函數與其圖形
【變數與函數】： (1)函數的意義：
【範例】：
一年有十二個月，每個月的天數不同。在平年中，如果用 x 表示月份，y表示 x 月份 的天數，則 x 與y之間的對應關係如下表所示(如果是閏年，2 月份的天數為 29 天)：
A 資料為月份，B 資料為天數。
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 y 31 28 31 30 31 30 31 31 30 31 30 31
(i) 在這個關係中，每一個 x 值都只有一個y的對應值。
例如： x ＝1 時，y＝31； x ＝2 時， y＝28；……； x ＝12 時，y＝31。
這種對應關係表示y為 x 的函數，如左下圖所示：
(ii) 反過來說，當 y值為 31 時，得到對應的 x 值不只一個，有 1、3、5、7、8、10、12 等七個，所以 x 不是y的函數，如右下圖所示：
(2)函數表示法：
若用 x 、y表示兩個變數，而且對於任何一個 x 的值，恰好有一個y值與它對應，
我們就說y是 x 的函數， x 是自變數，y是應變數。當y是 x 的函數時，常用符號 表示成：y＝ f ( x )。
例如：方程式 2 x ＋y＝0 的圖形。
當 2 x ＋y＝0 時可以移項化簡成y＝－2 x 圖形如右圖所示：
y是 x 的函數，也就是 y＝ f ( x )＝－2 x 。
A (月份) B (天數)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
31
30
28
A對 應 到 B 是 函 數 對 應 關 係 B對應到A不是函數對應關係
A (月份)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B (天數)
31
30 28
x y
o y＝ －2x
(1， －2) (－1， 2)
(3)函數的判別法則：
函數對應關係的判斷法則，可以用下圖來表示：
1 2 3 4
a b c d
1 2 3 4
a b c
1 2 3 4
a b c d
一對一函數 多對一函數(或一對無) 不是函數
(4)函數值：
【範例】：設 g( x )＝
x 0
1 ，求 g(5)與 g(10)的值。
解 ：因為 g( x )＝
x 0
1 ，所以 g(5)＝
5 0
1 ＝2，g(10)＝
10 0
1 ＝1。
【函數圖形】： (1)線性函數圖形：
(i) 一次函數：
f( x )＝ ax ＋b， a ≠0 時，這種函數就叫做一次函數。(即y是 x 的一次函數) 例如：f( x )＝5 x ，g( x )＝50－3 x 都是一次函數；
【範例】：試畫出一次函數 y＝f( x )＝－2 x 的圖形。
解 ：對函數 y＝f( x )＝－2 x 時的圖形，先找出兩組方程式的解為：
再將兩點描到座標平面上，再將兩點連接成一條直線，
則此直線即為函數 y＝f( x )＝－2 的圖形。
※注意：當一次函數：y＝f( x )＝ ax ＋b 中的 x 值有限制的時候，其圖形為直線的 一部分，為一條線段或某些點。
【範例】：設一次函數 y＝f( x )＝4 x －5，且 1 £ x £ 3，請畫出它的圖形。
解 ：取函數 y＝f( x )＝4 x －5 的兩組端點的對應值如下：
(ii) 常數函數：
f( x )＝ ax ＋b中， a ＝0 時，f( x )＝b，這種函數就叫做常數函數。
例如：f( x )＝5，g( x )＝－2，f( x )＝0 都是常數函數，其圖形都是 x 軸或 與 x 軸平行的直線。
x y
o y＝ －2x
(1， －2) (－1， 2)
O
( 3，7 )
( 1，－1 ) x y
x y
-1 2
1 -2
x y
1 -1
3 7
【範例】：試畫出常數函數 y＝f( x )＝3 的圖形。
解 ：對函數 y＝f( x )＝3 時的圖形，先找出兩組方程式的解為：
再將兩點描到座標平面上，再將兩點連接成一條 直線，則此直線即為函數 y＝f( x )＝3 的圖形。
(2)絕對值的函數圖形：
例如：方程式y＝| x |的圖形，即為絕對值的函數圖形。
方程式y＝| x |，其圖形如下圖所示：
y是 x 的函數，也就是 y＝ f ( x )＝| x |。
(3)平方根的函數圖形：
例如：方程式y＝ x ，y＝－ x 的圖形，即為平方根的函數圖形。
方程式y＝ x ，y＝－ x ，其圖形如下圖所示：
y是 x 的函數，也就是 y＝ f ( x )＝ x ，y＝ f ( x )＝－ x 。
(4)不是函數的函數圖形：
如右圖所示，若方程式 x ＝ y 2 - 2 (即y＝ ± x + 2 )
，如果 x ＝ a 代入，會跑出兩個根(解)，則 此方程式不是函數。
【二次函數的圖形討論與作圖】： 二次函數 y ＝ ax2 +bx+ c ：
(1) 利用配方法將 y ＝ ax 2 + bx + c 推演成 y ＝ a ( x - h ) 2 + k 來找出頂點座標( h ， k )
，然後即可描繪其圖形，並且得其最大(小)值。
y ＝ ax 2 + bx + c ＝
a ac b
a x b
a 4
) 4 ( 2
2
2 -
- +
因此可得知 y ＝ ax 2 + bx + c 的頂點座標為(
a b - 2 ，
a ac b
4
2 4
- - )。
x y
o (2， 3)
y＝ 3
x y
O y＝ |x|
x y
O
y＝ x
x y
O y＝ x
x y
O
＝ x a
y＝ f(x)
y＝ f(a) y＝ f(a)
x y
0 3
2 3
(2) y ＝ ax 2 + bx + c
