相似三角形的對應關係與作圖 相似三角形的對應關係與作圖

相似三角形的對應關係與作圖 相似三角形的對應關係與作圖

自我評量

利用相似三角形作簡易測量

利用相似三角形作簡易測量

在上一節中，我們用 AAA 、 AA

、 SAS 、 SSS 等性質來判別兩個三角形是

否相似。以下則進一步探討，兩相似三角

形的對應邊與對應高、對應角平分線、對

應中線之間的關係，及對應邊與面積的關

係。

1 相似三角形對應邊的比＝對應高的比 如圖，△ ABC∼△A'B'C' ，且

於 D 點，

於 D 點，試說明

：

＝ ： 。

BC AD 

' ' '

' D B C

A  BC C B ' ' AD D A ' '

搭配習作 P13 基礎題 1

'

說明 說明 (1)∵△ABC∼△A'B'C' ，

∴∠B ＝∠ B' ， ： ＝

： ----

(2) ∵ 且 ， ∴∠ADB ＝∠ A'D'B' ＝ 90°

故△ ABD∼△A'B'D' （ AA 相似）

： ＝ ： --- 

(3) 由式、式知：

： ＝ ：

AB B A ' ' BC C B ' ' BC

AD  A ' D '  B ' C '

AB B A ' ' AD D A ' '

BC C B ' ' AD D A ' '

1. 如圖，△ ABC∼△A'B'C' ， 平分∠ B AC ，交

於 T 點， 平分∠ B'A'C' ， 交 於 T'

點，試說明：

(1)△ABT∼△A'B'T ' 。

(2) ： ＝ ： 。 AT

BC T A ' ' C B ' '

AT T A ' ' AB B A ' '

∵△ABC∼△B'D'C'

∴∠B ＝∠ B' ，∠ A ＝∠ A' ，

故∠ BAT ＝ ∠ A ＝ ∠ A' ＝

∠ B'A'T '

則△ ABT∼△A'B'T ' （ AA 相似）

： ＝ ： AT T A ' ' AB B A ' '

1 2

2 1

2. 如圖，△ ABC∼△A'B'C' ， 為 中線，

為 中線，試說明：

(1) △ABM∼△A'B'M' 。

(2) ： ＝ ： 。

AM BC M A ' ' '

' C B

AM M A ' ' AB B A ' '

∵△ABC∼△A'B'C'

∴∠B ＝∠ B' ，

： ＝ ： 又 ： 為中線

∴ ： ＝ ： 故△ ABM∼△A'B'M' （ SAS 相 似）

： ＝

：

AB B A ' ' BC C B ' ' AM M A ' '

AB B A ' ' BM M B ' '

AM M A ' ' AB B A ' '

由例題 1 與隨堂練習可得：

兩個相似三角形，

對應邊的比＝對應高的比＝對應角平分線的

比＝對應中線的比。

2

如圖，△ ABC∼△A'B'C' ， ， ，

試說明△ ABC ：△ A'B'C' ＝ ：

。

BC

AD  A ' D '  B ' C ' BC

B ' C '

搭配習作 P13 基礎題 1

說明 說明

1 2 1 2

' '

' B'C' BC A'D' AD A'D'

B'C'

AD BC

C B A ABC

‧ ‧

‧

‧ 

  

B'C' BC B'C' BC

A'D' AD

B'C' BC ‧  ‧



（對應高的比等於對應邊的比）

2 2

B'C' BC



∴△ABC ：△ A'B'C' ＝ ： BC

B ' C '

由例題 2 可知：△ ABC ：△ A'B'C' ＝ ： 。

同理可得△ ABC ：△ A'B'C' ＝ ：

；

△ABC ：△ A'B'C' ＝ ：

，

∴△ABC ：△ A'B'C' ＝ ： ＝ ： ＝

： 。

'

' C B AC

C A ' '

AB

B A ' '

AB

B A ' '

BC

B ' C '

AC

C A ' '

兩個相似三角形，面積的比＝對應邊的平方比。

BC

由上可知：

1. 如右圖，平行四邊形 ABCD 中，

＝

，試求△ EMD ：△ CMB 的比值。

AE 3 1 BC

∵ ＝ ，∴ ＝

又 ABCD 為平行四邊形∴ //

故∠ 1 ＝∠ 2 ，∠ 3 ＝∠ 4 ，

則△ EMD∼△CMB （ AA 相似）

△EMD ：△ CMB ＝ ： ＝ ( )

