平方根解法 平方根解法
自我評量
配方法解一元二次方程式 配方法解一元二次方程式
一元二次方程式的公式解
一元二次方程式的公式解
在 4-1 節我們學過利用因式分解來解 一元二次方程式，但對於 x
2－ 7 ＝ 0 或 x
2＋ 6x
＋ 4 ＝ 0 這類方程式，用因式分解法解題似乎發 生了困難。接下來，我們要學習解一元二次方 程式的另一種方法。首先，我們來觀察方程式 x
2
－ 7 ＝ 0 ，如果整理成 x
2＝ 7 的形式，根據平
方根的概念，就可得到 x ＝ 。 7
1
運用平方根求解 解下列一元二次方程式：
(1) x
2＝ 9 (2) （ x － 5 ）
2＝ 9 (3) x
2＝－ 9
解 解 (1) 因為 x
2＝ 9 ，由平方根的概念可 得
x ＝ ＝ ±3 。
方程式 x
2＝ 9 的解為 3 與－ 3
。
9
配合習作 P46 基礎題 1
解 解 (2) 將 ( x － 5 )
2＝ 9 看成 A
2＝ 9 ，其中 A 代 表 x － 5 。
由平方根的概念可得 A ＝ ±3 ， 也就是說 x － 5 ＝ ±3 。
由 x － 5 ＝ 3 ，得 x ＝ 8 。 由 x － 5 ＝－ 3 ，得 x ＝ 2 。
方程式（ x － 5 ） 2 ＝ 9 的解為 8 與 2
。
(3) 因為負數沒有平方根，所以方程式 x
2＝－ 9 沒有解。
可寫成：
x － 5 ＝ ±3 x ＝ 5±3
x ＝ 8 或 x ＝ 2
解下列一元二次方程式：
(1) x
2＝ 25
x ＝ ＝ ±5
25
(2) （ 2x － 5 ）
2＝ 49
2x － 5 ＝ ±7x ＝ 6 或 x ＝－
(3) x
2＋ 4 ＝ 0
1 。方程式 x2 ＋ 4 ＝ 0 沒有解。
2
運用平方根求解，並檢驗
解下列一元二次方程式，並將求得的解代回原 方程式檢驗：
(1) （ x － 5 ）
2＝ 7 (2) （ 3x － 1 ）
2
＝ 8
解 解 (1) 將 (x － 5)
2＝ 7 看成 A
2＝ 7 ，其中 A 代表
x － 5 ，所以 A ＝
即 x － 5 ＝
x ＝ 5方程式 (x － 5)
2＝ 7 的解為 5 ＋ 與 5 － 。
7
7 7
7 7
檢驗：〔（ 5 ＋ ）－ 5 〕
2＝（ ）
2＝ 7 ，〔（ 5 － ）－ 5 〕
2＝（－
）
2＝ 7
7 7
7 7
解 解 (2) 8 的平方根為 ，所以 3x － 1 ＝ 3x － 1 ＝
3x ＝ 1 x ＝ （或 ）
方程式 (3x － 1)
2＝ 8 的解為 與
8 8
2
2 2
2 1 2 3 2
1 3 2 3 2
3 2 2
1
3 2 2
1 整理成最簡根式
檢驗：
（ 3 × － 1 ）
2＝（ ）
2＝ 8 ，
（ 3×
－ 1 ）
2＝（－ ）
2＝ 8
3 2 2
1 2 2 1 2 3 2
2
2
解下列各方程式，並將求得的解代回原方程式 檢驗：
(1) （ x ＋ 3 ）
2＝ 5
x ＋ 3 ＝ ± ， x ＝－ 3±
檢驗：〔（－ 3 ＋ ）＋ 3 〕 2 ＝（
） 2 ＝ 5
〔（－ 3 － ）＋ 3 〕 2 ＝
（－ ） 2 ＝ 5
5 5
5 5
5 5
(2) （ 2x － 7 ）
2－ 4 ＝ 8
( 2x － 7 ) 2 ＝ 12 ， x ＝ 檢驗 :
〔 2 ( ＋ ) － 7 〕 2
－ 4 ＝ 8
〔 2 ( － ) － 7 〕 2
－ 4 ＝ 8
2 3 7
2 7 2 7
3