，
對稱軸為a x b
+ 2 ＝0。
(i) a > 0 時： a. 開口向上；(如圖一) b. 當
2 x b
= - a ， y 有最小值
2 4
4
b ac
a
- - ；
c. 頂點（
2 b - a ，
a ac b
4
2 4
- - ），為最低點(最小值)。 (圖一)
(ii) a < 0 時： a. 開口向下；(如圖二）
b. 當
2 x b
= - a ， y 有最大值
2 4
4
b ac
a
- - ；
c. 頂點（
2 b - a ，
2 4
4
b ac
a
- - ），為最高點(最大值)。 (圖二)
【二次函數圖形之平移】：
(1) 對方程式 y ＝ a ( x － h ) 2 ＋ k 而言，若 h > 0 ， k > 0 ，則有下列四種情形：
(i) 把 y ＝ a x 2 的圖形向右平移 h 單位，向上平移 k 單位，
得到 y ＝ a ( x - h ) 2 + k 的圖形。
(ii) 把 y ＝ a x 2 的圖形向右平移 h 單位，向下平移 k 單位，
得到 y ＝ a ( x - h ) 2 - k 的圖形。
(iii) 把 y ＝ a x 2 的圖形向左平移 h 單位，向上平移 k 單位，
得到 y ＝ a ( x + h ) 2 + k 的圖形。
(iv) 把 y ＝ a x 2 的圖形向左平移 h 單位，向下平移 k 單位，
得到 y ＝ a ( x + h ) 2 - k 的圖形。
【二次函數與兩軸交點之討論】：
(1) 若a≠0， y ＝ ax 2 + bx + c 圖形與 y 軸的交點：
＝
y ax 2 + bx + c
令 x ＝0 Þ y ＝ c ，即與 y 軸交於(0， c )，如(圖一)。
令 y ＝0 Þ x ＝
a ab b
b 2
2 4 -
±
- (圖一)
(0,c)
x y
O
x y
O
x y
O
(2) 若 y ＝0 且 a ≠0， y ＝ ax 2 + bx + c 圖形與 x 軸的交點：
(i) 當判別式 b 2 - ac 4 > 0：
a. 方程式根為兩相異實根， x ＝
a ab b
b 2
2 4 -
±
- 。
b. 圖與 x 軸的交點為相異兩交點。
c. a > 0 (開口向上，如圖二) ； a < 0 (開口向下，如圖三)。
(圖二) (圖三) (ii) 當判別式 b 2 - 4 ac ＝0：
a. 方程式根為兩相等實根， x ＝
a ab b
b 2
2 4 -
±
- ＝
a b 2
- 。
b. 圖與 x 軸的交點為相切(一交點)。
c. a > 0 (開口向上，如圖四) ； a < 0 (開口向下，如圖五)。
(ii) 當判別式 b 2 - 4 ac ＜0： (圖四) (圖五) a. 方程式根無實根。
b. 圖與 x 軸無交點。
c. a > 0 (開口向上，如圖六) ； a < 0 (開口向下，如圖七)。
(圖六) (圖七)
x y
O x
y
O
x y
O
x y
O
x y
O
x y
O
1. 如右圖，L為一次函數 y = f (x ) 的圖形，今將函數 f 的自變數與應變數間的 對應關係列在表(二)。
請問對於下列有關 a 、b、 c 、d 大小的判斷中，何者錯誤？【91.基本學測一】
(A) a = 0 (B) b > 0 (C) c = 2 (D) d > 2 重點：在一次函數中，由斜率決定大小y值的大小
如右圖： x = 0 時， y = f ( 0 ) > 0 Þ a > 0 ； x = 1 時， y = f ( 1 ) > 0 Þ b > 0 3
=
x 時， y = f ( 3 ) = 2 = c ； x = 5 時， y = f ( 5 ) > 2 Þ d > 2 答案選（A）
2. 如右圖，設直線L為函數 f ( x ) = ax + b 的圖形，請問 f ( 0 ) = ？ (A) - 65 (B) - 120 (C) - 130 (D) - 250 重點：先算出直線方程式再代入點 【91.基本學測二】
直線L通過 ( 10 , 130 ) 、 ( 20 , 380 ) 兩點 將 ( 10 , 130 ) 、 ( 20 , 380 ) 代入 y = ax + b
可得 ( ) 25 120
120 25 )
2 ( 20
380
) 1 ( 10
130 Þ = = -
î í ì
-
= Þ = î í
ì
+
= +
= y f x x
b a b
a b a
L
L ， f ( 0 ) = - 120 。
答案選（B）
3. 如右圖，在坐標平面上， L 為 1 y = f (x ) 的一次函數圖形， L 為 2 y = g (x ) 的一次函數圖形，
L 、 1 L 相交於 2 P
(
3 , 3)
。若 a > 3 ，則下列敘述何者正確？【92.基本學測一】(A) f ( a ) - g ( a ) = a (B) f ( a ) - g ( a ) = 3 (C) f ( a ) = g ( a ) (D) f ( a ) < g ( a ) 重點：直角坐標與直線
) 1
( 在 x = 3 時， f ( x ) = g ( x ) )
2
( 在 x < 3 時， f ( x ) > g ( x ) )
3
( 在 x > 3 時， f ( x ) < g ( x ) 答案選（D）
y
O x
L 2
L 1 : y = g(x)
: y = f (x) x = 3
y
x O
P( 3 , 3 ) L 2
L 1
y
x L
130 380
0 10 20
自變數 x
應變數 f (x) a b c d
0 1 3 5
...
...
...
...
