第５章 後期天元術與借根方的發展
當前期「以借根方解天元術」的發展成熟後，南秉吉團隊逐漸意識到天元術與 借根方的不同。再加上中國算書 ─《數書九章》與《四元玉鑑》─ 的影響，於是 在後期裡，兩本有關天元術和借根方的算學著作 ─ 南秉吉的《算學正義》(1867) 與李尚爀的《翼算》 (1868) ─ 將會進一步比較兩者的優缺，並有所抉擇。這樣的抉 擇，亦影響了朝鮮之後的習算者，像是趙羲純在《筭學拾遺》 （1869）中，便延續 了這項抉擇。
筆者接下來將先在 5.1 中對《數書九章》與《四元玉鑑》這兩本中國算書作介 紹，再於 5.2 探討南秉吉與李尚爀的《算學正義》和《翼算》 ，5.3 則從趙羲純的《筭 學拾遺》看天元術與借根方後續的發展。最終，在 5.4 裡總結這段時期裡借根方和 天元術的發展。
5.1 影響後期的中國算學著作
影響後期天元術與借根方發展的中國算學著作，除了前一章所介紹前期的部分 外，還有秦九韶的《數書九章》與朱世傑的《四元玉鑑》。前者的「正負開方法」
與後者的「四元術」，影響了南秉吉團隊在後期裡對天元術與借根方的評價。這些 評價在李尚爀《翼算》的〈正負論〉中，皆有明確的表示。
接著，筆者就從《數書九章》說起。
5.1.1 《數書九章》
1《數書九章》為南宋秦九韶所撰。秦九韶，字道古，生於南宋寧宗嘉泰二年
（1202），約卒於理宗景定二年（1261）。「早歲侍親中都，因得訪習于太史，又 從隱君子受數學」，
2因而學習到不少數學知識。淳祐四年（ 1244），因母喪解官 返鄉守孝，期間致力於研究數學，遂於淳祐七年（ 1247）完成了《數書九章》。
《數書九章》全書十八卷，共八十一個問題。秦九韶將這八十一個問題分為九 類，每類各九題。每一類的內容主要為：
1. 大衍類：關於一次同餘組的解法，包括「大衍總數術」、「大衍求一術」和「一 次同餘組求解公式」三部分。
1 主要參考何紹庚，〈《數書九章》提要〉及錢寶琮，〈秦九韶《數學九章》研究〉。
2 引自秦九韶，〈《數學九章》序〉。
2. 天時類：解決與天文、曆法和雨、雪量的計算問題。
3. 田域類：有關田地面積的問題。
4. 測望類：解決句股、重差及其他測量相關問題。
5. 賦役類：處理田賦、稅務等問題。
6. 錢穀類：徵購米糧與倉庫容積的問題。
7. 營建類：土木營建工程的相關問題。
8. 軍旅類：軍營配置和軍用品的供應問題。
9. 市物類：商品交易和計算利息的問題。
至於編寫的體例上，因受《九章算術》等傳統著作的影響，不僅同樣區分為九 類，並且一樣採以問題集的形式。不過，秦九韶常在「術曰」的術文結束後，還附 上「草曰」 ，用實際演算和圖示的方式解釋「術曰」所述。
由於李尚爀在《翼算》 〈正負論〉中評論借根方與天元術的優缺時，曾表示借 根方「開除之法殊甚煩瑣，不可與以商乘隅同加異減上達於實之既簡且要出於自然 者同日而語也。」 ，
3並在其後的解釋中，表示秦九韶的開方法優於《數理精蘊》 。 因此，筆者接下來將以《數書九章》卷五的〈尖田求積〉為例，說明秦九韶的「正 負開方術」 。
〈尖田求積〉隸屬於田域類，其問題為「問有兩尖田一段，其尖長不等，兩大 斜三十九步，兩小斜二十五步，中廣三十步，欲知其積幾何？」 ，
4在答案後，即附 上解題的術文：
術曰：以少廣求之，翻法入之。置半廣自乘為半冪，與小斜冪相減相乘為小率，
以半冪與大斜冪相減相乘為大率。以二率相減餘自乘為實，併二率倍之為從上 廉，以一為益隅，開翻法三乘方得積。
5筆者要介紹的是最終「開翻法三乘方得積」的過程。如前所述， 《數書九章》在「術 曰」後常會跟著出現說明術文的「草曰」 ，此外，本題還附上「正負開三乘方圖」，
6
並在圖後表示「已上係開三乘方翻法圖，後篇效此。」 ，
7意謂著此部分的開方法可 作為其後開方的範例。接下來，筆者將在表 5.1 中把原圖的籌算改用印度阿拉伯數 碼取代，並依秦九韶原意，加上正負號 。另外，一旁則附上「草曰」的相關內容 作為對照，藉以說明在此問中面對類似一元四次方程式「－x
4＋763200x
2－
3 引自李尚爀，《翼算》上編〈正負論〉，頁 29a~30a。
4 引自秦九韶，《數書九章》卷五，頁 1。
5 引自秦九韶，《數書九章》卷五，頁 1。
6 引自秦九韶，《數書九章》卷五，頁 4。
7 引自秦九韶，《數書九章》卷五，頁 9。
40642560000＝0」所採取的開方方式。
表 5.1
「正負開三乘方圖」
8「草曰」
9術曰：商常為正，實常為負，從常為正，益常為負。
(1)
0 商
－ 4 0 6 4 2 5 6 0 0 0 0 實 虛方
＋ 7 6 3 2 0 0 從上廉 0 虛下廉
－ 1 益隅 上廉超一位，益隅超三位，商數進一位。
草曰： …四百六億四千 二百五十六萬為實…
七十六萬三千二百為 從上廉，以一為益隅，
開玲瓏翻法三乘方步 法。
(2)
0 0 商
－ 4 0 6 4 2 5 6 0 0 0 0 實 方
＋ 7 6 3 2 0 0 上廉
100 下廉
－ 1 益隅 上廉再超一位，益隅再超三位，商數再進一位。
乃以從廉超一位，益隅 超三位，約商得十。
(3)
8 0 0 商
－ 4 0 6 4 2 5 6 0 0 0 0 實 0 方
＋ 7 6 3 2 0 0 上廉
0 下廉
－ 1 益隅
上商八百為定，以商生隅入益下廉。
今再超進，乃商置百，
