數學 4 分段測驗卷 第

一、單選題 (2 題 每題 5 分 共 10 分)

( ) 1. 坐標平面上有一雙曲線﹐已知其兩焦點為

(

^{−10, 2− 與}

) (

^{10, 2}− ﹐一漸近線的斜率為

)

3

− ﹐4 問此雙曲線的貫軸長度為何﹖ (1)3 (2)4 (3)6 (4)8 (5)16﹒

( ) 2. 下列何者正確﹖

(1)方程式

(

^x−5

)

^{2+y2 −}

(

^x+5

)

^2+y2 = 的圖形為雙曲線 ⁶ (2)方程式

(

^x−5

)

^{2+y2 +}

(

^x+5

)

^{2+y2 =10}的圖形為兩條射線 (3)方程式

(

^x−5

)

^{2+y2 −}

(

^x+5

)

^{2+y2 =12的圖形為雙曲線}

(4)方程式

(

^x−5

)

^{2+y2 −}

(

^x+5

)

^2+y2 = 的圖形為雙曲線 ⁸

(5)方程式

(

^x−5

)

^{2+y2 +}

(

^x+5

)

^{2+y2 =14的圖形為無圖形﹒}

二、多選題 (2 題 每題 10 分 共 20 分)

( ) 1. 設雙曲線方程式

(

^x−4

) (

^{2+ y+1}

)

^{2 −}

(

^x+6

) (

^{2+ y+1}

)

² = ﹐下列哪些正確﹖ ⁸ (1)兩焦 點為

(

^{4, 1− 和}

) (

− − (2)中心為^{6, 1}

) (

− − (3)兩頂點為^{1, 1}

) (

^{3, 1− 和}

) (

^{− − 5, 1}

)

(4)正焦弦長為9

2 (5)兩漸近線的斜率為3 4和 3

− ﹒ 4 ( ) 2. 下列各方程式中﹐哪些圖形的焦點相同﹖ (1)

2 2

9 2 1

x − y = (2) ^{2 2} 1 2 9

x − y =

(3)3x²−8y²=24 (4)

2 2

4 3 1

x + y = (5) ^{2 2} 1 14 3

x + y = ﹒

三、填充題 (7 格 每格 10 分 共 70 分)

1. 試求中心在原點﹐貫軸在 y 軸上且通過點

( )

^{2,3 和}

(

^{4, 3 2−}

)

的雙曲線標準式為____________﹒

2. 已知雙曲線方程式為4x²−y²+8x+4y+ = ﹐則 4 0

(1)頂點坐標為____________﹒ (2)焦點坐標為____________﹒ (3)正焦弦長為____________﹒

(4)漸近線方程式為____________﹒ (5)共軛軸方程式為____________﹒

3. 等軸雙曲線Γ 有一條漸近線為x− = ﹐中心坐標為y 0

( )

^{1,1 且Γ 通過點}

( )

^{3, 0 ﹐則雙曲線Γ 的方}

程式為____________﹒

數學 4 分段測驗卷

第 3 回

命題範圍：1-4 雙曲線

（程度／中）

答 案

一、單選題 (2 題 每題 5 分 共 10 分)

1. 5 2. 4

二、多選題 (3 題 每題 10 分 共 30 分)

1. 12345 2. 1235

三、填充題 (7 格 每格 10 分 共 70 分)

1.

2 2

6 8 1

y −x = 2. (1)

(

^{−1, 4}

)

^與

(

^{−1, 0}

)

^;(2)

(

^{−1, 2± 5}

)

;(3)1;(4) 2x− = − 與 2y 4 x+ = ;(5)y 0 y= 2 3.