表(二)
L
x y
0 1 2 3 4 5 (3,2)
4. 若一次函數 f ( x ) = ax - 3 ，其中 a > 0 ，則下列哪一個選項可能是此函數圖形？
(A) (B) (C) (D)
重點：一次函數的平移 【92.基本學測二】
雖然題目為一次函數，但寫成 y = ax + 3 即可說是直線方程式。
直線方程式的斜率可能偏向 x 軸也可能偏向y軸但本題不注重。
答案選（A）
5. 已知線型函數 f ( x ) = ax + b ，其對應關係如附表(一)。求 b +g = ？【92.基本學測二】
(A) 4 (B) 6 (C) 8 (D) 12
重點：直角坐標與直線 f(x ) b g
將 f ( = 1 ) 3 ， f ( 3 ) = 3 代入 f ( x ) = ax + b 0 0
3 2 3
3 Þ = Þ = î í
ì
+
= +
Þ = a a
b a
b
a 代入得 b = 3 Þ f ( = x ) 3
∴b ， g 也等於 3，故 b +g = 3 + 3 = 6 答案選（B）
6. 坐標平面上，函數 y = f ( x ) 的圖形經過 ( - 1 , 4 ) 、 ( 0 , 3 ) 、 ( 1 , 0 ) 、 ( 2 , 1 ) 、 ( 3 , 2 ) 、 ( 4 , 7 ) 六個點，求 f ( - 1 ) + f ( 1 ) + f ( 2 ) + f ( 4 ) 的值為何？ 【93 年第一次基測】
(A) 4 (B) 6 (C) 8 (D) 12 重點：坐標平面上所對應的點
經過 ( - 1 , 4 )、( 1 , 0 )、( 2 , 1 )、( 4 , 7 ) )
1 ( -
f = 4， f ( 1 ) = 0， f ( 2 ) = 1， f ( 4 ) = 7 )
4 ( ) 2 ( ) 1 ( ) 1
( f f f
f - + + + = 4＋0＋1＋7 = 12 答案選（D）
y
O x
y
O x
y
O x
y
O x
y
O x
y=ax+3 y
O x
y=x
y
O x
y=ax
x 1 2 3 4
3 3
... ...
...
...
表(一)
7. 右圖為小美影印資料時剩下張數和時間的關係圖。利用圖中所提供的數據，推估小 美在 9：00 時影印的情形是下列哪一種？【93.基本學測一】
(A) 來不及印完 (B) 剛好印完
(C) 提前一分鐘印完 (D) 提前半分鐘印完 重點：線性函數的應用
每分鐘平均印 180
6 1080 50
56 720 1800
= - =
- (張)，在 9：00 時，剩下張數為 720 - 180 ´ 4 = 0
答案選（B）
8. 如右圖，直線 L 1 、 L 2 、 L 3 分別為方程式 y = x + a 、 y = - x + b 、 y = c 的圖形，下列 有關a、b、c大小關係的敘述何者正確﹖【93.基本學測二】
(A) a＞b＞c (B) b＞a＞c (C) b＞c＞a (D) a＞c＞b 重點：與y軸交點的大小比較
1 :
L 令 x = 0 Þ y = a > 0 ， L 令 3 : x = 0 Þ y = c > 0
2 :
L 令 x = 0 Þ y = b > 0 ，由圖知 a > b > c 。 答案選（A）
9. 右圖是某電信公司的通話費計算方式：300 秒以內只繳基本費，超過 300 秒之 後的費用，與通話時間成線型函數關係。則基本費是多少元﹖
(A) 26 (B) 28 (C) 32 (D) 34 重點：二元一次的列式求解 【93.基本學測二】
假設此線性函數為 y = ax + b ，將 500 ( ， ) 36 ， 1200 ( ， ) 50
50 14 1
1200 700 50
500
36 Þ = Þ =
î í ì
+
=
+
= a a
b a
b
a 26
50 500 1
36 - ´ =
=
b ，
可得超過 300 秒後的關係式為 26 50
1 +
= x
y ∴基本費 300 26 32 50
1 ´ + =
= ( 元 )
答案選（C）
y
O x
L : y = x+a 1
L : y = c 3
L : y = x+b 2
剩 下 張 數
8:50 8:56 時間 720
1800
50 36
0 300 500 1200 通話時間(秒) 費
用 元
10. 將兩兄妹的年齡分別以y、x表示。若在 2004 年時，兄妹兩人的年齡分別為 16 歲、8 歲，
則下列哪一個圖形為兩人年齡的關係圖？ 【94 年第一次基測】
(A) (B) (C) (D)
重點：直線函數關係圖 答案選（C）
11. x、y兩變數的關係如下，何者y不是x之函數？
(A) (B)
(C) (D)
重點：函數的定義 (B) x = 1 則
î í ì
= -
= 2
1 y
y ，對x＝1 而言有兩個 y值與之對應。 ∴不為函數
其他(A)(C)(D)“對應 x 的y值均只有一個＂此種關係，即為函數關係 答案選（B）
12. 阿木班上某次平時考成績低落，老師用線型函數 y = ax + b 來加分，原始分數為 x 分，調 整後的分數為y分，結果使原來32分的同學變成63分，40分的同學變成75分，若阿木調 整後的分數為90分，則他的原始分數為幾分？
(A) 50 (B) 51 (C) 52 (D) 53 重點：線型函數的應用
以 32 ( ， 63 、 40 ) ( ， 75 代入 ) y = ax + b ， î í ì
+
= +
=
b a
b a 40 75
32
63 ，解之得
2
= 3
a ， b = 15 。
所以其線型函數為 15
2 3 +
= x
y 。再以 y = 90 代入即得 x = 50 。 答案選（A）
16
1 8 x
y
O
16
1 8 x
y
O
16
1 8 x
y
O
16
1 8 x
y
O
x y
9 8 7 6 0
17 16 15 14 8
...
