第三章函数极限

(1)

第三章函数极限

§1 函数极限概念

引例 1 考察函数 sin x

y x 的图象。 sinx 1 x  x

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

当x   (x )时，y?

定义 1 设 f 为定义在[a,)上的函数， A为定数．若对任给的 >0，存在正数

M (a)，使得当xM 时，有

( )

f x  A 

则称函数 f 当x趋于+时以 A 为极限，记作

lim ( )

x f x

  A 或 f(x)A(x).

类似可定义：

(2)

lim ( )

x f x A

 

lim ( )

x f x A

 

显然：lim ( )

x f x A

  lim ( ) lim ( )

x f x A x f x

 

  

例 1 sin

( ) x

f x  x ，则

lim ( ) 0, lim ( ) 0, lim ( ) 0

x f x x f x x f x

     

例 2 x^lim



x² ¹ x



⁰

   

2

1 1

1

x x

x x x

   

 

例 3 1

lim 1

2

x

x

 



1 3 3 3

1 2

2 2 2

x x

x x x 



       

  

例 4［教材例 2］证明：

（1） lim arctan 2



 

 x

x ；（2） lim arctan

2

x x 

  .

任给 0由于

_ _ _ 2) (

arctan x (2)

等价

arctan 2 2

 

    

 x ，而此不等式的左半部分对任何x^{都成立，所以只要考察} 其右半部分x的变化范围．为此，先限制

2

  ，则有

2 ).

tan(

2)

tan(    

 x

故对任给的正数 ( 2)

  ，只需取 tan( ) 0

M   2  ，则当x M 时便有式成立．这就证明了，类似地可证．

) 2 ( )

1 2)

【注】当x时arctanx不存在极限．

引例 2 考察函数 1 sin y x

 x^的图象。 1

sin

x x

x 

(3)

-0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 -0.2

-0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2

当x0时，y?

定义 2 设函数 f 在点x₀的某个空心邻域U x^( ,₀ )内有定义，为定数．若对任给的

A

0

 存在正数 ( )，使得当0 xx₀ 时，有 ( )

f x  A 

则称函数 f 当x趋于x₀时以A为极限，记作

0

lim ( )

x x f x

 A 或 f x( )A x( x₀)

例 5

0 0

(1) lim , (2) lim 0

x x c c x xx x

   

例 6

0

lim sin1 0

x x

 x 

例 7［教材例 4］证明：

0 0

(1) lim sin sin ; (2) lim cos cos

x x x x x x x

    x

（1） ₀ ⁰ ⁰ ₀

sin 2 cos 2

2 sin

sin x x x x x x

x

x    



 ．

      

(4)





sin ₀

sinx x ．

所以limsin sin ₀.

0

x

x x

x 



（2） |

sin 2

| 2 2 | sin

| 2 | sin

| 2

| cos cos

| ₀ x x⁰ x x⁰ x x⁰

x

x 

 

 



  |x x₀ |

其他与（1）类似。

定义 3 设函数 f 在U^



x0,^



内有定义，A为定数．若对任给的 0^{，存在正数}

 

 ^ ^，使得当x₀  x x₀ 时，有

 

f x  A 

则称数A为函数 f 当x^趋于x₀^时的右极限，记作

 

0

lim

x x_ f x

 A 或 ^{f x}

 

^^{A x}



^^x⁰^



类似可定义左极限。右极限与左极限统称为单侧极限．在点的右极限与左极限又分别记为

f x₀



x



f

 

x f

x x ^





0

lim

0 0 与 f



x



f

 

x

x x ^





0

lim

0 0

显然

     

0 0 0

lim lim lim

x x f x A x x_ f x A x x_ f x

      

例 8 f x( )[ ]x

0 0 0

lim ( ) 0, lim ( ) 1, lim ( )

x x x

f x f x

  

     f x 不存在。

例 9 [习题 3.1：习题 8，参见教材第四章第 1 节例 3]

证明：对 Riemann 函数R(x)有lim ( ) 0

0

 R x 

x x

，x₀[0,1]（当x₀为端点时，极限是指单侧极限）。

(5)

1, ( ) ( )

0 0,1, (0,1) x p

q q

R x

x

 

