勾股定理證明-G058
【作輔助圖】
1. 分別以直角三角形ABC的AC, BC和AB為邊長，向外作正方形ACFG，正方形BCED 和正方形ABKH 。
2. 延長GF 和DE，使得直線GF和直線DE相交於O，並連接CO。 3. 延長GA和DB，使得直線GA和直線DB相交於P點。
4. 過H作一直線L平行BC，使其和CA的延長線相交於Q點。
5. 過K作一直線M 平行AC，使其和CB的延長線相交於R點。
6. L與M 相交於S點，並連接PS, OC, OE, OF , GQ, DR。
S P
O
A B
C
D E
F
G
H K
M R Q
L
【求證過程】
以直角三角形 ABC 的三邊分別向外作三個正方形，利用作圖的平行關係，形成兩 組面積相等的平行四邊形，再經過全等圖形的增補與移除關係，分別得到正方形 BCED 與正方形 ACFG 的面積，來推出勾股定理的關係式。
1. 證明三角形 BAP 、三角形 HAQ 、三角形 KHS 、三角形 BKR 皆與三角形 ABC 全等：
因為AB AB, ACB BPA 90 ，且CBA 90 CAB PAB，所以 BAP ABC
(AAS 全等),
同理, HAQ BAP, KHS HAQ, BKR KHS. 綜合以上結果可得
.
ABC BAP HAQ KHS BKR
2. 證明三角形 COF 、三角形 OCE 、三角形 RDB 、三角形 GQA 皆與三角形 ABC 全等：
由作圖的平行關係可知四邊形OFCE 為長方形, 所以OFCEBC, OECF AC. 又CFO ACB 90 , 因此
COF ABC
(SAS 全等),
同理, OCE ABC, RDB ABC, GQA ABC. 綜合以上結果可得
.
ABC COF OCE RDB GQA
3. 證明四邊形APSH, 四邊形PBKS皆為平行四邊形：
由作圖的平行關係可知AP//HS, 又BAP KHS, 所以APHS. 因此 四邊形APSH為平行四邊形.
同理
四邊形PBKS為平行四邊形.
4. 證明四邊形GPSQ, 四邊形ODRC皆為平行四邊形，且其面積相等：
由作圖的平行關係可知GP//QS, 又GQA HAQ, 故GPGAAPQHHS QS, 因此四邊形GPSQ為平行四邊形, 同理可知四邊形ODRC為平行四邊形.
由等底等高關係，可得到
平行四邊形GPSQ面積=平行四邊形ODRC面積.
5. 證明四邊形PDRS, 四邊形GOCQ皆為平行四邊形，且其面積相等：
由作圖的平行關係可知PD//SR, 又因為四邊形PBKS為平行四邊形, RDB BKR, 故PDPBBDSKKRSR, 因此四邊形PDRS為平行四邊形, 同理可知
四邊形GOCQ為平行四邊形.
由等底等高關係，可得到
平行四邊形PDRS面積=平行四邊形GOCQ面積.
6. 最後利用面積關係推出勾股定理的關係式：
) )
ABKH AHSKB KHS
AHSKB BAP
APSH PBKS
GPSQ GQA HAQ
PDRS RDB BKR
正方形 面積＝五邊形 面積－ 面積
＝五邊形 面積－ 面積
＝平行四邊形 面積＋平行四邊形 面積
＝(平行四邊形 面積－ 面積－ 面積 ＋(平行四邊形 面積－ 面積－ 面積
ODRC OCE RDB )
GOCQ COE GQA
BCED ACFG
＝(平行四邊形 面積－ 面積－ 面積 ＋(平行四邊形 面積－ 面積－ 面積) ＝正方形 面積＋正方形 面積.
得到
2 2 2
AB BC AC , 即
2 2
2 a b
c .
【註與心得】
1. 來源：這個證明出自於以下書籍或期刊：
Edwards, George C.(1895). Elements of Geometry(p.160). New York : Macmillan and co.
J. M. Richardson (1859). Note on the forty-seventh proposition of Euclid,
Mathematical Monthly, 2(2), 16.
2. 心得：此題證明利用輔助線的平行關係，說明圖中的三角形全等。再將正方形ABKH 面積轉換為平行四邊形APSH與平行四邊形PBKS的面積和，再透過全等圖形 的增補與移除關係，來推得勾股定理的關係式。
3. 評量：
國中 高中 教學 欣賞 美學
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