...
x y
1 0
2 0
3 4 0 0
x y
1 -1
2 3
3 1 4 2
x y
-1 -1
0 0
1 2 1 2
x y
1 3
2 4
3 4 5 6
13. 兩個線型函數 f ( x ) = x + 1 、 g ( x ) = - 3 x + 5 圖形的交點為P點，則 f (x ) 、 g (x ) 的圖形與 x 軸所圍成的三角形面積為何？
(A) 4
11 (B) 4
7 (C) 3
8 (D) 3
5 平方單位
重點：線性函數的交點圖形之面積
î í ì
= Þ =
î í ì
+ -
= +
=
2 1 5
3 1
y x x
y x
y Þ 交點為 P ( 1 ， ) 2
) (x
f 、 g (x ) 的圖形與 x 軸的交點坐標分別為 ( - ， ) 1 0 、 3 ( 5 ， ) 0
則三角形的面積
3 2 8 2 ] ) 1 3 (
[ 5 - - ´ ¸ =
= ( 平方單位 )
答案選（C）
14. 設線型函數 f ( x ) = ax + b ，其圖形通過 6 ( ， - 7 ) ，且和直線 4 x - y 5 = 30 平行，則 )
1 (
f 之值為何？
(A) - 17 (B) - 11 (C) - 5 (D) 1 重點：線型函數的平行性質
5 6 4
5 30 4
5
4 x - y = Þ y = x - Þ a = ，設 f x = x + b 5 ) 4 ( 以 6 ( ， - 7 ) 代入得
5 6 59
5
7 = 4 ´ + Þ = -
- b b ，得
5 59 5
) 4
( x = x - f
5 11 55 5
59 5 ) 4 1
( = - = - = - Þ f
答案選（B）
15. 某電器行賣大、中、小三種冰箱，原來的售價為大冰箱25000元，中冰箱18000元，
小冰箱9000元，今想用一個線型函數 y = ax + b 來調低售價，冰箱原來售價 x 元，調 低後售價y元，已知降價後中冰箱賣15200元，小冰箱賣7100元，請問大冰箱調低售 價後應賣多少元？
(A) 21500 (B) 21300 (C) 21100 (D) 20900
重點：等差級數的應用
以 18000 ( ， 15200 、 9000 ) ( ， 7100 代入 ) y = ax + b
î í ì
+
=
+
=
b a
b a 9000 7100
18000 15200
解之得 10
= 9
a ， b = - 1000 ，所以 1000
10 9 -
= x
y ， x = 25000 代入即得 y = 21500 答案選（A）
16. 如右圖，小智丟垃圾的路徑是一個二次函數 y = - x + 2 x + c 3
1 2
的圖形。已知小智是 在此二次函數圖形的頂點 ( 即B 點 ) 將垃圾丟出，且從 A ( 0 , 1 ) 點進入筒內。若B點 的坐標為 ( a , b ) ，則 = b ？【90.基本學測二】
(A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6 重點：利用配方法求二次函數頂點坐標 將 ( 0 ， 1 ) 代入二次函數 y = - x + 2 x + c
3 1 2
c
= Þ 1
3 9 1 1 ) 9 6 3 (
1 1 ) 6 3 (
1 1 3 2
1 2 2 2
´ + + + - -
= + - -
= + + -
= x x x x x x
y ( 3 ) 4
3
1 2
+ - -
= x
故B 為 ( 3 ， 4 ) Þ b = 4 答案選（B）
17. 有三個二次函數，甲： y = x 2 ，乙： y = x 2 + 2 x - 1 ，丙： y - = x 2 ，下列哪一個敘 述是正確的？【90.基本學測二】
(A)甲的圖形經適當的平行移動後，可與乙的圖形重疊在一起 (B)甲的圖形經適當的平行移動後，可與丙的圖形重疊在一起 (C)乙的圖形經適當的平行移動後，可與丙的圖形重疊在一起 (D)甲、乙、丙三個圖形經適當的平行移動後，都可重疊在一起 重點：二次函數圖形的比較
甲： y = x 2 ； 乙： y = x 2 + 2 x - 1 = ( x + 1 ) 2 - 2 ； 丙： y - = x 2 。 )
1
( 乙函數是由甲函數向左平移 1 單位，再向下平移 2 單位形成的，
而開口方向何開口大小皆未改變 )
2
( 丙函數與甲、乙函數開口方向不同，故與甲、乙兩函數無法經由平移而重疊。
答案選（A）
A
B
18. 如右圖，A、B 分別為 y= x 2 上兩點，且AB^ y 軸。若 AB = ，則直線6 AB 的方程式 為何？【91.基本學測二】
(A) y = 3 (B) y = 6 (C) y = 9 (D) y = 36 重點：二次函數的對稱軸
x 2
y = 的對稱軸 Þ y 軸
∵ AB = 6 ； A ( - 3 , 9 ) ； B ( 3 , 9 ) 。 ∴直線 AB 的方程式為： y = 9 答案選（C）
19. 如下圖(一)，在長度為 28 的 AB上取一點P。用AP圍成一個長方形PMNO，其中 3
PM = PO ，再用BP圍成一個正方形PVUT，如圖(二)。已知 PO t = 時，長方形與 正方形的面積和有最小值 s ，則 = s ？【91.基本學測二】
(A) 14 (B) 21 (C) 28 (D) 49 重點：二次函數的極值
t
AP = 8 ； PB = 28 - 8 t Þ 正方形 PVUT 邊長 = 7 - 2 t 49
28 7 ) 2 7 (
3 2 + - 2 = 2 - +
= t t t t
s = 7 ( t - 2 ) 2 + 21
s 的最小值為21