其從上廉為七十六億 三千二百萬，其益隅為 一億，約實置商八百為 定商。
8 除了一開始先說明「商常為正，實常為負，從常為正，益常為負。」，每個圖示下並附有接下來 的解題步驟。
9 引自秦九韶，《數書九章》卷五，頁 2~3。
10 原圖此處少進一位。
(4)
8 0 0 商
－ 4 0 6 4 2 5 6 0 0 0 0 實 0 方
＋ 7 6 3 2 0 0 從上廉
－ 6 4 0 0 0 0 益上廉
11
－ 8 0 0 下廉
－ 1 益隅
以商生下廉消從上廉。
以商生益隅得八億為 益下廉，又以商生下廉 得六十四億為益上廉，
(5)
8 0 0 商
－ 4 0 6 4 2 5 6 0 0 0 0 實 0 方
＋ 1 2 3 2 0 0 上廉
－ 8 0 0 下廉
－ 1 益隅
以商生上廉入方。
與從上廉七十六億三 千二百萬相消，從上廉 餘十二億三千二百萬，
(6)
8 0 0 商
－ 4 0 6 4 2 5 6 0 0 0 0 實
＋ 9 8 5 6 0 0 0 0 方
＋ 1 2 3 2 0 0 上廉
－ 8 0 0 下廉
－ 1 益隅
以商生方得正積，乃與實相消。
又與商相生得九十八 億五千六百萬為從方，
(7)
8 0 0 商
－ 4 0 6 4 2 5 6 0 0 0 0 負實
＋ 7 8 8 4 8 0 0 0 0 0 0 正積
＋ 9 8 5 6 0 0 0 0 方
＋ 1 2 3 2 0 0 上廉
－ 8 0 0 下廉
－ 1 益隅
以負實消正積，其積乃有餘為正實，謂之換骨。
又與商相生得七百八 十八億四千八百萬為 正積，
11 原圖誤為 630000。
(8)
8 0 0 商
＋ 3 8 2 0 5 4 4 0 0 0 0 正實
＋ 9 8 5 6 0 0 0 0 方
＋ 1 2 3 2 0 0 上廉
－ 8 0 0 下廉
－ 1 益隅
以商生隅入下廉。
一變。
與元實四百六億四千 二百五十六萬相消，正 積餘三百八十二億五 百四十四萬為正實，
(9)
8 0 0 商
＋ 3 8 2 0 5 4 4 0 0 0 0 實
＋ 9 8 5 6 0 0 0 0 方
＋ 1 2 3 2 0 0 上廉
－ 1 6 0 0 下廉
－ 1 益隅
以商生下廉入上廉內相消。
又以益隅一億與商相 生得八億，增入益下廉 為一十六億，
(10)
8 0 0 商
＋ 3 8 2 0 5 4 4 0 0 0 0 實
＋ 9 8 5 6 0 0 0 0 方
＋ 1 2 3 2 0 0 正上廉
－ 1 2 8 0 0 0 0 上廉負
－ 1 6 0 0 下廉
－ 1 益隅
以正負上廉相消
又以益下廉與商相生 得一百二十八億為益 上廉，
(11)
8 0 0 商
＋ 3 8 2 0 5 4 4 0 0 0 0 實
＋ 9 8 5 6 0 0 0 0 方
－ 1 1 5 6 8 0 0 上廉
－ 1 6 0 0 下廉
－ 1 益隅
以商生上廉入方內相消。
乃以益上廉與從上廉
一十二億三千二百萬
相消餘一百一十五億
六千八百萬為益上廉，
(12)
8 0 0 商
＋ 3 8 2 0 5 4 4 0 0 0 0 實
＋ 9 8 5 6 0 0 0 0 正方
－ 9 2 5 4 4 0 0 0 0 負方
－ 1 1 5 6 8 0 0 上廉
－ 1 6 0 0 下廉
－ 1 益隅
以正負方相消。
又與商相生得九百二 十五億四千四百萬為 益方，
(13)
8 0 0 商
＋ 3 8 2 0 5 4 4 0 0 0 0 實
－ 8 2 6 8 8 0 0 0 0 方
－ 1 1 5 6 8 0 0 上廉
－ 1 6 0 0 下廉
－ 1 益隅
以商生隅入下廉。
二變。
與從方九十八億五千 六百萬相消，益方餘八 百二十六億八千八百 萬為益方，
(14)
8 0 0 商
＋ 3 8 2 0 5 4 4 0 0 0 0 實
－ 8 2 6 8 8 0 0 0 0 方
－ 1 1 5 6 8 0 0 上廉
－ 2 4 0 0 下廉
－ 1 益隅
以商生下廉入上廉。
又以商生益隅一億得 八億，增入益下廉得二 十四億，
(15)
8 0 0 商
＋ 3 8 2 0 5 4 4 0 0 0 0 實
－ 8 2 6 8 8 0 0 0 0 方
－ 3 0 7 6 8 0 0 上廉
－ 2 4 0 0 下廉
－ 1 益隅
以商生隅入下廉。
三變。
又以商相生得一百九
十二億入益上廉得三
百七億六千八百萬為
益上廉，
(16)
8 0 0 商
＋ 3 8 2 0 5 4 4 0 0 0 0 實
－ 8 2 6 8 8 0 0 0 0 方
－ 3 0 7 6 8 0 0 上廉
－ 3 2 0 0 下廉
－ 1 隅
方一退，上廉二退，下廉三退，隅四退，商續置。
四變。
又以商生益隅一億得 八億，入益下廉得三十 二億，畢。
(17)
8 4 0 續商
12＋ 3 8 2 0 5 4 4 0 0 0 0 實
－ 8 2 6 8 8 0 0 0 0 方
－ 3 0 7 6 8 0 0 上廉
－ 3 2 0 0 下廉
－ 1 隅 以方約實，續商置四十，生隅入下廉內。
其益方一退為八十二 億六千八百八十萬，益 上廉再退得三億七百 六十八萬，益下廉三退 得三百二十萬，益隅四 退為一萬，畢。乃約正 實續置商四十步，
(18)
8 4 0 商
＋ 3 8 2 0 5 4 4 0 0 0 0 實
－ 8 2 6 8 8 0 0 0 0 方
