数学

(1)

問題選択方法

第１問必答

第２問必答

第３問 !%

%"

#%

%$

いずれか!問を選択し，

解答しなさい。

第４問第５問

― １５ ― （２１０５―１５）

(2)

第１問

（必答問題）（配点３０）

〔"〕

 !≦ θ ＜#π のとき sin θ ＞ !$ cos%&θ −

π

$'

( ……… 

となる

θ の値の範囲を求めよう。

加法定理を用いると

!$ cos%&θ −

π

$'

(＝

!

^ア

イ cos θ ＋ ウ

イ sin θ である。よって，三角関数の合成を用いると， は

sin

%

& ^{θ ＋}

^エ

^π ' (

^＜^!

と変形できる。したがって，求める範囲はオ

カ

π ＜ θ ＜

キク

π

である。

（数学Ⅱ・数学Ｂ第１問は次ページに続く。）

（注）この科目には，選択問題があります。（１５ページ参照。）

数学Ⅱ・数学Ｂ

― １６ ― （２１０５―１６）

(3)

 '≦ θ ≦ π( とし，

k を実数とする。sin θ と cos θ は x の(次方程式

２５

x

^２−３５

x ＋ k ＝'の解であるとする。このとき，解と係数の関係によ

り sin

θ ＋ cos θ と sin θ cos θ の値を考えれば，k ＝ケコであることが

わかる。

さらに，

θ が sin θ ≧ cos θ を満たすとすると，sin θ ＝

サシ

，

cos θ ＝ スセ

である。このとき，

θ は

ソを満たす。ソに

当てはまるものを，次の!∼&のうちから一つ選べ。

! '≦ θ ＜ π１２ "

π

１２≦

θ ＜ π

, #

π

, ≦

θ ＜ π

*

$

π

* ≦

θ ＜ π

) %

π

) ≦

θ ＜ +

１２

π

& +１２

π ≦ θ ≦ π

(

― １７ ― （２１０５―１７）

(4)

〔"〕



t は正の実数であり，t

^!^#−

t

^{− !}^#＝−#を満たすとする。このとき

t

^"^#＋

t

^{− "}^#＝タチ

である。さらに

t

^!^#＋

t

^{− !}^#＝

!

^{ツテ，}

^{t − t}

^−１^{＝トナニ}

である。

数学Ⅱ・数学Ｂ

― １８ ― （２１０５―１８）

(5)



x，y は正の実数とする。連立不等式

!"

#$

log（３

x !y ）≦"

………  log８１

y

x

^３ ≦! ……… 

について考える。

X ＝ log

^３

x，Y ＝ log

^３

y とおくと， は

ヌ

X ＋ Y ≦ ネノ

……… 

と変形でき， は

ハ

X − Y ≧ ヒフ

……… 

と変形できる。

X，Y が  と  を満たすとき，Y のとり得る最大の整数の値は

ヘである。また，

x，y が ， と log

^３

y ＝

ヘを同時に満たすとき，

x のとり得る最大の整数の値は

ホである。

― １９ ― （２１０５―１９）

(6)

第２問

（必答問題）（配点３０）

a ＞!とし，f（x）＝ x

^２−（$a −#）x ＋$a^２＋"とおく。座標平面上で，放物線

y ＝ x

^２＋#x ＋"を C，放物線 y ＝ f（x）を D とする。また，l を C と D の両 方に接する直線とする。



l の方程式を求めよう。

l と C は点（t，t

^２＋#t ＋"）において接するとすると，l の方程式は

y ＝%

& ア

t ＋

イ '

(x − t^２＋ウ …………  である。また，

l と D は点（s，f（s））において接するとすると，l の方程式は

y ＝%

& エ

s −

オ

a ＋

カ ' (x

−

s

^２＋キ

a

^２＋ク ………… 

である。ここで， と  は同じ直線を表しているので，

t ＝

ケ，

s ＝

コ

a が成り立つ。

したがって，

l の方程式は y ＝

サ

x ＋

シである。

（数学Ⅱ・数学Ｂ第２問は次ページに続く。）

数学Ⅱ・数学Ｂ

― ２０ ― （２１０５―２０）

(7)

