第二章 函数与基本初等函数

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高考总复习 数学

第二章 函数与基本初等函数

1 ．奇函数、偶函数定义

(1) 如果对于函数 f(x) 的定义域内任意一个 x ，都有

；即互为相反数的两个自变量值对应的函数值互

为相反数，那么函数 f(x) 就叫做奇函数．

(2) 如果对于函数 f(x) 的定义域内任意一个 x ，都有

，即互为相反数的两个自变量值对应的函数值相等．

那么函数 f(x) 就叫做偶函数．

f( － x) ＝－ f(x)

f( － x) ＝ f(x)

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2 ．奇函数和偶函数的性质

(1) 奇函数图象关于 对称；偶函数图象关于 对称．

(2) 偶函数在区间 (a ， b) 上递增 ( 减 ) ，则在 ( － b ，－

a) 上 ，奇函数在区间 (a ， b) 与 ( － b ，－ a) 上的增减性

．

原点 y 轴

递减 ( 增 ) 相同

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4 ．周期函数定义

对于函数 f(x) ，如果存在一个非零常数 T ，使得当 x 取定

义域内的每一个值时，都有 ，那么函数 f

(x) 就叫做周期函数， T 为函数的一个周期．

f(x ＋ T) ＝ f(x)

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1 ． (2010· 广东 ) 若函数 f(x) ＝ 3^x ＋ 3 ^{－ x}与 g(x) ＝ 3^x － 3

－ x的定义域均为 R ，则 ( 　　 ) A ． f(x) 与 g(x) 均为偶函数

B ． f(x) 为偶函数， g(x) 为奇函数 C ． f(x) 与 g(x) 均为奇函数

D ． f(x) 为奇函数， g(x) 为偶函数

[ 解析 ] 　 f( － x) ＝ 3 ^{－ x}＋ 3^x＝ f(x) ， g( － x) ＝ 3 ^{－ x}－ 3^x ＝－ g(x) ．

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[ 答案 ] 　 C

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3 ． (2010· 山东 ) 设 f(x) 为定义在 R 上的奇函数．当 x≥0 时， f(x) ＝ 2^x＋ 2x ＋ b(b 为常数 ) ，则 f( － 1) ＝ ( 　　 )

A ． 3 B ． 1

C ．－ 1 D ．－ 3

[ 解析 ] 　因为 f(x) 为定义在 R 上的奇函数，所以 f(0) ＝ 0

，可求得 b ＝－ 1 ， f( － 1) ＝－ f(1) ＝－ (2¹＋ 2 ＋ b) ＝－ 3.

故选 D.

[ 答案 ] 　 D

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(4) 当 x<0 时，－ x>0 ，则 f( － x) ＝－ ( － x)² － x

＝－ (x²＋ x) ＝－ f(x) ；

当 x>0 时，－ x<0 ，则 f( － x) ＝ ( － x)²－ x ＝ x²－ x

＝－ ( － x² ＋ x) ＝－ f(x) ．

∴ 对任意 x∈( －∞， 0)∪(0 ，＋∞ ) 都有 f( － x) ＝－ f(x)

．∴ f(x) 为奇函数．

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当 a ＝ 0 时， f(x) ＝ x²－ |x| ＋ 1. 有 f( － x) ＝ f(x) ，

∴f(x) 是偶函数．

当 a≠0 时， f(a) ＝ a²＋ 1 ， f( － a) ＝ a²－ 2|a| ＋ 1.

f(a)≠f( － a) ．

且 f(a) ＋ f( － a) ＝ 2(a² － |a| ＋ 1)

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[ 点评与警示 ] 　判断函数的奇偶性，应首先求出函数的定 义域，并视定义域是否关于原点对称．只有定义域关于原点对 称，才有验证是否有 f( － x) ＝ f(x) 或 f( － x) ＝－ f(x) 的必要．