－ 3 0 7 6 8 0 0 上廉
－ 3 2 4 0 下廉
－ 1 隅 以商生下廉入上廉內。
與益隅一萬相生得四 萬，入益下廉為三百二 十四萬，
(19)
8 4 0 商
＋ 3 8 2 0 5 4 4 0 0 0 0 實
－ 8 2 6 8 8 0 0 0 0 方
－ 3 2 0 6 4 0 0 上廉
－ 3 2 4 0 下廉
－ 1 隅 以商生上廉入方內。
又與商相生得一千二 百九十六萬，入益上廉 內為三億二千六十四 萬，
12 原圖「續商」二字於 4 之上，接下來在最後一步前，「商」字皆於4 上（詳見秦九韶，《數書九章》
卷五，頁8~9）。
(20)
8 4 0 商
＋ 3 8 2 0 5 4 4 0 0 0 0 實
－ 9 5 5 1 3 6 0 0 0 方
－ 3 2 0 6 4 0 0 上廉
－ 3 2 4 0 下廉
－ 1 隅 以續商四十命方法除實適盡。
又與商相生得一十二 億八千二百五十六 萬，入從方內為九十五 億五千一百三十六萬，
(21)
8 4 0 商 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 實空
－ 9 5 5 1 3 6 0 0 0 方
－ 3 2 0 6 4 0 0 上廉
－ 3 2 4 0 下廉
－ 1 隅 所得商數八百四十步為田積。
乃命上續商四十除實 適盡，所得八百四十步 為田積。
根據表 5.1 所述，可以知道秦九韶利用「增乘開方」的方式，加上正負的概念，
形成了此處的「正負開方法」 ，這種方法「以商乘隅同加異減上達於實」 ，的確亦如 李尚爀所言， 「既簡且要出於自然」 ，也難怪南秉吉在總結算學知識的《算學正義》
中，亦採取此種開方方式。
13至於筆者接下來要介紹的《四元玉鑑》 ，亦為李尚爀在《翼算》 〈正負論〉中比 較天元術與借根方的重要立論基礎。李尚爀認為，借根方「尤不能相通於多元」是 不如天元術之處，
14足見《四元玉鑑》中四元術的影響。
5.1.2 《四元玉鑑》
15《四元玉鑑》為朱世傑所撰，成書於《算學啟蒙》之後，主要用以介紹四元術，
即四元高次方程組的建立和求解。在朱世傑之前，天元術已得到高度發展，當進一 步與線性方程組結合時，便出現了多元高次方程組。祖頤在〈松庭先生《四元玉鑑》
13 詳見 5.2.1。
14 引自李尚爀，《翼算》上編〈正負論〉，頁 29a。
15 主要參考孔國平，《李冶朱世傑與金元數學》、孔國平，〈《四元玉鑑》提要〉與錢寶琮等著，《宋 元數學史論文集》。
後序〉中即指出：
平陽蔣周撰《益古》博陸李文一撰《照膽》，鹿泉石信道撰《鈐經》，平水劉 汝諧撰《如積釋鎖》，絳人元裕之細草後，人始知有天元也。平陽李德載因撰
《兩儀羣英集臻》兼有地元，霍山邢先生頌不高弟子劉大鑑潤夫撰《乾坤括囊》
末僅有人元二問，吾友燕山朱漢卿先生演數有年，探三才之賾，索九章之隱，
按天、地、人、物立成四元。
16在李德載、劉大鑑等人的基礎下，朱世傑將天元術從二元、三元推廣到四元，並把 四元術的知識內容撰寫成《四元玉鑑》。
《四元玉鑑》除了卷首「假令四草」四圖四問外，分為上卷六門七十一問、
17中 卷十門一百零三問、下卷八門一百一十問，共三卷二十四門二百八十八問。不過，
四元高次方程組解法的主要內容 ─ 四元消去法，僅出現在卷首「假令四草」的四 問裡。這四問是「一氣混元」、「兩儀化元」、「三才運元」及「四象會元」，分 別處理一元、二元、三元及四元的問題。另外，卷首並附有「今古開方會要之圖」、
18
「四元自乘演段之圖」、「五和自乘演段之圖」和「五較自乘演段之圖」四圖，
利用圖示及演段說明開方及乘法公式。
至於《四元玉鑑》的解題方式，基本上是利用消去法化多元為一元，再予以開 方解題。以卷首「兩儀化元」的例題「今有股冪減弦較較與股乘句等，只云句冪加 弦較和與句乘弦同，問股幾何？」為例，其「草曰」為
立天元一為股，地元一為句，弦和天地配合求之得今式
太
，求到云式
太
。互隱通分消之內二行得式 太
，外二行得
太
。兩位相消得開方式
，平方開之得股四步合問。
19即利用「互隱通分消之」的消去方式，讓多元歸於一元，終能開方求解。
16 引自郭書春主編，《中國科學技術典籍通彙》數學卷一，頁 1106。
17〈《四元玉鑑》目錄〉誤為「上卷七門（計七十五問）」，是因為誤將卷首「假令四草」四問算為 一門四問。（參見郭書春主編，《中國科學技術典籍通彙》數學卷一，頁1207）
18 分為「梯法七乘方圖」與「古法七乘方圖」。
19 引自朱世傑，《四元玉鑑》卷首，頁 1。
5.2 南秉吉團隊在後期的算學著作
南秉吉團隊在後期裡有關天元術或借根方的算學著作，主要為南秉吉的《算學 正義》 （1867）與李尚爀的《翼算》（1868）。前者體例近似「百科全書」，總結了南 秉吉團隊的算學知識。在內容上，無論是開方法、天元術或是多元的情形，皆有涉 及。後者則分為上編〈正負論〉與下編〈堆垛說〉 。在〈正負論〉的部分，明確地 比較天元術與借根方的優缺，也為南秉吉團隊在天元術與借根方的發展上，劃下了 句點。
接下來，筆者將先在 5.2.1 介紹南秉吉的《算學正義》，於 5.2.2 再介紹李尚爀 的《翼算》 。
5.2.1 《算學正義》
《算學正義》全書的內容簡介與成書緣份，讀者可參閱 2.4.2，筆者在此則將 直接切入與天元術或借根方相關的部分。
