勾股定理證明-G002

(1)

勾股定理證明-G002

【作輔助圖】

1. 任意作一正方形WXYZ ，並作一直角三角形 ABC ，使BC WX AC, 2BC。 2. 以 AC 為邊長向外作正方形 ACDE ，並取四邊的中點M Q N P 。 , , ,

3. 連接MN PQ ，且相交於 O 點。 ,

4. 取DP PE MO ON 的中點 , , ,, , , T S U R ，並連接TM SO UC RQ 。 , , , 5. 以 AB 為邊長向外作正方形 ABFG ，並取四邊的中點K H I J 。 , , , 6. 連接AH BI FJ GK 。 , , ,

A

G D

C

F

E

B

Q P T

O N

M

S

R U

I J K

H

W

X Y

Z

K1

B₁

I1

J1

【求證過程】

先證明正方形K B I J 與正方形WXYZ 全等，再證明正方形WXYZ 與正方形 ACDE₁ _{1 1 1}

(2)

所切割出來的四片全等三角形、及四片全等四邊形，皆是拼合出正方形 ABFG 的區域，

最後利用面積和相等的關係，可推出勾股定理的關係式。

1. 先證明AH/ /JF BI, / /KG ，進而得到四邊形K B I J 為平行四邊形 ₁ _{1 1 1}

正方形 ABFG 中，由作圖 5.知BK IG BK, / /IG且AJ HF AJ, / /HF，可推得四邊形KBIG AJFH 均為平行四邊形，所以 ,

/ / , / /

BI KG AH JF ，得四邊形K B I J 為平行四邊形。 ₁ _{1 1 1}

2. 證明 ABH  BFI，進而推得BB H₁  90 ，且四邊形K B I J 為矩形 ₁ _{1 1 1} 因為ABBF BH, FI,ABH    90 BFI，所以

ABH BFI

   (SAS 全等)，

可得 BAH  FBI，又BAH AHB ，得到90 FBI AHB ，所以 90

1 90

BB H  。

又由 1.，因為四邊形K B I J 為平行四邊形，且₁ _{1 1 1} BB H₁  90 ，所以四邊形K B I J 為矩形。 ₁ _{1 1 1}

3. 證明ABB₁ BFI₁ FGJ₁  GAK₁，進而推得四邊形K B I J 為正方形。 ₁ _{1 1 1}

因為ABBF,BAB₁ FBI₁,AB B₁    90 BI F₁ ，所以ABB₁ BFI₁(AAS 全等)，

同理可證得

1 1 1 1

ABB BFI FGJ GAK

       (AAS 全等)

可得BB₁ FI₁GJ₁ AK₁，

因為AK BK KK, ₁/ /BB₁，得到AK₁K B₁ ₁，同理可推得BB₁ B I FI_{1 1}, ₁I J_{1 1},

1 1 1

GJ  J K ，即BB₁ FI₁GJ₁ AK₁K B₁ ₁B I_{1 1}I J_{1 1} J K₁ ₁，所以四邊形K B I J 為正方形。 ₁ _{1 1 1}

4. 證明ABB₁ ABC，進而推得正方形K B I J 與正方形WXYZ 全等。 ₁ _{1 1 1}

(3)

因為AB BB₁: ₁  AC BC: 2 :1，且AB B₁    90 ACB，得到ABB₁ ABC(SAS 相似)，可知AB AB:  AB₁:ACBB BC₁: ，所以

ABB1 ABC

   (SSS 全等)

得到BB₁ BC，又BB₁B K BC WX₁ ₁,  ，且四邊形K B I J 與四邊形WXYZ 均為正方₁ _{1 1 1} 形，所以

正方形K B I J 與正方形WXYZ 全等。 ₁ _{1 1 1}

5. 證明 QRO  AKQ，四邊形 QRNA四邊形 BKQC 。

因為 1 1

, , 90

2 2

QO AQ QK  BC  ON OR QOR   AQK，所以 QRO AKQ

   (SAS 全等) 得到OQR QAK QR,  AK

因為OQR RQA   90 QAK ABC，可知 RQA  ABC，即 RQA KBC ，又RNA KQC   90 QAN QCB，且AN QC AQ, BC RN, ORQK,

RQ AK KB，所以

四邊形 QRNA四邊形 BKQC 。 6. 討論面積關係：

因為ABB₁ ABC,QRO AKQ,四邊形QRNA四邊形BKQC，所以

1

ABB ABC

AKQ BKQC

QRO QRNA

OQAN

  

  



面積面積

面積四邊形面積面積四邊形面積

正方形面積

同理可推得

1 1

1

BFI CUM CUOQ MCQO

FGJ MTD MTPO DMOP

GAK OSP OSEN PONE

    

面積面積四邊形面積正方形面積

(4)

7. 最後，整理上述面積關係，推得勾股定理關係式：

1 1 1 1 1 1 1 1

ABFG

ABB BFI FGJ GAK K B I J

ACDE WXYZ

        

 

正方形面積

面積面積面積面積正方形面積

正方形面積正方形面積

因此

2 2 2

2 2

AB AC WX AC BC

 

即

2 2 2

. c a b

【註與心得】

1.來源：

2.心得：此證明是以任意正方形WXYZ 為邊長，作一兩股比為2 :1的直角三角形，再以斜邊及較長邊的股為邊長向外作正方形，利用各邊中點與頂點連線將正方形切 割若干區塊，再利用圖形的全等關係，這些區塊的面積轉換成正方形 ACDE 面 積、正方形 ABFG 面積以及正方形WXYZ 的面積，最後再推導出三個正方形的 面積關係。此證明只要證明圖形之間的全等關係，就能順利推導出勾股定理的關係式。對國中生而言，此證明較為複雜，整個證明過程過於冗長，不易理解。

3.評量

4.補充：此證明為拼圖證明，其拼法可參考下圖：

國中高中教學欣賞美學

● ● ●

(5)