2-1 銳角三角函數 一、銳角三角函數 1.

15 30

D C B

A

2-1 銳角三角函數

一、銳角三角函數

1.定義：sin e、cos ine、tan gent、cot angent、sec ant、c os ec ant 正弦函數sinA= ^{a y}_{c r}^ 餘割函數 cscA= ^{c r}_{a y}^

餘弦函數cosA= ^{b x}_{c r}^ 正割函數 secA= ^{c r}_{b x}^

正切函數tanA= ^a_b^{ }_x^{y m} 餘切函數 cotA= ^{b x}_{a y}^ 2.直角三角形：a²+b²=c² 直角座標系： ^x2y2r2

Ex1.  銳角，若 sin為 3x²+5x–2=0 之一根，求 cos之值？Ans： ^{2 2}₃ 3.銳角三角函數值的範圍：0sinA、cosA1；tanA、cotA0；secA、cscA1

Ex2.設 0^o<θ<45^o，試求 sinθ，cosθ，tanθ，cotθ，secθ，cscθ 中之最大值與最小 值。Ans：cscθ；sinθ

Ex3.比較(1) sin40^o，cos40^o (2)tan15^o，cot15^o (3)sec55^o，csc55^o的大小。

Ans：<，<，>

二、特別角的三角函數值：

Ex4.用右圖計算 sin15 ^o =？cos15^o=？tan15 ^o=？

Ans： ⁶₄^{ 2} ， ^6₄ ² ，2- ³

Ex5.仿上題，求 tan22.5 ^o=Ans： ² -1

 sin cos tan cot sec csc

45^o 30^o 22.5^o

15^o

Ex6.若 tan²45^o-cos²60^o=xsin45^o·cos45^o·tan60 ^o，求 x 值？Ans： ³

2

Ex7.設圓 O 的半徑為 r，試求：

(1)圓 O 的內接正 n 邊形的周長與面積 (2)圓 O 的外切正 n 邊形的周長與面積

Ans：(1)2nr·sin ¹⁸⁰_n^ ，nr²·sin ¹⁸⁰_n^ cos ¹⁸⁰_n^ ；(2)2nr·tan ¹⁸⁰_n^ ，nr²·tan ¹⁸⁰_n^

A

B

C a b

c

 



E

D F

A C H

B G

O B

A E

C D

F

Ex8.如圖，θ=∠AOB，0o90o，

AB 與 ^CD 為單位圓(半徑為 1 的圓)的切線段，

以 sin、cos、tan、cot、sec、csc表示下列線段長：



AB ？ ^EF ？ ^OF ？ ^OA ？ ^CD ？ ^OD ？

Ans：tan、sin、cos、sec、cot、csc

Ex9.如圖△ABC 為等腰三角形，

其中∠B=∠C=72^o，∠A=36^o，

又已知 ^BD 平分∠B 且交 ^AC 於 D 點，若已知 ^AB =1，則：

(1) ^BC 長為何?

(2)利用等腰三角形底邊中線平分頂角且垂直底邊的性質 求 sin18^o=？

Ans： ^{(1) 5}₂^{1 (2) 5}₄^1

Ex10.有一等腰三角形底邊為 10，頂角 72，下列何者可以表示腰長？

(A)5．sin36(B)5．tan36(C)5．cot36(D)5．sec36(E)5．csc36 Ans：E Ex11.設 H 為銳角△ABC 的垂心，若以 c 表 ^AB 之長，則 ^AH 之長等於

(A)c．cosAsinC(B)c．cosAcosC(C)c．cosAtanC (D)c．cosAsecC(E)c．cosAcscCAns：E

Ex12.△ABC 三頂點所對的邊長為 a，b，c，則邊上的高 ^AH 為 (A)b．sinB(B)c．sinC(C)b．sinC(D)c．sinB(E)a．sinAAns：CD Ex13.求 ^{cos60tan45} ₂^{3sin60csc30} 之值？Ans： ⁹₄

Ex14.若  為銳角且 tan= ⁵₁₂ ，求 cos+cot+csc之值？Ans： ⁷⁷₁₃

Ex15.( log2 sin45^o)²+ ^log3 tan30^o=？Ans： ₄^1

Ex16.(1)若  為銳角；則 sin、tan、sec的大小關係為？Ans：1<2<3 (2)若  為銳角；則 cos、cot、csc的大小關係？Ans：1<2<3

