數學科試卷 單元：1-1 直角三角形的邊角關係班級：

數學科試卷 單元： 1-1 直角三角形的邊角關係

班級： 座號：______ 姓名：__________

一、填充題：

1. △ABC中，若_{  C 90} , 1

tan

A

答案：9.9

解析： 1

tan 99 10

A

BC

2. csc60 tan 30 sin 45 cos 30 cos 45 sin 60  ______.

答案： 2 3

解析：原式 2 1 2 3 2 3

2 2 2 2

3 3

      2 6 6

3 4 4

   2

 3

3. 若x2sin 60 cos 60 tan 45  ，則 _{1 x 1 x} __________.

答案：1

解析： 3 1 3

2 1

2 2 2

x

1 x 1x 3 3

1 1

2 2

    4 2 3 4 2 3

4 4

 

 

3 1 3 1

2 2

 

  1

4. 若 1

sin cos

    ，則3 sin cos  __________，_sin³_cos³ __________.

答案： 4 13 9 27,

解析： ² 1

(sin cos )

   9

2 2 1

sin 2sin cos cos

    9

   

1 2sin cos 1

  9

  

2sin cos 8

  9

 

sin cos 4

  9

 

3 3 2 2

sin cos (sin cos )(sin sin cos cos ) 1 4 1 13 13

(1 )

3 9 3 9 27

            

    

5. rABC中，已知  C 90 ,_AB20, 4

tan

A

答案：96 解析：

tan 4 3

A BC

 

AC



: : 3: 4 : 5 AC BC AB

 

12, 16

AC BC

  

1 12 16

ABC

r 96

6. 請在空格內填入適當的數字.

(1)^sin35 sin(90 ____)  cos(____) (2)^cos54 cos(90 ____)  sin(____) 答案：(1)^55；55(2)36^；36

解析：(1)^{sin35 sin(90 55)  cos55}. (2)^{cos54 cos(90 36)  sin36}.

7. rABC中，若 A, B, C的對邊分別為a b, 與 1，且 ^{2 2} 1 sin sin

2 2

A

B

答案：1

解析： ² 1 1

sin sin 45

2 2

A

A

A

∵

2 1 1

sin sin 90

2 2 2 2 2

B B B

         

B

∴ rABC為等腰直角三角形

∴a c 1

8. 設A為銳角， 2

tan

A

A A

A A

 

 ________.

答案：13 7

解析： 2 tan

A



∴

4 9

2sin 3cos 13 13 4 9 13

3 4

cos 2sin 3 4 7

13 13

A A

A A

  

  

  

9. 若45    90 ，且 1 sin cos

   ，則8 sin cos __________.

答案： 3 2

解析：(sin cos ) ² sin² 2sin cos cos² 1 1 2 8

   3

4 sin cos 3

  2

   

又45    90 sin cos

 

故 3

sin cos

    2

10.  為銳角，且tan 2，求3sin 2cos 3sin 2cos

 

 

 

 ________.

答案：1 2

解析：原式

3sin 2 3sin 2cos cos 3sin 2cos 3sin 2

cos

  

  



 

 

 

3tan 2 6 2 4 1 3tan 2 6 2 8 2





 

   

 

11.  為銳角，若 5

sin cos

    2 ，則_sin³ _cos³ ________.

答案：7 5 16

解析：∵ 5

sin cos

    2 1 2sin cos 5

  4

   ，∴ 1

sin cos

  8

∴sin³cos³ (sincos )(sin ² sin cos  cos²)

5 1 5 7 7 5

(1 )

2 8 2 8 16

     

12. 一個正 n 邊形的外接圓半徑為 4，內切圓半徑為_{2 3}，則n__________，周長為__________.

答案：6, 24 解析：

2 3 3

4 2 cos2

  



30 60

2

 

      360 6

n

 



又 60  OABr 為正三角形

邊長_AB4

周長  4 6 24

13. 化簡sin15  3 cos15 __________.

答案：_{ 2}

解析：原式 6 2 6 2

4 3 4

 

   6 2 3 2 6

4

  

 4 2

4

   2

14. 2sin 60 cos30 sin 45 tan 60² ₂ ² ₂ tan 45 sin 30 cos 60 cos 45 tan 30

  



    

    ______.

答案：12

解析：原式

2 2

2 2

3 3 1

2 ( ) ( 3) 1

2 2 2

1 1 1 1

( ) ( )

2 2 2 3

    



  

3 3 1 2 21 1

4 6

  



1 1 12

 12

15. 化簡：1 tan15 1 tan15

  

  __________.

答案： 3

解析：原式 1 (2 3) 1 (2 3)

  

 

( 1 3)(3 3) (3 3)(3 3)

  

  

3 3 3 3 3 9 3

   

 

2 3

 6 3

 3

16. 矩形 ABCD 中，已知_AB12,_AD6，若 P 為_BC上一點，且PAB,PDC ，則tan tan _________

_.

