □否 一年____班 座號： 姓名：
考試科目 高一數學 使用班級 101-113 命題教師 陳健在 考試範圍 1-1 至 2-1
備 註 說 明
1.請將答案填入答案卷相應欄空格內 2.繳回答案卷
3.請利用空白計算
得
分
8.化簡3 2＋
5 3
2 + ＋
7 5 3
2 +
+ ＋……＋
17 7
5 3
2 + + +
+ L ＝________
9.設數列＜a ＞滿足n
≥
−
=
=
−
2 , 2
3 4
1 1
n a
a a
n n
，其中an =3an−1−2 與an +k=3(an−1+k) 同義，
則其一般項a ＝_________ n
10.某班 35 位同學中，有 12 位參加數學研究社，有 11 位參加日文研究社，有 9 位參加熱舞社，其中有 7 位同時參加 數學研究與日文研究社，有6 位同時參加數學研究社與熱舞社，有 4 位同時參加日文研究社與熱舞社，且 3 個社團 都參加的有 2 位，請問這 35 位同學中有_____位同學均未參加任一個社團。
11.阿東進入某家麥當勞，發現有 2 種不同的牛肉吉事餐堡，3 種不同的麥香餐，奶昔、大薯條、小薯條各 1 種。阿東 打算若買牛肉吉事餐堡，則加購奶昔或薯條，若買麥香餐，則加購奶昔，試問阿東共有_______種購買方式？
12.甲、乙兩隊舉行 5 場圍棋決賽，約定先勝 3 場者為冠軍，第一場比賽完後，甲隊勝，若接下來的比賽中(比賽沒有 和局)，則甲隊得冠軍的情形有______種？
三、證明題：10 分
試利用數學歸納法證明：對所有自然數 n，使得 12＋22＋32＋……＋n2＝ 6
1n(n＋1)(2n＋1)恆成立 證明：
國立楊梅高級中學 101 學年度 第 2 學期 第一次期中考試 高一數學答案卷
共3 頁．第 3 頁 使用答案卡：□是 □V 否 使用答案卷： □V 是 □否 一年____班 座號： 姓名：
考試科目 高一數學 使用班級 101-113 命題教師 陳健在 考試範圍 1-1 至 2-1
備 註 說 明
1.請將答案填入答案卷相應欄空格內 2.繳回答案卷
3.請利用空白計算
得
分 一、多選擇題：(每題 6 分，共 30 分，錯 1 選項得 3 分，錯 2 選項或以上得 0 分)
1 2 3 4 5
ADE BCDE BE BD CD
二、填充題：(每題5分，共60分)
1 2 3 4
107 －2 18 5
5 6 7 8
2 ) 1 (n+
n
{1，5，6，9} 8
n245 58
9 10 11 12
3n
＋1，n ≥ 1 18 9 6
三、證明題：10 分
試利用數學歸納法證明：對所有自然數 n，使得 12＋22＋32＋……＋n2＝ 6
1n(n＋1)(2n＋1)恆成立。
證明：1.當 n＝1 時，左式＝12＝1，右式＝
6
1×1×(1＋1)(2＋1)＝1
∴左式＝右式，故當 n＝1 時成立 2.設 n＝k 時，成立
即12＋22＋32＋……＋k2＝ 6
1 k(k＋1)(2k＋1)成立 3.當 n＝k＋1 時，
左式＝12＋22＋32＋……＋k2＋(k＋1)2
＝6
1k(k＋1)(2k＋1)＋(k＋1)2＝ 6
1(k＋1)[ k(2k＋1)＋6(k＋1)]
＝6
1 (k＋1)(2k2＋7 k＋6)
＝6
1 (k＋1) ( k＋2) (2k＋3)
＝6
1 (k＋1) [(k＋1)＋1][2(k＋1)＋1 ]＝右式
∴當 n＝k＋1 時成立
故根據數學歸納法，對所有自然數 n，使得 12＋22＋32＋……＋n2＝ 6
1n(n＋1)(2n＋1)恆成立 2 分
2 分
2 分
2 分
2 分