(3)若 0o45o；則 sin、cos、sec、csc的大小關係？Ans：1<2<3<4 (4)若 45o90o；則 sin、cos、tan、sec的大小關係？Ans：2<1<3<4 Ex17.如圖，四邊形 HABG、GBCF、FCDE 均為正方形，

且 ^EAD ， ^EBD ， ^ECD ， 則 tanα+tanβ+tanγ=？Ans： ¹¹₆

A

B C

D

2-2 三角函數的基本關係

一、銳角三角函數的性質：

1.餘角關係：(左右)

sin(90^o–θ)=cosθ cos(90^o–θ)=sinθ tan(90^o–θ)=cotθ cot(90^o–θ)=tanθ sec(90^o–θ)=cscθ csc(90^o–θ)=secθ 2.倒數關係：(對角)

sinθ·cscθ=1 cosθ·secθ=1 tanθ·cotθ=1 3.商數關係：(沿邊連續三個，中=左×右)

tan sin cos

 

  cos

cot sin

 

 

(sinθ=cosθtanθ )，(cosθ=cotθsinθ)，(tanθ=sinθsecθ)，

(cotθ=cscθcosθ)，(secθ=tanθcscθ)，(cscθ=secθcotθ )，

4.平方關係：(斜線倒三角)

sin²θ+cos²θ=1 1+tan²θ=sec²θ 1+cot²θ=csc²θ 5.大小關係：

若 0^o<x<45^o，sinx<cosx 若 45^o<x<90^o，sinx>cosx

Ex18.cos²10^o+cos²20^o+cos²30^o+cos²40^o+cos²50^o+cos²60^o+cos²70^o+cos²80^o=？

Ans：4

Ex19.下列各式之值：(1)sin²(45^o+θ)+sin²(45^o-θ) (2) 2_ 2_ 2_ 1 csc2_

1 sec

1 1 cos

1 1 sin

1 1

 

 

 

 Ans：1，2

Ex20.∆ABC 中，C=90^o，3cosA+2cosB=3，求 cotA=？Ans： ₁₂⁵

Ex21.設 θ 為銳角，tanθ=x，則 sinθ=？(以 x 表示)Ans： x2₁ x

6.sincos與 sin×cos可互推

Ex22.設 0^o<x<45^o，若 tanx+cotx= ²⁵₁₂ ，則(1)sinxcosx=？(2)sinx+cosx=？(3)sinx- cosx=？Ans：(1) ₂₅¹² ，(2) ₅⁷ ，(3) ^₅¹

Ex23.若 ^{2 5} 為 x²+(tan+cot)x+1=0 之一根，則 sincos＝？Ans： ₁₀⁵ 二、三角恆等式的證明：

1.化繁為簡

2.統一化為 sin，cos表示

3.利用 1=sin²+cos²=sec²–tan²=csc²–cot² Ex24.試證： ₁^cos_sin^_ ^_1^cos_sin^_ ^2tan

si n t an

se c

cos cot c sc

1

Ex25.試證： ¹_cos²2^sin_x ^x_sin^cos2_x^x ₁¹_tan^tan_x^x

 





Ex26.試證： ^tanx_1^cos_sin^x_x ^secx

Ex27.設 f(n)=cosⁿθ+sinⁿθ，試證 3f(4)-2f(6)=1

Ex28.△ABC 中， ^AB30 ， ^sinB₅⁴ ， ^{sin C=12}₁₃ ，則 ^AC ？ ^BC ？ Ans：26，28?

Ex29.設 cosA=cosXsinC，cosB=sinXsinC，試求 sin²A+sin²B+sin²C 的值。Ans：2 Ex30.設 x 為銳角，msecx=1+tanx，nsecx=1-tanx，則 m²+n²=？Ans：2

Ex31.設 0^o<θ<90^o，求 f(θ)=tanθ+cotθ 之最小值。Ans：2 Ex32.為銳角，化簡下列各式

(1)(sin+cos)²+(sin–cos)² (2)(tan+cot)²–(tan–cot)² (3)(tan+sec+1)(cotcsc+1)

(4)(cscsin)(seccos)(tan+cot) (5) 2_ 2_ 2_ 1 sc2_

1 sec

1 1 s

1 1 sin

1 1

c

co  

 

 



(6) _1sin¹ _ ^_1cos¹ _ ^_1tan¹ _ ^_1cot¹ _ ^_1sec¹ _ ^_1c¹_sc Ans：(1)2，(2)4，(3)2，(4)1，(5)2，(6)3

Ex33.