 二つの放物線

C，D の交点の x 座標は

スである。

C と直線 l，および直線 x ＝

スで囲まれた図形の面積を

S とすると，

S ＝ a

セソ

である。



a ≧ "

# とする。二つの放物線

C，D と直線 l で囲まれた図形の中で

!≦ x ≦"を満たす部分の面積 T は，a ＞ タのとき，

a の値によらず

T ＝

チツであり， "

# ≦

a ≦

タのとき

T ＝−

テ

a

^３＋ト

a

^２− ナ

a ＋

ニヌである。

 次に，， で定めた

S，T に対して，U ＝#T −$S とおく。a が

"

# ≦

a ≦

タの範囲を動くとき，

U は a ＝

ネノ

で最大値ハヒフをとる。

― ２１ ― （２１０５―２１）

(8)

第３問

（選択問題）（配点２０）

数列｛

a

n｝は，初項

a

^１が!であり，n ＝"，#，$，… のとき次の漸化式を満 たすものとする。

a

n ＋"＝

n ＋３

n ＋１

｛$an＋３^{n ＋１}−（

n ＋"）

（

n ＋#）｝……… 



a

^２＝アである。



b

n＝

a

n

３（ⁿ

n ＋"）

（

n ＋#）

とおき，数列｛

b

n｝の一般項を求めよう。

｛

b

n｝の初項

b

^１はイである。 の両辺を３^{n ＋１}（

n ＋#）

（

n ＋$）で割

ると

b

n ＋"＝

b

n＋

ウ

%&n ＋ エ ' (%

&n ＋ オ ' (

−

%

&

^"^カ

' (

n ＋１

を得る。ただし，エ＜オとする。

したがって

b

n ＋１−

b

n＝

%

&

キ

n ＋

エ

−

キ

n ＋

オ

' (

⁻

%

&

^"^カ

' (

n ＋１

である。

（数学Ⅱ・数学Ｂ第３問は次ページに続く。）

第３問∼第５問は，いずれか２問を選択し，解答しなさい。

数学Ⅱ・数学Ｂ

― ２２ ― （２１０５―２２）

(9)

n を"以上の自然数とするとき

!"!!

"!!

$

%

キ

k ＋

エ −

キ

k ＋

オ

&

'

^＝ ^!^ク

$

%

n −

ケ

n ＋

コ

&

'

!"!!

"!!

$

%

^!^カ

&

'

k ＋１

＝サシ −

スセ

$ %

^!^カ

&

'

n

が成り立つことを利用すると

b

n＝

n −

ソ

タ $%n ＋ チ &

'

＋スセ

$ %

^!^カ

&

'

n

が得られる。これは

n ＝!のときも成り立つ。

  により，｛

a

n｝の一般項は

a

n＝ツ ^{n −} テ$

%n^２− ト &

'＋

$%n ＋ ナ &

'$

%n ＋ ニ &

' ヌ

で与えられる。ただし，ナ＜ニとする。

このことから，すべての自然数

n について，a

nは整数となることがわかる。



k を自然数とする。a

^３k，

a

^３k ＋１，

a

^３k ＋２を#で割った余りはそれぞれネ，ノ，ハである。また，｛

a

n｝の初項から第２０２０項までの和を#で割った余りはヒである。

― ２３ ― （２１０５―２３）

(10)

第４問

点 O を原点とする座標空間に!点

A（"，"，−$）， B（!＋!!"，!−!!"，−#）

をとる。"点 O，A，B の定める平面を α とする。また，α に含まれる点 C は

!"

OA⊥!"OC， !"OB・!"OC ＝２４ ………  を満たすとする。

 $$!"OA##＝ア

!

^イ ^，$^$^!"^OB#^#＝ ^ウ

!

^エ ^であり，

!"

OA・!"OB ＝オカである。

 点 C は平面

α 上にあるので，実数 s，t を用いて，

!"OC ＝ s!"OA ＋ t!"OB と表

すことができる。このとき，  から

s ＝

キクケ

，

t ＝

コである。し

たがって，$$!"OC##＝サ

!