 

 



既约真分数

，内无理点

 0

  ，R x( ) 1 q 

  的点x只有有限个有理点。设这有限个点为 . 即

1, ,2 , _k r r  r ( )

R x 除了这有限个点之外，都是R x( ) 。

对于[0,1]中的任一点x₀，总能取到充分小的 ^，使U x^( , )₀  ^{（端点是半邻域）不包}

含这有限个点。例如，记r₀ 0,r_k_₁1，取

1

0 0

0 0 0 2

1 1

0 0

1 1

min {| |}, , , , min {| |},

i k

i k

i i

i k i i

x r x r r r

x r x r

 ^{  } ^

  



 



   





这样x U x ^( , )₀  ^时，有| ( ) 0 |R x  R x( ) .

(6)

§2 函数极限的性质

定理 1（唯一性）若极限 ^f

 

^x

x xlim₀

 存在，则此极限是唯一的．

定理 2（局部有界性）若 f

 

x

x ₀

lim 存在，则 f 在x₀的某空心邻域U^

 

x0 内有界．

定理 3（局部保号性）若

 

0

lim 0

x x f x A

   ，则对任何正数r A，存在某，使得对一切

 

0

U^ x

 

0

x U ^ x ，有

 

^x ^{ r}^⁰

f

【注】在以后应用局部保号性时，常取

2 r  A． 定理 4（保不等式性）设 f

 

x

x xm₀

li 与都 g

 

x

x xm₀

li 都存在，且在某邻域U^( ,x₀ )上

，

有

 

f x g

 

x 则

 

x

x f

x ₀

lim  g

 

x

x xlim₀



定理 5（迫敛性）设

 

0

lim

x x f x

 

 

0

lim

x x g x A

  ，且在某U x^( ,₀ )上有

 

x

f  h

 

x  g

 

x 则

 

．

0

lim

x x h x A

 

定理 6（四则运算法则）若极限 f

 

x

x 0

lim 与 g

 

x

x 0

lim 都存在，则函数当时极限也存在，且

g f g f  , 

x0

x ) 1

0

limx

x



f

   

x  xg





0

limx

x f

 

x 

0

limx

x g

 

x ； 2）

0

lim

xx



f

   

x g x





0 0

lim ( ) lim ( )

x x f x x x g

   x

又若，则

0

lim

xx ^g

 

^x ^⁰ ^{f g}^/ ^当x x0^{时极限存在，且有}

3）

0

limx x

   

x ^ g

x

f f

 

x g

 

x

x x x

xlim₀ lim₀



 ．

例 1 f x( )a x_n ⁿ a_n_₁xⁿ^¹a x₁ a₀，则

0

lim ( ) ( 0)

x x f x f x

 

(7)

例 2 求 



 





 





 1

3 1

lim 1 ₃

1 x x

x ．

当x10时有

  

1 2 1

2 1 1

3 1 1

2 3

3  

 





 

 

 x x

x x

x x x

x

故所求的极限等于

   

1 1 1 ¹ 2

1 1

lim ₂ 2 ₂

1 





 





 x x

x

例 3

 

0 0

0

0 0

0

sin sin

lim tan lim tan cos 0

cos cos

x x x x

x x

     x 

例 4[教材例 1] 求

0

limx 

 x 1x

。

1 1

x x x

    

当x0时，有1 x 

 x 1x

1，而

0

lim (1 ) 1

x

 x

   ，故由迫敛性得：

0

lim

x ^ 

 x 1x

=1

当x0时，有1



 x 1x

1x，故由迫敛性得：

0

lim

x 

 x 1x

1

综上，

lim0

x 

 x 1x

1。

例 5［教材例 4，习题 3.2：6］证明

 

0

lim ^x 1 0, 1

x a a a

    。

当a1时，对任给的 0 (不妨设 1)，为使





1 ax

即1 a^x 1，利用对数函数 log_a x（当a1时）的严格递增性，只要



1



 log



1



log_a x _a

于是，令

   



 



 min log_a 1 ,log_a 1 ，则当0 x 时，就有a^x1 成立，从而证得结论．

(8)