 8 1

2(10 ) sin



 Ans：4

Ex34.sin²17^o+sin²73^o+tan²35^o-cot²29^o-sec²35^o+csc²29^o=？Ans：1 Ex35.求 cos47^ocsc43^o–csc²21^o+tan²69^o之值 Ans：0

Ex36.tan⁴79^o+2csc²11^o-csc⁴11^o=？Ans：1

Ex37.已知 45^o<x<90^o，sinx+cosx= ⁷₅ ，求下列各值：

(1)sinxcosx (2)sinx-cosx (3)tanx+cotx (4)sin³x+cos³x (5)sin³x-cos³x (6)sin⁴x+cos⁴x (7)sin⁴x-cos⁴x

Ans： ¹²₂₅ ， ¹₅ ， ²⁵₁₂ ， ₁₂₅⁹¹ ， ₁₂₅³⁷ ， ³³⁷₆₂₅ ， ₂₅⁷ Ex38.設 θ 為銳角，sinθ= ¹⁵₁₇ ，則 ^_^_{ }^{ }

csc sec

cos

sin ？Ans： ₂₈₉¹²⁰

Ex39.設 θ 為銳角， ¹_1^_tan^tan_^{ 32 2} ，則 sinθ+cosθ=？Ans： ⁶₃^{ 3} Ex40.設 θ 為銳角， ^{cot2 ( 31)cot  30} ，則 θ=？Ans：45^oor30^o

Ex41.設 x 為銳角， ^{sinxcosx}₂¹ ，則 tanx-cotx=？sinx=？Ans： ²₃^7,1₄ ⁷ Ex42.設 θ 為銳角，tanθ= ¹₂ ，則 2sin²θ+3sinθcosθ-cos²θ 之值？Ans： ⁴₅

Ex43.設 θ 為銳角，3sinθ+4cosθ=5，則 sinθ 之值？Ans： ³₅

Ex44.設 θ 為銳角，cosθ+cos²θ=1，則(1)cosθ=？(2)sin²θ+sin⁶θ+sin⁸θ=？

Ans： ^1₂ ⁵ ，1

Ex45.設 θ 為銳角，sinθ+sin²θ=1，則(1)sinθ=？(2)sinθ+cos²θ+cos⁴θ+cos⁸θ=？

Ans： ^1₂ ⁵ ， ^{4 5}

Ex46.設 θ 為銳角，cos+3sin=2，求 cos+sin之值？Ans： ^4₅⁶ Ex47.設 θ 為銳角，sinθ=cos²θ，則 _1sin¹ _ ^_1sin¹ _ =？Ans： ⁵ +1 Ex48.設 θ 為銳角，1+sin²θ=3sinθcosθ，則 tanθ=？Ans：1or ¹₂

Ex49.設 θ 為銳角， ₂³_sin^sin_^ _^₆^5cos_cos^{ }₃⁴ ，則 tanθ=？secθ=？Ans：9， ⁸² Ex50.設 sinα+sinβ=1，cosα+cosβ=0，則 cos²α+cos²β=？sin⁴α+cos⁴β=？

Ans： ³₂ ， ⁵

8

Ex51.ABC 中，C=90^o，cosA+8cosB=4，求 sinA 之值。Ans： ⁵₁₃ Ex52.∆ABC 中，C=90 ^o，7sinA–sinB=5，求 secA=？Ans： ⁵₃

Ex53.若 ² 為 x²-(tanθ+cotθ)x+1=0 之一根，則 sincos=？Ans： ₃² Ex54.設  為銳角，sin，cos為方程式 ^{2x2( 31)xa0} 的二根，

求 a？Ans： ₂³

Ex55.設  為銳角，sin、cos為 x²(8a–1)x+a=0 的二根，求 a？Ans： ⁹₃₂ Ex56.設 f(n)=cosⁿθ+sinⁿθ，試求 2f(6)－3f(4)+6f(2)之值 Ans：5

Ex57.若 ^{cosxsinx 2sinx} ，試證： ^{cosxsinx 2cosx} Ex58.如圖，△ABC 中∠C=90^o，

5 : 3 :BC

AC ， ^BD:CD2:3 ，

∠BAD=θ，則 tanθ=？Ans： ¹₄ (HINT：由 B 作 AD 垂線)