《算學正義》中與天元術或借根方解題相關的部分，為上編的〈開平方法〉 、 〈帶 縱平方法〉 、 〈開立方法〉 、 〈帶縱立方法〉 、 〈諸乘方法〉和下編的〈天元一〉 、 〈多元〉 。 在〈天元一〉中，南秉吉一開始便提出說明：
天元一者，借數也。衰分疊借之術，可謂借數之巧，然無以御面、體。而此法 假立一算於太極之下，或正或負，演其虛積，相消相長，脫其真數。線、面、
體諸術，靡往不通，誠算家之奇門。而究其實則亦不越乎比例之理，故西人演 之為借根方比例也。惟其虛積也故，太、元、諸方各占一層，加、減、乘、除 必從其類。正負之號，略同方程，而交變無常，必辨同異，歸之相當而已。
20當比較《數理精蘊》卷三十一中對借根方的描述：
借根方者，假借根數、方數以求實數之法也。凡法必借根、借方，加減乘除，
令與未知之數比例齊等，而本數以出。大意與借衰、疊借略同，然借衰、疊借 之法，止可以御本部，而此法則線、面、體諸部皆可御之。
21可以發現，南秉吉在此處對天元術的說明，倚賴著《數理精蘊》中借根方的知識。
20 引自南秉吉，《算學正義》下編，頁 12a~13a。
21 引自《數理精蘊》下編卷三十一，頁 2。
事實上，南秉吉也指出天元術與借根方的解題方式，本質上皆「不越乎比例之理」。
在陳述了天元術解題的原理之後，南秉吉接著利用例題來說明天元術的解題方 式。其中，在第一題和最後一題中，於天元術解題完成後，另外附上借根方的解法。
筆者以最後一題「今有小縣，上元張燈。每二十五家令造一燈，計田畝為燈數自乘 再乘積又多八千二百畝，每三畝收燈，每一箇工米五勺，以共米均排每戶一斗，餘 有四斛。問燈數、戶數、田數、米數各幾何？」為例，
22說明南秉吉此處的作法：
南秉吉先是以天元術解題：
法立天元一為燈數，仍自乘再乘又加八 千二百畝為田數（八千二百太一立方俱 正） ，又五因燈數（即天元） ，以乘之為 三倍共米數（四萬一千元五三乘方俱 正）寄左。以二十五乘燈數為戶數（二 十五元正） ，仍以一斗（即一千勺）乘 之，又加四斛（即四萬勺）為共米數（四 萬太二萬五千元俱正） ，又三之亦為三 倍共米數（十二萬太七萬五千元俱 正） ，與寄左相消得式（十二萬太三萬 四千元俱負五三乘方正） ，開三乘方得 燈數。以二十五乘之，得戶數。仍以一 斗乘之加四斛得共米數，又以燈數自乘 再乘，加八千二百畝得田數。
23令 x＝燈數，x
3＋8200＝田數 (x
3＋8200)(5x)＝5x
4＋41000x＝三倍 共米數
[(25x)(1000)＋40000](3)＝75000x＋
120000＝三倍共米數 5x
4－34x－120000＝0
開三乘方得 x＝20＝燈數，戶數＝
(20)(25)＝500，共米數＝(500)(1000)＋
40000＝540000 勺＝54 斛，田數＝20
3＋8200＝16200 畝。
隨後立即以借根方解題：
以借根方法演之，則借一根為燈數，二 十五根為戶數，一立方多八千二百真數 為田數。以五根乘田數得五三乘方多四 萬一千根為共米數之三倍也。以一斗乘 戶數二十五根，加四斛，仍三之，得七 萬五千根多十二萬真數為同數，於是兩 邊各減四萬一千根得五三乘方與三萬 四千根多十二萬真數等，並以五除之得 一三乘方與六千八百根多二萬四千真
令 x＝燈數，25x ＝戶數，x
3＋8200＝
田數，
(x
3＋8200)(5x)＝5x
4＋41000x＝三倍 共米數，
[(25x)(1000)＋40000](3)＝75000x＋
120000＝三倍共米數，
5x
4＋41000x＝75000x＋120000，
5x
4－34x＝120000，
用帶縱三乘方法開之得 x＝20＝燈數。
22 引自南秉吉，《算學正義》下編，頁 56b。
23 引自南秉吉，《算學正義》下編，頁 57a。
數等。用帶縱三乘方法開之得燈數。
24這樣的編寫方式，應當是希望在兩種方法的對比下，讓讀者清楚兩者相同與相異之 處。這亦可徵之此題解題完成後的「按」 ，其內容為：
真數即太也，根即元也，多少即正負也，是借根方法即天元一法。故西人謂之 阿爾熟八達，譯云東來法也。但相消得式者，相消相長歸之一行，將隔行之異 名變為同名，隔行之同名變為異名，終焉法實異號而得異減同加之式也；兩邊 加減者，明其或加或減，仍歸同數之理而已，初不語到算式也。
25指出在天元術「兩式相消」前， 「借根方法即天元一法」 。但在接下來的解題過程，
天元術為「相消得式者，相消相長歸之一行，將隔行之異名變為同名，隔行之同名 變為異名，終焉法實異號而得異減同加之式也」 ，而借根方則為「兩邊加減者，明 其或加或減，仍歸同數之理而已，初不語到算式。」
26道出了兩者在「兩式相消」
與「兩邊加減」上的不同。這樣的看法，明顯與南秉吉在前期《無異解》中的觀點 相反。這種轉變，應是在對天元術有更充分的了解後，方能產生。這也讓南秉吉團 隊在後期中，修正了前期「天元一即借根方」或「借根方即天元一」的信念。
27至於天元術解題最終的開方法，則可從《算學正義》上編的〈諸乘方法〉中獲 知。 〈諸乘方法〉一開始先指出：
平方為面，立方為體，過此以往，數之所衍無形可稽。其為積也，每多一乘則 開之也法多一層，而超一位商之，一串為例，茲不逐條設則，略舉數端焉。
28於是整個〈諸乘方法〉僅舉兩個題目為例，第 1 題為「今有三乘方積三十九萬六百 二十五尺，問每邊若干？」 ，