当0 a 1时，令 1 1 b a ，则

0 0

lim ^x lim 1_x 1

x a x

   b 

例 6［习题 3.2：5］设

0

( ) 0, lim ( )

x x

f x f x

  A^。证明：

0

lim ⁿ ( ) ⁿ

x x f x A

 

其中n2为正整数。

因为 f x( )0，由保不等式性，

0

lim ( ) 0

x x f x A

   。

（ 1 ）当 A0 时，由

0

lim ( ) 0

x x f x

  ，    0,  0,当0 x x₀  ^{时，有} ( ) ⁿ

f x  ，即ⁿ f x( )  ，证得

0

limⁿ (

x x f x

 ) 0。

（2）当 A0 时，由

0

lim ( ) 0

x x f x A

   ，    0,  0,当0 x x₀  时，有 ( )

f x A  ^。从而

1 2 1 1

( ) ( )

( )

( ) ( )

n n

n n n

n n n n n

n n

f x A f x A

f x A

f x Af x A A A 1



    

 

   

 

证得

0

lim ⁿ ( ) ⁿ

x x f x A

  。

定理 7（复合函数极限定理 1）设

（1）

0

lim ( )

u u f u A

  （u A₀, 可无穷）；

（2）

0

lim ( ) 0

x x g x u

  （x₀可无穷）；

（3）在x₀的某空心邻域U^(x₀,)上，g x( )u₀^（当u₀无穷时，此条件不要）；

则

0 0

lim [ ( )] lim ( )

x x f g x u u f u A

   

证设x u₀, ₀都是有限数，A也是有限数（其它情况作为习题，极限为地穷时，见后面内容）。

由（1），    0, ₁ 0，当0 u u₀ ₁时，有 ( )

f u A 

由（2），对上面₁，(0  )，当0 x x₀ 时，有（结合条件(3)）

(9)

0 1

0 g x( )u 

于是

[ ( )]

f g x A 

这就证得

0

lim [ ( )]

x x f g x A

  ^。

【注 1】对该定理的理解：由于

0

lim ( )

u u f u

 是存在的，则u以任何方式趋于（但不等于），极限都存在且等于

u0

u0 A。当u取特殊的方式：ug x( )u x₀( x₀)时（），

极限也存在且等于

( )u0

g x A。

【注 2】【变量替换法】在解题时，为了方便，常采用如下变量替换法：

0 0( 0) 0

lim [ ( )] ( ) lim ( )

x x u u x x u u

u g x

f g x f u

   



值得注意的是，我们令u g(x)，这里u是x的一个函数，可能是某种特殊的方式。而右面的中的u是独立的自变量，是以任何方式趋于，这里的u 可换成任何一个字母。前后两个u本质不同。为了方便，我们通常使用同一个字母。

0( uu xx

u0 0) )

( limf u

a u

例如：

2 2

0( 0)

0 0

lim sin lim sin 0

u x

x u

u x

x u

 

 

【注 3】定理中的条件（3）是必要的。如果没有它，可能导致错误。

例如：

x x x

g 1

sin )

(  ^，







 

0 , 1

0 , ) 0

( u

u u f

显然

0 ) ( lim

0 

 g x

x

，lim ( ) 0

0 

 f u

u

但lim [ ( )]不存在。这是因为：对任意小邻域

0 f g x

x U^(0, ) ^， ^{都有无穷多值} ^，又有

无穷多个值，因此，

( )

g x 0

0 f g x[ ( )]都有无穷多值0^{，又有无穷多个值}1^，故

不存在。

)]

(x

x [g

lim0 f



【注 4】定理中的条件只是充分的。例如：

(10)

0 ) (x 

g ，









 

0 , 1

0 1, ) sin (

u u u u

f

0 ) ( lim

0 

 g x

x

，lim ( )不存在，

0 f u

u

但 f[g(x)]1，极限存在。

例 7 ₂

0 2 1

1 1 1 1 1

lim lim lim

1 2 1 1

x y y

x y x y

x x y y y

  

    

1

  1



   ^。

定理 8（复合函数极限定理 2）［参见第四章复合函数的连续性］设

（1）

0

lim ( ) ( 0)

u u f u f u

  ^；

（2）

0

lim ( ) 0

x x g x u

  ；

则

0 0

lim [ ( )] [lim ( )] ( 0)

x x f g x f x x g x f u

   