答案選（B）
20. 如右圖是一坐標平面。已知籃框位置B 點在 y 軸上，金有一選手將球從A點的位置投出，
球經過的路徑是拋物線，由B 點空心進球。若此拋物線是下列某一函數的圖形，則此函 數為何？【92.基本學測二】
(A) ( 2 ) 2 2
6 - 1 +
= x
y (B) ( 2 ) 2
2 6 - 1 -
= x
y
(C) ( 2 ) 2 2
6 + 1 -
= x
y (D) ( 2 ) 2
2 6 + 1 +
= x
y
重點：由圖形判斷二次函數的方程式 )
1
( 對稱軸為 x = - 2 Þ x + 2 = 0 才合理，開口向下。
) 2
( ∴ 對照 y = a ( x - h ) 2 + k 判斷其中 a < 0 ， h < 0 ， k > 0 。 )
3
( 因為籃框位置B 點在 y 軸上，且可由選項推得
2 - 1
=
a ， h = - 2 ， k = 6 ，
A B
O x
y
y=x 2
O A
B
x y
M
N O
P T U
V 3t
t 72t
A
P
B 圖(ㄧ)
M
N O
P T U
V
圖(二)
故其函數為 ( 2 ) 6 2
1 2
+ + -
= x
y 。
答案選（A）
21. 下列哪一個二次函數，其圖形和 y = 4 x 2 - 8 x 的圖形有相同頂點？【93.基本學測二】
(A) y = 2 x 2 - 4 x (B) y = - 2 ( x + 1 ) 2 (C) y = 2 ( x + 1 ) 2 + 4 (D) y = - 2 ( x + 1 ) 2 - 4 重點：配方法與二次函數的頂點
4 ) 1 ( 4 ] 1 ) 1 ( [ 4 ] 1 ) 1 2 ( [ 4 8
4 2 - = 2 - + - = - 2 - = - 2 -
= x x x x x x
y 。∴頂點 ( 1，– 4 )
（A） y = 2 [ ( x 2 - 2 x + 1 ) - 1 ] = 2 ( x - 1 ) 2 - 2 ，∴頂點 ( 1，– 2 )
（C） 頂點 ( –1，4 ) 。 （D） 頂點 ( 1，– 4 ) 。 答案選（D）
22. 下列哪一個二次函數圖形的開口最小？
(A) y - = x 2 (B) y - = 3x 2 (C) y = 2x 2 (D) y = x 2 重點：二次函數圖形開口大小的比較
(i) 當 x 2 的係數的絕對值越大，則函數圖形的開口越小。
(ii) 當 x 2 的係數的絕對值越小，則函數圖形的開口越大。
答案選（B）
23. 函數 y = 2 x 2 + 8 x - 23 可化成 y = a ( x + h ) 2 + k 的形式，則 a + h + k 為何？
(A) - 11 (B) - 15 (C) - 27 (D) - 31 重點：二次函數的配方法
31 ) 2 ( 2 8 23 ) 4 4 ( 2 23 8
2 2 + - = 2 + + - - = + 2 -
= x x x x x
y
∴ a = 2 ，2 h = 2 ， k = - 31 Þ a + h + k = 2 + 2 - 31 = - 27 答案選（C）
24. 若二次函數 y = - 3 ( x + 2 ) 2 - 6 ，則下列何者正確？
(A) y 的最大值是 - 2 (B) y 的最小值是 - 2 (C) y 的最小值是 6 - (D) y 的最大值是 6 - 重點：二次函數的最大值與最小值判別
k h x a x
y = - 3 ( + 2 ) 2 - 6 = ( + ) 2 + 。 ∵ a < 0 ， ∴ y 有最大值為 6 - 答案選（D）
25. 設 x 是任意數且 2 x 2 - 4 x + y + 3 = 0 ，則下列何數不可能是 y 值？
(A) 0 (B) - 1 (C) - 2 (D) - 3 重點：二次函數的最大值與最小值判別
k h x a x
x x x
x
y = - 2 2 + 4 - 3 = - 2 ( 2 - 2 + 1 ) - 3 + 2 = - 2 ( - 1 ) 2 - 1 = ( + ) 2 +
∵ a = - 2 < 0 ， ∴ y 有最大值為 - 1 Þ y 不可能是 0 。 答案選（A）
26. 若二次函數 y = a ( x - 3 ) 2 + b 有最大值 3 ，則下列各項何者正確？
(A) a > b (B) a = b (C) a < b (D) a 、 b 無法比較 重點：二次函數的最大值
若 y = a ( x - 3 ) 2 + b 有最大值 3 ，則 a < 0 ， b = 3 > 0 。 ∴ a < b 答案選（C）
27. 在坐標平面上， y = x 2 2 - 8 的圖形經由下列哪一種方式移動後，可得到 y = 2 ( x - 5 ) 2 + 12 的圖形？
(A) 先向左移 5 單位，再向上移 20 單位 (B) 先向右移 5 單位，再向上移 20 單位 (C) 先向下移 5 單位，再向右移 20 單位 (D) 先向上移 5 單位，再向左移 20 單位 重點：二次函數圖形的平移
∵ y = x 2 2 - 8 與 y = 2 ( x - 5 ) 2 + 12 有相同的開口方向和開口大小
∴ y = x 2 2 - 8 的圖形可經由平移而與 y = 2 ( x - 5 ) 2 + 12 重疊
由 x ® x ( - 5 ) ，是向右平移 5 單位；由 - 8 ® + 12 ，則是向上平移 20 單位。
答案選（B）
28. 在直角座標平面上將二次函數 y = - 3 x 2 + 12 x - 5 的圖形向左移動 3 單位，再向上移動 2 單位，則其最高點為何？
