一、填充題 (7 格 每格 12 分 共 84 分)
1. 設Γ : 2x2+3y2+4y− = 上一點1 0 A
(
1, 1− ﹐則切點為 A 的切線方程式為____________﹒)
2. 一光線沿著y= 的直線行進﹐射到拋物線4 y2=4x+ 上的 P 點﹐反射後又射到拋物線上的 Q 點﹐8 則 Q 點的坐標為____________﹒
3. 直線y=2x+ 與k y=x2−5x+ 交於兩點 P ﹑ Q ﹐若13 PQ= ﹐則 k = ____________﹒ 3 4. 設直線 2x+ = 與雙曲線y 3 x2−y2 = 相交於 P ﹑ Q ﹐求 1
(1) PQ 的中點坐標為____________﹒ (2) PQ= ____________﹒
5. 設P
( )
2, 4 為橢圓2x2+y2−4x+2y−24= 上一點﹐且 F ﹑ F′ 為橢圓的兩焦點﹐則 FPF′0 ∠ 的角 平分線為____________﹒6. 圓錐曲線Γ : 2x2−3y2−4x− = 焦點為4 0 F ﹑1 F ﹐若2 P
( )
4, 2 在圓錐曲線上﹐求∠F PF1 2的角平分 線方程式為____________﹒二、計算題 (1 小題 每小題 16 分 共 16 分)
1. 試就 k 值討論y=2x+ 和雙曲線k 4x2−9y2 =36的相交狀況﹒
數學 4 分段測驗卷
第 4 回
命題範圍：1-5 圓錐曲線的光學性質
（程度／中）
答 案
一、填充題 (7 格 每格 12 分 共 84 分)
1. 2x− − = 2. y 3 0 74, 1
− −
3. 6
5 4. (1)
(
2, 1− ;(2))
2 303 5. 5x−2y− = 2 0 6. x− − = y 2 0
二、計算題 (1 小題 每小題 16 分 共 16 分)
1. 見解析解 析
一、填充題 (7 格 每格 12 分 共 84 分)
1.(
1, 1− 代入)
Γ 中成立﹐表示A(
1, 1− 在)
Γ 上﹐代切點公式得切線為 1
2 3 4 1 0
2
x y y−
− + × − = ⇒ 2x− − = ﹒ y 3 0 2. 原式⇒ y2=4
(
x+2)
﹐∴頂點(
−2, 0)
⇒c= ﹐焦點1 F(
−1, 0)
﹐∴ Q 點坐標為 7 4, 1
− −
﹒ 3.
2 5 13
2
y x x
y x k
= − +
= +
= 5
(
x1+x2)
2−4x x1 2 = 5 7 2−4 13(
−k)
=3﹐兩邊平方⇒ 5 49 52
(
− +4k)
=9⇒ 20k= +9 15=24﹐∴ 24 6 20 5 k= = ﹒4. (1) 22 2 3 1 x y
x y
+ =
− =
由⇒ y= −3 2x代入⇒ 3x2−12x+10= 兩根為0 x ﹑1 x ﹐ 2
(2)PQ=
(
x1−x2) (
2+ 2x1−2x2)
2 = 5(
x1+x2)
2−4x x1 2 10 5 16 43
= − ×
40
= 3 2 30
= 3 ﹒ 5. 所求即過 P 的法線﹐
先求切線 2 4
2 2 4 4 2 24 0
2 2
x y
x y + +
× + × − × + × − = ⇒ 2x+5y−24= ﹐ 0 設法線為 5x−2y+ = ﹐k 0
( )
2, 4 代入得k= − ﹐ 2∴法線： 5x−2y− = ﹒ 2 0
6. 由圓錐曲線的光學性質可知﹐∠F PF1 2的角平分線即過P
( )
4, 2 的切線﹐代切點公式⇒ 2 4 3 2 4 1
(
4)
4 0x y 2 x
× × − × × − × + − = ⇒ x− − = ﹒ y 2 0
二、計算題 (1 小題 每小題 16 分 共 16 分)
1. y=2x+ 代入雙曲線方程式k ⇒4x2−9 2
(
x+k)
2=36⇒ 4x2−9 4
(
x2+4kx+k2)
=36 ⇒32x2+36kx+9k2+36= ﹐ 0相交兩點⇒ D> 0
⇒
(
36k)
2− ×4 32 9(
k2+36)
>0⇒36k2−32(
k2+4)
> 0⇒ 9k2−8k2−32> ⇒0 k2 >32﹐ ∴k>4 2或k< −4 2﹒
相切⇒ D= ﹐∴0 k= ±4 2﹒
不相交⇒ D< ﹐∴ 4 20 − < <k 4 2﹒