(

¹

) (

^{2 1}

)

²

3 3 1

x− y−

− =

解 析

一、單選題 (2 題 每題 5 分 共 10 分)

1. 由題意知﹐雙曲線為左右型﹐中心

(

^{0, 2− ﹐}

)

^{c=10﹐且可設a=4k﹐b=3k}

⇒

( ) ( )

^{4k 2+ 3k 2=102⇒ k= ⇒2 a= ﹐∴ 28 a= × =2 8 16﹐故選(5)﹒}

2. (1)╳﹕以

( )

^{5, 0 ﹑}

(

^{−5, 0}

)

為焦點的雙曲線的左半支﹐如圖﹒

故選(4)﹒

二、多選題 (3 題 每題 10 分 共 30 分)

1. ∵滿足 PF₁−PF₂ =2 <2a c﹐

(1)○﹕兩焦點F1

(

4, 1− ﹐

)

F2

(

− − ﹒ 6, 1

)

(2)○﹕F F 的中點_{1 2}

(

^{− − 即為中心﹒ 1, 1}

)

(3)○﹕ 2a= ⇒8 a= ﹐雙曲線為左右型﹐兩頂點為4

(

^{− ± −1 4, 1}

)

^⇒

(

^{3, 1− 和}

) (

^{− − ﹒ 5, 1}

)

(4)○﹕2c=F F_{1 2} =10⇒c= ﹐ 5

又a= ﹐∵4 c²=a²+b²⇒b= ﹐∴正焦弦長為3 2 ² 2 3² 9 4 2 b

a

= × = ﹒

(5)○﹕ 3

4 m b

= ± = ± ﹒ a 故選(1)(2)(3)(4)(5)﹒

2. (1)中心

( )

^{0, 0 ﹐雙曲線}c= a²+b² = 9+ =2 11﹐左右型﹐∴焦點

(

^{± 11, 0}

)

^﹒

(2)中心

( )

^{0, 0 ﹐雙曲線}c= a²+b² = 2+ =9 11﹐左右型﹐∴焦點

(

^{± 11, 0}

)

^﹒

(3)

2 2

8 3 1

x − y = , 雙曲線c= a²+b² = 8 3+ = 11⇒ 焦點

(

^{± 11, 0}

)

^﹒

(4) 左右型橢圓且中心

( )

^{0, 0 ﹐}c= a²−b² = 4− =3 1⇒ 焦點

(

^{±1, 0}

)

^﹒

(5) 左右型橢圓且中心

( )

0, 0 ﹐c= a²−b² = 14 3− = 11 ⇒ 焦點

(

^{± 11, 0}

)

^﹒

故選(1)(2)(3)(5)﹒

三、填充題 (7 格 每格 10 分 共 70 分)

1. ∵貫軸在 y 軸﹐∴上下型⇒ x²₂ y₂² 1

b a

− + = ﹐

∵過

( )

2,3 ﹑

(

^{4, 3 2−}

)

^{﹐∴ 2 2}

2 2

4 9 1 16 18

1

b a

b a

− + =



− + =



⇒b²= ﹐8 a²= ﹐ 所求方程式為6 ^{2 2} 1 6 8

y −x = ﹒

2. 配方⁴

(

^x+1

) (

^{2− y−2}

)

^{2= −4⇒}

(

¹

) (

^{2 2}

)

²

1 4 1

x+ y−

− + = ﹐

∴中心

(

^{−1, 2}

)

^{﹐a= ﹐2 b= ﹐上下型﹐ 1}

(1)頂點

(

^{−1, 2±2}

)

^⇒

(

^{−1, 4}

)

^與

(

^{−1, 0}

)

^﹒

(2)c= 5﹐∴焦點

(

^{−1, 2± 5}

)

^﹒

(3)

2 2 2 1 2 1 b a

= × = ﹒

(4) a 2

m_漸= ± = ±b ﹐∴漸近線﹕y

− = ± 2 2(

x

+ ⇒ 1)

2x− = − 與 2y 4 x+ = ﹒ y 0 (5)y= ﹒ 2

3. 等軸雙曲線a=b且漸近線互相垂直相交於中心

設另一漸近線為x+ + = ﹐y k 0

( )

^{1,1 代入得k = − ﹐∴2 x+ − = ﹐ y 2 0}

設所求雙曲線為

(

^x−y

)(

^{x+ −y 2}

)

^{= ﹐t}

( )

^{3, 0 代入得t= ﹐ 3}

方程式為

(

x−y

)(

x+ −y 2

)

=3⇒x²−2x−y²+2y= 3 ⇒

(

^x−1

) (

^{2− y−1}

)

^{2= + − =3 1 1 3 ⇒}

(

¹

) (

^{2 1}

)

²

3 3 1

x− y−

− = ﹒