的夾角為銳角

(1)

106

年度指定科目考試數學甲試題

第壹部分﹕選擇題（單選題﹑多選題及選填題共占 76 分）

一﹑單選題（占 24 分）

說明﹕ 第 1 題至第 4 題﹐每題有 5 個選項﹐其中只有一個是正確或最適當的選項﹐請畫記在答案卡之

「選擇（填）題答案區」﹒各題答對者﹐得 6 分﹔答錯﹑未作答或畫記多於一個選項者﹐該題以零分計算﹒

(　　 )1. 從所有二位正整數中隨機選取一個數﹐設

^p

是其十位數字小於個位數字的機率﹒關於

^p

值的範圍﹐試選出正確的選項﹒

(1)

^0.22^{ }^p ^0.33

　(2)

0.33 p 0.44

　(3)

0.44 p 0.55

　(4)

0.55 p 0.66

(5)

0.66 p 0.77

﹒

(　　 )2. 設

_a_ ³₁₀

﹒關於

_a⁵

的範圍﹐試選出正確的選項﹒

(1)

₂₅__a⁵_₃₀

　(2)

₃₀__a⁵ _₃₅

　(3)

₃₅__a⁵_₄₀

　(4)

₄₀__a⁵ _₄₅

　(5)

₄₅__a⁵ _₅₀

﹒ (　　 )3. 試問在

0 x 2

 的範圍中﹐

y3sinx

的函數圖形與

y2sin 2x

的函數圖形有幾個交點﹖

(1)

2

個交點　(2)

3

個交點　(3)

4

個交點　(4)

5

個交點　(5)

6

個交點﹒

(　　 )4. 已知一實係數三次多項式

^{f x} 

^在

x1

有極大值

3

﹐且圖形

^y^ ^{f x} 

^在

^4,^f  ⁴ 

^{之切線方程式}

為

^y^ ^f   ⁴ ^⁵ ^x^⁴ ^⁰

﹐試問

₁⁴^{f x dx}

^

 

^{之值為下列哪一選項﹖}

(1)

5

　(2)

3

　(3)

0

　(4)

3

　(5)

5

﹒

二﹑多選題（占 24 分）

說明﹕ 第 5 題至第 7 題﹐每題有 5 個選項﹐其中至少有一個是正確的選項﹐請將正確選項畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」﹒各題之選項獨立判定﹐所有選項均答對者﹐得 8 分﹔答錯 1 個選項者﹐得 4.8 分﹔答錯 2 個選項者﹐得 1.6 分﹔答錯多於 2 個選項或所有選項均未作答者﹐

該題以零分計算﹒

(　　 )5. 設 

_u

^與 

_v

^{為兩非零向量﹐夾角為}

^120

^﹒若 

_u

^與  

_u _ _v

垂直﹐試選出正確的選項﹒

(1) 

_u

^的長度是 

_v

^的長度的

²

^倍　(2) 

_v

^與  

_u _ _v

^的夾角為

^30

(3) 

_u

^與  

_u _ _v

^{的夾角為銳角　(4)} 

_v

^與  

_u _ _v

^{的夾角為銳角}

(5)  

_u _ _v

^{的長度大於}  

_u _ _v

^的長度﹒

(　　 )6. 已知複數

z

滿足

_zⁿ__z^ⁿ_{ }_{2 0}

﹐其中

n

為正整數﹒將

z

用極式表示為

^r^cos

^

^ⁱ^sin

^



^﹐且

0

r

﹒試選出正確的選項﹒

(1)

r1

　(2)

ⁿ

不能是偶數　(3)對給定的

ⁿ

﹐恰有

2n

個不同的複數

z

滿足題設 (4) 可能是 3

7  　(5) 可能是 4 7

 ﹒

(　　 )7. 設實係數三次多項式

^{f x} 

^{的首項係數為正﹒已知}

^y^ ^{f x} 

^{的圖形和直線}

^{y g x}^  

^在

x1

相切﹐且兩圖形只有一個交點﹒試選出正確的選項﹒

(1)

^f  ¹ ^^g ¹

　(2)

^f^ ¹ ^^g^ ¹

　(3)