(A) ( - 1 , 7 ) (B) ( 1 , 5 ) (C) ( 5 , 5 ) (D) ( - 1 , 9 ) 重點：二次函數的最大值(最高點)
7 ) 2 ( 3 12 5 ) 4 4 ( 3 5 12
3 2 + - = - 2 - + - + = - - 2 + -
= x x x x x
y 。
若圖形向左移動 3 單位，則可得 y = - 3 ( x + 1 ) 2 + 7 ，
若圖形再向上移動2單位，則可得 y = - 3 ( x + 1 ) 2 + 9 。 ∴最高點為 ( - 1 , 9 ) 答案選（D）
29. y = 2 x 2 - 12 x - 31 之圖形的對稱軸方程式為？
(A) x = 3 (B) x = - 3 (C) x = 6 (D) x = - 6 重點：二次函數的對稱軸
49 ) 3 ( 2 18 31 ) 9 6 ( 2 31 12
2 2 - - = 2 - + - - = - 2 -
= x x x x x
y 。
∴對稱軸為 x - 3 = 0 Þ x = 3 答案選（A）
30. 若 1 £ x £ 6 ， y = 2 x 2 - 8 x + 6 的最大值為M ，最小值為 m ，則 M + m = ？ (A) 30 (B) 29 (C) 28 (D) 27
重點：二次函數的最大值與最小值(當 x 有範圍時) 2 ) 2 ( 2 4 6 ) 4 4 ( 2 6 8
2 2 - + = 2 - + + - = - 2 +
= x x x x x
y 。∴ x = 2 ，時 y 有最小值為 - 2 。
又∵ 1 £ x £ 6 Þ x = 1 時， y = 2 ( 1 - 2 ) 2 - 2 = 0 x = 6 時， y = 2 ( 6 - 2 ) 2 - 2 = 30 (最大值)。
∴ M + m = 30 - 2 = 28 答案選（C）
31. 若二次函數 y = ax 2 + 4 ax - 2 a 2 有最大值 6 - ，則a 之值為何？
(A) - 2 (B) - 3 (C) 2 (D) 3 重點：二次函數的最大值與最小值
a a x
a a a x
x a a ax ax
y = 2 + 4 - 2 2 = ( 2 + 4 + 4 ) - 2 2 - 4 = ( + 2 ) 2 - 2 2 - 4
∵有最大值為 6 - ，∴ a < 0 且 - 2 a 2 - 4 a = - 6
3 0
) 1 ( ) 3 ( 0
3
2 2
-
= Þ
= - +
Þ
= - +
Þ a a a a a 或1(正不合) 答案選（B）
32. 若二次函數 y = ax 2 + bx + c 之圖形有最高點，其位置在 y 軸的左方，則點 ( a , b ) 在 第幾象限？
(A) 第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D) 第四象限 重點：二次函數的圖形
a ac b
a x b a c bx ax
y 4
) 4 ( 2
2 2
2 -
- +
= + +
= 。
∴ a < 0 且 0 2 <
- a
b Þ b < 0 ， ∴ ( a , b ) 在第三象限。
答案選（C）
33. 設二次函數的圖形通過 ( 3 , - 2 ) 和 ( - 2 , 3 ) 兩點，且 y 軸是對稱軸，則此二次函數有 最大(小)值為何？
(A) 最大值 7 - (B) 最大值 7 (C) 最小值 7 - (D) 最小值 7 重點：二次函數的最大值與最小值
∵ 二次函數的對稱軸為 y 軸，即 x = 0 。 ∴ 設二次函數為 y = ax 2 + k 。 將 ( 3 , - 2 ) 和 ( - 2 , 3 ) 兩點代入得
î í ì
+
=
+
= -
) 2 ( 4
3
) 1 ( 9
2
L L k a
k a
由 ( - 1 ) ( 2 ) 可得 - 5 = 5 a Þ a = - 1 Þ k = 3 - 4 a = 3 + 4 = 7
∴ y = x - 2 + 7 Þ y 有最大值為 7 。 答案選（B）
34. 設 a : = b 2 : 3 ， b : = c 2 : 5 ，則 ab + bc - ca - c 的最小值為何？
(A) - 1 (B) 24
- 25 (C)
12
- 13 (D)
8 - 9
重點：二次函數的最大值與最小值 3
: 2 : = b
a ， b : = c 2 : 5 Þ a : b : c = 4 : 6 : 15 。 設 a 4 = t ， b 6 = t ， c 15 = t ，
t t t t c ca bc
ab + - - = 24 2 + 90 2 - 60 2 - 15 = 54 t 2 - 15 t 2 2 ) 2 36 ( 5 54 ) 36 ) ( 5 18 ( 5
54 - + - ´
= t t
24 ) 25 36 ( 5
54 - 2 -
= t
答案選（B）
35. 若
k x y x
+ -
= -
6 20
2 有最小值 5 - ，則 k 之值為何？
(A) - 5 (B) - 9 (C) - 13 (D) - 17 重點：二次函數的最大值與最小值
k x y x
+ -
= -
6 20
2 ( 6 9 ) 9
20
2 + + + +
= -
k x
x ( 3 ) 9
20
2 + + +
= -
k x
∴有最小值 5 - 。 5 4 9 13 9
20 = - Þ - = + Þ = -
Þ + k k
k 答案選（C）
36. 座標平面上 y - = 3x 2 的圖形向左平移2個單位長，再向下平移 7 個單位長，則所得到的 新圖形的二次函數為何？
