幾何圖形

日常生活中常見的圖形，這些圖形在數學上有什麼重要的性質呢？

在本章中，我們將從點、線、角等幾 何元素開始，發展尺規作圖的能力，藉此踏 入「幾何」的殿堂，一窺「幾何」的奧秘。

幾何圖形

2-1 平面圖形

• 生活中的幾何圖形

• 點、線、角

• 三角形 • 四邊形

• 圓與扇形

2-2 立體圖形

• 長方體與正方體

• 角柱 • 角錐

• 圓柱與圓錐

• 複合圖形

2-3 垂直、平分與尺規作圖

• 線對稱

• 尺規作圖的意義

• 垂直平分線

• 角平分線

• 垂線

上面是一些在生活中常見的圖形。國小時，我們已經認識了一些圖形，

如三角形、四邊形、圓，也知道一些比較特殊的圖形，如直角三角形、鈍角三 角形、銳角三角形、正方形、長方形、平行四邊形、梯形等，這些都是「平面 的幾何圖形」。

「幾何」一詞在我國古代原為「多少」之意，而 Geometry 的原意 為「測量大地之學」。 明朝時（西元 1607 年）利瑪竇、徐光啟翻譯古希 臘時期歐幾里德（Euclid of Alexandria，西元前 325-西元前 265）的經典名 著 《原本》（Elements），因為書籍內容大多為討論圖形相關內容，所以 將書名加上「幾何」二字，成為「幾何原本」。由於「幾何」一詞能同時 兼顧 Geo 的音與義，從此「幾何」一詞就成為探討圖形性質這門學科的名 稱。

數學萬花筒

×÷

－

2 ^{1 平面圖形}

生活中的幾何圖形

1

頂點和邊是幾何圖形最基本的元素。「點」是幾何中最基本的圖形，我 們用「點」來表示位置，而不考慮它的大小。

習慣上我們用英文字母 A、B、C、P、Q、… …等來代表點，如圖 2-1。

圖 2-1 B

A

P

圖 2-2 線段 AB（AB）

A

B

L

如果 A、B 是直線 L 上的相異兩點，直線 L 在 A、B 兩點間的部分，記為 AB 或線段 AB（也可以記為 BA 或線段 BA ），如圖 2-2，其中 A、B 兩點是 AB 的端點。

我們也可以用 AB 表示線段 AB 的長度。例如，若 AB 的長度為 4 公分，

則可記為 AB ＝4 公分。AB 比 CD 長，我們可記為 AB ＞ CD。反之，AB 比 CD 短，則記為 AB ＜ CD。

點、線、角

2

平面上相異兩個點，可以用直尺畫出一直線通過這兩個點，事實上，通過 相異兩點的直線僅有一條。也就是說，平面上相異兩點恰可決定一直線。

我們可以用英文字母如 L、M、… …來代表直線；有時平面上有多條直 線，為了容易區分，也會用 L 、L 、… …來代表直線。

如果已經知道 A、B 是直線上的兩個點，可以將該直線記為 AB 或 直線 AB

（也可以記為 BA 或直線 BA ），如圖2-2。

在平面幾何中，直線是沒有寬窄，而且可以無限延長的。

對應能力指標 8-s-02

射線 BA（BA）

A A A

B B

B

圖 2-3

直線 AB（AB） 射線 AB（AB）

以固定的一點 A 為端點，通過 B 點並無限延長的線，稱為射線 AB，可記 為 AB。但 AB 與 BA 代表不同的射線，如圖 2-3。

如果一個角的度數大於 0° 且小於 90° ，稱為銳角；

大於 90°，小於 180°稱為鈍角；等於 90° 稱為直角。

一個平角為 180°，一個周角為 360°。

圖 2-4 A

C

B A

B

C D

E

當我們畫 AB 時，是以線段連接 A、B 兩點而成；而 AB 的畫法，則是 將 AB 的兩端再延長一些。同學們可仔細觀察圖 2-2 及圖 2-3 中 AB、AB、BA 及 AB 的畫法，看看有何不同。

