國立楊梅高中 105 學年度第二學期第一次期中考高一數學科試題卷
共 3 頁．第 1 頁 使用答案卡：□是
☑
否 使用答案卷 :☑
是 □否 一年____班 座號：____ 姓名：________考試科目 數學 使用班級 101~113
命題教師 考試範圍 Book II Ch1-1~2-2(P86)
備註 說明
1.班級、座號、姓名等漏寫扣總分扣總分扣總分扣總分 5 分分分分 2.將答案填入答案卷相應空格中，否則不
予計分
得 分
一、多選題：每題 5 分，共 10 分(全對得 5 分，錯 1 選項得 3 分，其餘得 0 分) 1.下列選項，哪些是錯誤錯誤錯誤的？ 錯誤
(1)「春冬秋夏是一年四季的順序」不是敘述 (2)「6 大於 3」的否定敘述是「6 小於 3」 (3)
∑
= n
k
n
1
＝n2
(4)
∑
=
+
n +
k
k k
1
) 2 )(
1
( ＝
∑
= n +
k
k
1
) 1
(
∑
= n +
k
k
1
) 2
( (5)
∑
= 20
1
3
k
＝
∑
= 21
2
3
n
2.某班 40 人參加國、英、數三科抽考，結果國文及格者 25 人，英文及格者 21 人，數學及格者 15 人，國、英兩科皆及格 者 16 人，英、數兩科皆及格者 8 人，國、數兩科皆及格者 9 人，此三科均及格者 6 人，則下列敘述哪些是正確正確正確正確的？
(1)三科中至少一科及格者有 35 人 (2)三科均不及格者有 6 人 (3)恰有一科及格者有 13 人 (4)三科中至少兩科及格者有 22 人 (5)數學及格且國文不及格者有 6 人
二、填充題：每格 5 分，共 80 分 (分數化為最簡分數分數化為最簡分數分數化為最簡分數分數化為最簡分數，，，，且不得且不得且不得且不得以以以以 C，，，，P、、、、 !n 等形式做答等形式做答等形式做答等形式做答，，，否則不予計分，否則不予計分否則不予計分) 否則不予計分 3.計算P ＋28 P ＝____ 99
4.化簡
∑
= +
20
3 ( 1)
4
k k k ＝_____
5.甲、乙各擲一顆公正的骰子，則點數和大於 8 的情形有_____種。
6.設等比數列 an 中，若a1＋a ＝12，3 a2＋a4＝6，試求a ＝____ 6
7.方言研究社有 85 位社員，每位社員至少會說客語或台語其中一種語言，社長調查後得知有 48 位社員會說客語，53 位社 員會說台語，試求兩種語言都會說的社員有_____位？
8.設數列 an 的前 n 項和S ＝n n －2n＋3，n＞1，試求2 a2017＝_____
9.對於任意正整數 n，n ≥ 2，使得 3(52n−3)＋23n−5恆為某一質數 p 的倍數，則 p＝_____
10.小華每年年初在銀行存入 1000 元，年利率 3％，每年按複利計息一次，試求第 10 年年底，可領回______元？
(百元以下四捨五入，已知(1.03)10≈1.344)
國立楊梅高中 105 學年度第二學期第一次期中考高一數學科試題卷
共 3 頁．第 2 頁 使用答案卡：□是
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否 使用答案卷 :☑
是 □否 一年____班 座號：____ 姓名：________11.試求(2 －1)＋(2 3 －2)＋(2 4 －3)＋……＋(2 20 －19)＝______ 2
12.從 2，3，4，5，6，7 等數字中，任取四個不同的數字排成一個四位數，其中有_____個四位數是 4 的倍數？
13.設集合 A＝{1，2，3，4，5，6}，B＝{2，5，7，8}，若有一集合 S 滿足(B－A) ⊂ S ⊂ (A∪B)，試求集合 S 有____個？
14.設數列 an 滿足遞迴式
≥
−
=
=
− 4, 2
100
1 1
n a
a a
n n
，若S ＜0，試求最小正整數 n＝______ n
15.設數列 an 滿足遞迴式
≥
−
=
=
+ 2 , 1
6
1 1
n a a
a
n n
，試求
∑
= 10
1 k
a ＝______ k
16.某天甲、乙、丙等 7 人排成一列搭公車，甲堅持第一位上公車，丙絕對不當最後一位上公車，按照如此，試問他們有 _____種不同上公車的方式
17.設 A＝2 ×3 35×52×13，試求：
(1) A 的正因數有_______個 (2) A 的正因數中，又是 45 的倍數者有______個
三、證明題：10 分
利用數學歸納法證明：1 ＋2 2 ＋2 3 ＋……＋2 n ＝2
6 ) 1 2 )(
1 (n+ n+
n ，對所有正整數 n 均成立。