3
由前面的練習可知，形如（ ax ＋ b ）
2＝ c 的一元二次方程式，可利用平方根的概念來 求解。
但方程式 x
2＋ 6x ＋ 4 ＝ 0 無法用因式 分解法來求解，也不是（ ax ＋ b ）
2＝ c 的形 式，該如何求解呢？
在前面的隨堂練習中，
方程式 （ x ＋ 3 ）
2＝ 5 ───
可展開成 x
2＋ 6x ＋ 9 ＝ 5 ───
再整理為 x
2＋ 6x ＋ 4 ＝ 0 ───
式即是我們要求解的方程式，因此若能將
x2＋ 6x ＋ 4 ＝ 0 整理成（ x ＋ 3 ）
2＝ 5 ，就可利 用平方根的概念，求得此方程式的解。
而如何將 x
2＋ 6x ＋ 4 ＝ 0 變成 ( x ＋ 3 )
2＝ 5 呢？
我們試著將∼式逆寫如下來觀察：
x2
＋ 6x ＋ 4 ＝ 0 ───
x2＋ 6x ＋ 9 ＝ 5 ───
（ x ＋ 3 ）
2＝ 5 ───
可發現關鍵在於如何利用和的平方公式，將 x
2＋ 6x 配成完全平方式（ x ＋ 3 ）
2。
因此我們先來學習，如何將一個式子 依照和（或差的平方公式）配成完全平方式。
沒有知識的人總愛議論別人的無知，而知識 豐富的人卻時時發現自己的無知。
— 笛卡兒（ Rene Descartes ， 1596-1650 ）
3
配方
分別將適當的數填入□中，使該式子可以配成一個 完全平方式，並將它寫成完全平方的形式。
(1) x
2＋ 8x ＋□ (2) x
2－ 5x ＋□
(3) x
2－ x ＋□
34
解 解
和的平方公式： a2 ＋ 2‧a‧b ＋ b2 ＝ (a ＋ b)2(1)
x2 ＋
8x ＋
□＝ x
2＋ 2‧x 4 ‧ ＋ □ 所以 b ＝ 4 ， b
2＝ 4
2＝ 16 。
即 x
2＋ 8x ＋
□＝ x
2＋ 2‧x 4 ‧ ＋ □ ＝ (x ＋ 4)
216 42
因 為 x 的 係 數 是 正 數 ， 所 以 對 照 和 的 平 方 公 式
。
配合習作 P46 基礎題 2
解 解
差的平方公式： a2 － 2‧a ‧ b ＋ b2 ＝（ a －b ） 2
(2 )
x2 －
5x ＋□＝ x
2－ 2‧x ‧ ＋□
所以 b ＝ ， b
2＝（ ）
2＝
。
即 x
2－ 5x ＋ ＝ x
2－ 2‧x ‧ ＋
（ ）
2
＝（ x － ）
22 5
2 5
2 5
25 4 25 4
2 5
2 5 2 5
因為 x 的係數是負數，
所以對照差的平方公式。
解 解
差的平方公式： a2 － 2‧a‧b ＋ b2 ＝（ a － b ） 2(3 )
因為 x 的係數是負數，
所以對照差的平方公式。
x2 － x ＋□＝ x2
－ 2‧x ‧ ＋□
所以 b ＝ ， b
2＝（ ）
2＝ 。 即 x
2－ x ＋ ＝ x
2－ 2‧x ‧
＋（ ）
2＝ ( x － )
23 2 3 4
3 2
3 2
9 4 3 4
9 4
3 2
3 2
3 2
在□中填入適當的數，使得下列各式可以配成 完全平方式。
(1) x
2－ 12x ＋□ (2) x
2＋ 9x ＋□
(3) x
2＋ x ＋□
1436
81 4
64 1
觀察例題 3 的結果：
(1) x
2＋ 8x ＋ 4
2＝（ x ＋ 4 ）
2(2) x
2－ 5x ＋（ ）
2＝（ x － ）
2(3) x
2－ x ＋（ ）
2＝（ x － ）
22 5
2 5 3 2
3 2 我們可以得到下列的結論：
x2