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　已知 f(x) 是定义在 ( － 1,1) 上的偶函数，且在区间 [0,1) 上是增函数，若有不等式 f(a － 2) － f(3 － a)<0 成立．求 实数 a 的取值范围．

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[ 点评与警示 ] 　本例题的求解过程中，既要利用函数的奇 偶性，又要利用函数的单调性．求解此类问题的一般思路有两 条：一是就 a － 2 与 3 － a 的符号进行分类讨论 ( 过程繁琐 )

；二是利用偶函数的性质 f( － x) ＝ f(x) ＝ f(|x|) ．而得到“ |x1|<|x

2|⇔f(x1)<f(x₂)” ．

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已知 f(x) 是定义在 ( － 1,1) 上的偶函数，且在区间 ( － 1,0]

上是减函数，若有不等式 f(a － 2) － f(a － 3) ＜ 0 成立，求实 数 a 的取值范围．

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[ 分析 ] 　 (1) 通过建立方程，求出 a 、 b 的值．确定 f(x) 的解析式． (3) 利用函数的单调性脱掉“ f” ．

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[ 点评与警示 ] 　 (1) 如果一个奇函数在 x ＝ 0 处有定义．

那么 f(0) ＝ 0.

(2) 解不等式 f(t － 1) ＋ f(t)<0 时，注意函数定义域对 t 的 限制．

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　已知奇函数 f(x) 定义在 R 上，其图象关于直线 x ＝ 1 对 称，当 x∈[0,1] 时， f(x) ＝ 2^x－ 1.

(1) 当 x∈[ － 1,0) 时，求 f(x) 的表达式；

(2) 证明 f(x) 是周期函数，并求出它的一个周期；

(3) 当 x∈[4,5] 时，求 f(x) ．

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[ 解 ] 　 (1) 当－ 1≤x<0 时．－ x∈(0,1] ，而 f( － x) ＝ 2 ^{－ x}

－ 1 ，且 f(x) 是奇函数．所以 f( － x) ＝－ f(x) ，即 f(x) ＝－ f ( － x) ＝－ 2 ^{－ x}＋ 1.

(2) 因为 f(x) 的图象关于直线 x ＝ 1 对称，所以 f(x) ＝

f(2 － x) ，用－ x 替换 x ，就有 f( － x) ＝ f(2 ＋ x) ．由 f(x) 是奇函数得 f( － x) ＝－ f(x) ，所以 f(2 ＋ x) ＝－ f(x) ，进而 f(x

＋ 4) ＝－ f(x ＋ 2) ＝ f(x) ．可知 f(x) 是周期函数， 4 是它的一 个周期．

(3) 当 4≤x≤5 时， 0≤x － 4≤1. 所以 f(x － 4) ＝ 2^{x－ 4}－ 1.

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[ 点评与警示 ] 　 (1) 已知奇函数 f(x) 的图象关于 x ＝ a 对 称，则 f(x) 是周期函数，且 4a 为其中的一个周期；若偶函数 f (x) 的图象关于直线 x ＝ a 对称，则 2a 为其中的一个周期．

(2) 注意分清函数图象的几种关系：①若 f(x) 满足 f(a ＋ x)

＝ f(a － x) ，则 f(x) 的图象关于直线 x ＝ a 对称．

② 若 f(x) 满足 f(x ＋ a) ＝ f(x － a) ，则 f(x) 的周期为 2a.

③ 函数 y ＝ f(x － a) 与函数 y ＝ f(a － x) 图象关于直线 x

＝ a 对称．

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1 ．判断函数奇偶性就是看 f( － x) 与 f(x) 是否有相等关系 或互为相反数的关系．

2 ．函数的奇偶性是对整个定义域而言的，因此讨论函数 奇偶性首先要看其定义域．“函数的定义域关于原点对称”是它 具有奇偶性的前提．

3 ．要注意从数和形两个角度理解函数的奇偶性．要充分 利用 f(x) 与 f( － x) 之间的转化关系和图象的对称性解决有关问 题．

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