(註註註註：：：：採部分給分採部分給分採部分給分採部分給分，，，，前步驟未證明前步驟未證明前步驟未證明前步驟未證明或錯誤或錯誤或錯誤或錯誤，，，，後續步驟之證明後續步驟之證明後續步驟之證明後續步驟之證明，，，一律不給分，一律不給分一律不給分) 一律不給分 證明：
國立楊梅高中 105 學年度第二學期第一次期中考高一數學科答案卷
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否 使用答案卷 :☑
是 □否考試科目 數學 使用班級 101~113
命題教師 考試範圍 Book II Ch1-1~2-2(P86)
備註 說明
1.班級、座號、姓名等漏寫扣總分扣總分扣總分扣總分 5 分分分分 2.將答案填入答案卷相應空格中，否則不
予計分
得 分
一年____班 座號：____ 姓名：________
一、多選題：每題 5 分，共 10 分 (全對得全對得全對得全對得 5 分分分分，，，，錯錯錯錯 1 選項得選項得選項得選項得 3 分分分分，，，，其餘得其餘得其餘得其餘得 0 分分分分)
1 2
二、填充題：每格 5 分，共 80 分 (分數化為最簡分數分數化為最簡分數分數化為最簡分數分數化為最簡分數，，，，且不得且不得且不得且不得以以以以 C，，，，P、、、、 !n 等形式做答等形式做答等形式做答等形式做答，，，否則不予計分，否則不予計分否則不予計分) 否則不予計分
3 4 5 6
7 8 9 10
11 12 13 14
15 16 17(1) 17(2)
三、證明題：10 分
利用數學歸納法證明：
12＋
22＋
32＋……＋
n2＝
6 ) 1 2 )(
1 (n+ n+
n
，對所有正整數 n 均成立。
(註註註註：：：：採部分給分採部分給分採部分給分採部分給分，，，，前步驟未證明前步驟未證明前步驟未證明前步驟未證明或錯誤或錯誤或錯誤或錯誤，，，，後續步驟之證明後續步驟之證明後續步驟之證明後續步驟之證明，，，一律不給分，一律不給分一律不給分) 一律不給分 證明：
國立楊梅高中 105 學年度第二學期第一次期中考高一數學科答案卷
共 3 頁．第 3 頁 使用答案卡：□是
☑
否 使用答案卷 :☑
是 □否 一年____班 座號：____ 姓名：________考試科目 數學 使用班級 101~113
命題教師 考試範圍 Book II Ch1-1~2-2(P86)
備註 說明
班級、座號、姓名等漏寫扣總分扣總分扣總分 5 分扣總分 分分 分 得 分
一、多選題：每題 5 分，共 10 分 (全對得全對得全對得全對得 5 分分分分，，，，錯錯錯錯 1 選項得選項得選項得選項得 3 分分分分，，，，其餘得其餘得其餘得其餘得 0 分分分分)
1 2
(1)(2)(4) (2)(3)(5)
二、填充題：每格 5 分，共 80 分 (分數化為最簡分數分數化為最簡分數分數化為最簡分數分數化為最簡分數，，，，且不得且不得且不得且不得以以以以 C，，，，P、、、、 !n 等形式做答等形式做答等形式做答等形式做答，，，否則不予計分，否則不予計分否則不予計分) 否則不予計分
3 4 5 6
362936
7
8 10
10 3
7 8 9 10
16 4031 17 11800
11 12 13 14
2679 96 64 52
15 16 17(1) 17(2)
－2046 600 144 64
三、證明題：10 分
利用數學歸納法證明：1 ＋2 2 ＋2 3 ＋……＋2 n ＝2
6 ) 1 2 )(
1 (n+ n+
n ，對所有正整數 n 均成立。
(註註註註：：：：採部分給分採部分給分採部分給分採部分給分，，，，前步驟未證明前步驟未證明前步驟未證明前步驟未證明或錯誤或錯誤或錯誤或錯誤，，，，後續步驟之證明後續步驟之證明後續步驟之證明後續步驟之證明，，，一律不給分，一律不給分一律不給分) 一律不給分 證明：
1.當 n＝1 時，左式＝1 ＝1，右式＝2
6 ) 1 2 )(
1 1 (
1 + +
＝1
∵左式＝右式，∴n＝1 時成立
2.設 n＝k 時成立，即1 ＋2 2 ＋2 3 ＋……＋2 k ＝2
6
) 1 2 )(
1 (k+ k+
k 成立
3.當 n＝k＋1 時，
左式＝1 ＋2 2 ＋2 3 ＋……＋2 k ＋2 (k+1)2
＝ 6
) 1 2 )(
1 (k+ k+
k ＋(k +1)2
＝ 6 +1
k [k(2k＋1)＋6(k＋1)]
＝ 6 +1
k (2k ＋7k＋6)＝2 6
+1
k (k＋2)(2k＋3)＝
6
)]
1 ) 1 ( 2 ][(
1 ) 1 [(
) 1
(k+ k+ + k+ +
＝右式
∴n＝k＋1 時成立
根據數學歸納法，1 ＋2 2 ＋2 3 ＋……＋2 n ＝2
6 ) 1 2 )(
1 (n+ n+
n ，對所有正整數 n 均成立 2 分
2 分
2 分
3 分
1 分