(A) y = - 3 ( x + 2 ) 2 + 7 (B) y = - 3 ( x + 2 ) 2 - 7 (C) y = - 3 ( x - 2 ) 2 + 7 (D) y = - 3 ( x - 2 ) 2 - 7 重點：函數圖形的平移
原圖形向左平移2個單位長，就得到 y = - 3 ( x + 2 ) 2 的圖形，
再向下平移 7 個單位長，就得到 y = - 3 ( x + 2 ) 2 - 7 的圖形。
答案選（B）
37. 有一出租公寓有 60 間套房，每月租金 4400可全部租出，若每間房間每增加100元，
則平均有一間未租出去，若欲使總收入達到最高時，假設公寓套房有 x 間未租出去
，每個房間的租金為 y 元，則 x + y = ？
(A) 4911 (B) 5010 (C) 5109 (D) 5208 重點：二次函數的的應用問題
4400 2
6000 264000
) 60 ( ) 100 4400
( + x - x = + x - x + x = - 100 x 2 + 1600 x + 264000 6400
264000 )
64 16 (
100 2 - + + + -
= x x = 100 ( x - 8 ) 2 + 270400
∴ x = 8 ， Þ y = 4400 + 100 ´ 8 = 5200 (元)。 ∴ x + y = 5200 + 8 = 5208 。 答案選（D）
38. 已知某二次函數其圖形通過 ( - 2 , 5 ) 、 ( 0 , - 11 ) 兩點，且圖形的對稱軸為 x = - 3
，則此二次函數為何？
(A) y = - 2 x 2 - 12 x - 11 (B) y = - x 2 + 6 x - 12 (C) y = - 2 x 2 + 12 x + 11 (D) y = - x 2 - 6 x + 12 重點：求二次函數的圖形
∵其圖形的對稱軸為 x = - 3 ，∴假設此二次函數為 y = a ( x + 3 ) 2 + k 。 將 ( - 2 , 5 ) 、 ( 0 , - 11 ) 兩點代入可得
ï î ï í ì
+ +
´
= -
+ + -
´
=
k a
k a
2 2
) 3 0 ( 11
) 3 2 ( 5
î í ì
+
= -
+ Þ =
) 2 ( 9
11
) 1 ( 5
L L k a k a
由 ( - 1 ) ( 2 ) 可得 16 = - 8 a Þ a = - 2 Þ k = 5 + 2 = 7
∴此二次函數為 y = - 2 ( x + 3 ) 2 + 7 = - 2 ( x 2 + 6 x + 9 ) + 7 = - 2 x 2 - 12 x - 11 答案選（A）
39. 已知二次函數 y = mx 2 + nx + 1 與 x 軸交於一點，且其圖形通過 ( 1 , 1 ) ，求此二次函數 為何？
(A) y = 4 x 2 + 4 x + 1 (B) y = 4 x 2 - 4 x + 1 (C) y = x 2 + 2 x + 1 (D) y = x 2 - 2 x + 1 重點：求二次函數的圖形
將點 ( 1 , 1 ) 代入得 1 = m + n + 1 Þ n = - m
又其圖形與 x 軸交於一點 Þ b 2 - 4 ac = 0 Þ n 2 - 4 m = 0 Þ m 2 - 4 m = 0 Þ m ( m - 4 ) = 0 若 m = 0 ，則 n = 0 (不合)；若 m = 4 ，則 n = - 4 。∴此二次函數為 y = 4 x 2 - 4 x + 1 。 答案選（B）
40. 隨你去旅行社招攬環島旅行團，預定人數為 36 人，每人收費8000元，但若增加一人，
則每人減收 200 元，則應增加 x 人，才能使這個旅行社收到最多錢為 y 元。則 = x
y ？
(A) 122200 (B) 133300 (C) 144400 (D) 155500 重點：二次函數的的應用問題
200 2
7200 8000
288000 )
200 8000 ( ) 36
( x x x x x
y = + - = + - -
800 288000 )
4 4 ( 200 288000
800
200 2 + + = - 2 - + + + -
= x x x x = - 200 ( x - 2 ) 2 + 288800
∴增加2人時，可收到最多錢為 288800元 144400 2
288800
=
= Þ x
y
答案選（C）
41. A、B 為數線上的兩點，它們的座標分別為 9 、 5 - ，在此數線上求一點P 的座標
，使 PA + 2 PB 2 的值為最小。試問最小值為何？
(A) 97 (B) 98 (C) 99 (D) 100 重點：數的推理
設P 座標為 x ， PA 2 + PB 2 = x - 9 2 + x - ( - 5 ) 2 = ( x - 9 ) 2 + ( x + 5 ) 2 106 8
2 25 10 81
18 2 2
2 - + + + + = - +
= x x x x x x
98 ) 2 ( 2 106 4 2 ) 4 4 (
2 2 - + - ´ + = - 2 +
= x x x
∴ 最小值為 98 。 答案選（B）
42. 下列敘述何者錯誤？
(A) y = x 2 的圖形對稱於軸 y 。
(B) y = x ( + 1 ) 2 + 2 的圖形可由 y = x 2 的圖形向右平移1單位，再向上平移2單位而得。
(C) y = ( 2 x + 1 ) 2 - 3 圖形的對稱軸為 2 x + 1 = 0 。
(D) a ¹ 0 , b , c , d , e 為任意實數，則二次函數 y = ax 2 + bx + c 的圖形與 y = ax 2 + dx + e 的圖形，可藉由水平與鉛直方向的平移而完全疊合。