29第 2 題則為「今有五乘方積二倍、三乘方積五倍、平 方積四十一倍，共數內減四乘方積三倍、立方積三十倍、邊數五百倍，餘數五百二
24 引自南秉吉，《算學正義》下編，頁 57a~57b。
25 引自南秉吉，《算學正義》下編，頁 57b~58a。
26 當比對《翼算》上編〈正負論〉裡「不惟不可以得左式，初不可以得今式、云式也。」的論述時，
即可得知此處「初不語到算式」的意思是指天元術「相消得式」後的解題過程與借根方明顯不同。
此處「算式」的意思，依南秉吉在〈《海鏡細艸解》序〉中所言「明顧箬溪作《測圓海鏡分類釋術》，
刪去細艸，但演開諸乘方算式，而立天元一，並不知為何義，固無足論。」與「元和李尚之，算學 名家，而其所校勘，不過依術布算、訂其算式，且斤斤於立天元一與借根方之異同。」，以及天元 術解題中「相消得式」的用語，應是指天元術兩式相消而得到的開方式。
27 後期南秉吉所認定的「天元一即借根方」或「借根方即天元一」，僅指「兩式相消」前的運算。
28 引自南秉吉，《算學正義》上編，頁 49a~49b。
29 引自南秉吉，《算學正義》上編，頁 50a。
十七萬七千二百十六。問每邊數幾何？」
30事實上，若是能解決這兩個問題 ─ 特 別是第 2 題，所有的開方問題皆可迎刃而解，當然也就只需「略舉數端」即可。筆 者在此以第 2 題為例，
31於表 5.2 中以印度阿拉伯數碼和正負號來模擬其開方的過 程，並附上開方解題的術文以協助說明。
表 5.2
開方過程 解題術文
32(1)
商
－ 5 2 7 7 2 1 6 實
－ 5 0 0 縱四乘廉法
＋ 4 1 縱三乘廉法
－ 3 0 縱立方廉法
＋ 5 縱平方廉法
－ 3 縱長廉法
＋ 2 隅法
法列五百二十七萬七千二百 十六為實於上列，五百為縱四 乘廉法負（四乘廉居除法之 層，故邊數從之減，故為負 也） ，四十一為縱三乘廉法正
（三乘廉居平方隅法之層，故 平方積從之） ，三十為縱立方 廉法負（立方廉居立方隅法之 層，故立方積從之減，故為負 也） ，五為縱平方廉法正（平 方廉居三乘方隅法之層，故三 乘方積從之） ，三為縱長廉法 負（長廉居四乘方隅法之層，
故四乘方積從之減，故為負 也） ，二為隅法正。
(2)
1 初商
－ 5 2 7 7 2 1 6 實
－ 5 0 0 縱四乘廉法
＋ 4 1 縱三乘廉法
－ 3 0 縱立方廉法
＋ 5 縱平方廉法
－ 3 縱長廉法
＋ 2 隅法
於是四乘廉進一位，三乘廉進 二位，立方廉進三位，平方廉 進四位，長廉進五位，隅法進 六位，商得一十於實五百萬位 之上。
30 引自南秉吉，《算學正義》上編，頁 110。
31 此題類似解「
2 x
6− 3 x
5+ 5 x
4− 30 x
3+ 41 x
2− 500 x = 5277216
」32 引自南秉吉，《算學正義》上編，頁 51b~53b。
(3)
1 初商
－ 3 5 5 8 1 1 6 次商實
＋ 1 7 1 9 1 0 縱四乘廉法
＋ 1 7 2 4 1 縱三乘廉法
＋ 1 7 2 0 縱立方廉法
＋ 1 7 5 縱平方廉法
＋ 1 7 縱長廉法
＋ 2 隅法
以隅法乘之，內減縱長廉餘十 七為長廉變為正，仍乘商數加 縱平方廉得一百七十五為平 方廉正，仍乘商數內減縱立方 廉餘一千七百二十為立方廉 變為正，仍乘商數加縱三乘廉 得一萬七千二百四十一為三 乘廉正，仍乘商數內減縱四乘 廉餘十七萬一千九百十為四 乘廉變為正，仍乘商數以減實 餘三百五十五萬八千一百十 六為次商實。
(4)
1 初商
－ 3 5 5 8 1 1 6 次商實
＋ 1 0 6 1 3 2 0 縱四乘廉法
＋ 8 8 9 4 1 縱三乘廉法
＋ 7 1 7 0 縱立方廉法
＋ 5 4 5 縱平方廉法
＋ 3 7 縱長廉法
＋ 2 隅法
又以隅法乘初商加長廉，仍乘 初商加平方廉，仍乘初商加立 方廉，仍乘初商加三乘廉，仍 乘初商加四乘廉，得一百六萬 一千三百二十（即初商數之四 乘積二段六倍、立方積五段四 倍、商數四十一段二倍、共數 內減三乘積三段五倍、平方積 三十段三倍及五百算之餘數 也） 。
(5)
1 初商
－ 3 5 5 8 1 1 6 次商實
＋ 1 0 6 1 3 2 0 縱四乘廉法
＋ 2 7 2 1 4 1 縱三乘廉法
＋ 1 8 3 2 0 縱立方廉法
＋ 1 1 1 5 縱平方廉法
＋ 5 7 縱長廉法
＋ 2 隅法
又以隅法乘初商加長廉，仍乘
初商加平方廉，仍乘初商加立
方廉，仍乘初商加三乘廉得二
十七萬二千一百四十一（即初
商數之三乘積二段十五倍、平
方積五段六倍、及四十一算共
數內減立方積三段十倍、商數
三十段三倍之餘數也） 。
(6)
1 初商
－ 3 5 5 8 1 1 6 次商實
＋ 1 0 6 1 3 2 0 縱四乘廉法
＋ 2 7 2 1 4 1 縱三乘廉法
＋ 3 7 1 7 0 縱立方廉法
＋ 1 8 8 5 縱平方廉法
＋ 7 7 縱長廉法
＋ 2 隅法
又以隅法乘初商加長廉，仍乘 初商加平方廉，仍乘初商加立 方廉得三萬七千一百七十（即 初商數之立方積二段二十 倍、商數五段四倍共數內減平 方積三段十倍及三十算之餘 數也） 。
(7)
1 初商
－ 3 5 5 8 1 1 6 次商實
＋ 1 0 6 1 3 2 0 縱四乘廉法
＋ 2 7 2 1 4 1 縱三乘廉法
＋ 3 7 1 7 0 縱立方廉法
＋ 2 8 5 5 縱平方廉法