这个定理的证明与上一个定理的证明完全类似。只要注意到，由（1），   0, ₁^，

当u u ₀ ₁^时，有 f u( ) f u( ₀)  ^，不需要0 u u₀ ^。

【注】（在第四章中，如果

0

lim ( ) ( 0)

u u f u f u

  ^，则称为 f 在点连续，此时，极限运算与复合运算可交换。

u0

例 8 ² ²

1 1

lim sin(1 ) sin(lim(1 )) sin 0 0

x x x x

       。

例 9 sin sin

lim 2 lim(2 ) 2 0 2

x x

        。

(11)

§3 函数极限存在的条件

定理 1（归结原则）

 

0

lim

x x f x A

  对任何x_n x n₀(  )，有^lim

 

n

n f x A

  ．

[必要性] 设

 

0

lim

x x f x

  A，则对任给的 0^{，存在正数} ，使得当0 xx₀ 

时，有 ^{f x}

 

^^A ^^^.

另一方面，设数列limx_n x₀，则对上述的

n 



  0^，存在N 0^，使得当n时有







 ₀

0 x_n x ，从而有 f x

 

n A ．这就证明了lim

 

n

n f x A

  .

[ 充分性 ] 设对任何数列limx_n x₀

n 



 ，有^limn f x

 

n

  A，则可用反证法推出

 

0

lim

x x f x A

  ．

事实上，倘若当xx₀时 f 不以A为极限，则存在某₀ 0，对任何 0 (不论多么小)，总存在一点x^，尽管0| xx₀ |^，但有| f(x) A|₀．

现依次取 ,, , , 3

, 2

n



 

   ^ ^ ^ ，则存在相应的点x₁,x₂,x₃,,x_n,，使得

0 |x_n x0 | n



   而| (f x_n) A| ₀,n1, 2,

显然数列limx_n x₀，但当时不趋于

n 



 n  f(x_n) A．这与假设相矛盾。

【注 1】若可找到一个以 为极限的 ,使不存在,或找到两个都以为

极限的数列与，使

x0

lim f

}

{x_n lim ( _n)

n f x



 x0

}

{x_n {x _n} ( _n)

n x



 与lim ( )

n f x _n



 都存在而不相等，则lim ( )不存在．

0

x

x f

x

【注 2】［习题 3.3：4］设 f x( )在U⁰(x₀)内有定义。证明：若对任何数列

 

x_n U⁰(x0)且lim _n ₀

n x x

  ,极限lim

n f x( _n)

 都存在，则所有这些极限都相等。

证：设任意的两个数列

   

x_n , y_n U⁰(x0)^，满足lim _n ₀, lim _n ₀,

n x x n y x

    ^。构造数

列：

 

z_n :x y x y 1, 1, 2, 2, ^，于是lim _n ₀

n z x

  ^{，由题设,}lim ( )_n

n f z

 存在。

从而



f x⁽ n^{) ,}

 

f y⁽ n⁾



作为



f z^{( )}n



的两个子列,其极限都与lim ( )_n

n f z

 相等。

因此，上面归结原则又可改为：

(12)

 

0

limx x f x

 存在对任何x_n x n₀(  )，^limn f x

 

n

 都存在．

例 1（教材例 1）证明极限

x

sin1 lim

0 不存在．

证取

), , 2 , 1 ( 2 2

, 1

1  



 

  n

n nx x

x_n _n

 

显然x_n 0,x_n 0(n),但

).