Ex59.如圖，三角形 ABC 為直角三角形，

∠B=90^o，θ=∠DCB，sinθ= ⁵₈ ， ^ACDC ， 則 ^cot₂^ ？Ans： ^8₅³⁹

A C

D B

A C B

D

Ex60.如圖，設 ^AD 的三等分點為 B，C，

以 ^BC 為直徑的圓周上取一點 P(異於 B，C)，

則(tan∠APB)(tan∠DPC)=？Ans： ¹₄ (HINT：過 B、C 作 ^PC 、 ^PB 平行線) Ex61.如圖，設四點 A，B，C，D 共線，

且 ^{AB:BC:CD2:3:1} ，以 ^BC 為直徑作圓，

取圓上一點 P(異於 B，C)，

則(tan∠APB)(tan∠DPC)=？

Ans： ₁₀¹ (HINT：過 B、C 作 ^PC 、 ^PB 平行線) Ex62.試證下列各關係式：

(1)tan²θ–sin²θ=tan²θ·sin²θ (2)cot⁴θ+cot²θ=csc⁴θ-csc²θ (3)2+cot²θ=csc²θ+sec²θ-tan²θ (4) 2 2 ^{2 2}

1 2 cos sin cos sin 1 2 cos sin

cos sin

   

 

 

  

 

Ex63.証明下列各式：

(1) (sec–tan)²= ^{1 sin}_{1 sin}^_ ^_ (2) _{1 cos}^sin_ ^{1 cos}_sin^ =2csc (3) _{1 tan}^cos_ ^_{1 cot}^sin_ =sin+cos

(4) _{csc cos}^csc_^1_ =sec+tan

(5) ^tan_tan^_^_^sec_sec^_^_¹₁^{1 sin}_cos^ _^{ }_{1 sin}^cos_ ^_ (6) sin⁶+cos⁶=1–3sin²cos²

D C B A

P

A B C D

P



P( x , y )

r y

O x

2-4 廣義角的三角函數

一、角之定義：

1.有向角：始邊、終邊、旋轉方向、旋轉量

正角：逆時針方向 負角：順時針方向

2.廣義角：打破 180限制的有向角

3.同界角：若有向角有相同的終邊與始邊均稱為同界角 即：α-β=360^o×n (nZ)  α 與 β 互為同界角 任意兩同界角的六個三角函數值均相等

Ex64.求 2149^o之最小正同界角、最大負同界角為？Ans：349^o，–11^o 4.標準位置角：若一角之頂點與原點重合，始邊位於 x 軸正向，稱之

θ 是第一象限角  360^o×n <θ< 90^o+ 360^o×n (nZ) θ 是第二象限角  90^o+ 360^o×n <θ< 180^o+ 360^o×n (nZ) θ 是第三象限角  180^o+ 360^o×n <θ< 270^o+ 360^o×n (nZ) θ 是第四象限角  270^o+ 360^o×n <θ< 360^o+ 360^o×n (nZ) 若終邊恰落於軸上，則稱為象限角( ₀⁰_{, 90}⁰_{, 180}⁰_{, 270}⁰ )

Ex65.若  為第二象限角，則 ₂^ 可能在第幾象限角？Ans：一、三 二、廣義角的三角函數：(以座標定義三角函數，函數值可正可負)

1.定義：O 為原點，在廣義角  的終邊上取異於 O 之 P 點，

若 P(x，y)， ^OP = ^x2y2 =r；則 定義 sin= ^y_r 、cos= ^x_r

tan= ^y_x 、cot= ^x_y 、sec= ^r_x 、csc= ^r_y 推論：圓心在原點之單位圓(r=1)上

任一點座標 P(x，y)=P(cos，sin) 其中  為 x 軸正向至 ^OP 之有向角

Ex66.若 tan(－70⁰)=k，則 cos1330⁰=？Ans： 2

1

 1 k



Ex67.若  終邊上有一點(－4a，3a)，a>0 則 ^{sin cos}

1 cot 1 tan

 