＋ 9 7 縱長廉法
＋ 2 隅法
又以隅法乘初商加長廉，仍乘 初商加平方廉得二千八百五 十五（即初商數之平方積二段 十五倍及五算共數內減商數 三段五倍之餘數也） 。
(8)
1 初商
－ 3 5 5 8 1 1 6 次商實
＋ 1 0 6 1 3 2 0 縱四乘廉法
＋ 2 7 2 1 4 1 縱三乘廉法
＋ 3 7 1 7 0 縱立方廉法
＋ 2 8 5 5 縱平方廉法
＋ 1 1 7 縱長廉法
＋ 2 隅法
又以隅法乘初商加長廉得一 百十七（即初商數二段六倍內 減三算之餘數也） 。
(9)
1 2 次商
－ 3 5 5 8 1 1 6 次商實
＋ 1 0 6 1 3 2 0 縱四乘廉法
＋ 2 7 2 1 4 1 縱三乘廉法
＋ 3 7 1 7 0 縱立方廉法
＋ 2 8 5 5 縱平方廉法
＋ 1 1 7 縱長廉法
＋ 2 隅法
於是四乘廉一退，三乘廉二
退，立方廉三退，平方廉四
退，長廉五退，隅法六退，皆
復本位。次商得二於實六尺位
之上。
(10)
1 2 次商
0 實
＋ 1 7 7 9 0 5 8 縱四乘廉法
＋ 3 5 8 8 6 9 縱三乘廉法
＋ 4 3 3 6 4 縱立方廉法
＋ 3 0 9 7 縱平方廉法
＋ 1 2 1 縱長廉法
＋ 2 隅法
以隅法乘之加長廉得一百二 十一，仍乘次商加平方廉得三 千九十七，仍乘次商數加立方 廉得四萬三千三百六十四，仍 乘次商數加三乘廉得三十五 萬八千八百六十九，仍乘次商 數加四乘廉得一百七十七萬 九千零五十八，仍乘次商數得 三百五十五萬八千一百十 六，以減次商實恰盡。併初 商、次商得十二為每邊數。
在說明完此題的開方方式後， 〈諸乘方法〉最終並指出整個開方法的原則：
開方之法，置商數於實上，以商乘隅，連乘為法，上達於實。帶縱者，遇同名 則相加，正仍為正，負仍為負；異名則相減，減餘在正為正，在負為負。而法 實異名，以法減實，即其常也。或法多飜減則為換骨，同名相加則為投胎。而 換骨或投胎者，法必有飜，自平方以至百乘、千乘同此一規也。其列位則擇其 異名之可以相步者步之，以方步實者，齊實及方之首位；以廉步方者，齊方及 廉之首位；以隅步廉者，齊廉及隅之首位。視其未超幾位，它數從以進退，而 其首位之相差懸殊不問也。有以廉步實者、以隅步方者，按平方法齊其首，亦 視其末位，它數從而進退，而首位不問也。其商數則異名相步者為正數，同名 相步者為負數，故初商變位。訖覺商數過多，則續商負數相減；覺數過少，則 續商正數相加。商數不易者無論初商、次商，以五約商，後進退之。
33從此段敘述中「換骨」或「投胎」等用語，以及先前介紹的開方方式，可以知道此 處所使用的開方法，基本上是秦九韶在《數書九章》裡所介紹的「正負開方法」 。 然而，在商數與實的對位上，卻仍舊依循《數理精蘊》的方式。
34這樣的「正負開 方法」與天元術的結合，即為南秉吉後期整個天元術解題的全貌，也在接下來要介 紹的《翼算》中，與《數理精蘊》的借根方和開方法相比較。
33 引自南秉吉，《算學正義》上編，頁 53b~55a。
34 詳見 4.2.3。
5.2.2 《翼算》
《翼算》為李尚爀所著，成書於 1868 年。
35全書的內容除了由南秉吉所寫的序 文外，可分為上編〈正負論〉與下編〈堆垛說〉 ，故名思義，分別用以論述正負關 係與堆垛問題。
至於《翼算》的成書緣由，則可徵之開頭處的序文。首先，對於正負關係與堆 垛問題，南秉吉認為：
夫自皇明隆萬以來，算家論述不下十百，幾盡探賾無有餘蘊。至若方程及 立天一之正負術無所發明，抑或未遑而然歟？法不知正負之別，數難辨損益之 變，其於開方尤為襯切。且堆垛之法，積累成體，虛實按排，自有條理，此最 關於差分者也。
36加上李尚爀所撰的〈正負論〉與〈堆垛說〉兩篇著作「盖錯綜論解，洞見根底，發 前人不傳之秘。苟非高明特達，安能有此精微之論哉！」
37於是，南秉吉不僅為之 名為「翼算」 ，並「惜其流傳殘草，乃擬印而布之。」
38也就在南秉吉的支持下，促 使了《翼算》的成書。
至於與借根方與天元術的相關內容，則出現在上編的〈正負論〉裡。筆者在此 將介紹〈正負論〉的內容，並特就其中與借根方和天元術相關的部分，加以詳述。
首先， 〈正負論〉的著述體例，採取每論述一句便附上解釋的方式。像是在說 明「多元之術以正負相當之諸式輾轉相消至於一行開方式，故解者謂之寓方程於天 元也」時，
39便隨後附上「天、地、人、物各自立元，故雖有正負相當之式，不可 以開方得所求之數。必相消而至於一行，然後只餘一元，同於天元術之開方式也。
與方程之相消得一法一實，不啻相似，故謂之寓方程於天元之術也。」
40至於全文的內容，則在一開始點明了「正負者，所以別同異而妙用無窮。辨主 客之位，審消長之機，其號無定而其數必相當也。」
41遂於接下來的論述中，依序 說明「其號無定而其數必相當也」 、 「辨主客之位也」 、 「審消長之機也」和「妙用無
35 成書年代以由《翼算》序末處的「戊辰孟冬宜寧南相吉序」作為判斷依據。
36 引自南秉吉，〈《翼算》序〉，頁 1a。
37 引自南秉吉，〈《翼算》序〉，頁 1b。
38 引自南秉吉，〈《翼算》序〉，頁 1b。
39 引自李尚爀，《翼算》上編〈正負論〉，頁 27a。
40 引自李尚爀，《翼算》上編〈正負論〉，頁 27a。
41 引自李尚爀，《翼算》上編〈正負論〉，頁 1a。
窮也」 。