^シ ^である。

（数学Ⅱ・数学Ｂ第４問は次ページに続く。）

数学Ⅱ・数学Ｂ

― ２４ ― （２１０５―２４）

(11)

 !CB ＝*" + ス，セ，ソタ ,-である。したがって，平面 α 上の四 角形 OABC はチ。チに当てはまるものを，次の!∼%のうちから一つ選べ。ただし，少なくとも一組の対辺が平行な四角形を台形という。

! 正方形である

" 正方形ではないが，長方形である

# 長方形ではないが，平行四辺形である

$ 平行四辺形ではないが，台形である

% 台形ではない

!"

OA⊥!"OC であるので，四角形 OABC の面積はツテである。

 !"OA⊥!"OD，!"OC・!"OD ＝'!) かつ z 座標が&であるような点 D の座標は

* +

^ト ^＋

^!

ナニ

，ヌ −

!

^ネ

ノ

，&

, -

である。このとき ∠COD ＝ハヒ °である。

(点 O，C，D の定める平面を β とする。α と β は垂直であるので，三角形 ABC を底面とする四面体 DABC の高さは

!

^フ ^{である。したがって，}

四面体 DABC の体積はヘ

!

^ホ ^である。

― ２５ ― （２１０５―２５）

(12)

第５問

以下の問題を解答するにあたっては，必要に応じて２９ページの正規分布表を用いてもよい。

ある市の市立図書館の利用状況について調査を行った。

 ある高校の生徒７２０人全員を対象に，ある!週間に市立図書館で借りた本の冊数について調査を行った。

その結果，!冊も借りなかった生徒が６１２人，!冊借りた生徒が５４人，

"冊借りた生徒が３６人であり，#冊借りた生徒が１８人であった。$冊以上借りた生徒はいなかった。

この高校の生徒から!人を無作為に選んだとき，その生徒が借りた本の冊数を表す確率変数を

X とする。

このとき，

X の平均（期待値）は E（X）＝

アイ

であり，

X

^２の平均は

E（X

^２）＝

ウエ

である。よって，

X の標準偏差は σ（X）＝ !

^オ

カ

で

ある。

（数学Ⅱ・数学Ｂ第５問は次ページに続く。）

数学Ⅱ・数学Ｂ

― ２６ ― （２１０５―２６）

(13)

 市内の高校生全員を母集団とし，ある!週間に市立図書館を利用した生徒の割合（母比率）を

p とする。この母集団から６００人を無作為に選んだとき，そ

の!週間に市立図書館を利用した生徒の数を確率変数 Y で表す。

p ＝０．

４のとき，

Y の平均は E（Y）＝キクケ，標準偏差は σ（Y）＝

コサになる。ここで，

Z ＝ Y − キクケ

コサ

とおくと，標本数６００は十分

に大きいので，

Z は近似的に標準正規分布に従う。このことを利用して，Y が

２１５以下となる確率を求めると，その確率は０．シスになる。

また，

p ＝０．

２のとき，

Y の平均はキクケの

! セ

倍，標準偏差は

コサの

!

^ソ

" 倍である。

― ２７ ― （２１０５―２７）

(14)

 市立図書館に利用者登録のある高校生全員を母集団とする。!回あたりの利用時間（分）を表す確率変数を

W とし，W は母平均 m，母標準偏差３０の分布

に従うとする。この母集団から大きさ

n の標本 W

^１，

W

^２，…，

W

nを無作為に抽出した。

利用時間が６０分をどの程度超えるかについて調査するために

U

^１＝

W

^１−６０，

U

^２＝

W

^２−６０，…，

U

n＝

W

n−６０とおくと，確率変数

U

^１，

U

^２，…，

U

nの平均と標準偏差はそれぞれ

E（U

^１）＝

E（U

^２）＝ … ＝

E（U

n）＝

m − タチ σ（U

^１）＝

σ（U

^２）＝ … ＝

σ（U

n）＝ツテである。

ここで，

t ＝ m −６０として，t に対する信頼度９５％の信頼区間を求めよ

う。この母集団から無作為抽出された１００人の生徒に対して

U

^１，

U

^２，…，

U

^１００の値を調べたところ，その標本平均の値が５０分であった。標本数は十分大きいことを利用して，この信頼区間を求めると

トナ．ニ ≦

t ≦ ヌネ．ノ

になる。

数学Ⅱ・数学Ｂ

― ２８ ― （２１０５―２８）

(15)