^{f } ¹ ^⁰

　(4)存在實數

a1

使得

^{f a}^  ^^{g a}^ 

(5)存在實數

a1

使得

^{f a}^ ^^{g a}^ 

^﹒

1

(2)

三﹑選填題（占 28 分）

說明﹕ 1.第 A 至 D 題﹐將答案畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」所標示的列號（8－18）﹒

2.每題完全答對給 7 分﹐答錯不倒扣﹐未完全答對不給分﹒

A. 某高中一年級有忠﹑孝﹑仁﹑愛四班的籃球隊﹐擬由經抽籤決定的下列賽程進行單淘汰賽（輸一場即被淘汰）﹕

忠孝仁愛

假設忠班勝過其他任何一班的機率為 4

5 ﹐孝班勝過其他任何一班的機率為 1

5 ﹐仁﹑愛兩班的實力相當﹐勝負機率各為 1

2 ﹒若任一場比賽皆須分出勝負﹐沒有和局﹒如果冠軍隊可獲得

6000

元獎學金﹐

亞軍隊可獲得

4000

元獎學金﹐則孝班可獲得獎學金的期望值為元﹒

B. 坐標平面上有三條直線

L

﹑

L1

﹑

L2

﹐其中

L

為水平線﹐

L1

﹑

L2

的斜率分別為 3 4 ﹑ 4

 ﹒已知 3

L

被

L1

﹑

L₂

所截出的線段長為

30

﹐則

_L

﹑

L₁

﹑

L₂

所決定的三角形的面積為 ﹒

C. 坐標平面上﹐

^x

坐標與

^y

坐標均為整數的點稱為格子點﹒令

n

為正整數﹐

T_n

為平面上以直線 1 3

y

2

x n

   ﹐以及

^x

軸﹑

^y

軸所圍成的三角形區域（包含邊界）﹐而

an

為

Tn

上的格子點數目﹐則

lim

ⁿ

n

a n



 ﹒

D. 坐標空間中﹐平面

ax by cz  0

與平面

x0

﹑

_x_ ₃_y_₀

的夾角（介於

0

到

90

之間）都是

60

﹐ 且

_a²__b²__c² _₁₂

﹐則

^{a b c}²^{, ,}² ² ^ ⁽ ⁾

^﹒

2

,,

(3)

第貳部分﹕非選擇題（占 24 分）

說明﹕ 本部分共有二大題﹐答案必須寫在「答案卷」上﹐並於題號欄標明大題號（一﹑二）與子題號

（(1) ﹑(2)﹑...）﹐同時必須寫出演算過程或理由﹐否則將予扣分甚至零分﹒作答務必使用筆尖較粗之黑色墨水的筆書寫﹐且不得使用鉛筆﹒每一子題配分標於題末﹒

一. 在坐標平面上﹐考慮二階方陣 1 4 3 3 4

A

5   

  