＋ mx ＋（ ）
2＝（ x ＋ ）
2 x2－ mx ＋（ ）
2＝（ x － ）
2m
2
m
2
m2
m
2
利用上面的結論，讓我們再來練習下面的問題。
3 4
在空格中填入適當的數，使得下列各式可以 配成完全平方式。
(1) x
2－ 16x ＋ ________ ＝（ x － _____
）
2(2) x
2＋ 7x ＋ _________ ＝（ x ＋ _____
）
2(3) x
2－ x ＋ ________ ＝（ x － _____
）
264 8
49 4
7 2 25 1
5 1
5 2
學會將式子配成完全平方式後，對於 使用因式分解法求解有困難的一元二次方程式
，我們就可以將方程式整理成左邊是一個完全
平方式，右邊是一個常數的形式，再利用平方
根的概念來求解。
4
二次項係數為 1
解下列一元二次方程式：
(1) x
2－ 6x － 3 ＝ 0 (2) x
2＋ 8x ＋ 3
＝ 0
配合習作 P47 基礎題 3(1)
解 解 (1) x
2－ 6x － 3 ＝ 0
x2－ 6x ＝ 3
x2
－ 2‧x 3 ‧ ＋ 3
2＝ 3 ＋ 3
2（ x － 3 ）
2＝ 12
x － 3 ＝ x － 3 ＝ x ＝ 3
所以方程式 x
2－ 6x － 3 ＝ 0 的解為 3 ＋ 與 3 － 。
將常數項移到等號右邊
等號兩邊同加 ( )2
12
3
2
平方根概念 化簡
3
2 3
2 2 3
26
解 解 (2) x
2＋ 8x ＋ 3 ＝ 0 x
2＋ 8x ＝
－ 3
x2
＋ 2‧x 4 ‧ ＋ 4
2＝－ 3 ＋ 4
2（ x ＋ 4 ）
2＝ 13
x ＋ 4 ＝ x ＝－ 4
所以方程式 x
2＋ 8x ＋ 3 ＝ 0 的解為
－ 4 ＋ 與－ 4 －
13 13
3
1 1 3
解下列一元二次方程式：
(1) x
2＋ 4x ＋ 1 ＝ 0 (2) x
2－ 12x ＋ 5
＝ 0
x2 ＋ 4x ＝－ 1（ x ＋ 2 ） 2
＝－ 1 ＋ 22 ＝ 3 x ＋ 2 ＝
x ＝－ 2
3
3
x2 － 12x ＝－ 5
（ x － 6 ） 2
＝－ 5 ＋ 62 ＝ 31 x － 6 ＝
x ＝ 6
31
31
像例題 4 這種先將 x
2－ 6x － 3 ＝ 0 整理成（ x － 3 ）
2＝ 12 ，再利用平方根的 概念來求解的過程，稱為配方法。
在例題 4 中，我們利用配方法求出 x
2
係數為 1 的一元二次方程式的解，但是當一
元二次方程式的 x
2係數不是 1 時，該如何處
理呢？
5
二次項係數不為 1 解下列一元二次方程式：
(1)2x
2＋ 5x ＋ 1 ＝ 0 (2) － x
2＋ 2x
－ ＝ 0 3 1
2 1
配合習作 P47 基礎題 3(2)
解 解 (1) 2x
2＋ 5x ＋ 1 ＝ 0
x2
＋ x ＋ ＝ 0
x2＋ x ＝－
2 5
2 1
同除以 2 ，將 x2 的係數變成 1
2 5
2 1 將常數項移到等號右邊
解解 x2
＋ ＋（ ）
2＝－ ＋ ( )
2（ x ＋ ）
2＝
x ＋ ＝ ± x ＋ ＝ ±
x ＝－ ± （或 ）
方程式 2x
2＋ 5x ＋ 1 ＝ 0 的解為
與 2 5
4 5
4 5 2 1
4 5
16 17
等號兩邊同加
（ ） 2
4 5
17 16
4 5 1 4 7
4 5 4 7
1
5 4 174 17 5
5 4 17
2 2 5
解 解 (2) － x