如右圖，已知平面上 A、B、C、D、E 五點，

請畫出 AB、BC、DE、BD。

有共同端點的兩射線可形成一個角。

如圖 2-4，AB 與 AC 所形成的角，通常 以頂點 A 來記錄，可以記為∠A，也可以記 為∠BAC 或∠CAB。

我們也用∠A 來表示該角的度數。

例如，若∠A 的度數為 53°，則可記為

∠A＝53°。

A

B

C D

E

1

例

∠B 與∠A 互補，即∠A＋∠B＝180°。 ∠B＝180°－∠A＝180°－125°＝55°

已知∠A＝125°，且∠B 與∠A 互補，求∠B。

1若∠A 與∠B 互補，∠B 與∠C 互餘，且∠A＝127°，求∠C。

2 若∠A 與∠B 互補，∠B 與∠C 互補，且∠A＝100°，求∠C。

∠A、∠B 是兩個已知角，

若∠A 的度數比∠B 大，記為∠A＞∠B；

若∠A 的度數比∠B 小，記為∠A＜∠B；

若∠A 與∠B 的度數相等，記為∠A＝∠B。

若∠A＋∠B＝180°，則我們稱∠A 和∠B 互為補角，或稱∠A 和∠B 互補。

若∠A＋∠B＝90°，則我們稱∠A 和∠B 互為餘角，或稱∠A 和∠B 互餘。

如圖 2-5，A、C、B 三點在一直線上（三點共線），∠ACD 和∠BCD 形成一 個平角，所以∠ACD 和∠BCD 互補。

而如圖 2-6，AB 垂直 BC ，所以∠ABD 和∠CBD 互餘。

圖 2-5 圖 2-6

A C B

D

B C

D A

∠B＝180°－∠A＝180°－100°＝80°

∠C＝180°－∠B＝180°－80°＝100°

∠B＝180°－∠A＝180°－127°＝53°

∠C＝90°－∠B＝90°－53°＝37°

如圖 2-7，直線 L 與直線 M 相交於一點，

形成四個角，此時我們可以在角的內部靠近頂 點的地方，寫上數字來命名。例如，圖 2-7 中 有∠1、∠2、∠3、∠4 四個角。

M

L

1 2 4

3

兩直線相交時產生的四個角，其中不相鄰的兩個角，稱為一組對頂角；相 鄰的兩個角稱為鄰角。在圖 2-7 中，∠1 和∠3 為一組對頂角，∠2 和∠4 則是 另一組對頂角。其中，

因為

所以∠1＋∠2＝∠2＋∠3 ∠1＝∠3

同理，∠2＝∠4。

　　也就是說，

∠1＋∠2＝180°

∠2＋∠3＝180°

兩直線相交，對頂角相等，鄰角互補。

∠2＝∠4＝180°－∠1＝180°－47°＝133°

∠3＝∠1＝47°

如右圖，AB、 CD 交於一點，且∠1＝47°，

求∠2、∠3、∠4 的度數。

A B

C

D

2 4

3 1

2

例

圖 2-7

配合習作基礎題 1

用線段連接不在同一直線上的三個點 A、B、C，可以作出一個三角形，記 為△ABC，如圖 2-8。其中 A、B、C 三點稱為△ABC 的頂點，AB、BC、CA 稱 為△ABC 的邊，∠A、∠B、∠C 稱為△ABC 的內角。

除了一般三角形外，我們還曾經學過一些特殊三角形。例如，直角三角 形、鈍角三角形、銳角三角形、等腰三角形與正三角形。以下我們將說明這些 三角形。

直角三角形： 有一內角為直角的三角形。如圖 2-9，△ABC 中，∠B＝90°， 直角的對邊 AC 稱為斜邊，AB、BC 稱為股。

鈍角三角形： 有一內角為鈍角的三角形。如圖 2-10，∠A＞90°，所以△ABC 為 鈍角三角形。

銳角三角形： 三個內角都是銳角的三角形，如圖 2-8。

圖 2-10 鈍角三角形

A

B C

圖 2-9 直角三角形 A

B C

斜邊

直角 股

股

3

圖 2-8 A

B C

對應能力指標 8-s-11、8-s-28

等腰三角形： 有兩邊等長的三角形。如圖 2-11，△ABC 中，若 AB ＝ AC，則 AB 、AC 稱為腰，BC 稱為底邊，∠B、∠C 稱為底角，∠A 稱為 頂角。

