习题课

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一、 求不定积分的基本方法 二、几种特殊类型的积分

不定积分的计算方法

第四章

一、 求不定积分的基本方法

1.

通过简单变形 , 利用基本积分公式和运算法则 求不定积分的方法 .

2.

 ^{f ( x ) d x}

 ^{f [  ( t )]   ( t ) d t}

( 注意常见的换元积分类型 )

( 代换 : )

x   (t )

3.



 

 ^{u d v x u v}

使用原则 :

1) 由

v

v

2)

 ^{u d  x v}

 ^{u d v  x}

 ^{u d  x v}

例 1. 求

d . 4

9

3

2 _{x x} x

x

 x _

解 : 原式

_{x x} x

x x

2 d 3

3 2

2

 2 _

 _x x

x

) d ( 1

) (

2 3 2 3 2

 _



 _

 _x

x 2 3 2 3 2 3 2 1 ( )

) ( d ln

1

x a a

a ^{x x} ln d

d 

C

x

 

 ln 2 ln 3

)

arctan( ₃ ²

例 2. 求

d . 1

5 )

1 ln(

2 2

x x x

 x ^ _ ^{ }

解 :

 ^{  }

 [ ln( x 1 x

) 5 ]

] 5 )

1 ln(

[

d x   x ²  ₂

1 x x  



x x

x ) d 1

(

1 2

2

 

1 2

d x x

  3 

 2 ln( x  1  x

)  5 

^{ C}

分析 :

] 5 )

1 ln(

[

d x   x ² 

例 3. 求

d . cos

1

sin x x x

 x _ ^

解 :

原式

x

x

x x x

d cos 2

2

cos 2 sin 2

2

 ^ 2





 d tan 2 x

x x x

2 d

 tan



x C

x 

 tan 2

分部积分

例 4. 求

arctan d . e x

e

x

 x

解 :

^{原式  }  ^{arctan e x d e  x}

x

x e

e arctan ^



 ^  ^{e  x} _{1 } ^e _e ^{x 2 x d x}

x

x e

e arctan ^



 x

e

e e

x

x x

1 d

) 1

(

2

2

 ^ _ 2 ^



x

x e

e arctan ^



  x  ₂ ¹ ln ( 1  e ^{2 x} )  C

例 5. 求

 ( x ^{3 } x ^ 2 ) e ^{2 x} d x .

例 6. 设

I _n ^  sec ⁿ x d x ,

证 :

证明递推公式 :

) 2 1 (

tan 2 1 sec

1 2 2 



 

 

 ^ I _ n

n x n

n x

I _n ⁿ _n



  ^{ x}

I _n sec ^{n 2}



 sec ^{n 2 } x

x x

x

n 2 ) sec ⁿ sec tan

(  ³ 

  ^{  tan x d x}

x

n x tan

sec ² 

 ^  ( n  2 )  sec ^{n  2} x  (sec ² x  1 ) d x x

n x tan sec ² 

 ^  ( n  2 ) I _n  ( n  2 ) I _{n  2} x

x d sec ²

x tan

) 2 1 (

tan 2 1 sec

1 2 2 



 

 



 ^ I _ n

n x n

n x

I _n ⁿ _n

例 7

.

解

:

) (x

F 为 ^{f (x )}

当 x  0 时 ,

2 sin

) ( )

( x F x ² x

f 

有

且

F ( 0 )  1 , ,

0 )

( x 

F

f (x ) .

由题设

F  ( x )  f ( x ) ,

F ( x ) F  ( x )  sin ² 2 x ,

 ^{F ( x ) F}  ^{( x ) d x}   ^{sin 2 2 xd x }  ^{1  cos} ₂ ^{4 x d x}

即

F ² ( x )  x  ₄ ¹ sin 4 x  C ,

1 )

0 ( 

 F  C  F ² ( 0 )  1 , F ( x )  0

1

4 sin )

( x  x  ¹ ₄ x  F

故

f ( x )  F  ( x )

1 4

sin 2 sin

1 4 2



 

x x

x

二、几种特殊类型的积分

1.

有理函数

分解

多项式及部分分式之和

指数函数有理式

指数代换

三角函数有理式

万能代换

简单无理函数

根式代换 三角代换

2.

(1) 一般方法不一定是最简便的方法 ,

(2) 初等函数的原函数不一定是初等函数 ,

要注意综合 使用各种基本积分法 , 简便计算

. 因此不一

定都能积出 .

例如 ,

 e ^{ x}

d x ,  ^sin _x ^{x d x ,}  ^{sin x 2 d x ,}

, ln d

1 x

 x





1 , d

 _{ x} ^x 4  ^{1  x 3 d x ,}

例 8. 求

. 1

d

6 2 3

  e

 e

 e

x

解 :

t  e

,

x  6 t ln , d x  ⁶ _t d t

原式

^{ 6}  _{( 1  t} ³ _ ^{d t} _t ² _{ t ) t} ^{ 6}  _{( t  1 )(} ^d _t ^{t 2} _{ 1 ) t}

 ^ _ ^

 1

3 3

1 3 6

2 

 

 

t t t

t  d t





t ln

 6  3 ln t  1 ln( 1 ) 2

3 ₂ 

 t  arctan 3 t  C

C e

e e

x 

 

 



 3 ln(

1 ) ₂ ³ ln(

1 ) 3 arctan

例 9. 求

d . sin

cos

sin cos

 3 _x ^x _ ^ _x ^{x x}

解 :

3 cos x sin  x

x B

A x

B

A ) cos ( ) sin

(   



比较同类项系数

A  B  3

 1



 B

A

A  1 , B  2

∴ 原式

^  ^{d x  2}  ^d(cos _{cos x} ^x _ ^ _sin ^sin _x ^{x )}

C x

x

x   

 ln cos sin

为

 _c ^a _cos ^cos _x ^x _ ^ _d ^{b sin} _sin ^x _x ^{d x}

) sin (cos

) sin

(cos    

 A x x B x x

x b

x

a cos  sin 令

) sin cos

( )

sin cos

(    

 A c x d x B c x d x

例 10.求不定积分

d . sin

) cos 2

(

 _ 1 _{x x} ^x

解 : 原式

( 令 u  cos x )

 _{ }

 u

u

u d

) 1 )(

2 (

1

2

 

 )( 1 ) 2

(

1 u

u u

A

2    1 u

B

 1

 u

C A  1 3

6 1

 B

2 1



 C 2

3 ln

1 

 u ln 1

6

1 

 u  ln u  1  C 2

1

) 2 ln(cos

3

1 

 x ln( 1 cos )

6

1  x

  ln(cos x  1 )  C 2

1

 _

 x

x x

x d

sin )

cos 2

(

sin

2