 ^  ^

  ？Ans： ^1₅ Ex68.若  終邊上一點(2，a)，若 sin= ^₁₇¹⁵ ，求 a 及 tan？Ans： ^₄¹⁵ ， ^15₈

2.三角函數之正負：

sin、csc cos、sec tan、cot

一 + + +

二 + - -

三 - - +

四 - + -

承此定義六邊形性質仍成立(餘角、倒數、商數、平方) Ex69.點 P(sin130^o，cos(-100^o))在第？象限 Ans：四

Ex70.已知 cos0，tan0，則點 P(sin，sec)位於第象限。Ans：二 Ex71.sin1⁰+sin2⁰+sin3⁰+……+sin360⁰=？Ans：0

cos1⁰+cos2⁰+cos3⁰+……+cos180⁰=？Ans：－1 3.特殊角(座標軸上)之三角函數值：

sin cos tan cot sec csc

0^o、360^o 0 1 0 ^{無意 義} 1 ^{無意 義}

90^o 1 0 ^無意義 0 ^無意義 1

180^o 0 -1 0 ^{無意 義} -1 ^{無意 義}

270^o -1 0 ^無意義 0 ^無意義 -1

Ex72.下列何者有意義？(A)sinθ=3 (B)tan90⁰ (C)sec(n180⁰)(nZ) (D)csc900⁰ (E)cos(－90⁰) Ans：CE

4.將任意角的三角函數化簡成銳角的三角函數：(nZ)

STEP1：利用同界關係，將任意角轉換成最小正同界角(或最大負同界角) 例：sin(360⁰n+θ)=sinθ

STEP2：判斷函數值之正負

STEP3：將第二、三、四象限換至第一象限 二一例：sin150⁰=sin(180⁰30⁰)=sin30⁰ 三一例：sin210⁰=sin(180⁰+30⁰)=sin30⁰ 四一例：sin(30⁰)=sin30⁰

結論 1：單變双不變、正負看象限

結論 2：秒殺偶數倍直角(無視存在)、記得判斷正負

(即 0^o±θ、180^o±θ、360^o±θ、θ±0^o、θ±180^o、θ±360^o)

建議 1：為單純起見，建議只用直角偶數倍作運算(即 0^o、180^o、360^o) 建議 2：用直角奇數倍作運算亦無妨，但切記正餘互換

建議 3：角度 θ 未知時，不妨將 θ 視為銳角(30⁰)去化簡

Ex73.求(1)sin150^o，(2)sec(-405^o)，(3)cot600^oAns： ¹₂ 、 ² 、 ³

3

Ex74.sin1590⁰cos(－1860⁰)+tan1395⁰cot(－960⁰)=Ans： ^{1 3}

4 3

全 正

cosθ sinθ

tanθ

Ex75.化簡 sin −

sin 180^o−tan270^o 

tan 270^o−− cos−

sin 90^o sin180^o−

cos90^o− − sin 90^o−

cos180^o  Ans：3

5.由定義可知，三角函數值的範圍如下：

|sinθ| 1≦ ，|cosθ| 1≦ ，|secθ| 1≧ ，|cscθ| 1≧ ，而 tanθ，cotθ 可為任意實數

Ex76.θ=100⁰時比較 a=sinθ，b=cosθ，c=tanθ，d=cotθ，e=secθ，f=cscθ 之大小關 係 Ans：f>a>b>d>c>e

三、三角函數值表與線性內插法：1^o=60'(60 分)，1'=60"(60 秒) 1.三角函數值表列出 0^o到 90^o間（以 10'為單位）的各三角函數近似值 2.角度介於表中相鄰二角之間，用線性內插法

Ex77.查表求值：(1)sin17^o20'(2)tan66^o20'(3)cos(–282^o40')(4)csc248^o30' Ans：(1)0.2979(2)2.282(3)0.2193(4)-1.075

Ex78.已知 cos24^o30'=0.9100，cos24^o40'=0.9088，求 cos204^o35'Ans：–0.9094 Ex79.已知  為銳角，查表求  值

(1)sin=0.2306(2)tan=3.108(3)sec=1.073(4)cos=0.416 Ans：(1)13^o20'(2)72^o10'(3)21^o15'(4)65^o25'

Ex80.若 sin87⁰=a，則 tan2337⁰=(以 a 表之)Ans： ^{1 a2}

a

 

Ex81.已知 sin20^o10'=0.3448，sin20^o20'=0.3475，求 cos(–290^o15')=？Ans：

0.3462

Ex82.已知 sin34^o20'=0.5640，sin34^o30'=0.5664，若 180^o<<270^o，且 sin=- 0.5650，則=？Ans：214^o24'