2＋ 2x － ＝ 0
x2－ 6x ＋ ＝ 0
x2
－ 6x ＝－
x2
－ 6x ＋ 3
2＝－ ＋ 3
2（ x － 3 ）
2＝ x － 3 ＝
±
x － 3 ＝ ± x ＝ 3±
方程式－ x
2＋ 2x － ＝ 0 的解 為
3 ＋ 與 3 － 1 3
2 1
2 3
同乘以－ 3 ，將 x2 的係數變成 12 3
2 3 15 2
15 2 2 30
2 30 1 3
2 1 2 30
2 30
解下列一元二次方程式：
(1) 3x
2－ 6x ＋ 2 ＝ 0
x2 － 2x ＋ ＝ 0 x2 － 2x ＝－（ x － 1 ） 2 ＝－
＋ 12 ＝
x － 1 ＝ ± x ＝ 1±
3 2 3 2
3 2
1 3 3 1
3 3
(2) － x
2－ x
＝ 1 4
4 3
1 3
x2 ＋ 3x ＝－（ x ＋ ） 2 ＝－ ＋（ ）
2 ＝
x ＋ ＝ ± x ＝－ ±
3 4
3 4
2 3 2 3
12 11 2 3
2 3 12 11
6 33
由上面的練習，我們知道若一個一元
二次方程式無法使用因式分解法解題時，我們
可以用配方法來解題。其實，當某個一元二次
方程式用因式分解法不易解題時，我們也可以
使用配方法來解題，例如下面的例題：
解 解
x2－ 2x － 899 ＝ 0 x
2－ 2x ＝ 899
x2－ 2x ＋ 1
2＝ 899 ＋ 1
2（ x － 1 ）
2＝ 900
x － 1 ＝ x －
1 ＝ ±30
x ＝ 1±30 x ＝ 31 或 x ＝－ 2
9
方程式 x
2－ 2x － 899 ＝ 0 的解為 31 與－
29 。
900
6
常數項不易分解
解一元二次方程式 x
2－ 2x － 899 ＝ 0 。
配合習作 P47 基礎題 3(3)
由例題 6 的解，我們可以發現一元二
次方程式 x
2－ 2x － 899 ＝ 0 也可以用十字交
乘法分解成（ x － 31 ）（ x ＋ 29 ）＝ 0 。但
是要將 899 分解成 31×29 實在不容易，此時使
用配方法解題是一個較好的策略。
7
無平方根
解一元二次方程式 x
2－ 2x ＋ 6 ＝ 0 。 解 解
x2－ 2x ＋ 6 ＝ 0
x2
－ 2x ＝－ 6
x2
－ 2x ＋ 1
2＝－ 6 ＋ 1
2（ x － 1 ）
2＝－ 5
因為負數沒有平方根，所以此方程式沒 有解。
配合習作 P47 基礎題 3(4)
解下列一元二次方程式：
(1) x
2＋ 4x － 396 ＝ 0 (2) x
2＋ 25 ＝－ 6
xx2 ＋ 4x ＝ 396x2 ＋ 4x ＋ 22 ＝ 396
＋ 22
（ x ＋ 2 ） 2 ＝ 400 x ＋ 2 ＝ ±20
x ＝ 18 或 x ＝－ 22
x2 ＋ 6x ＝－ 25 x2 ＋ 6x ＋ 32
＝－ 25 ＋ 32
（ x ＋ 3 ） 2 ＝－ 16
因為負數沒有平方根，
所以此方程式沒有解。
8
配方法的應用
若方程式 x
2－ 12x ＋ p ＝ 0 可配方成（ x － 6 ）
2＝ 4 的形式，則 p 的值是多少？
解一 解一
x2－ 12x ＋ p ＝ 0 x
2－ 12x ＝－ p
x2－ 12x ＋ 6
2＝－ p ＋ 6
2（ x － 6 ）
2＝ 36 － p
與（ x － 6 ）
2＝ 4 對照得 36 － p ＝ 4 ，
p ＝ 32 。解二 解二 將（ x － 6 ）
2＝ 4 展開整理為
x2