正三角形： 三邊長均相等的三角形，也稱為等邊三角形。如圖 2-12，△ABC 中，若 AB ＝ AC ＝ BC ，則△ABC 為正三角形。正三角形的三內 角相等，∠A＝∠B＝∠C＝60°。正三角形是等腰三角形的一種，

但等腰三角形不一定是正三角形。

圖 2-11 圖 2-12

等腰三角形 正三角形

腰 腰

頂 角

底角 底角

底邊

A A

B C B C

若已知三角形有一個角是銳角，是否可確定此三角形為銳角三角形？

動動腦

正如太陽的光芒使繁星失色，學者提出代數問題而使滿座高朋遜色；若他 能給予解答，則更使同儕相形見絀。

—— 婆羅門笈多（Brahmagupta，598-670）

數學小語錄

必須三個角都是銳角，才可確定一個三角形是否為銳角三角形。

一個四邊形有四個頂點、四個邊和四個角。如圖 2-13，連接頂點 A、C 得 AC，連接頂點 B、D 得 BD，在四邊形 ABCD 中，可以連接出兩條對角線 AC、BD。

日常生活中，我們也常見到一些特殊的四邊形。例如平行四邊形、長方 形、菱形、正方形、梯形及箏形等。

平行四邊形： 有兩組對邊平行的四邊形。如圖 2-14，平行四邊形 ABCD 中，

AD 平行 BC，AB平行 CD。有關平行四邊形的性質，我們將在 第 4 章詳細討論。

長方形： 四個角都是直角的四邊形，也稱為矩形。如圖 2-15，長方形 ABCD 對 邊等長，即 AB ＝ CD，AD ＝ BC。

圖 2-13 A

D

B C

圖 2-14 圖 2-15

平行四邊形 長方形

A D

B C

A

B C

D

4

菱形：四邊等長的四邊形，如圖 2-16。

正方形： 四邊等長且四個角都是直角的四邊形，如圖 2-17。正方形是長方形的 一種，也是菱形的一種。但菱形及長方形都不一定是正方形。

圖 2-16 圖 2-17

菱形 正方形

A C

B

D

A D

B C

箏形： 有兩組鄰邊分別等長的四邊形，也稱為鳶形。如圖 2-19，四邊形 ABCD 中， AB ＝ AD ， BC ＝ CD，我們就稱 ABCD 為箏形。

圖 2-18 圖 2-19

梯形 箏形

A D

B C

A C

B

下底 D 上底

腰 腰

1由上頁的說明，請問長方形可以算是平行四邊形的一種嗎？

2由上面的說明，請問正方形可以算是平行四邊形的一種嗎？

動動腦

梯形： 只有一組對邊平行的四邊形。平行的兩邊分別稱為上底及下底，不平行 的兩邊稱為腰。如圖 2-18，四邊形 ABCD 中，AD 平行 BC，AD、BC 稱 為上底及下底，AB、CD 稱為腰。當一個梯形的兩腰相等時，我們稱它 為等腰梯形。

是 是

正五邊形

圖 2-20

圖 2-21

正六邊形 正七邊形

除了四邊形之外，還有五邊形、六邊形等多邊形。如果一個多邊形的各邊 長均相等且每一內角也相等，這樣的多邊形稱為正多邊形。例如，正五邊形、

正六邊形、正七邊形等，如圖 2-20。

如果一個多邊形的對角線都在圖形內部，這 樣的多邊形稱為凸多邊形；如果一個多邊形有任意 一條對角線（或對角線的一部分）在圖形外面，這 樣的多邊形稱為凹多邊形，如圖 2-21。