正規分布表

y

z z

⁰

O 次の表は，標準正規分布の分布曲線における右図の灰

色部分の面積の値をまとめたものである。

z

^０ ^０．^００ ^０．^０１ ^０．^０２ ^０．^０３ ^０．^０４ ^０．^０５ ^０．^０６ ^０．^０７ ^０．^０８ ^０．^０９０．００．０００００．００４００．００８００．０１２００．０１６００．０１９９０．０２３９０．０２７９０．０３１９０．０３５９０．１０．０３９８０．０４３８０．０４７８０．０５１７０．０５５７０．０５９６０．０６３６０．０６７５０．０７１４０．０７５３０．２０．０７９３０．０８３２０．０８７１０．０９１００．０９４８０．０９８７０．１０２６０．１０６４０．１１０３０．１１４１０．３０．１１７９０．１２１７０．１２５５０．１２９３０．１３３１０．１３６８０．１４０６０．１４４３０．１４８００．１５１７０．４０．１５５４０．１５９１０．１６２８０．１６６４０．１７０００．１７３６０．１７７２０．１８０８０．１８４４０．１８７９０．５０．１９１５０．１９５００．１９８５０．２０１９０．２０５４０．２０８８０．２１２３０．２１５７０．２１９００．２２２４０．６０．２２５７０．２２９１０．２３２４０．２３５７０．２３８９０．２４２２０．２４５４０．２４８６０．２５１７０．２５４９０．７０．２５８００．２６１１０．２６４２０．２６７３０．２７０４０．２７３４０．２７６４０．２７９４０．２８２３０．２８５２０．８０．２８８１０．２９１００．２９３９０．２９６７０．２９９５０．３０２３０．３０５１０．３０７８０．３１０６０．３１３３０．９０．３１５９０．３１８６０．３２１２０．３２３８０．３２６４０．３２８９０．３３１５０．３３４００．３３６５０．３３８９１．００．３４１３０．３４３８０．３４６１０．３４８５０．３５０８０．３５３１０．３５５４０．３５７７０．３５９９０．３６２１１．１０．３６４３０．３６６５０．３６８６０．３７０８０．３７２９０．３７４９０．３７７００．３７９００．３８１００．３８３０１．２０．３８４９０．３８６９０．３８８８０．３９０７０．３９２５０．３９４４０．３９６２０．３９８００．３９９７０．４０１５１．３０．４０３２０．４０４９０．４０６６０．４０８２０．４０９９０．４１１５０．４１３１０．４１４７０．４１６２０．４１７７１．４０．４１９２０．４２０７０．４２２２０．４２３６０．４２５１０．４２６５０．４２７９０．４２９２０．４３０６０．４３１９１．５０．４３３２０．４３４５０．４３５７０．４３７００．４３８２０．４３９４０．４４０６０．４４１８０．４４２９０．４４４１１．６０．４４５２０．４４６３０．４４７４０．４４８４０．４４９５０．４５０５０．４５１５０．４５２５０．４５３５０．４５４５１．７０．４５５４０．４５６４０．４５７３０．４５８２０．４５９１０．４５９９０．４６０８０．４６１６０．４６２５０．４６３３１．８０．４６４１０．４６４９０．４６５６０．４６６４０．４６７１０．４６７８０．４６８６０．４６９３０．４６９９０．４７０６１．９０．４７１３０．４７１９０．４７２６０．４７３２０．４７３８０．４７４４０．４７５００．４７５６０．４７６１０．４７６７２．００．４７７２０．４７７８０．４７８３０．４７８８０．４７９３０．４７９８０．４８０３０．４８０８０．４８１２０．４８１７２．１０．４８２１０．４８２６０．４８３００．４８３４０．４８３８０．４８４２０．４８４６０．４８５００．４８５４０．４８５７２．２０．４８６１０．４８６４０．４８６８０．４８７１０．４８７５０．４８７８０．４８８１０．４８８４０．４８８７０．４８９０２．３０．４８９３０．４８９６０．４８９８０．４９０１０．４９０４０．４９０６０．４９０９０．４９１１０．４９１３０．４９１６２．４０．４９１８０．４９２００．４９２２０．４９２５０．４９２７０．４９２９０．４９３１０．４９３２０．４９３４０．４９３６２．５０．４９３８０．４９４００．４９４１０．４９４３０．４９４５０．４９４６０．４９４８０．４９４９０．４９５１０．４９５２２．６０．４９５３０．４９５５０．４９５６０．４９５７０．４９５９０．４９６００．４９６１０．４９６２０．４９６３０．４９６４２．７０．４９６５０．４９６６０．４９６７０．４９６８０．４９６９０．４９７００．４９７１０．４９７２０．４９７３０．４９７４２．８０．４９７４０．４９７５０．４９７６０．４９７７０．４９７７０．４９７８０．４９７９０．４９７９０．４９８００．４９８１２．９０．４９８１０．４９８２０．４９８２０．４９８３０．４９８４０．４９８４０．４９８５０．４９８５０．４９８６０．４９８６３．００．４９８７０．４９８７０．４９８７０．４９８８０．４９８８０．４９８９０．４９８９０．４９８９０．４９９００．４９９０