－ 12x ＋ 36 ＝ 4 x
2－ 12x ＋ 32
＝ 0
與 x
2－ 12x ＋ p ＝ 0 對照得 p ＝ 32 。
若方程式 x
2－ 8x ＋ p ＝ 0 可配方成（ x － 4 ）
2＝ 1 的形式，則 p 的值是多少？
x2 － 8x ＝－ p
x2 － 8x ＋ 42 ＝－ p ＋ 42
（ x － 4 ） 2 ＝－ p ＋ 16
與（ x － 4 ） 2 ＝ 1 對照得 p
＝ 15
在前面學過，當無法（或不易）使 用因式分解法求一元二次方程式的解時，可以 使用配方法求解。其實我們可以使用配方法，
直接解一元二次方程式 ax
2＋ bx ＋ c ＝ 0 （ a
＞ 0 ），而得到一個常用的公式：
解 ax
2＋ bx ＋ c ＝ 0 ， a ＞ 0
x2＋
x ＋＝ 0
x2
＋
x ＝－x2
＋ 2 ． x ．
＋（
）
2＝－
＋（ ） 2
同除以 a ，將 x2 項的係數變成 1 將常數項移到等號右邊
ab ac
ab
ac
ba
2
ba2 ac 2
ba將等號左邊配成完全平方式
2 2
2
2 2
2 2
2 2
) 2
( 4 4
4 4 4 4
4 2 )
(
2a ac a b b
a ac a b
a ac ac bab ac
（ x ＋ ）
ba 2＝
2 ( 2 ) 4
2 2
a ac b
再根據平方根的概念，可知 (1) 當 b
2－ 4ac ＞ 0 時
（ x ＋ ）
2＝
＞ 0x ＋ ＝ x ＝
ba
2 ( 2 ) 4
2 2
a ac b
ba
2 2
24
a ac b
ab ac b
2
2 4
(2) 當 b
2－ 4ac=0 時
（ x ＋ ）
2＝
＝ 0 ( x ＋ ) ( x ＋ ) ＝ 0x ＋ ＝ 0 或 x ＋ ＝ 0 x ＝－ （重根）
(3) 當 b
2－ 4ac ＜ 0 時，（ x ＋ ）
2＝
＜ 0因為負數沒有平方根，所以方程式沒有解
。
ba
2 ( 2 ) 4
2 2
a ac b
ba
2
ba2
ba2
ba2
ba2
ba
2 ( 2 4 )
2 2
a ac b
因此，我們可得到：
一元二次方程式 ax
2＋ bx ＋ c ＝ 0 （ a ＞ 0 ） 的公式解為
(1) 當 b
2－ 4ac ＞ 0 時， x ＝ 。
(2) 當 b
2－ 4ac ＝ 0 時， x ＝－ （重 根）。
(3) 當 b
2－ 4ac ＜ 0 時，方程式沒有解。
ab ac b
2
2 4
ba2
由此可知，一元二次方程式 ax
2＋ bx
＋ c ＝ 0 可能有兩相異解、兩相同解（重根）
或沒有解，這三種情形可由 b
2－ 4ac 的值來判
斷，所以一般稱 b
2－ 4ac 為一元二次方程式 a
x2＋ bx ＋ c ＝ 0 的
判別式。接著，我們練習
如何使用公式解來解一元二次方程式。
利用公式解，求一元二次方程式 x
2＋ 3x － 28
＝ 0 的解。
解 解
x2＋ 3x － 28 ＝ 0
x2
＋ 3x ＋（－ 28 ）
＝ 0
ax2
＋ bx ＋ c
＝ 0因為公式是由 ax2
＋ bx ＋ c ＝ 0 的 形式導出，所以要 以此形式比較。
比較上面兩式可知 a ＝ 1 ， b ＝ 3 ， c ＝－ 28
。
將 a ＝ 1 ， b ＝ 3 ， c ＝－ 28 代入 b
2－ 4ac ， 得
b2
－ 4ac ＝ 3
2－ 4 1 ‧ ‧ （－ 28 ）＝ 9 ＋ 112 ＝ 121 ＞ 0