42說明的過程裡，李尚爀不斷地利用《九章算術》 、 《測圓海鏡》 、 《益古演段》 、
《算學啟蒙》 、 《四元玉鑑》 、 《方程論》 、 《少廣拾遺》 、 《數理精蘊》和《算學正義》
等書的內容，協助探討正負關係，並接著指出《九章算術》的〈方程〉 、秦九韶《數 書九章》的開方法、李冶的《測圓海鏡》和《益古演段》 、郭守敬《授時厤》裡的 天元術以及朱世傑的《四元玉鑑》 ，由於「方程之術以正負相當之數相消得一法一 實也；天元之術以寄左與又數相消得正負相當之開方式也；多元之術以正負相當之 諸式輾轉相消至於一行開方式，故解者謂之寓方程於天元也。」
43所以「皆藉於正 負，正負之義大哉！」
44再次突顯了正負關係的重要性。
〈正負論〉最後的部分，李尚爀則聚焦於天元術和借根方的比較。先是在「近 者西人借根方術說之甚詳，解之者多，而梅文穆謂即天元術，誠篤論也。」之後的 說明中，
45引用了梅瑴成於《赤水遺珍》 〈天元一即借根方解〉的全部序文，並對此 作出批判：
公以勿庵之孫，早承家庭之訓，又與聞於《數理精蘊》編纂之役，世推算家之 大方。而讀借根方法，然後始解天元一術，古算在明學之餘尚屬草昧未尋墜緒，
從可知矣，而其於正負之理，無怪乎猶障一膜也。
46指出梅瑴成在「讀借根方法，然後始解天元一術」的情形下，使得「其於正負之理，
無怪乎猶障一膜也。」
接著，李尚爀更進一步表明，梅瑴成在這種「未諳正負之理」的情形下，
47誤 認「天元一即借根方」 ，而犯下了三方面的錯誤：
第一、
以多、少代正負，以兩邊加、減代相消，終未得一行相當之式。
48其後附註的說明則指出：
多少與正負相似，然多少者，盈朒之實體；正負者，消息之妙用，煞有間焉。
故《九章算術》注曰： 「負者，未必負於少；正者，未必正於多。」且兩邊加
42 分別引自李尚爀，《翼算》上編〈正負論〉，頁 4a、頁 8a、頁 10a 與頁 35a~35b。
43 引自李尚爀，《翼算》上編〈正負論〉，頁 26b~27a。
44 引自李尚爀，《翼算》上編〈正負論〉，頁 26b。
45 引自李尚爀，《翼算》上編〈正負論〉，頁 27a。
46 引自李尚爀，《翼算》上編〈正負論〉，頁 28b。
47 引自李尚爀，《翼算》上編〈正負論〉，頁 28b。
48 引自李尚爀，《翼算》上編〈正負論〉，頁 28b。
減者，只所以明其數之相同而分法實於兩邊，故終未得一行之內正負相當之式 也。
49以《九章算術》的註文，說明「正負」與「多少」相異之處。
第二、
尤不能相通於多元。
50李尚爀在這部分的解釋，則以《算學正義》下編〈多元〉的第一問「今有直積 平方開之減闊餘有三步，只云長以平方開之不及較三步，問長、闊各幾何？」為例，
51
指出解題過程中的「今式 」和「云式 」相消得「左式
太
」的過 程， 「若用兩邊加減則終未可以得到左式。不惟不可以得左式，初不可以得今式、
云式也。」
52亦即表示借根方的解題過程裡，不僅無法得到上述的「左式」 ，就連相 消前的「今式」和「云式」也都無法在借根方中求得，因此表明了借根方無法處理
「多元（術） 」的問題的缺點。
53第三、
而其開除之法殊甚煩瑣，不可與以商乘隅同加異減上達於實之既簡且要出於自 然者同日而語也。
54在接下來的說明，首先，李尚爀表示： 「 《數理精蘊》開方之法，極其繁冗，而借根 方術別例簡法……比原法頗為省算，然亦甚煩瑣也。」
55這是指《數理精蘊》下編 卷三十二〈借根方比例．開諸乘方法〉中所謂：
葢諸乘方之形體不同，開方法之難易迥別，總以廉法之多少而分。平方之廉最
49 引自李尚爀，《翼算》上編〈正負論〉，頁 28b~29a。
50 引自李尚爀，《翼算》上編〈正負論〉，頁 29a。
51 引自南秉吉，《算學正義》下編，頁 60a。
52 引自李尚爀，《翼算》上編〈正負論〉，頁 29a。
53 洪萬生在〈數學文化的交流與轉化：以南秉吉 (1820-1869)的《算學正義》為例〉中，指出南秉 吉在《算學正義》裡，「寧捨《數理精蘊》中的『借根方比例法』，而保留較早傳入的『天元術』，
應該是出自討論『多元（術）』之考量。」，即呼應了此點。
54 引自李尚爀，《翼算》上編〈正負論〉，頁 29a~30a。
55 引自李尚爀，《翼算》上編〈正負論〉，頁 29a~30a。
少，故最易；立方之廉較多，故較難。自三乘以至多乘，其廉愈多則其法愈難。
今自平方以至九乘方俱專立一法，在平方、立方所省不多，而三乘方以後則甚 為簡捷。
56《數理精蘊》在下編卷十一〈平方、帶縱平方〉和卷二十三〈立方〉的開方方 式，與〈借根方比例〉中所採取的開方方式有些許不同，上面的引文即指出後者「在 平方、立方所省不多，而三乘方以後則甚為簡捷。」
但即便已有所改良，李尚爀仍認為「亦甚煩瑣也」 。這是因為當與秦九韶「以 商乘隅同加異減上達於實」的「正負開方法」相比較下， 《數理經蘊》的方式「不 可與以商乘隅同加異減上達於實之既簡且要出於自然者同日而語也。」
很明顯的，李尚爀在這篇〈正負論〉中，延續了先前南秉吉在《算學正義》中 的論點 ─ 天元術與借根方從「兩式相消」起的差異，甚至更進一步指出「多少與 正負相似，然多少者，盈朒之實體；正負者，消息之妙用，煞有間焉」 ，將「兩式 相消」前有關「多少」和「正負」的差異點出，徹底的將借根方與天元術區分開來。