( 1 1 1

sin , 0 1 0

sin   

 

  n

x

x_n _n

故由归结原则知极限

x

sin1 lim

0 不存在．

定理 2（归结原则加强版，即习题 3.3：8）设函数 在点的某空心右邻域有定义．

f x₀ U_^(x₀)

0

lim ( )

x x

 f x

 

 A )

A的充要条件是：对任何以为极限的递减．．数列，有

.

x0 {x_n}U_^(x₀) x

f _n

n ( lim

证必要性。同归结原则，易证，略。

充分性。（用反证法）设 f x( )在U_^( )x₀ ( ,x x₀ ₀₀)有定义。假设lim ( _n)

n f x A

  ，

则 ₀ 0，  0，x: 0 x x₀ ₀，使

( ) 0

f x  A  . 取 ₁ ⁰

2

  ，x₁: 0 x₁ x₀ ₁，使

1 0

( )

f x  A 

(13)

取 ₂ min ₁ ₀, ¹ x x 2

  ^  ^

 ^,x²: 0x² x⁰ ₂（此时x₀  x₂ x₁），使

2 0

( )

f x  A 

如此继续下去，取 min ₁ ₀, ¹ 2

n

n xn x 

  ^ _  ^ ^

  ^, xⁿ ： 0x_nx₀ _n （此时

0 n n 1

x  x x _ ），使

( )_n 0

f x  A 

这样就得到一个数列

 

xn 满足：

 

x_n U_^(x0,0)^{, 满足}x_n_₁x_n （严格递减），且

0

0 0

n n 2n

x x  

    ^，而 f x( )_n  A ₀。显然x_n  (x₀ n )，但lim ( _n)

n f x A

  ^。

与题设矛盾。

定理 3（单调有界定理）设 为定义在上的单调有界函数，则右极限存在．

f U_^(x₀) lim ( )

0

x f

x x ^

证不妨设在上递增．因在上有界，由确界原理，存在，记为

f U_^(x₀) f U_^(x₀) inf ( )

) ( ₀ f x

x U x ^_

A^．下证 A．

x f x

x_ 

 ( )

lim

0

事实上，任给 0^{，按下确界定义，存在}xU_^(x₀)^，使得 f(x) A ^．取

0 0



x x

 ^，则由 f ^{的递增性，对一切}x(x₀,x)U_^(x₀;)，有





 

 f x A x

f( ) ( )

另一方面，由A f(x)，更有A  f(x)．从而对一切xU_^(x₀;)有



   

 f x A

A ( ) ，

这就证得 f x A

x

x _ 

 ( )

lim

0

．

例 2 [习题 3.3：5]设 f ^为U⁰(x₀)^{上的递增函数。证明：}f x( ₀0)^和 ^都存

在，且有

( 0 0 f x  )

0 0

( ) ( )

( 0) sup ( ), ( 0) inf ( )

o x Uo x

x U x

f x f x f x

  



    f x



(14)

)

0

( )

( 0) sup (

x Uo x

f x f

 

  x

同理

0

0 ( )

( 0) inf (

x Uo x

)

f x f

 

  x

【注】此题说明单调函数只有第一类间断点。（见习题 4.1：6）

定理 4（柯西准则 P56）设函数 在内有定义. 存在的充要条件

是:任给

f U^(x₀;) lim ( )

0

x

x f

x

0

 ,存在正数(),使得对任何x,xU^(x₀;)有| f(x) f(x)|. 证必要性设 f x A，则对任给的

x

x 

 ( )

lim

0

0

 ,存在正数(),使得对任何

)有

; (x₀  U x ^

| 2 ) (

| _{ A} _ x

f .于是对任何x,xU^(x₀;)有

 

  



 



 

 

 

2

| 2 ) (

|

| ) (

|

| ) ( ) (

| f x f x f x A f x A .

充分性设数列{x_n}U^(x₀;)且limx_n x₀

n 



 .

按假设，对任给的 0，存在正数()，使得对任何x,xU^(x₀;)，有



 

) ( )| (

| f x f x ．

由于 x_n x₀(n)，对上述的 0，存在，使得当时有

，从而有

0

N n,m N

)

; (x₀  ,x U

x_n _m





 ( )| )

(

| f x_n f x_m

于是，按数列的柯西收敛准则，数列{f(x_n)}的极限存在，由归结原则推得

0

lim ( )

x x f x

 存在。

【注】否定形式 )

( lim

0

x

x f

x 不存在的充要条件：存在₀ 0^，对任何 0 (无论 多么小)，总可找到

，使得 .

x xU⁰(x₀;), | f(x) f(x)|₀

例 3 证明极限

x

sin1

lim0 不存在．

取₀ 1,^对任何 0,^取正整数n ¹,

 令

, 2 , 1

1

 

 ^^ _



n n x

x

则有x,xU^(0;)，而

(15)

0

1 1

sin sin 1

x  x  

 

于是按柯西准则，极限

x

sin1

lim0 不存在.