配合習作 P47 基礎題 4(1)
9
判別式大於 0 （二次項係數為 1 ）
解解
故原方程式的解為
2 11 3
1
2 121 3
2
24
a ac b
x b
即 x ＝ ＝ ＝ 4 或 x ＝ ＝ ＝－ 7 所以方程式 x
2＋ 3x － 28 ＝ 0 的解為 4 與－ 7 。
2 11 3
2 8
2 11 3
2 14
利用公式解，求一元二次方程式 3x
2－ 2x ＝ 4 的 解
因為 3x
2－ 2x ＝ 4 ，即 3x
2－ 2x － 4 ＝ 0 ， 所以
令 a ＝ 3 ， b ＝－ 2 ， c ＝－ 4 ，
得 b
2－ 4ac ＝（－ 2 ）
2－ 4 × 3 × （－ 4 ）
＝ 52 ＞ 0 解 解
10
判別式大於 0 （二次項係數不為 1 ）
解 解 故原方程式的解為
3 13 1
6 13 2
2
6 52 2
3
2 2 ) 52 (
2
24
a ac b
x b
3 13 1
3 13 3 1
6 13 6 2 2
6 13 2
所以方程式 3x
2－ 2x ＝ 4 的解為 與
3 13 1
3 13
1
11
判別式小於 0
利用公式解，求一元二次方程式 x
2－ 3x ＋ 4 ＝ 0 的解。
解 解 令 a ＝ 1 ， b ＝－ 3 ， c ＝ 4 ，
得 b
2－ 4ac ＝（－ 3 ）
2－ 4 × 1 × 4 ＝
－ 7 ＜ 0
所以方程式 x
2－ 3x ＋ 4 ＝ 0 沒有解。
配合習作 P47 基礎題 4(2)
利用公式解，求下列一元二次方程式的解：
(1) x
2－ 3x － 7 ＝ 0
令 a ＝ 1 ， b ＝－ 3 ， c ＝－
7 ，得
b2 － 4ac ＝ 37 ＞ 0
2 37
2
2 4 3
a ac
b x b
(2) 4x
2＋ 8x ＋ 5 ＝ 0
令 a ＝ 4 ， b ＝ 8 ， c ＝ 5 ，得 b2 － 4ac ＝－ 16 ＜ 0
所以方程式 4x2 ＋ 8x ＋ 5 ＝ 0 沒有解。
(3) 2x
2＋ 6x ＝ 3
2x2 ＋ 6x － 3 ＝ 0
令 a ＝ 2 ， b ＝ 6 ， c ＝－
3 ，得
b2 － 4ac ＝ 60 ＞ 0
2 15 3
2
2 4
a ac b
x b
(4) 4x
2－ 11x ＋ 6 ＝ 0
令 a ＝ 4 ， b ＝－ 11 ， c ＝ 6
，得
b2 － 4ac ＝ 25 ＞ 0
8 5 11
2
2 4
a ac b
x b
即 x ＝ 2 或 x ＝
4 3
12
判別式等於 0
利用公式解，求一元二次方程式 9x
2＋ 6x ＋ 1 ＝ 0 的解。
解 解 令 a ＝ 9 ， b ＝ 6 ， c ＝ 1 ，
得 b
2－ 4ac ＝ 6
2－ 4 × 9 × 1 ＝ 0
故原方程式的解為 x ＝－ ＝－ ＝－
所以方程式 9x
2＋ 6x ＋ 1 ＝ 0 的解為－
( 重根 )
ba
2 18 6
3 1 1 3
配合習作基礎題 4(3)
當一元二次方程式的某些項係數為 分數時，我們可以先利用等量公理，將原方 程式乘以各分母的最小公倍數，把各項的係 數都變成整數，再使用公式，如下頁的例題
。
13
係數化簡
利用公式解法，求一元二次方程式－ x
2＋ x
＋ ＝ 0 的解。 1 3
2 3 1 3
將原方程式兩邊同乘以－ 6 可得 9x
2－ 2x － 2 ＝ 0
令 a ＝ 9 ， b ＝－ 2 ， c ＝－ 2 ，得
b2
－ 4ac ＝（－ 2 ）