： ＝ 4 ： 9

故比值＝

AD BC ED 3 2 BC

AD BC

ED

BC

3 BC

2 BC

9 4

2. 如右圖，平行四邊形 ABCD 中，若 E 為 中

點， 、 交於 F 點，回答下列 問題：

(1) 試證△ FCE △ADE 。

(2) 試求△ ABF ：△ ADE 的比值。

CD AE BC



(1) 在△ FCE 與△ ADE 中

∵∠1 ＝∠ F ，∠ 2 ＝∠ 3 ，

＝ ，

∴△FCE △ADE （ AAS ）



(2) ∵ // ，∴△ FEC∼△FAB

又 ＝ ＝ ，

∴ ＝ 2

△ABF ：△ ADE ＝△ ABF ：△ F CE

＝ ： ＝ 4 ： 1 故比值＝ 4

EC AB

EC 1 2 DC AB 1 2

AB EC AB

EC

DE EC

我們利用方格紙簡單的製作放大圖

（縮小圖），即可作出相似形。但沒有方格紙

的情形下，該如何做出簡單的相似形呢？

3 相似三角形的尺規作圖

如右圖，已知△ ABC 及其內部一點 O ，回 答下列問題：

(1) 用尺規依下面作法完成作圖。

作法作法

 連接 ，並在 上取一點 P ，使

＝ 2 。

 連接 ，並在 上取一點 Q ，使

＝ 2 。

 連接 ，並在 上取一點 R ，使

＝ 2 。

 連接 、 、 ，得△ PQR 。

OA OA OP OA

OB OB OQ OB

OC OC OR OC

QR

PQ RP

(2) 試證△ ABC∼△PQR 。

搭配習作 P14 基礎題 2

作圖 作圖

說明 說明 ∵∠AOB ＝∠ POQ ， ： ＝ ：

＝ 1 ： 2 ，

∴△OAB∼△OPQ(SAS 相似 ) ，

OA OP OB OQ

OQ OB OP OA

PQ AB  

同理，△ OBC∼△OQR ， ，

△OAC∼△OPR ， 。

QR BC PR AC

OP OA OC  OR



OC OR OQ OB 



由上可知：

， ∴△ ABC∼

△PQR(SSS 相似 ) PQ AB 

QR BC AC PR

＝

如下圖，已知△ ABC 及其外部一點 O ，回答下 列問題：

(1) 用尺規依下面作法完成作圖。

作法 作法

 連接 ，並在 上取一點 P ，使

＝ 2 。

 連接 ，並在 上取一點 Q ，使

＝ 2 。

 連接 ，並在 上取一點 R ，使

＝ 2 。

 連接 、 、 ，得△ PQR 。

AO AO PO AO

BO BO QO BO

CO CO RO CO

QR

PQ RP

(2) 若△ ABC 的面積＝ 17 ，試 求△ PQR 的面積。

∵△ABC ：△ PQR

_{＝ 1}

_{： 2}

_{＝ 1 ： 4}

∴△PQR ＝ 17 × 4 ＝ 68

4 測量湖寬

如右圖，湖邊有 A 、 B 兩點，志 明想知道它們之間的距離。首先 他在湖邊的空地找另一點 C ，並 測得

＝ 75 公尺， ＝ 2 5 公尺，

＝ 90 公尺， ＝ 30 公尺， ＝ 28 公尺，試求 A 、 B 兩點的距離。

AC MC

BC NC MN

搭配習作 P15 基礎題 3

解解

在△ ABC 與△ MNC 中，

∵ ： ＝ ：

＝ 3 ： 1 ，

且∠ ACB ＝∠ MCN ，

∴△ABC∼△MNC （ SAS 相似），

： ＝ ： ： 28 ＝ 3 ： 1

＝ 28 ． 3 ＝ 84

故 A 、 B 兩點的距離為 84 公尺。

AC MC BC NC

MN

AB AC MC AB

AB

如右圖，宜君想知道湖邊 A 點 到湖中小島 B 點的距離，她在 湖邊找了一點 C ，並測得 ＝ 24 公尺， ＝ 8 公尺

， ＝ 6 公尺，

// ，試求 A 、 B 兩點的距離

。

AC

MC MN

MN AB

∵ //

∴ ： ＝ ： 8 ： 24 ＝ 6 ：

＝ 18 （公 尺）

MN AB

MC AC MN AB AB

AB

5 測量樹高

如右圖，心怡想要測 量樹高 ，她在樹 前 7.5 公尺的 C 點立了 一根 1 公尺長的標竿 ，且 的延 長線與 的延長

線交於 E 點，又測得 ＝ 9 公尺，試求

樹高 。 AB

CD

AD BC

BE

AB

解解

∵ 與 皆垂直於 ，

∴ // 。

： ＝ ：

： 1 ＝ 9 ：（ 9 － 7.5 ）＝ 9 ： 1.5

_{＝ 6}

故樹高 ＝ 6 公尺。

CD AB CD AB

AB CD BE CE AB

AB

AB

BC

如圖，志豪想要測量樹高 ，他在樹前 5 公尺的 D 點豎立了一根長 1.8 公尺的木棍，

並從木棍後方 2 公尺的觀測點 E ，觀察到木棍 的頂端與樹梢成一直線，已知 E 點至地面的高 度 為 1 公尺，試求樹高 。

AB

EF

AB

∵ //

∴ ： ＝ ：

2 ：（ 2 ＋ 5 ）＝（ 1.8 － 1 ）：

＝ 2.8

故 ＝ 2.8 ＋ 1

＝ 3.8 （公尺）

CG AH

EG EH CG AH

AH AH

AB

1. 兩個相似三角形之間的關係：

兩個相似三角形中，

(1) 對應邊的比＝對應高的比＝對應角平分線的比

＝對應中線的比。如圖 1-24 ，△ ABC∼△A'B'C'