例 4 ［习题 3.3：6］设D x( )为狄利克雷函数，x₀R。证明：不存在。

0

lim ( )

x x D x



证用柯西准则证明。取₀ 1，  0，由有理数及实数的稠密性，在U⁰( , )x₀  中既有有理数，也有无理数，从中取有理数xU⁰( , )x₀  ，取无理数xU⁰( , )x₀  ，于是

( ) ( ) 1 0

D x D x   ，所以不存在。

0

lim ( )

x x D x



(16)

§4 两个重要的极限

【一】

0

limsin 1

x

 x 

证在不等式

2) 0

( tan

sin 



x x x

x ．

除以sin x,得到 ,

cos 1 1 sin

x x

x 

 由此得

. sin 1

cos  

x x x

x代替

在上式中用 x时,上式不变,故上式当 0 2  

 x

时也成立,从而它对一切不满足不

等式的都成立..由

| 2

|

0_ x _ x

1 cos lim0 

 x

x 及函数极限的迫敛性,即得 sin 1. lim0 

 x

x

函数

x y sinx

 的图象如图所示．

例 1（教材例 2） ₂

0

1 cos

lim 1

2

x

 x

 

解

2

0 2 0

1 cos sin2

lim lim 1

2

x x

 

 

 

    

 

 

例 2 求

sin1 lim

x 1

x x x

 x

解

1

0

1 1

sin sin

lim lim limsin 1

1 1 1

t x

x x t

x t

x x

x t

x x





   

 

例 3

0

limtan 1

x

 x 

(17)

解

0 0

tan sin 1

lim lim 1

cos

x x

x x x

    

例 4

0

arctan

lim 1

x

 x 

解

arctan

0 0

arctan

lim lim 1

tan

t x

x t



   

【注】暂且承认x0时，arctanx0 例 5

0

arcsin

lim 1

x

 x 

解

arcsin

0 0

arcsin

lim lim 1

sin

t x

x t



   

【注】暂且承认x0时，arcsinx0

【二】 1 lim(1 )^x

x e

  x  ^，

1

0

lim(1 )^ e

 

  

证首先证明 1 lim (1 )^x

x e

 x 

不妨设x1，由[ ]x  x [ ] 1x  和指数函数的单调性得

[ ] [ ] 1

1 1 1

[ ] 1 [ ]

x x x

        

     

  





由 1

lim(1 )ⁿ

n e

  n  ^易得

1 1 1

lim(1 ) lim(1 )

1

n n

n n e

n n



     



于是，  0^， N N_^，当nN ^时，有

1 1 1

(1 ) (1 )

1

n n

e e

n n

 ^ 

      



取G N1，当xG时，就有[ ]x N ，于是

[ ] [ ] 1

1 1 1

[ ] 1 [ ]

x x x

e e

x x x

 

      

            

由定义证得

lim (1 1)^x

x e

  x 

其次证明 1

lim (1 )^x

x e

  x  ^。令x y

1 1

lim (1 )^x lim (1 ) ^y

x x y y



    

(18)

1 1 1 1

lim (1 ) lim (1 ) (1 )

1 1

y y

y y e

y y y



 

 

        1 



综上， 1

lim(1 )^x

x e

  x  ^。

例 6 [教材例 3]求 ^x

x x

1

0(1 2 ) lim 

 .

2 2 1 2

1

0 1

0(1 2 ) lim[(1 2 ) (1 2 ) ]

lim x x ^x x ^x e

x x

x      



 ．

例 7 [教材例 4] 求lim(1 ) .

1

0

x

x x



令u x,则当x0时u0.因此

1. ) 1 ( lim )

1 ( lim

1

0 1

0 x u ^u e

x x

x    ^ 



例 8 求

1 1 cos 0

lim cos ^x

x x ^



 

1 1

1 cos 1 cos 1

0 0

lim cos ^x lim 1 (cos 1) ^x

x x ^ x x ^ e^

     

例 9 求 1 lim

x

 x

  

 

 

1 1

lim ^x lim 1 ^x

x x

x x x

 

 

 

    

   

   

x

1 1 1

lim 1 lim 1 1

x x

x x ee

x x



 

   

       

    

例 10 [教材例 5] 求 ⁿ

n n1 n1 )

1 (

lim   ₂



 .