在本教材中，如果沒有特別說明時，我們討論的多邊形都是指凸多邊形。

A 頂點

E B

邊 內角

B E

A

A F

C D

B E

G F

C D

C D

在大多數的科學，新的世代要推倒舊世代所修築的東西；一個人所樹立 的，要由另一個人加以摧毀。只有數學，每一代都在舊建築上增添一層 樓。

—— 漢克（Hermann Hankel，1839-1873）

數學小語錄

在日常生活中，我們常見到許多圓形的物品。

例如，硬幣、時鐘等。

國小時，我們已經學會用圓規畫圓。你看過 木工師傅如何不用圓規畫圓嗎？我們可以將一條 繩子的一端固定在一點上，另一端綁上鉛筆，將 繩子拉緊後繞固定點（圓心）旋轉一圈，就可以畫 出一個圓。

在平面上和一個定點等距離的所有點所形成 的圖形就是圓，這個定點稱為圓心，圓心到圓上 任一點的距離稱為半徑。如果圓心為點O，我們就 稱此圓為圓 O。

圖 2-22 圓心 半徑

連接圓上任意兩點所成的線段稱為弦。如圖 2-23，AB 即為圓 O 的弦。如 果一弦通過圓心，此弦就是直徑。任意一條直徑將圓分成相等的兩部分，稱為 半圓。

一弦將圓周分成兩部分，兩部分都稱為弧。小於半圓的弧稱為劣弧，大於 半圓的弧稱為優弧。圖 2-24 中，弦 AB 將圓周分為兩個弧，這兩個弧有相同的 端點，都可記為 AB。但為了加以區別，通常我們將其中的劣弧以 AB 表示，

而優弧則在其上多取一點 C，以 ACB 表示。在本教材中，如果沒有特別指明 時，AB 都是指劣弧。

5

圖 2-23 A

F

O B

E 弦

直徑

圖 2-24 A

B

O C

弦 劣弧 AB

優弧 ACB

對應能力指標 8-s-03、8-s-29、8-s-30、

8-s-31、8-s-32

試說明半徑是不是圓的一弦？直徑是不是圓的一弦？

在國小時，我們曾經學過圓的面積是「半徑×半徑×3.14」，事實上 3.14 是圓周率的近似值。在國中階段，我們不再用 3.14 代表圓周率，習慣上用希臘 字母「π」（讀作 pai）來表示。也就是說，如果一圓的半徑為 r，則此圓的面 積為 r•r•π＝πr²，此圓的周長為 2•r•π＝2πr。