答案：1 2

解析：tan tan

BP CP AB CD

   

12



BC

12



AD

12 1

2

17. 若k 0，且sin 和cos 是實係數方程式8x²6kx2k 1 0的兩個實根，則k__________.

答案：2

解析：

6 3

sin cos

8 4

2 1 sin cos

8

k k

k

 

 

     

 

 



又_sin²_cos² ₁

(sin cos ) 2 2sin cos  1

   

9 2 2 1 16 4 1 0

k k

   

9k2 (8k 4) 16 0

    

9k2 8k 20 0

   

(9k 10)(k 2) 0

   

2

 k 或 10

 9 （負不合，k0）

18. 若 為銳角，且 4

tan  ，則5 1 2cos² 1 2sin cos



 



 之值為__________.

答案： 1

9

解析：原式 ²

2

1 2

1cos sin cos 2 cos

 

 

 

 

2 2

(1 tan ) 2 (1 tan ) 2 tan



 

 

  

1 16 2 16 825 1 25 5

 



  25 16 50

25 16 40

 

  

9 81

  1

 9

19. cos (45²  ) cos (45 ²  )________.

答案：1

解析：cos (45²  ) cos (45 ²  ) cos (45 ²  ) sin (45 ²  ) 1

20. 直角rABC中，  C 90 ，已知tanA2,_AB10，則_BC__________.

答案：_{4 5} 解析：

tan

a

A

b

 2 a b

 

又_a²_b² _10²

2 2 2

4b b 5b 100

   

2 20

b  2 5

 b （負不合，_邊長0） 4 5

BC a  21. 若cos sin

cos sin 2 1

 

 

  

 ，則_tan __________.

答案： _{2 1}

解析：

1 sin

cos sin cos 1 tan 2 1 cos sin 1 sin 1 tan

cos

   

   



      

  



1 tan ( 2 1)(1 tan )

    

(2 2) tan 2

  

2 2(2 2) 2 2 2

tan 2 1

4 2 2

2 2

  

     

 

22. _{cos 5}^{2 }_{cos 15}^{2 }_{cos 25}^{2 }_{cos 35}^{2 }_{cos 45}^{2 }_{ cos 85}^{2 }_______.

答案：9 2

解析：原原 (cos 5² cos 85 ) (cos 15²   ² cos 75 )² 

2 2 2 2 2

(cos 25 cos 65 ) (cos 35 cos 5 ) cos 45

       

2 2 2 2

(cos 5 sin 5 ) (cos 35 sin 15 )

     

2 2 2 2 1

(cos 25 sin 25 ) (cos 35 sin 35 )

      2

1 1 1 1 1

    2 9

 2

23. 2 sin 21 ² cos 21² sin 17⁴ sin 17 cos 17²  ² cos 17² ______.

答案：0

解析：原式 2 (sin 21² cos 21 ) sin 17 (sin 17²   ²  ² cos 17 ) cos 17²   ² 

2 2

2 1 (sin 17 cos 17 )

    

 1 10

24. 若0    90 ，且 1 cos sin

   ，則2 ² 1₂ tan  tan

   __________.

答案： 16 7

 9

解析： 1

cos sin

   2



2 2 1

cos 2cos sin sin

    4

   

1 2cos sin 1

  4

  

cos sin 3

  8

  

考慮：(sin cos ) ² sin² 2sin cos  cos² 3 1 2 8

   7

4 又為銳角，故 7

sin cos

    2

2 2 4 4

2

2 2 2 2 2

2 2 2 2

2

1 sin cos sin cos tan tan cos sin sin cos

(sin cos )(sin cos ) ( )3

8

64 (sin cos )(sin cos ) 9

64 1 7 16 7

( )

9 2 2 9

   

     

   

   

     

 



   

     

25. 若 2

sin cos

    3，則 ² 1₂ tan  tan

   __________.

答案：34

解析： ² 4

(sin cos )

    3



2 2 4

sin 2sin cos cos

    3

   

1 2sin cos 4

  3

  

sin cos 1

  6

 

又 1 sin cos tan tan cos sin

 

      sin² cos² cos sin

 

 

  1

cos sin 

 6

考慮： 1 ^{2 2} 1₂

(tan ) tan 2

tan tan

 

 

   

2 2

2

6 tan 2 1

 tan

    

2

2

tan 1 36 2 34

 tan

     

26. ^{90 2}

1sin

 

   ________.

答案：89 2

解析： ^{90 2 2 2 2 2 2}

1sin sin 1 sin 2 sin 3 sin 89 sin 90

 

         L   

2 2 2 2 2 2 2

sin 1 sin 2 sin 45 cos 1 cos 2 cos 44 sin 90

     L       L   

1 89 44 2 2

  

27. 如圖,_AB為直徑，且其長為 26.若 5

sin ,

 13 求_{PA PB ______ .}

解析：∵ 1

A

PB

   

又_AB為直徑_{ APB 90} 直角△APB中

sin

PBAB  5 26 13

  10

2 2

26 10 24 PA  

∴_{PA PB 34}

28. ² 1

(tan ) 1 0

x

x

     有一根為_{2 3}，求_{sin cos}  ________.

