數學 4 分段測驗卷 第

一、單選題 (4 題 每題 10 分 共 40 分)

( ) 1. 下列何者為真﹖

(1)若二集合^A=

{

^{x x| + = ﹐1 1}

}

^B=

{

^{x x| + =1 x}

}

^{﹐則 A B=}

(2)若二集合^A=

{

^{6n+1|n為整數 ﹐}

}

^B=

{

^{3n+1|n為整數 ﹐則 A}

}

^{⊂ B}

(3)若二集合 A ﹑ B 滿足A− = ∅B ﹐則 A B=

(4)若三集合 A ﹑ B ﹑ C 滿足^A⊂

(

^B∪C

)

^{﹐則 A⊂ 或 A CB ⊂ ﹒}

( ) 2. A ﹑ B 皆為有限集合﹐^{n A}

( )

^{= ﹐m n B}

( )

^{= ﹐若n n A}

(

^∪B

)

的最大值為 p ﹐最小值為 q ﹐

( )

n A∩B 的最大值為 r ﹐最小值為 s ﹐則 p q r s+ + + = (1) m+ (2)n m²+ (3) mn (4)n² m n (5) 2(^{2 2} m+ ﹒ n)

( ) 3. ^A=

{

^{x|100≤ ≤x 300, x為整數,}

(

^{x, 3}

) (

^{= x, 7}

) (

^{= x, 5}

)

⁼¹

}

^{﹐則n A}

^{( )}

⁼

(1)84 (2)92 (3)105 (4)120 (5)以上皆非﹒

( ) 4. 設^A=

{ (

^{x y,}

)

^{|x−2y= ﹐1}

}

^B=

{ (

^{a b,}

)

^{|a+ =b 2}

}

^﹐C=

{ (

^{m n,}

)

^{| 5m−pn=2}

}

^﹐

( )

{

^{, | 5}

}

D= u v u−qv= ﹐若 A∩ = ∩ ﹐則實數 p qB C D + 值 (1)1 (2)3 (3)5 (4)7 (5)9﹒

二、多選題 (2 題 每題 20 分 共 40 分)

( ) 1. 某次考試﹐班上 50 人中﹐數學不及格者為 30 人﹐英文不及格者 23 人﹐而二科均及格 者 12 人﹐設二科均不及格之人數 x ﹐數學及格且英文不及格之人數 y ﹐則

(1)x=15 (2)y= (3) x y8 > (4)x=12 (5)y<10﹒

( ) 2. 設^A=

{

^{x x| 2−ax+ >b 0}

}

^﹐B=

{

^{x x| 2+bx− ≤4 0}

}

^{﹐若A∩ =B}

^{

^{x| 3< ≤x 4}

^}

﹐ 則實數 a ﹑b 為何﹖ (1)a= (2)2 a= − (3)2 a+ = (4)b 0 a− = (5)b 5 b= ﹒ 3

三、填充題 (1 格 每格 20 分 共 20 分)

1.

{ }

^{1, 2} ⊂ ⊂A

{

1, 2, 3, 4, 5 ,

}

且 A 有 4 個元素﹐則這種集合 A 有____________個﹒

數學 4 分段測驗卷

第 5 回

命題範圍：2-1 集合的基本概念

（程度／中）

答 案

一、單選題 (4 題 每題 10 分 共 40 分)

1. 2 2. 5 3. 5 4. 5

二、多選題 (2 題 每題 20 分 共 40 分)

1. 1235 2. 14

三、填充題 (1 格 每格 20 分 共 20 分)

1. 3

解 析

一、單選題 (4 題 每題 10 分 共 40 分)

1.

2. 由題意知，s= ﹐ p m n0 = + ﹐ q m n r= + − ﹐

∴^{p+ + + =q r s}

(

^m+n

)

⁺

(

^m+n−r

)

^{+ =r 2}

(

^m+n

)