圓上一弦與其所對的弧所圍成的圖形稱為弓形，如圖 2-25。

圓的兩半徑及一弧所圍成的圖形稱為扇形，如圖 2-26。

扇形中，兩半徑的夾角稱為圓心角。圖 2-26 中，∠AOB 、∠COD 都是 圓心角。若圓心角為 θ（讀作 theta）度，則 0＜θ＜360。

圖 2-25 圖 2-26

弓形

弓形

扇形

扇形 A O

B

D

C

弦 AB 與 AB 有相同的端點，我們說弦 AB 所對的弧為 AB，而 AB 所對的 弦為 AB。

半徑有一端點不在圓周上（在圓心），所以半徑不是弦。

直徑是一圓中最長的弦。

圖 2-27 A O

r B

那麼扇形的面積該如何計算呢？我們知道一個 周角是 360°，如果將一周角分成 360 等分，則圓心 角 1° 的扇形面積為 πr²• 1

360 ，此扇形所對的弧 長為 2πr• 1

360 。

如果一個扇形的圓心角是 θ 度，則此扇形的面 積就是πr²• θ

360，其所對的弧長為 2πr• θ 360。

如右圖，扇形 AOB 中，OA ＝6 公分，∠AOB＝60°， 求此扇形的周長及面積。

O

A B

60°

3

例

扇形周長＝弧長＋兩半徑長 ＝2•π•6• 60

360 ＋26 ＝2π＋12（公分）

扇形面積＝π•6²• 60 360

＝6π（平方公分）

求右圖扇形的周長及面積。

120°

10公分

θ

周長＝ 2•π•10• 120

360 ＋10×2 ＝ 20

3 π＋20 （公分）

面積＝ π•10²• 120 360 ＝ 100

3 π（平方公分）

配合習作基礎題 3

如右圖，正方形 ABCD 的邊長為 10 公分，且 ABC 為一扇形，求紅色區域的面積與周長。

10公分

A D

B C

4

例

如右圖，正方形 ABCD 的邊長為 8 公分，四個 角落各有一半徑為 4 公分的扇形，求綠色區域 的面積及周長。

A D

B C

8公分

正方形 ABCD 的面積＝10×10＝100（平方公分）

扇形 ABC 的面積＝π•10²• 90

360 ＝25π（平方公分）

紅色區域的面積＝100－25π（平方公分）

紅色區域的周長＝ AD ＋ DC ＋AC

＝10＋10＋2•π•10• 90 360 ＝20＋5π（公分）

綠色區域面積＝正方形面積－四個扇形面積

＝8²－（π•4²• 1 4 ^）×4 ＝64－16π（平方公分）

綠色區域周長＝（2•π•4• 1 4 ^）×4 ＝ 8π（公分）

配合習作基礎題 4

!互補：若∠A＋∠B＝180°，則稱∠A 和∠B 互補。

互餘：若∠A＋∠B＝90°，則稱∠A 和∠B 互餘。

@直角三角形：有一內角為直角的三角形。

鈍角三角形：有一內角為鈍角的三角形。

銳角三角形：三個內角都是銳角的三角形。

等腰三角形：有兩邊等長的三角形。

正三角形：三邊長均相等的三角形。

#平行四邊形：有兩組對邊平行的四邊形。

長方形：四個角都是直角的四邊形。

菱形：四邊等長的四邊形。

正方形：四邊等長且四個角都是直角的四邊形。

梯形：只有一組對邊平行的四邊形。

箏形：有兩組鄰邊分別等長的四邊形。

$扇形面積與周長：圓心角 θ 度，半徑為 r 的扇形面積為πr²• ， 周長為 2πr• ＋2r。

重點回顧

θ θ 360

360

1 ∠A 的補角和 ∠B 的餘角度數相同，已知∠A＝108°，求∠B。

2 如右圖，A、B、C 三點在同一直線上，D、B、E 三 點也在同一直線上，且∠ADC 和 ∠ECD 都是直角，

∠DBC 為鈍角，以 A、B、C、D、E 五點為頂點，所 構成的三角形中，哪些是直角三角形？哪些是鈍角三 角形？哪些是銳角三角形？

自 我 評 量 2-1

A

D C

E

B

180°－∠A＝90°－∠B 180°－108°＝90°－∠B 72°＝90°－∠B

∠B＝18°

△ADC、△ECD 為直角三角形，

△BDC 為鈍角三角形，

△ABD、△EBC 為銳角三角形。

3 如右圖，求著色部分弓形的面積。

邏輯是不可戰勝的，因為要反對邏輯必須使用邏輯。

—— 布特魯 （Pierre L′eon Boutroux，1880-1922）

數學小語錄

4 如右圖，ABCD 為正方形，邊長 AB ＝8 公分，且 藍色區域為兩扇形重疊的部分，試計算藍色區域的 面積與周長。

A D

B C

A

B C

6

6

藍色區域面積＝扇形 ABC 面積＋扇形 ADC 面積－正方形 ABCD 面積 ＝π•8²• 1

4 ＋π•8²• 1 4 －8² ＝32π－64（平方公分）

藍色區域周長＝（2•π•8）× 1 4 × 2 ＝8π（公分）

著色部分的面積＝扇形 ABC 面積－三角形 ABC 面積

＝ 14 ×π×6²－ 1

2 ×6×6

＝9π－18