Ex83.設  為第三象限角，則 ₃^ 可能為第幾象限角？Ans：一、三、四

Ex84.若 S={nn=n30^o，nZ，1n100}，則 S 中有多少在第二象限？Ans：17 Ex85.設–557^o之最小正同界角、最大負同界角為？Ans：163^o，–197^o

Ex86.設 _n =n60^o，nN，若 50n60 且 _n 在第四象限內，求 n 值？Ans：

53or59

Ex87.若點 P(tan，cos)在第二象限，則點 Q(sin，cot)在第？象限 Ans：三 Ex88.若點(sinθcosθ，tanθcscθ)在第三象限內，下列何者恆真？

(A) ^cos₂^0 (B) ^sin₂^0 (C) ^tan₂^0 (D) ^cot₂^0 (E) ^sec₂^0 Ans：CD

Ex89.若 f(x)=tanx，則

∑

k =0 n

f  xk×180^o =？Ans：(n+1)tanx

Ex90.

∑

k =1 180

sin²k^o =？Ans：90

Ex91.

∑

k =1 17

cos 20×k^o =？Ans：–1

Ex92.化簡 0 ^{0 0}0 ⁰0

sec tan(180 ) 1 cot(270 ) sec(180 ) 1

sec(360 ) tan 1 tan(360 ) csc(270 ) 1

   

   

        

       ？Ans：2cscθ

Ex93.化簡 ² 2

sin(180 ) tan (180 ) sin(270 )

cos(270 ) sin(90 ) cos ( )

o o

o o

  

  

   

   Ans：1

Ex94.求 sin120^o-tan600^o+cos330^o+sec(-120^o)=？Ans：–2 Ex95.求 sin210^o+tan(–135)^o+sec(–240)^o+cos180^oAns： ₂^5

Ex96.若 a=sin(-90^o)+cos(-180^o)，b=cot(-90^o)-tan(-180^o)，

c=sec(-90^o)-csc(-180^o)，則 abc=？Ans：8

Ex97.化簡 csc(+90^o)sec(720^o-)+sin(+540^o)sectan(180^o+)=？Ans：1 Ex98.比較下列三組數之大小

(1)a=cos3⁰，b=sin85⁰，c=tan29⁰Ans：a>b>c

(2)a=sin1870⁰，b=cos(－430⁰)，c=tan1310⁰，d=cos1900⁰Ans：c>a>b>d Ex99.若  終邊上有一點(x，-4)，且 ^{cos 4}₅ ，求 x 及 tan？Ans： ^16₃ ， ³₄

Ex100.若 ^tan₃⁴ ，且 coscot<0，則 _15cos^5sin_^_⁸₇^ 。Ans：2 Ex101.若 ^tan1₃ ，則 ^3sin_2cos^_^_^5cos_3sin^_ ^ ？Ans： ^4₃

Ex102.已知 ^{1 tan}_{1 tan}^_ ^_ ^{ 3 2 2} ，則 sin=？Ans： ±1



Ex103.設  為第二象限角，且滿足 3cot-2tan=-1，求 sin？Ans： ₂²

Ex104.設  為第三象限角，且滿足 6sin²+sin=1，求 cos？Ans： ^ ₂³

Ex105.設  為第四象限角，且 sin+cos= ¹₅ ，求 cos？Ans： ⁴₅ Ex106.若 2sin²+cos²=3sincos，則 tan=？Ans： ^1or1₂

Ex107.若 3sin-2cos=2，則 cos=？Ans： ^{1 or} ₁₃⁵

Ex108.若 sin=cot，則 _{1 cos}¹ _^_{1 cos}¹ _ =？Ans： ^{5 1}

Ex109.若 0^o≦x 360≦ ^o，解 ^{csc2x2 cot2x5cscx0} ，得 x=？Ans：，30^oor150^o Ex110.滿足-720^o≦ 720≦ ^o且 4sin²+1=8cos的  有？個 Ans：8

Ex111.求 f()=-sin²-6cos+15 的最大值及最小值？Ans：21，9。

Ex112.kR，若存在  使得 2sin-1=k(2sin+1)，則 k 的範圍？

Ans：k 3≧ 或 k≤1 3

Ex113.已知 ^{sincos 1}₃ ，且 sin及 cos為 2x²+px+q=0 的兩根，

則 p²-8q=？Ans： ⁴₃

Ex114.若 0<r<1，

∑

k =1

∞

r^ksin  k×60^o 可化簡為

2

1 2

a br cr r r

 