^{﹐故選(5)﹒}

3. 此題表求 100 至 300 減去 3 的倍數、減去 5 的倍數、減去 7 的倍數之元素個數﹐

∴所求為：

全部=300 100 1− + =201

3 3

300 102

{102,105,108,..., 297, 300} ( ) 1 67

A n A 3−

= ⇒ = + =

5 5

300 100

{100,105,110,..., 295, 300} ( ) 1 41

A n A 5−

= ⇒ = + =

7 7

294 105

{105,108,..., 294} ( ) 1 28

A n A 7−

= ⇒ = + =

3 5 15 3 5

300 105

{105,120,135,..., 285, 300} ( ) 1 14

A A A n A A 15−

∩ = = ⇒ ∩ = + =

5 7 35 5 7

280 105 {105,140,135,..., 265, 280} ( ) 1 6

A A A n A A 35−

∩ = = ⇒ ∩ = + =

7 3 21 3 7

294 105

{105,126,147,..., 273, 294} ( ) 1 10

A A A n A A 21−

∩ = = ⇒ ∩ = + =

3 5 7 105

{105, 210} (

3 5 7

) 2

A

∩

A

∩

A

=

A

= ⇒

n A

∩

A

∩

A

=

全部− n A

(

3∪A5∪A7

)



3 5 7

201

n A

(

A A

)

= − ∪ ∪

3 5 7 3 5 5 7 3 7 3 5 7

201 [ (

n A

)

n A

( )

n A

( )

n A

(

A

)

n A

(

A

)

n A

(

A

)

n A

(

A A

)]

= − + + − ∩ − ∩ − ∩ + ∩ ∩

( )

201 67 41 28 14 6 10 2 201 108 93

= − + + − − − + = − = ﹐故選 (5) ﹒ 4. ∵^A=

{ (

^{x y,}

)

^{|x−2y=1 ,}

}

^B=

{ (

^{a b,}

)

^{|a+ =b 2}

}

⁼

{ (

^{x y,}

)

^{|x+ =y 2}

}

^﹐

A∩ ⇒ 解B

5

2 1 3

1 2

3 x y x

x y

y

 =

− =

 ⇒

 + = 

  =



∵^C=

{ (

^{m n,}

)

^{| 5m−pn=2}

}

⁼

{ (

^{x y,}

)

^{| 5x−py=2 ,}

}

^D=

{ (

^{u v u,}

)

^{| −qv=5}

}

⁼

{ (

^{x y,}

)

^|x−qy=5

}

^﹐

A∩ = ∩ ⇒B C D 5

x= ﹐3 1

y= 滿足方程組3

5 1

5 2

5 2 3 3

5 5 1

3 3 5 x py p

x qy

q

 × − × =

− = 

 ⇒

 − = 

  − × =



19 10 p q

 =

⇒  = − 為所求﹐

∴^{p+ =q 19+ −}

(

¹⁰

)

^{= ﹐故選(5)﹒ 9}

二、多選題 (2 題 每題 20 分 共 40 分)

1. 設 A ﹑ B 各表數學及格﹑英文及格者之集合﹐

∴^{n A}

( )

^{=20, n B}

( )

^{=27, n A}

(

^∩B

)

^=12﹐

∴^{n A}

(

^∪B

) ( ) ( ) (

^{=n A +n B −n A∩B}

)

^{=20+27 12− =35﹐}

故所求二科均不及格之人數為

^{x=n A}

(

^′∩B′

) (

^{=n A∪B}

)

^{′=50−n A}

(

^∪B

)

^{=50 35 15− = ﹒}

由知所求之人數為

^{y=n A}

(

^∩B′

) (

^{=n A−B}

) ( ) (

^{=n A −n A∩B}

)

^{=20 12− = ﹒ 8}

由可知﹐x> y, 故選(1)(2)(3)(5)﹒

2. 設x²−ax b+ = 之二根為0 α﹑β 且α β< ﹐∴^A=

{

^{x x| <α或x>β}

}

^﹐

設x²+bx− = 之二根為4 0 γ ﹑δ 且γ δ< ﹐∴^B=

{

^{x|γ ≤ ≤x δ}

}

^﹐

由圖可知﹐ 3< ≤ 與x 4 β < ≤ 同義﹐∴x δ β = ﹐3 δ = ﹐ 4

β = ﹐3 δ = 代入得 9 34 − a+ = 且16 4b 0 + b− = ⇒ =4 0 a 2, b= − ﹐故選(1)(4)﹒ 3

三、填充題 (1 格 每格 20 分 共 20 分)

1.

{

1, 2, 3, 4 ﹐

} {

1, 2, 3, 5 ﹐

} {

1, 2, 4, 5 ﹐共 3 個﹒

}