答案：1 4

解析：設另一根為

二根積 1 (2 3) 1

2 3 2 3



   



則二根和 1

4 tan

 tan

    sin cos

cos sin

 

 

  1

sin cos 



∴ 1

sin cos

   4

29. 若tan 3，則_2sin²_{3sin cos}  __________.

答案： 27 10

解析：原式

2sin2 3sin cos 1

  

 2sin² ₂ 3sin cos₂

sin cos

  

 

 



2 2

2 2

sin sin

2 3

cos cos sin 1 cos

 

 





 



2 2

2 tan 3tan 2 9 3 3 18 9 27

tan 1 9 1 10 10

 



    

   

 

30. 已知 3

sin cos

    2，則sin cos  __________，sin⁴ cos⁴ ___________，tan __________.

答案：1 7

, , 2 3 4 8 

解析： ² 3

(sin cos )

    2

2 2 3

sin 2sin cos cos

    2

   

3 1

1 2sin cos sin cos

2 4

   

    

2 2 2 4 2 2 4

(sin  cos ) sin 2sin cos cos 

4 4 1

1 sin cos 2

  16

    

4 4 7

sin cos

  8

  

設sin , cos 為 ² 6 1 2 4 0

x

x

   

2 6 24 16 6 2

8 4

x

  

6 2 sin 4

  , 6 2

cos  4 或 6 2

sin  4 , 6 2 cos  4 即  75 或 15

tan 2 3

  

31. 邊長為 1 的正八邊形其內接圓半徑為______.

答案： 2 1 2



解析：_2r AB DG DE EF FG   

2 2

2 1 2

  

 2 1 2 1

r



32. 若圓 O 的半徑為 2，且其內接正 16 邊形之面積為_{a 2 2} ，則a__________.

答案：16 解析：

360 45 16 2 22.5

  

   

考慮：等腰直角_{r ABC}，_{  A 90} ,_{AB AC1},_{BC  2} 在^_AB上取一點 D，使得_{BD 2}，此時 D 22.5

2 ( 2 1)2 12 4 2 2

CD     

4 2 2

CD 

1 4 2 2 4 2 2 2 2

sin 22.5

2 2 2 4 2 2 (4 2 2)(4 2 2)

  

     

  

16 (1 2 ) 32 32 sin

2 2

h h

       

所求面積 _{16 2 2}

16

 a

33. 為銳角，若 4

sin  ，則 tan5 2

  ________.

答案：1 2 解析：

設 A  ，延長^suur_AB，作_{AD AC}

D

  

∵ 4

sin 5，∴_BC4,_AB3,_{AC 5 AD}

∴ 4 1 tan2 5 3 2

  



34. 若二次方程式8x²4x k 0的兩根為sin 與cos ，則k ________，又

2 2

1 cos 1 sin

sin cos

 

 

 

  ________.

答案： 19 3, 6

解析：

4 1 sin cos

8 2 sin cos

8

k

 

 

   

 

 



∵ ，又_sin² _cos² ₁

2 1

(sin cos ) 4

1 3

1 2 ( ) 3

8 4 4 4

k k

k

 

  

          

2 2 2 2

1 cos 1 sin 1 (1 sin ) 1 (1 cos )

sin cos sin cos

  

   

        

2 2

( sin ) ( cos )

sin  cos 

 

   

2(sin cos )

(sin cos ) sin cos

   

 

   

2 12 1 8 1 19

3 2 3 2 6

8

       



35. 若 ² 1

cos 60 tan 45 sin 60 cos30 cos 30 3

3

a b

          ,

且 a, b 為有理數，則坐標( , )b a 在第________象限.

答案：二

解析：1 3 1 3 3 1 3 1 3 1 3

2  1 4 3 2  2    2 4 2 2  4 2 1

a

b

    在第二象限

36. 化簡

4log sin 45 2log cos 60 logsin 30 2log cos 45 1log 64

3

     

  ________.

答案：3

解析：原式

4

3

2 2

1 2

2 3

1 1 1

log(sin 45 cos 60 sin 30 ) log(4 4 2) log 1 log 2 3

1 8

log( 4) log(cos 45 64 ) 2

    

      

 