  的形式，則序組 (a，b，c)=？

∑

k =1

∞

r^kcos k ×60^o =？Ans： (0, ³ , 0)

2 ， ₂^{2 2}

2 2 2

r r

r r

 

 

2-5 正弦定理與餘弦定理

一、△面積公式：△= ¹₂^absinC1₂^bcsinA1₂^casinB

Ex115.△ABC 中， ^AB =8， ^BC =6，B=150^o，求△ABC 面積？Ans：12 Ex116.△ABC 中，A=30^o，且 b+c=16，求△ABC 面積的最大值？Ans：16 Ex117.△ABC 中，A=60^o，且 ^AB =12， ^AC =6，求分角線 ^AD ？Ans： ^{4 3} 二、正弦定理： _sin^a_A^_sin^b_B^_sin^c_C ^2R ，R 表外接圓半徑，(面積公式同除以 abc)

邊長與對應角之正弦值成正比

銳 直 鈍

Ex118.△ABC 中，若 a：b：c=3：5：7，求 ^sinA_sin^_B^sinC =？Ans：2

Ex119.△ABC 中，若 2(a+b-c)=sinA+sinB–sinC，則△ABC 的外接圓半徑？

Ans： ¹₄

三、餘弦定理：(三邊長與一內角之關係)

餘弦定理：設△ABC 中A，B，C 的對邊長分別為 a，b，c，則：

(1) a²=b²+c²–2bccosA b²=a²+c²–2accosB c²=a²+b²–2abcosC (2) cosA= ^b2₂^c_bc^2a2 cosB= ^a2₂^c_ac^2b2 cosC= ^a2₂^b_ab^2c2

銳 直 鈍

Ex120.△ABC 中，若(a+b+c)(b+c–a)=3bc，求A=？Ans：60^o

Ex121.銳角△ABC 中，若 a⁴+b⁴+c⁴=2a²c²+2b²c²，求C=？Ans：45^o

Ex122.(SAS)△ABC 中， ^AB =2， ^AC = ^{3 1} ，A=30^o，求 BC 及C。Ans： ² ； 45o

Ex123.(SSS)△ABC 中，a=5，b=7，c=8，求B 及△ABC 的面積 Ans：60^o；10 ³ Ex124.(ASA)△ABC 中，A=45^o，B=30^o，c=3，則△ABC 之外接圓半徑為？

Ans： ^{3( 6}₂^{ 2)}

Ex125.(SSA)△ABC 中， ^AC =2， ^BC = ^{6 2} ，A=105^o，求 ^AB =？Ans： ^{2 2} (SSA)△ABC 中， ^AC =2， ^BC = ^{3 1} ，A=15^o，求 ^AB =？Ans： ² ， ⁶

A B

C

Ex127.圓內接四邊形 ABCD， ^AB =2， ^AD =2

∠C=90^o，∠D=105^o， (1)試求 ^BD 與 ^AC 的值？

(2)若 ^AD =3，試求 ^BD 與 ^AC 的值？

Ans： ^{2 2} ， ^{1 3} ； ¹³ ， ^{13( 6 2)}

4

 ( 2 R sin D ) 四、其他定理

1.投影定理： a=bcosC+ccosB b=acosC+ccosA c=acosB+bcosA

銳 鈍

Ex128.△ABC 中，a= ^{3 2} ，b= ^{2 3} ，c= ^{8 2 3} ， 求(b+c)∙ cosA+(c+a)∙ cosB+(a+b)∙ cosC=？Ans：13

Ex129.設△ABC 中∠A，∠B，∠C 的對邊長分別為 a，b，c，試證：

(1)a(b²+c²)cosA+b(c²+a²)cosB+c(a²+b²)cosC=3abc (2) ^cos_1^B_cos^cos_C^{A a}_c^b

2.平行四邊形定理：

設 ^AC ， ^BD 為平行四邊形 ABCD 的二對角線，則： ^{AC2BD2 AB2BC2CD2DA2} 3.中線定理：

在△ABC 中，設 ^AM 為 ^BC 邊上的中線，則： ^{AB2AC2 2(AM2BM2)}

Ex130.△ABC 中， ^BC =5， ^CA =7， ^AB =8，求(1)中線 ^AM (2)高 ^AH (3)分角線 ^AD ？ Ans： ²⁰¹

2 ， ^{4 3} ， ^{8 7}

3

Ex131.已知三角形的三中線長為 4，5，6，求此三角形的面積？Ans：5 ⁷ 4.分線長：中線,角平分線,一般

五、面積公式整理：(R：外接圓半徑、r：內切圓半徑、s：半周長)