― ２９ ― （２１０５―２９）

数学

第１問

π

θ の値の範囲を求めよう。

π

!

%

& θ ＋

π ' (

π ＜ θ ＜

π

数学Ⅱ・数学Ｂ

k を実数とする。sin θ と cos θ は x の(次方 程 式

x

x ＋ k ＝'の解であるとする。このとき，解と係数の関係によ

θ ＋ cos θ と sin θ cos θ の値を考えれば，k ＝ ケコ であることが

θ が sin θ ≧ cos θ を 満 た す と す る と，sin θ ＝

θ は

π

θ ＜ π

π

θ ＜ π

π

θ ＜ π

π

θ ＜ +

π

π ≦ θ ≦ π

t は正の実数であり，t

t

t

t

t

t

!

t − t

数学Ⅱ・数学Ｂ

x，y は正の実数とする。連立不等式

x !y ）≦"

y

x

X ＝ log

x，Y ＝ log

y とおくと， は

X ＋ Y ≦ ネノ

X − Y ≧ ヒフ

X，Y が  と  を 満 た す と き，Y の と り 得 る 最 大 の 整 数 の 値 は

x，y が ， と log

y ＝

x のとり得る最大の整数の値は

第２問

a ＞!とし，f（x）＝ x

y ＝ x

l の方程式を求めよう。

l と C は点（t，t

y ＝%

t ＋

l と D は点（s，f（s））において接するとすると，l の方程式は

y ＝%

s −

a ＋

s

a

t ＝

s ＝

a が成り立つ。

l の方程式は y ＝

x ＋

数学Ⅱ・数学Ｂ

C，D の交点の x 座標は

C と直線 l，および直線 x ＝

S とすると，

S ＝ a

a ≧ "

C，D と 直 線 l で 囲 ま れ た 図 形 の 中 で

a の値によらず

T ＝

a ≦

T ＝−

a

& ^{θ ＋}

^π ' (

k を実数とする。sin θ と cos θ は x の(次方程式

θ ＋ cos θ と sin θ cos θ の値を考えれば，k ＝ケコであることが

θ が sin θ ≧ cos θ を満たすとすると，sin θ ＝

^{t − t}

X，Y が  と  を満たすとき，Y のとり得る最大の整数の値は

C，D と直線 l で囲まれた図形の中で

S，T に対して，U ＝#T −$S とおく。a が

k を自然数とする。a