2－ 4 × 9 × （－ 2 ） ＝ 4 ＋ 72 ＝ 76 ＞ 0
解 解
配合習作 P48 基礎題 4(4)
解 解
9 19 1
18 2 19 18 2 19 2
2
9
2 2 ) 76 2 4 (
2 2
a ac b
x b
所以
故方程式－ x
2 ＋ x ＋ ＝ 0的解為 與
2 3
1 3 9
19 1
9 19 1
1 3
將例題 13 中方程式兩邊同乘以 6 可得－ 9x
2＋ 2x ＋ 2 ＝ 0 ，令 a ＝－ 9 ， b ＝ 2 ， c ＝ 2
，代入公式解，觀察是否與例題 13 的解相同
b2 － 4ac ＝ 2。
2 － 4× （－ 9 ） ×2 ＝ 76 ＞ 09 19 9) 1
(
2 2 76 2 4
2
a ac b
x b
所以
與例題 13 的解相同。
由例題 13 與動動腦可知， a ＜ 0 時，公式解
也適用。
解下列一元二次方程式：
(1) 4x
2－ 4x ＋ 1 ＝ 0
令 a ＝ 4 ， b ＝－ 4 ， c ＝ 1 ，得 b2 － 4ac ＝ ( － 4)2 － 4 × 4 × 1 ＝ 0 故原方程式的解為
x ＝－ ＝ （重根）ba
2
12(2) － x
2＋ x － 3 ＝ 0 1 3 3 2
將方程式兩邊同乘以－ 3 得 2x2 ＋ x － 9 ＝ 0 ，
令 a ＝ 2 ， b ＝ 1 ， c ＝－ 9 ，得
b2 － 4ac ＝ 12 － 4 × 2 × （－ 9 ）＝ 73 ＞ 0
故原方程式的解為
4 73 2
2 4 1
a ac b
x b
14
公式解的應用
若一元二次方程式 x
2＋ ax ＋ 9 ＝ 0 有重根，
則 a 的值是多少？
解 解 因為 x
2＋ ax ＋ 9 ＝ 0 有重根，表示其判 別式為 0 ，
所以 a
2－ 4 1 9 ‧ ‧ ＝ 0
a2－ 36 ＝ 0
a2
＝ 36
a ＝ ±6若一元二次方程式 x
2＋（ a ＋ 1 ） x ＋ 1 6 ＝ 0 有重根，則 a 的值是多少？
方程式 x2 ＋（ a ＋ 1 ） x ＋ 16 ＝ 0 有重根
，表示其判別式為 0 ，所以
（ a ＋ 1 ） 2 － 4 × 1 × 16 ＝ 0
（ a ＋ 1 ） 2 ＝ 64 a ＋ 1 ＝ ±8
由 a ＋ 1 ＝ 8 得 a ＝ 7 。
由 a ＋ 1 ＝－ 8 得 a ＝－ 9 。
1. 形如 (ax ＋ b)
2＝ c 的一元二次方程式 ( 其中
c 0)≧ ，可利用平方根的概念來求解。
2. 形如 x
2＋ mx 的式子加上 ( )
2後，可配成 完全平方式 ( x ＋ )
2。形如 x
2－ mx 的式 子加上 ( )
2後，可配成完全平方式 ( x － )
2。
m
2
m2
m
2
m
2
3. 配方法：利用配成完全平方式的方法，將一 元二次方程式變成（ x ＋ a ）
2＝ b 的形
式，再利用平方根的概念來求解的過程，稱
為配方法。
4. 利用公式解法來解一元二次方程式 ax
2＋ b
x ＋ c ＝ 0 的過程：開始
確定 a 、 b 、 c 的值 計算 b2 － 4ac 的值
判定 b2 － 4ac 的 值
檢視原圖
若 b2 － 4ac ＞ 0 若 b2 － 4ac ＜ 0
若 b2 － 4ac ＝ 0 方程式沒有解 方程式的解為
（重
根）。2ab 方程式的解為
2 2 4 a ac b
b
或
2 2 4 a ac b
b
結束
檢視原圖