△= ¹₂ 底×高= ¹₂^bcsinA = ^abc_4R =rs= ^{s s( a)(sb s)( c)} =2R²sinAsinBsinC

= ^{1 2 3 1}

1 2 3 1

1| |

2

x x x x

y y y y = ^{2 1 3 1}

2 1 3 1

1| |

2

x x x x

y y y y

 

 

Ex132.△ABC 中，a=6，b=5，c=4，求(1) △ABC 面積(2)內切圓半徑(3)外接圓半 徑？Ans：(1) ^{15 7}

4 (2) ⁷

2 (3) ^{8 7}

7

三角形形狀判定：

(1)△ABC 中，二較小邊和大於最大邊 (2.1)△ABC 中，∠A 為鈍角 b²+c²<a² (2.2)△ABC 中，∠A 為直角 b²+c²=a² (2.3)△ABC 中，∠A 為銳角 b²+c²>a²

2 2

D

C B

A

Ex133.一線段長為 a，且知以 2a，2a+3，2a+6 為三邊長可圍成鈍角三角形，

則 a 的範圍為？Ans： ³₂ <a< ⁹₂ Ex134.判定下列△之形狀：

(1)sinC= _cos^sin_A^A_^_cos^sinB_B 。Ans：直角

(2)a²sin²B+b²sin²A=2abcosAcosB。Ans：直角 (3)2cosBsinC=sinA。Ans：等腰

(4)acosA+bcosB=ccosC。Ans：直角

Ex135.設△ABC 中∠A，∠B，∠C 的對邊長分別為 a，b，c，試證下列各式：

(1)a(sinB–sinC)+b(sinC–sinA)+c(sinA–sinB)=0

(2) 2

2 2

2 2

2 sin sin

sin

a A c

b

C

B 





(3)(b–c)sinA+(c–a)sinB+(a–b)sinC=0 (4)a(bcosC–ccosB)=b²–c²

Ex136.△ABC 中，∠A=45^o，∠B=30^o，三邊之和為 ^{3 2 3} ，則最長邊為？

Ans： ^31

Ex137.圓內接四邊形 ABCD，∠CAD=30^o，∠ACB=45^o， ^CD =2，求 ^AB =？Ans：

2 2

Ex138.梯形 ABCD， ^AB // ^CD ， ^AB =6， ^BC =15， ^CD =20， ^DA =13，求梯形面積？

Ans：156

Ex139.已知△ABC 三邊長分別為 ^AB =7， ^BC =5， ^AC =3，

延長 ^BC 到 D，如圖所示，使得 ^CD =2，則 ^AD =？

Ans： ⁷

Ex140.△ABC 中， ^AB =2， ^BC =5，面積為 4，則 cosABC=？Ans： ^₅³ Ex141.直角△ABC，BCDE 是以 ^BC 為一邊向外作出的正方形，

若 ^BC =5， ^AC =4， ^AB =3，求(1) cosACD(2) ∆ACD 面積。

Ans：(1) ^₅³ (2)8(HINT：cosACD=-sinACB)

Ex142.△ABC 中，A=60^o， ^AB =8， ^AC =6。設∠A 的內角與外角平分線分別交 ^BC 於點 D 與 E，求 ^AD 長及 ^AE 長。Ans： ^AD = ²⁴₇ ³ ， ^AE =24

Ex143.△ABC 中，∠ABC=120^o， ^BD 為∠ABC 的分角線且交 ^AC 於 D 點，

試證： _BA^{1 }_BC^{1 }_BD¹ 。若 ^BA3 ， ^BC5 ，則 ^BD ？Ans： ¹⁵₈ Ex144.△ABC 中，∠B=60^o，∠ABC 的角平分線交 ^AC 於 D。

已知 ^AB =6， ^BD = ^{2 3} ，則△ABD 的面積為？線段 ^AC =？△ABC 的面積為?

Ans： ^{3 3} ； ^{3 3} ； ^{9 3}

2

Ex145.△ABC 中，已知 ^BC =1，sinAsinB，且 sinA 與 sinB 為 8x² ^{4 3} x+1=0 的兩 根，求△ABC 外接圓半徑。Ans：

A

B C D