).

( 1)

1 ( 1 ) 1 1

(   ₂   e n n

n n

另一方面,当n1时有

, 1) 1 ( 1)

1 ( 1 ) 1 1

( ₂ ₂ ¹ ¹ ₂ ¹ ²

2

2 



 



 







 ⁿ

n n

n n n

(19)

而由归结原则(取 , 2,3, 1

2

 

 n

n

x_n n ).

 

 ^^





2 1 2

2

1) 1 (

lim ⁿ

n

n n

n ₁

2

1) 1 (

lim ^





  ⁿ

n

n n

n = ^x

n 1x)

1 ( lim 



 = e

于是，由数列极限的迫敛性得

n e n

n

n   



 1 1 )

1 (

lim ₂

(20)

§5 无穷小量与无穷大量

一、无穷小量的概念

在内

定义 1 设 f 某U ( ) 有定义．若li x0

 m ( ) 0

0

 f x 

x x

，则称 f 为当x 时的无穷小量．记为 ( )

 x₀

1) ( 0

( )

f x o xx 。

定义 2 若函数 f ^{在某}U^(x₀)内有界，则称 f ^{为当}x x₀时的有界量．记为

0) ( ) (1) (

f x O x x 。

类似可定义当xx₀^,xx₀^,x,x以及x时的无穷小量与有界量．

例如：

2 (1)( 0), sin (1)( 0),1 cos( ) (1)( 0)

x o x xo x  x o x ，

1 x o(1)(x1 )^ , 1₂ sin

(1)( ), x (1)( )

o x o x

x    x    ,

sin1 O(1)(x 0)

x  

【思考】 f 为当x x₀时的无界量？

性质

1．两个(相同类型的)无穷小量之和、差、积仍为无穷小量．

2．无穷小量与有界量的乘积为无穷小量．

例如，当x0时，x²是无穷小量，

x

sin1 为有界量，

1 0 sin lim ²

0 

 x x

x .

3.

0

lim ( ) ( ) (1)

x x f x A f x A o

     (xx₀).

二、无穷小量阶的比较

设当xx₀时，f 与 g 均为无穷小量．

【1】若 0 ) (

) lim (

0

 g x  x f

x x

，则称当xx₀时f 为 g 的高阶无穷小量,或称 g 为 f 的低阶无

(21)

穷小量，记作 f(x)(g(x)) (xx₀).

例如 x² ( )x (x0)，1cosx(sin x)(x0).这是因为

2

0 0

s lim

x x 2 si 0

2 sin

o 2 lim tan 0

n cos 2

2 2

x

x x

x ^

lim1 c sin

   

【2】若存在正数，使得在某L U^(x₀)上有

( ) ( ) f x L

g x   f x( ) L g x( )  ( ) ₀ (1)( ) ( )

f x O x x

g x  

则记作

( ) ( ( )) ( 0) f x O g x xx

例如： 1

sin ( )( 0)

x O x x

x  

【3】若存在正数K L, ，使得在某U^(x₀)上有

0 ( )

( )

K f x L

  g x 

则称 f 与 g 为当xx₀时的同阶无穷小量．

例如： 1

( ) 2 sin , ( )

f x x g x

x

 

    x都是当x0时的无穷小量,

( ) 1

1 2 sin

( ) f x

g x x

   3

【4】 0

) (

) lim (

0



 c

x g

x f

x x

时， f 与 g 必为同阶无穷小量．

证明是容易的。例如，当x0时，1cosx^与x²^{皆为无穷小量．又}

2 1 cos lim1 ₂

0  

 x

x

x ,

所以1cosx与x²为同阶无穷小量．

【5】若 1 ) (

) lim (

0

 g x  x f

x x

，则称 f 与g时当xx₀时的等价无穷小量.记作

) )(

(

~ )

(x g x x x₀

f  。

第三章 函数极限