至此， 「天元一即借根方」或「借根方即天元一」的觀點，已全然被推翻了。並在 點明了借根方「不能相通於多元」與「開除之法殊甚煩瑣」等缺點之下，事實上也 意謂著南秉吉團隊最終在兩者間，選擇了天元術。即便在後期之後，依舊可以發現 這樣的情形。
5.3 後期之後的韓國算學著作
後期之後有關天元術或借根方的韓國算學著作，由於筆者手中僅有《筭學拾遺》
一書，故只能以此作為後期之後的代表。
《筭學拾遺》成書於1869年，
57為平壤趙羲純所撰。南秉吉為此書所撰寫的序 文中指出，在「筭學奧旨似無餘蘊」之時，
58節度趙君，就勾股、弧角之象、天元、多元之數，反覆解說，多所補遺。而斜 弧、三角形、純角、純邊之用，假數筭尤切於用，嘉惠後學之功甚鉅。苟非質 厚而疏朗積之既富出之甚易者，安能以韜衿之地有此精微之論哉？
59足見趙羲純在算學上的造詣。至於《筭學拾遺》的內容，亦如序中所言，涵蓋了「勾
56 引自《數理精蘊》下編卷三十二，頁 2。
57 成書年代的判斷依據為南秉吉序文文末的「已巳三月下澣宜寧南相吉序」。
58 引自金容雲主編，《韓國科學技術史資料大系．數學篇(8)》，頁 3。
59 引自金容雲主編，《韓國科學技術史資料大系．數學篇(8)》，頁 3~4。
股、弧角之象」、「天元、多元之數」與「斜弧、三角形、純角、純邊之用」等方 面，分為〈勾股補遺〉、〈正弧約法〉、〈斜弧指歸〉、〈弧三角形用對數算〉、
〈八線相當〉、〈弦矢捷法〉與〈四之筭略〉七個部分。其中，與借根方或天元術 相關的部分，出現在最後的〈弦矢捷法〉與〈四之筭略〉之中。
〈弦矢捷法〉一開始便指出：
《疇人傳》載西人杜德美周經密率及求正弦正矢捷法，其周經密試之良驗，而 求弦矢之屢乘數當以半徑除之，其每次除率當以半徑乘之，而漏此二篇盖失考 也。近有作家專論此法，不足後述，而緣以弦求之率微有不同，故以借根方筭 之。
60表明了面對「求弦矢之屢乘數當以半徑除之，其每次除率當以半徑乘之，而漏此二 篇盖失考也」的情況下，趙羲純決定採用借根方來處理。於是，在〈弦矢捷法〉唯 一的例題「設正弦七０七一０六八，求度、分、秒。」中，
61「先以正弦轉求正矢 得二九二八九三二，乃以矢求弧」 ，接著再利用借根方解題：先是「借一根為屢乘 數」而求出「二萬０一百六十根少一千六百八十平方多五十六立方少一三乘方與一 萬一千八百０九小餘四五三八二四相等」 ，再以「帶縱三乘方」求得「一根之數小 餘六一六八五０二」 。
至於接下來的〈四之筭略〉，則為全書七個部分中篇幅最大的一篇。趙羲純於 此篇的論述中，一開始便表示：
立天之術，既臻微奧，又推至四元，奇偉敻絕，遠勝於西人之借根。
62他接著指出天元術（乃至多元術）優於借根方之處共有三點：
盖兩元兼該於借根，而借根技窮於兩元，一也；不具數目，頭緒棼如，而無中 生有，井然有條，二也；凌雜無倫，不近於理，而隨求便得，如響斯應，三也。
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然而，由於：
其法詳載《四元玉鑑》而無復肄習或幾乎息，且其設問每取三、四、五正勾股，
60 引自金容雲主編，《韓國科學技術史資料大系．數學篇(8)》，頁 43~44。
61 詳見金容雲主編，《韓國科學技術史資料大系．數學篇(8)》，頁 44~47。
62 引自金容雲主編，《韓國科學技術史資料大系．數學篇(8)》，頁 47。
63 引自金容雲主編，《韓國科學技術史資料大系．數學篇(8)》，頁 47~48。
其較相等，疑於偶合，
64所以趙羲純「以不等之率，按法推衍，只取簡易者著之篇」 ，而完成了〈四之筭略〉。
在交待完撰寫的緣由後，如表 5.3 中所列，趙羲純接著舉了十四個例題。解題 的內容，有六題使用二元術，六題使用三元術，還有兩題則使用四元術。
縱觀《筭學拾遺》中這兩篇與借根方和天元術相關的論文，即便如〈弦矢捷法〉
所呈現，趙羲純對借根方的解法相當熟悉，但在〈四之筭略〉中「立天之術，既臻 微奧，又推至四元，奇偉敻絕，遠勝於西人之借根」的看法下，顯然依舊延續了南 秉吉團隊後期的觀點 ─ 特別是與多元術的關連，亦即認為天元術仍然是解題上較 佳的選擇。
表 5.3 題 號
題目 解題方式
1 設圜徑一十，求內容三小方形（如品字）之一邊。 二元術
2 疊三方之邊設一十，求外切圜徑。 二元術
3 設五等邊形之每邊一十二，求內容外切圜徑。 二元術 4 設取股三之二與較相加與弦等積，加弦較和之半開方得勾，求倍
積和三弦較和為實，開平方所得之數。
二元術
5 七股為實，弦較較為和，開方得長，仍與股等。又積加二和二較 為實，弦較和為較數，開方求闊與弦和較等。
三元術
6 設弦較較與股弦和相乘勾冪四倍有半。又勾股相乘積加勾股和、
股弦和，以勾弦和除之得弦三之一。
三元術
7 設勾股相乘積加弦較較開方仍得弦較較，勾弦和減勾股較開方得 股弦較，求勾、股、弦。
三元術
8 設股弦較乘勾冪再加較冪開方得勾弦和。又弦和較冪減股弦較倍 之開方得勾。
三元術
9 設勾股相積減半弦較和開方仍得半弦較和。又勾冪加勾弦和及弦 較較，以弦除之得較。
三元術
10 設勾冪減三弦開方得勾弦較，又弦和較冪加弦較較三之二，以弦 除之得股弦較。
三元術
11 設四股二勾一弦併為實，開方得較。又勾弦和為首率，弦較較為 末率，所得中率仍為弦較較有半，求一積（即勾股相乘積）一弦 二勾為實之開方數。
二元術
64 引自金容雲主編，《韓國科學技術史資料大系．數學篇(8)》，頁 48。