重點：二次函數的意義判斷
（B） y = x ( + 1 ) 2 + 2 的圖形可由 y = x 2 的圖形向左平移1單位，再向上平移2單位而得。
答案選（B）
43. 設 y= f x ( ) 為二次函數，若其圖形通過( 0 ,- 3 ) 、( 1 , 0 ) - 、(1 ,- 8 ) 三點，則 f x ( ) 為何？
(A) f x( )=2x2 -3x - 3 (B) f x( )= -x2 -3x - 4 (C) f x( )= -x2 -4x - 3 (D) f x( )= -2x2 +3x - 4 重點：求解二次函數
設二次函數為 y=ax2 +bx+ ，則有 c
3 0
8 c
a b c a b c ì = -
ï - + = í
ï + + = - î
解得 a = - ， 1 b = - ， 4 c = - ，所以二次函數為 3 y= -x2 -4x - 。 3 答案選（C）
44. 設 y= f x ( ) 為二次函數，若其圖形通過( 0 , 11)，且其頂點為( 2 , 3 )，則 f x ( ) 為何？
(A) y=3(x +2 )2 + 3 (B) y= -(x +2 )2 + 3 (C) y=(x -2 )2 + 3 (D) y=2 (x -2 )2 + 3 重點：求解二次函數
設二次函數為 y=a x ( -2 )2 + 3 則有4a+ =3 11 Þ a = 2 所以二次函數為 y=2 (x -2 )2 + 3 答案選（D）
45. 若二次函數 y=ax2 +bx - 在 3 x = 時有最大值 5 ，則 a b 2 + = ？ (A) 4 (B) - 4 (C) 6 (D) - 6
重點：二次函數的極大值與極小值
5 ) 2 (
3 2
2 + - = - +
= ax bx a x
y =ax2 -4ax+( 4a + 5 ) 。所以 4 2
3 4 5 8
b a a
a b
= - = -
ì ì
í Þ í
- = + =
î î
。
∴ a + b = - 2 + 8 = 6 ， 答案選（C）。
46. a b, 為實數，若二次函數 f x( )=a x( -2 ) 2 + ，則 b f (1) 、 f (2) 、 f (3) 與 f (4) 之大小關係 為何？
(A) f(2)= f(1)< f(3)< f (4) (B) f(2)< f(1)= f(3)< f (4) (C) f(2)< f(1)< f(3)= f (4) (D) f(2)= f(1)= f(3)= f (4) 重點：由對稱軸來判斷函數值的大小
∵ f x( )=a x( -2 ) 2 + ，∴對稱軸為 b x = ，即 2 f (2) 為最小值，如右圖。
故 f(2)< f(1)= f(3)< f (4) 答案選（B）
47. 若 y=x2 +2kx+ 2 k 的圖形恆在直線 y= - - x 4 的上方，則實數k 的範圍為何？
(A) 3 1
2 k 2
- < < - (B) 1 1
2 k 2
- < < (C) 1 3
2 k 2
- < < (D) 3 5
2 k 2
- < <
重點：由判別式 D=b2 -4ac < 0 求範圍
∵ y=x2 +2kx+ 2 k 的圖形恆在直線 y= - - x 4 的上方。
∴ y=x2 +2kx+2k> - - 恆成立。即 x 4 x2 +( 2k+1)x+( 2k +4 )> 恆成立(恆正)。 0
∴ ( 2k+1)2 - ´ ´4 1 ( 2k +4 )< 0 Þ 4 k 2 - 4 k - 15 ＜0 Þ ( 2 k + 3 )( 2 k - 5 ) ＜0 2 - 3
Þ ＜ k ＜ 2 5 。 答案選（D）
48. 設對所有實數 x ，二次函數 f x( )=3x2 -2 (m-2 )x+(m - 2 ) 的函數值恆正，則實數 m 的 範圍為何？
(A) 1<m < 4 (B) 2<m < 5 (C) 1<m < 3 (D) 2<m < 4 重點：由判別式 D=b2 -4ac < 0 求範圍
因為二次函數 f x( )=3x2 -2 (m-2 )x+(m - 2 ) 的函數值恆正 所以函數圖形開口向上，且與 x 軸不相交(如右圖)
故有 a = > 且 3 0 D= -[ 2 (m-2 ) ]2 - ´ ´4 3 (m -2 )< 0 4 (m 2 )2 12 (m 2 ) 0
Þ - - - < Þ 4 (m-2 ) (m - -2 3 )< 0 (m 2 ) (m 5 ) 0
Þ - - < Þ 2<m < 5 答案選（B）
x
x = 2
f(4)
f(3) f(2) f (1)
49. 若二次函數 y=3x2 +ax- 4 a 的圖形恆在 y=ax2 -ax - 12 圖形的上方，則實數 a 的範圍 為何？
(A) a < 2 (B) 2<a < 3 (C) 2<a < 6 (D) 3<a < 6 重點：由判別式 D=b2 -4ac < 0 求範圍
因為 y=3x2 +ax- 4 a 的圖形恆在 y=ax2 -ax - 12 圖形的上方
所以 3x2 +ax-4a>ax2 -ax - 12 恆成立，即 ( 3-a x) 2 +2ax+(12 4 )- a > 恆成立 0 故 3-a > …(1) ， 且 0 D=4a2 -4 (3-a)(12 4 )- a < 0
得 a < 且 3 a2 -4 ( 3-a )2 < 0
2 2
( 6 2 ) 0
a a
Þ - - < Þ ( 6 2 )- a 2-a 2 > 0 ( 3a 6 )(a 6 ) 0
Þ - - > Þ a < 2 或 a > …(2) 6 由(1)、(2)可得 a < 2
答案選（A）