4-2 自我評量 1. 求下列一元二次方程式的解：
(1) （ x ＋ 2 ）
2＝ 16 (2) （ x ＋ 3 ）
2－ 5 ＝ 0
x ＋ 2 ＝ ±4由 x ＋ 2 ＝ 4 得 x ＝ 2 。 由 x ＋ 2 ＝－ 4 得 x ＝－
6 。
(x ＋ 3)2 ＝ 5
x ＋ 3 ＝ ± x ＝－ 3±
5
5
(3) （ x － 5 ）
2＋ 4 ＝ 0 (4) （ 2x ＋ 6 ）
2＝ 8
(x ＋ 5) 2 ＝－ 4因為負數沒有平方根，
所以此方程式沒有解。
2x ＋ 6 ＝ ± 2x ＝－ 6±
x ＝－ 3±
8 2 2
2
2. 用配方法解下列一元二次方程式：
(1) x
2＋ 4x － 3 ＝ 0 (2) x
2＋ 6x ＋ 10 ＝ 0
x2 ＋ 6x ＝－ 10(x ＋ 3) 2
＝－ 10 ＋ 32
＝－ 1
因為負數沒有平方根，
所以此方程式沒有解。
x2 ＋ 4x ＝ 3
(x ＋ 2) 2 ＝ 3 ＋ 22 ＝ 7 x ＋ 2 ＝ ±
x ＝－ 2±
7
7
(3) 3x
2＋ 5x ＋ 1 ＝ 0 (4) x
2－ 8x ＝ 384
x2 － 2‧x 4‧ ＋ 4 2
＝ 384 ＋ 42
(x － 4) 2 ＝ 400 x － 4 ＝ ±20
x ＝ 24 或 x ＝－
6 13
165 6 13 6 5
13 36 6 )
( 5 1 3
6 ) ( 5
3 1 3 5
3 0 3 1
5
2 2
2 2
x x
x
x x
x x
3. 利用公式解法，求下列一元二次方程式的解：
(1) x
2－ 7x ＋ 9 ＝ 0
令 a ＝ 1 ， b ＝－ 7 ， c ＝ 9 ，得 b2 － 4ac ＝ ( － 7) 2 － 4 × 1 × 9 ＝ 13
＞ 0
所以 x ＝
＝
＝
a ac b
b
2
2 4
1
2 ) 13 7
(
2 13
7
(2) 6x
2－ 7x ＋ 3 ＝ 0
令 a ＝ 6 ， b ＝－ 7 ， c ＝ 3 ，得 b2 － 4ac ＝ ( － 7) 2 － 4 × 6 × 3
＝－ 23 ＜ 0
所以方程式 6x2 － 7x ＋ 3 ＝ 0 沒有解
。
(3) － x
2＋ 4x ＋ 12 ＝ 0
兩邊乘以－ 1 ，得 x2 － 4x － 12 ＝ 0令 a ＝ 1 ， b ＝－ 4 ， c ＝－ 1 2 ，得
b2 － 4ac ＝ ( － 4) 2 － 4 × 1 × ( － 12)
＝ 64 ＞ 0 所以 x ＝
＝ ＝
x ＝ ＝ 6 或 x ＝
＝－ 2
a ac b
b
2
2 4
1
2 ) 64 4
(
2 8 4 2 8
4
2 8
4
(4) 4x
2＋ 9 ＝ 12x
4x2 － 12x ＋ 9 ＝ 0
令 a ＝ 4 ， b ＝－ 12 ， c ＝ 9 ，得 b2 － 4ac ＝ ( － 12)2 － 4 × 4 × 9 ＝ 0
所以 x ＝ ＝
＝ （重根）
2a
b4 2 ( 12 )
2 3
4. 當 a 的值為下列哪些數時，方程式 x
2－ 2
x ＋ a
＝ 0 會沒有解？
－ 3 、－ 2 、－ 1 、 0 、 1 、 2 、 3
方程式 x2 － 2x ＋ a ＝ 0 沒有解，表示其判 別式＜ 0 。所以
b2 － 4ac ＝ ( － 2)2 － 4a ＝ 4 － 4a ＜ 0 即 4 － 4a ＜ 0
1 － a ＜ 0 a ＞ 1
所以當 a ＝ 2 或 a ＝ 3 時，方程式沒有解
。