  所定義的線性變換﹒對於平面上異於原點

O

的點

P₁

﹐設

P1

經

_A

變換成

P₂

﹐

P₂

經

_A

變換成

P₃

﹒令

a OP ₁

﹒

(1) 試求

sinPOP1 3

﹒（

₄

分）

(2) 試以

^a

表示

△PP P_{1 2 3}

的面積﹒（

4

分）

(3) 假設

P1

是圖形 1

²

10 10

y



x

 上的動點﹐試求

△PP P_{1 2 3}

面積的最小可能值﹒（

₄

分）

二. 坐標空間中﹐

^O^0,0,0

^{為原點﹒平面}

z h

（其中

₀_{ }_h ₁

）上有一以

^0,0,h

^{為圓心的圓﹐在此圓上}

依逆時鐘順序取

8

點構成正八邊形

P PP P P P P P0 1 2 3 4 5 6 7

﹐使得各線段

OP_j

（

0 j 7

）的長度都是

1

﹒請參見示意圖﹒

O y z

x

z  h 1

P₀ P₁ P₃

P₆ P₅ P₂

P₄ P₇

(1) 試以

h

表示向量內積

0 4

OP OP

   ^﹒（

4

分）

(2) 若

^{V h} 

^為以

O

為頂點﹑正八邊形

P PP P P P P P0 1 2 3 4 5 6 7

為底的正八角錐體積﹐試將

^{V h} 

^表為

h

的函數

（註﹕角錐體積 1

 底面積 3



高）﹒（

2

分）

(3) 在

OP



₀

^和

_OP



₄

^{夾角不超過}

^90

的條件下﹐試問正八角錐體積

^{V h} 

^{的最大值為何﹖（}

6

分）

3

的夾角為銳角

年 度 指 定 科 目 考 試 數 學 甲 試 題

第壹部分﹕選擇題（單選題﹑多選題及選填題共占 76 分）

一﹑單選題（占 24 分）

說明﹕ 第 1 題至第 4 題﹐每題有 5 個選項﹐其中只有一個是正確或最適當的選項﹐請畫記在答案卡之

「選擇（填）題答案區」﹒各題答對者﹐得 6 分﹔答錯﹑未作答或畫記多於一個選項者﹐該題以 零分計算﹒

( )1. 從所有二位正整數中隨機選取一個數﹐設

是其十位數字小於個位數字的機率﹒關於

值的 範圍﹐試選出正確的選項﹒

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

﹒

( )2. 設

﹒關於

的範圍﹐試選出正確的選項﹒

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

﹒ ( )3. 試問在

 的範圍中﹐

的函數圖形與

的函數圖形有幾個交點﹖

(1)

個交點 (2)

個交點 (3)

個交點 (4)

個交點 (5)

個交點﹒

( )4. 已知一實係數三次多項式

在

有極大值

﹐且圖形

在

之切線方程式

為

﹐試問



之值為下列哪一選項﹖

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

﹒

二﹑多選題（占 24 分）

該題以零分計算﹒

( )5. 設 

與 

為兩非零向量﹐夾角為

﹒若 

與  

垂直﹐試選出正確的選項﹒

(1) 

的長度是 

的長度的

倍 (2) 

與  

的夾角為

(3) 

與  

的夾角為銳角 (4) 

與  

的夾角為銳角

(5)  

的長度大於  

的長度﹒

( )6. 已知複數

滿足

﹐其中

為正整數﹒將

用極式表示為





﹐且

﹒試選出正確的選項﹒

年度指定科目考試數學甲試題

「選擇（填）題答案區」﹒各題答對者﹐得 6 分﹔答錯﹑未作答或畫記多於一個選項者﹐該題以零分計算﹒

(　　 )1. 從所有二位正整數中隨機選取一個數﹐設

值的範圍﹐試選出正確的選項﹒

　(2)

　(3)

　(4)

(　　 )2. 設

　(2)

　(3)

　(4)

　(5)

﹒ (　　 )3. 試問在

個交點　(2)

個交點　(3)

個交點　(4)

個交點　(5)

(　　 )4. 已知一實係數三次多項式

^在

^在

^{之切線方程式}

^

^{之值為下列哪一選項﹖}

　(2)

　(3)

　(4)

　(5)

(　　 )5. 設 

^與 

^{為兩非零向量﹐夾角為}

^﹒若 

^與  

^的長度是 

^的長度的

^倍　(2) 

^與  

^的夾角為

^與  

^{的夾角為銳角　(4)} 

^與  

^{的夾角為銳角}

^{的長度大於}  

^的長度﹒

(　　 )6. 已知複數

^

^

^﹐且

　(2)

不能是偶數　(3)對給定的

 　(5) 可能是 4 7

(　　 )7. 設實係數三次多項式

^{的首項係數為正﹒已知}

^{的圖形和直線}

^在

相切﹐且兩圖形只有一個交點﹒試選出正確的選項﹒

　(2)

　(3)

　(4)存在實數

^﹒

A. 某高中一年級有忠﹑孝﹑仁﹑愛四班的籃球隊﹐擬由經抽籤決定的下列賽程進行單淘汰賽（輸一場即被淘汰）﹕

5 ﹐仁﹑愛兩班的實力相當﹐勝負機率各為 1

元獎學金﹐則孝班可獲得獎學金的期望值為元﹒