，

、 分別為△ ABC 、△ A'B'C' 的 高，

、 分別為△ ABC 、△ A'B'C' 的 角平分線，

、 分別為△ ABC 、△ A'B'C' 的中線，

則 ： ＝ ： ＝

： ＝ ： 。 AD A ' D '

AE A ' E '

AF A ' F '

AF A ' F '

AE A ' E '

AD A ' D '

AB A ' B '

圖 1-24

(2) 面積的比＝對應邊的平方比。

如圖 1-25 ，△ ABC∼△A'B'C' ，

則△ ABC 面積：△ A'B'C' 面積＝

：

。

AB A ' B '

圖 1-25

2. 現實生活中，無法直接求得的距離或長度，

常利用相似三角形作簡易測量。

1-3 自我評量

1. 如圖，△ ABC∼△DEF ，已知△ ABC 的周長 為 20 ，△ DEF 的周長為 60 ，則：

(1) ： ＝ ______ ： _______

(2) （ ＋ ）：（ ＋ ） ＝ _______ ： _______

(3) △ABC 的面積：△ DEF 的面積 ＝ _______ ： _______

AB DE

AB AC DE DF

1 3

1 3

1 9

2. 如右圖，△ ABC 中， D 、 E 分別為 、 的中點，若△ ABC 的面積為 16 平方公分，

試求△ ADE 的面積。

AB AC

∵D 、 E 分別為 AB 、 AC 的中點

∴ // ， ＝ 且△ ADE∼△ABC

故△ ADE ：△ ABC

＝

：

＝（ ）

：

_＝ ： 1

∴△ADE ＝ △ ABC ＝ 4 （平方 公分）

DE BC DE 1 2

BC

DE BC

2 1 BC BC 1 4

1 4

3. 如下圖，請在 、 、 _{上取 A'}

、 B' 、 C'

，使△ A'B'C'∼△ABC ，且 ＝ 2 。

（只要作圖，不必寫出作法）

OA OB OC '

' B

A AB

7. 如圖，忠明在地上放了一面鏡子（ C 點），透 過鏡子的反射，他可以看見樹梢（即∠ 1 ＝∠

2 ）。已知忠明與鏡子的距離 ＝ 1.2 公尺

，鏡子與樹的距離 ＝ 6 公尺，且忠明眼 睛（ E 點）離地面的高度 ＝ 150 公分，試 求樹高 。

CD BC

DE AB

∵∠EDC ＝ 90° ＝∠ ABC ，∠ 1 ＝∠

2 ，

∴△EDC∼△ABC （ AA 相似）

： ＝ ： 120 ： 600 ＝ 150 ：

＝ 750 （公分）

DC BC DE AB

AB

AB

推理的妙用

相傳兩千六百多年前，

法老王阿美西斯（ Amasis ） 很想知道金字塔（如圖 1-19 ）

確實的高度。於是命令祭司們去丈量，但是祭 司們卻束手無策，國王只好以巨額懸賞徵求能 人高手前來揭開這個難題。

圖 1-26

這時希臘數學家泰勒斯（ Thales of Miletus ， 西元前六、七世紀）正好看到了國王的告示，

便燃起挑戰的壯志。他試了幾種方法，還是行

不通；然而他並不氣餒。有一天，他走在路上

苦思對策，炙熱的太陽照著他孤獨的身體，正

當他低下頭時，注意到影子一直跟著自己，而

且影子隨著太陽升起愈來愈短，終於觸動了他

的靈感，喃喃自語：「在一天之中，一定有一

個

時間，身高與影子的長度相等，這時候金字塔 的高度與它的影子也會相等。」泰勒斯終於利 用推理的方法解決了金字塔高度的問題。

泰勒斯如何解決這個問題呢？如圖 1 -27 ，藍線表示太陽光線，人與金字塔分別垂 直於地面，因為可視太陽光線為平行，所以△

ABC∼△DEF （ AA 相似），

因此當人的身高與影子的長度相等時（

＝ ），由 ： ＝ ： 可知 ＝

，即金字塔的高度與金字塔的影子長度相等。

BC

AB

AB DE BC EF DE EF

圖 1-27