第第第第1章章章章 空間向量空間向量空間向量空間向量

第 第

第 第 1 章 章 章 章 空間向量 空間向量 空間向量 空間向量

1-1 空間概念 空間概念 空間概念 空間概念

重點一 直線與直線的關係 例題

例題 例題 例題 1

右圖為一長方體，各邊所決定的線段中，下列何者正確？（6 分）

(A) AB HG// ，BC EH//

(B) AF 與CH 歪斜 (C) AB 與CE歪斜 (D) AB 與CH歪斜

(E) BH 與 DF 恰交於一點。

解解

解解：(A) ○：AB DC HG EF// // // ，BC AD EH FG// // //

(B) ○：AF 與CH 歪斜 (C) ○：AB與CE歪斜 (D) ○：AB與CH歪斜

(E) ○：BH與DF恰交於一點 故選(A)(B)(C)(D)(E)

例題 例題 例題 例題 2

如右圖，四面體 D－ABC 中，M、N 分別為 AB 與CD之中點，試問 下列哪些直線互為歪斜？（10 分）

(A)直線 AD 與直線 BC 互為歪斜 (B)直線 AB 與直線 CD 互為歪斜 (C)直線 AC 與直線 BD 互為歪斜 (D)直線 BC 與直線 MN 互為歪斜 (E)直線 BC 與直線 DN 互為歪斜 解解

解解：(A) ○：直線 AD 與直線 BC 互為歪斜 (B) ○：直線 AB 與直線 CD 互為歪斜 (C) ○：直線 AC 與直線 BD 互為歪斜 (D) ○：直線 BC 與直線 MN 互為歪斜 (E) × ：直線 BC 與直線 DN 相交於 C 故選(A)(B)(C)(D)

重點二 直線與平面的關係 例題

例題 例題 例題 3

下列哪些敘述是正確的？（10 分）

(A)垂直同一平面的兩相異直線必平行 (B)垂直同一直線的兩相異平面必平行 (C)垂直同一直線的兩相異直線必平行 (D)平行同一直線的兩相異直線必平行 (E)平行同一平面的兩相異直線必平行 解解

解解：：：：考慮右圖之長方體，可得 選項(C)之反例：

v

EA⊥

v

AB且

v

BC⊥

v

AB， 但

v

EA與

v

BC不平行 選項(E)之反例：

v

EF與

v

FG平行平面 ABCD，

但

v

EF與

v

FG不平行 故選(A)(B)(D)

例題例題 例題例題 4

下列有關空間的敘述，哪些是正確的？（10 分）

(A)過已知直線外一點，「恰有」一平面與此直線垂直 (B)過已知直線外一點，「恰有」一平面與此直線平行 (C)過已知平面外一點，「恰有」一直線與此平面平行 (D)過已知平面外一點，「恰有」一平面與此平面垂直 (E)過已知平面外一點，「恰有」一平面與此平面平行 解

解 解

解：：：：(B) ×：無限多個 (C) ×：無限多個 (D) ×：無限多個

故選(A)(E)

重點三 平面與平面的關係 例題

例題 例題

例題 5（兩面角）

如右圖，正四面體 ABCD 中，各邊長為 4，若相鄰兩平面的夾角為 θ，則 cosθ＝ 。（10 分）

解解

解解：如右圖，AB＝4，

若平面 ACD 與平面 BCD 所形成的兩面角的大小為 θ，

取CD中點 M，連接AM ，BM

∴AM ⊥CD，BM ⊥CD，AB＝4，

AM ＝2 3＝BM

∴cosθ ＝ 12 12 16 2 2 3 2 3× ×

＋ － ＝1 3

例題 例題 例題 例題 6

右圖是底部為正方形，側面為正三角形且每邊長為 2 的方錐，

若兩相鄰側面之夾角為 θ，則 cosθ＝ 。（10 分）

解解

解解：：：：取OB中點 H，連接AH，CH

∴AH⊥OB，CH ⊥OB

AH＝ 3＝CH ，AC＝2 2

cosθ＝cos∠AHC＝

( ) ( ) ( )

2× 3× 3

＋ －

＝ 2 6

－ ＝ 1 3

－

例題 例題 例題 例題 7

右圖中 ABCD 為正四面體，M 為CD的中點，試問下列哪些敘述是正確 的？（10 分）

(A)直線 CD 與平面 ABM 垂直 (B)向量 ABuuuv

與向量CDuuuv 垂直 (C)∠AMB＞∠ADB

(D)平面 ACD 與平面 BCD 的兩面角（銳角）大於 60°

(E) BA ＝ BM 解

解 解

解：：：：(A)○：CD⊥AM ，CD⊥BM ∴CD⊥平面 ABM

(B)○：承(A) ∵CD⊥平面 ABM，又AB∈平面 ABM ∴uuuvAB

⊥CDuuuv

(C)○：設平面 ACD 與平面 BCD 的兩面角為 θ，且正四面體的邊長為 2a 則 cosθ＝

2 2 2

3 3 4

2 3 3

a a a a a

× ×

＋ －

＝1 3 又∠ADB＝60°

∴cosθ＜cos60°
∠AMB＞∠ADB (D)○：承(C) ∴θ＞60°

(E)×：BA＝CD，BM ＝ 3

2 CD ∴BA＞BM 故選(A)(B)(C)(D)

重點四 三垂線定理 例題

例題 例題 例題 8

如右圖，若OA⊥平面 E， AB ⊥BC， 已知AC＝10，BC＝6，OC＝2 34 ，

試求 AB ＝ ，OA＝ ，OB＝ 。（12 分）

解 解 解

解：：：：由三垂線定理知：OB⊥BC

∴△OBC 為直角三角形

AB＝ AC²－BC² ＝ 100 36－ ＝8

OA＝ OC²－AC² ＝ 136 100－ ＝6

OB＝ OC²－BC² ＝ 136 36－ ＝10

例題 例題 例題 例題 9

四面體 A－BCD，若 AD ⊥平面 BCD 且BC⊥ BD 。已知BC＝12， AD ＝3， BD ＝4，試求：

(1) AC的長度為 。（7 分）

(2) 設∠BAC＝θ，求 sinθ＝ 。（5 分）

解 解 解

解：：：：(1) ∵AD⊥BD，BC⊥BD，利用三垂線定理得AB⊥BC

∴△ABC 為直角三角形

∴AC＝ AB²＋BC² ＝ AD²＋BD²＋BC² ＝ 3²＋ ＋4² 12² ＝13 (2) sinθ＝ BC

AC ＝12 13

例題 例題 例題 例題 10

如右圖，平面 E 與平面 F 交於一直線 L，且 E⊥F，點 P、Q 分別在 E、

F 上，且 P、Q 在 L 之正射影各為 R、S，已知 PR ＝3，RS＝4，QS

＝12，試求 PQ ＝ 。（10 分）

解 解 解

解：：：：如右圖，由三垂線定理知：PS⊥SQ 則∠PSQ＝90°

PS＝ 3²＋4² ＝5 PQ＝ 5²＋12² ＝13